历算全书

一十】共六百七十乗其二之一为三百三十五乗故曰先驱大殿居余阵二之一而少五乗【以全当其半而少五乗则以倍当其全而少十乗矣此与第一行皆变零为整详见带分条】总计之则千乗矣故以和数参焉

论曰此一例中能兼数法皆省算之捷诀也

其第二图五色变四色当有互乗减并者四次今以申驱空位省其三次此空位径求省算之法也其申驱偶尔数同径以对减与第五图二色之贰广数同径以对减皆省乗定法也但皆和较之襍故虽不乗必以较行首位之正负补于和数之行不然则减并误矣此要诀也

其第三图四色之首位偶有倍数故半其倍者以相从此亦省乗法也

其第四图三色之首位为三与二故加二为三是二加一也故其下皆二分加一则如遍乗矣然亦首位正负偶同也若不同者湏更其一行以同之首位虽同数又必同名然后可减而去之尤省乗之要诀

又论曰方程无空者常法也如第一图六色是也若不减并五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦能省乗然虽省乗不能省减并矣其有空位者偶然也如第二图五色有空是也空位多若更置列之所省尤多虽不更置而减倂之余自然能补其空亦可见方程之有常法矣

若更置之则自五色起如后图

因五色始有空也如此图则省六算　戎翼不空故更之下位后行不空者更之前行以先乗

正负列位

甲乙行如法减去申驱以其余四位重列之与丙行相对【一和一较也】

重列

如法减去贰广又重列之与丁行相对【皆较数也如后】

如法半减余数以从丁行乃对减而重列之与戊行相对【又以翼同故更置之】

上　　　　　中　　　下

如法径以对减余戎路五为法

倂得正负九百乗为实

法除实得戎路数

既得戎路数以次得余重之数

合问

又术以一图而为减并如后所列

依法先得戎路亦同但其间和较交变错然襍陈非深知猝不能了不如前术之为安穏明白也

歴算全书卷四十二

钦定四库全书

厯算全书卷四十三

宣城梅文鼎撰

方程论卷四

刋误

古之为学也精故其立法也简而语焉不详阙所疑而敬存其旧无臆参焉斯善学也已不得其理而强为之解以乱其真古人之意乃不可见矣意不可见而讹谬相仍如金在沙淘之汰之沙尽而金以出故刋误次之方程之误厥有数端

一曰立负之误【立负误也四色五色期于立负以为法误之误也自骡马逓借一问诸书沿讹而加减之误因之矣】

一曰加减之误

同加异减一误也【误沿于牛羊豕相易之一问由不知正负之有更也】

竒减偶加二误也【误沿于桃梨问价以不知和较之交变也】

一曰法实之误【以上为法下为实拘也以法必少实必多亦谬也】

一曰倂分母之误

一曰设问之误【如井不知深而以除法为井深问中先已大误】

立负辨

立负非古人法也何以知之有负则有正今立负而不言正非正负之本防也或曰有正则有负则言负可不言正矣是又不然凡和之变而较也有减其和数而尽者亦有减其和数而余者其减而尽者命为适足而无较数则但言此之为负以见彼之为正可矣若减而余者是有较数也而但言负不言正何以知其较数必与正物同名乎即使同名而竟不明言其为正何以分别同异而为加减乎至于以有空位而立之负则又不可何也和之或变而较也固不必以空位也但减余分在两行而兼用之即变较数矣今必以有空位者而立之负则无空位者即不立负乎然则和数之无空位者终于同减而无异并乎将进退失据矣故曰非古人法也

凡言正负者分其物以相较也不言正负者合其物以言数也皆自然而有之名非立之也而立负乎哉夫不知正负之出于自然而强立之负则同异之防淆而加减之用失种种谬误縁之以生故谨为之辨今以诸书所载立负例攷定如左

假如米四石二斗以马一骡二驴三载之皆不能上坡若马借骡一骡借驴一驴借马一则各能上坡问马骡驴力各几何

畣曰马力二石四斗　骡力一石八斗　驴力六斗

法各以和数列位【马借骡一则一马一驴也骡借驴一则二骡一驴也驴借马一则三驴一马也各以其本数加借数而列之干方程法则和数而已】

此三色有空法也中行无马原只二色故不湏乗减但先以左右两行首位不空者对乗　又因两行马数皆一乗皆如故故径以对减马减尽　右骡一左驴三皆无对不减　米各四石二斗亦对减而尽乃视减余骡一在右行驴三在左行分在两行是有正负也　米亦减尽是正负适足也重列之

论曰此和数变为较数也何以言之两行之马相若而其载物又相若则其所偕以共载之骡一与驴三其力亦自相若矣故命之适足适足者以两相较而成故曰变为较数也然谓之适足可也谓一行俱减尽则不可也减尽者同类之物而其数又同故物与数俱减尽也适足者物非同类而其物之积数则同故其物不能减尽而数则减尽也物不同而数同故曰适足也适足者存之为用也物数俱减尽者清出其一色而不复用也如此三色中虽不能遽知各力然已知驴三骡一之适相当矣则已清出马之一色而变为二色矣此逓减立法之意也

又论曰减余适足则有正负矣其原列只是和数无正负也诸书以逓借一匹之故而列之曰借又别其本数曰正不知正与负对非与借对也虽逓借一匹其实是本有之头匹与所借之头匹共载此米故曰和数逮减余乃变为较耳故减余适足宜言正负也而诸书但立负原列和数无正负也而忽分正借又不立负于减之后而立于其先正也借也立负也三者相乱而靡有指实古人之法固如是乎哉

次以中行原数与减余对列　因中行马空故径求也

此和较杂也　减余分正负　中行原无正负

以减余骡负一遍乗中行如故【较乗和也数虽如故但皆以乗法之名名之为负】又以中行骡二遍乗减余得数【和乗较也故仍其正负之名】骡同减尽　驴异并得七为法　四石二斗无减就为实　法除实得六斗为一驴之力　三因驴力得一石八斗为一骡之力【适足故也】以骡力一石八斗减四石二斗余二石四斗为一马之力【原右行数】

论曰减余原是骡一与驴三力等乗后得数则骡二与驴六亦等也然则于中行共力中减去二骡而以相等之六驴益之其共之四石二斗亦必与原载等也故并此六驴与原列一驴共七为法以除此四石二斗而驴力可知也　驴三与骡一既等则三驴之所载即骡力也　骡与马各一共四石二斗则减骡力即马力也

又论曰此因中行有空故径求也使其不空自当与左行或右行遍乗而减去其马与其数乃列两减余如二色求之此常法也今中行马空原只二色恰与减余之二色相对故径相乗减是省一算也诸书皆言因左行骡空故立负骡一与中行对乗不知左行骡空而右之骡一无减犹右之驴空而左之驴三无减也其与中行相对乃用此两色之减余非独用左行也盖左行有马中行无马原无对乗之理亦犹之右与中不可对乗惟减余是二色可以对乗虽云径求实自然之理势也而强立之负以用左行乎

有正斯有负立负骡于左行为与何物相对耶以马一为正耶驴三为正耶其马一驴三皆正耶既无所指则负为徒立矣

凡言正负者其下数必为正与负之较今所用左行之四石二斗者为是骡一与驴三相较之数耶骡一与马一相较之数耶将合马一驴三与骡一相较之数耶则皆无一合矣

凡物有正负者其较数亦有正负此四石二斗者正耶负耶若无正负即是和数不应立负骡矣

若以四石二斗为和数则更非理夫以马一驴三之共数加一骡力而其数如故理所无也若去一马用一骡而与驴三共此米抑又不能马与骡之力原不同乃去一马加一骡而其数如故理所无也然则此四石二斗安属耶彼惟不知四石二斗之减尽即为适足故误至此也

又谓右行俱减尽不知减尽必两行数同如马一与米四石二斗也若骡一驴三固未尝有减也况尽乎方程立法原以对减有尽不尽而得其朕兆若三色俱减而尽其算不立矣惟不知有空位者可以径求而误以所用之减余为是左行之原数故也

凡减尽者两俱减尽不应右减尽而左行独存若谓复用左行之原数何以不用原列之马一而加一负骡以为马一减去故不用则四石二斗何既减而复存耶故以立负骡减马一为用减余之法则四石二斗不宜存四石二斗为用原列之法则马一不宜减负骡不宜立破两法而叅用之一不成矣承譌者迁就多岐抑奚足怪

今试以减余更置则先得骡力如后图

如前法以一和一较遍乗得数　驴同名减尽　骡异并得七为法　正十二石六斗无减就为实　实如法而一得一石八斗为骡力以驴三除相当一骡之力得六斗为驴力【任于原列左行或右行如法减驴力或骡力得马力】

论曰凡减余重列之数皆可更置互求何则皆实数也三色减去一色即二色法矣若干减余之适足加以四石二斗则不可以互求故知其误

又试以原列更置之先减去骡如后图

如法先以右中遍乗　骡减尽　中行驴一　右行马二皆无减分正负列之　载米余四石二斗在右行与马同名　左行骡空故径与减余相对　依和较杂法乗之　驴同减尽马异并七为法　载米异倂十六石八斗为实　法除实得二石四斗为马力以马力减四石二斗余一石八斗得骡力　以马

力倍之同减四石二斗余六斗得驴力

试又更之如后图

如前法先以右中两行遍乗减去驴余马一骡六皆无减分正负载米余八石四斗在右与骡同名乃重列之如前法径与左行相对遍乗　马同减尽骡异并七为法　载米异并十二石六斗为实实

如法而一得骡力以次得驴马力皆如前

论曰凡诸色方程其上下皆可互更如上二图以空位径求之法求之无所不合也

又试以原列无空而减余适足者为例如后

假如有三车三槖驼七牛各欲载物六十四石而皆不能胜若车借驼牛各一驼借车牛各一牛借车驼各一则皆能载问三者力若干

畣曰车二十四石　槖驼十二石　牛四石

法以和数列位

如法乗　车皆减尽　甲乙两行减余皆在乙行和数也　乙丙相减余乙驼二丙牛六是有正负也载物减尽适足也【乙丙载物减尽则不但对减去之物适相当而其减余之驼二牛六其力亦适相当也虽欲不命之适足不可得矣】

乃以和较杂重列之

依一和一较法求得牛三十二为法　载物一百二十八石为实　法除实得四石为牛力　牛六共力二十四石以相当之驼二除之得十二石为驼力以牛力驼力减六十四石余四十八石车二除之得二十四石为车力【用右行原数】

论曰此亦以和变较而有适足之数也岂以有空位而立之负乎可以悟其非矣

试更以较数求之

假如运粮以象马牛车三种但云接运时以三象所载与四牛车二十四马载之则余三十六石以八牛车所载与二象十二马载之亦余三十六石以七十八马所载与二象二牛车载之亦余三十六石问各若干畣曰象七十二石　牛车二十七石　马三石

法以较数列位

如法互乗减并重列其余【中行每加二分一则首位象与右齐同可对减矣其中左象本同径以对减皆省算法也】

依省算法求得马三十载九十石以马除载得三石为马力　马九十载二百七十石牛车十除之得二十七石为牛车力　合计牛车四马二十四共载一百八十石异加正三十六石象三除之得七十二石为象力【用右行原数】

论曰此原列较数也而其较数亦有减而适足者然则先无适足减之而成适足者往往有之矣

惟适足故分正负非以空位而立负也故知减余之亦有适足而复用左行者非矣知用减余而非用左行则立负之非不攻而破矣

同加异减辨

同名相减则异名相加矣诸书所载忽而同减者忽而异减忽而异加者忽而同加岂不谬哉又为之説曰以正为主则同减而异加以负为主则异减而同加又为之説曰同名相乗则其下同减而异并异名相乗则其下异减而同并言之缕然用之纷然而要之非是也夫同名相减即如盈朒章两盈两朒相减也异名相并即如盈不足相并也岂有同加异减之理乎所以误者不知正负交变之法也正负宜变而不变则首位之异名者何以能对减而尽乎不得不迁就其法同加异减矣苟知其变则首位必同名首位既同名则凡减皆同名凡加皆异名较若画一何必纷纷强为之説乎

凡减余重列有仍其负正如故者亦有更其正负絶非其故者且有先无正负及其重列而有正负者有先分正负及其重列之而反不分者若但以初名为定则加减皆舛矣

假如同减之余分在两行而为同名【或左余正右亦余正或左余负右亦余负】则重列必为异名矣必变其一行之名而列之而其下所余数必是此二异名物之较数也若无余数必是此二异名物相当适足也【此以三色言之若四色以上减余位数多者皆仿此论之】

若同减之余分在两行而为异名【或左余正而右余负或左余负而右余正】则重列必为同名矣而其下所余数必是此二同名物之和数也【此亦以三色言之其减余只二色故也】则其原列正负之名皆不用矣

若异倂者尤为易见何也凡异并者正与负并也正与负并则如一物矣故重列之际必以一行为主而定其名【或为正或为负或变和数则无正负】若但守初名而不知所变将一物而名之正又名之负乎必不然矣兼此数端知正负之交变出于自然非强名也【不知正负之变亦不知和较之变矣故又有竒减偶加之误也】

今以诸书所载同加异减例考定如左

假如以牛二羊五作价易猪十三剰价五两以牛一猪一易羊三适足以羊六猪八易牛五不足三两问价各若干

畣曰牛价六两　羊价二两五钱　猪价一两五钱

列所问数

先以右行牛正二遍乗中左两行得数【中右首位同名故正负不变右左首位异名故变左行之正负以从右亦为以少从多】

次以中行牛正一遍乗右行皆得原数　乃以中右两得数对减　牛各正二同名减尽　羊异名【右正五中负六】并得十一猪异名【右负十三中正二】并得十五　价无减【右正五两中适足】仍得五两　于是分正负以价与羊为同名而重列之【羊右正中负猪右负中正故仍为较数价与羊同为正于右行故仍为同名】次以左行牛负五遍乗右行得数【左行既变以从右则右行不变仍其正负】乃以左右两得数对减　牛各正十同名减尽羊异名【右正廿五左负十二】并得三十七　猪同名【右负六十五左负一十六】减余四十九【在右】　价同名减【右正二十五两左正六两】余十九两【亦在右】　于是亦分正负亦以价与羊同名而重列之　羊与余猪原分正负于右故仍为较数价与羊同为正于右故同名

列两减余

如法以两正羊遍乗得数　乃对减　羊同减尽猪同减余十六为法　价同减余二十四两为实法除实得一两五钱为猪价　以猪十五价二十二两五钱异加正价五两【共二十七两五钱】羊十一除之得二两五钱为羊价　任于原列中行羊三价七两五钱内减猪价一两五钱余六两为牛价

论曰凡列正负可以任意呼之要在知下价之于正负孰为同名耳若乗后得数则其首列一位必以同名而相减故正负有时变而其价之正负从之变矣故同异加减必以乗后得数而定也如此所列左右行先为一正一负异名之价而乗后得数必为同名之价何也两价皆与牛同名而牛在首列得数必同名故也若以羊更置首列则两价得数必异名何也价与羊于右同名而于左异名也

试更列之于后

上　　　　中上　　　中下　　　下

如法以中行羊与左右两行互遍乗得数相减　羊同减皆尽　右中牛异并三十七　猪异并一百十八　价异并四十五两【价与牛同名】中左牛同减余九猪异并三十　价九两无减【与牛同名】

乃以两减余各分正负而重列之

如法以牛互遍乗而变左行之正负以相从　牛同减尽　猪同减余四十八为法　价同减余七十二两为实　法除实得猪价以次得牛羊价合问　试又更之

如法以中行猪与左右两行互遍乗得数相减　猪同减皆尽右中羊异并一百十八【右负中正】　牛同减余四十九【余负在中】　价同减余一两【余负在右】　分正负【以价与羊同名】　左中羊异并三十【中正而左负】　牛异并十三【中负左正】　价三两无减【中之负数】亦分正负【以价与牛同名】　皆重列之

如法互乗羊同减尽牛同减余六十四两为法价异并三百八十四两为实法除实得牛价六两以次得羊价猪价

论曰反覆求之皆同减异加别无他术可见古人立法之简快竒减偶加辨

方程立法只同名相减异名相加尽之【和数有减无并皆同名也较数有减有倂或同名或异名也和较交变故减并相生】不论二色三色四色乃至多色皆一法也今诸书不察偶见瓜梨一例有竒减偶加之形不得其觧遂执为四色之定法而不知通变使方程一章之法为徒法而莫可施用深可惜也故覼缕辨之今将梨一问考定如后

假如有二梨四共价四十文又梨二榴七共价四十文榴四桃七共价三十文一桃八共二十四文问各价几何畣曰八文　梨六文　榴四文　桃二文

法以和数列位　依四色有空以省算法求之

惟甲丁两行有如四色故先以相乗　减尽甲梨四丁桃十六皆无减　价余八文　分正负【梨甲桃丁故也】以价与桃同名【同在丁行故也】　减尽矣而余行皆无则只三色故径以减余之数与乙行相对

如法互乗　梨同减尽　榴二十八【左正】桃三十二【右负】皆无减价异并一百七十六文【右负左正】

隔行之异名乃同名也以和数列之不分正负又以余行无梨则只二色径以减余与丙行列之【于后】

如法乗减榴减尽余桃六十八为法价一百三十六文为实法除实得桃价二文　以丙行桃七价十四文减共三十文余十六文悉榴价也榴四除之得榴价四文　以乙行榴七价二十八文减共四十二文悉梨价也梨二除之得梨价六文　以甲行梨四共二十四文减共四十文除十六文悉价也二除之得价八文

论曰此和数变为较数而较数复变和数也何以言之初次减余价八文乃桃多于梨之价故曰变为较数也【桃十六价三十二文梨四价二十四文差八文】何以知之余数分在两行也【桃十六在丁行梨四在甲行】何以知桃多于梨桃与价同在丁行故同名也然所用分正负者是甲丁两行之减余非但以丁行空位而立负也又因乙丙位皆空故用此减余径与乙行相对是省二算也乃径求也非专用丁行为主也减余较也乙行和也一和一较故有异名相并而非以偶行故加也

若第二次减余则复是和数何也其相并一百七十六文乃桃榴之共价【桃三十二价六十四文榴二十八价一百十二文共此数】而非其较数故曰复变和数也何以知之桃与榴虽分余于两行而异名然隔行之异名乃同名也【乙行榴正价亦正减余桃负价亦负兼而用之变为同名矣】至于立负之非此尤易见盖既变和数无正负矣虽两遇空而无减岂得谓之立负乎又因丙行梨亦空故径用减余与之对减是又省一算非以丁行对丙行也而顾曰立负榴于丁行误之误矣减余变和丙行相对是两和也故有减而无并也而岂以竒行之故而减也乎哉　今试以甲丁之行易之则加减全非矣

如法以甲丁行对乗减尽　桃十六【甲】梨四【丁】皆无减　价相减余八文【甲】　乃分正负以价与桃同名而重列之与乙行相对

如法乗　桃同减尽　榴六十四【左正】梨二十八【右负】皆无减　价同减余四百二十四文　依前论隔行之异名即同名也不分正负而重列之与丙行相对

如法减榴　余梨六十八为法　四百○八文为实法除实得梨价六文以次得诸物价皆如前

论曰此但更其前后之行耳而价皆同减无异并可见竒减偶加之非通法矣　又试以上下之位而更之

如法以甲丁先乗减去梨尽　余榴二十八【甲】四【丁】皆无减　价相减余八十文【甲】依前论分正负以价与榴同名而重列之与乙行相对

如法乗减榴尽　余桃一百九十六【左正】一十六【右负】皆无减　价相减余五百二十文【左正】依前论复变和数不分正负而径与丙行重列之

如法减桃　余六十八为法　价五百四十四文为实　法除实得价八文以次得诸物价皆如前

论曰此亦有同减无异加固不以竒偶之行而有别也若以甲丁减余更置之则亦有异并之用如后图

论曰此下价何以倂异名故也何以异名凡一和一较方程在和数行者其得必与较首位同名故其较数之价与首位同名者则亦与和价同名也其与首位异名者与和价亦异名也

先用丙行何也以有故可与余相减亦可见行次之非定也　理之不定乃其一定凡事尽然泥一端以定之转不定矣

又论曰此亦复变为和数也何以知之正榴正价皆右负桃负价皆左以之并为一行则无正负矣盖隔行

如法减桃　余榴六十八为法　价二百七十二文为实　法除实得榴价四文以次得诸物价皆如前

论曰兼此数端知加减非闗行数矣

统宗歌曰四色方程实可夸湏存末位作根芽若遇竒行湏减价偶行之价要相加诸书仍讹又推而至于五色六色皆云以末位为主而自首行以往皆与之加减至其所以加减者又皆以行之竒偶如一行三行五行竒数也则价与末行减二行四行偶数也则价与末行加而不言同异名将竒行者皆同名乎偶行者皆异名乎未可必也不知彼所设问各行逓空两位势必挨列虽云四色乃四色之有空者耳非四色之本法也【省算卷辨之极详可以互发】既挨列矣余行之首一色皆空不湏乗减惟末行首行相对可以互乗非用末行乃用上一色相对之行耳使上一色不空者在中二行而末行反空又当以中行先用矣虽欲以末行为主得乎

至于第二次重列而乗减者乃用首行末行相减之余也非専用末行也葢两行相减乃生余数若谓之用末行亦可云用首行矣