历算全书

只可求大小方边不能知濶

总论曰较较乗较和之积与和较乗和和之积等为四句股乃立法之根也而其理皆具古图中学者所宜深玩

又如有辛庚壬圆池不知其径法于乙作甲乙直线切员池于庚又乙丙横线切圆池于壬乙为正方角又自

丙望甲作斜线切员池于辛

乃自丙取乙丙之度截斜线

于丁又自甲取甲乙之度截

斜线于戊末但量丁戊有若

干尺即圆池径

解曰此即句股容员法也丙乙句截甲丙于丁则丁甲为句较甲乙股截于戊则戊丙为股较而丁戊为和较故即为圆径　其句股不必问其丈尺但取三直线并切员而乙为方角足矣故为测员简法【凡城堢墩台锥塔员柱之类形正员者并同一法也】

句股容方【系鲍燕翌法】

句股形引股线法

即依正角作方形于形外　又即引小形成大形甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙至戊而令

乙丁与戊丁等

法曰以乙丙分甲乙得数减一余

用归甲乙得之

解曰乙丙与甲乙原若丁戊与甲

丁故以乙丙分甲乙与以丁戊分甲丁所得之分数等然则减一者虽似于甲乙分数内减乙丙之一分实于甲丁分数内减丁戊之一分也【即乙丁之一分】故以减余分甲乙而得

【勿庵又法句股相乗为实句股较为法除之亦即得所引乙丁与乙戊同数】

句股形截股法

即依正角作方形于形内　又即截大形成小形甲丁戊句股形内今欲截甲丁股于乙甲戊于丙而

令乙丁与乙丙等

法曰以丁戊分甲丁得数加一共

用归甲丁得之　【勿庵又法句股相乗为实句股

和为法除之亦即得所截乙丁与丁丙同数即句股容方法】

解曰丁戊与甲丁原若乙丙与甲乙故以丁戊分甲丁与以乙丙分甲乙所得之分数等然则加一者虽似于甲丁分数外加丁戊之一分实于甲乙分数外加乙丙之一分也【即乙丁之一分】故以加共分甲丁而得

若欲令丙戊与丁戊等或欲令乙丙与丙戊等依法推之按后一法即句股容方也原法简易今鲍燕翼先生所设殊新要其理亦相通耳【勿庵补例】

设甲乙股十六　乙丙句八　今引甲乙股长出至丁

而令引出之乙丁股分与所当之丁

戊句等问若干答曰乙丁十六

法以乙丙句【八】甲乙股【十六】相乗得【一百】

【廿八】为实句股相减得较【八】为法除之得乙丁引出一十六与丁戊句相等　若如鲍法以句【八】除股【十六】得【二】内减去一仍余一用为法以除股【十六】仍得【十六】为乙丁又设甲乙股【四十八】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【十六】与丁戊句等

法以句十二乗股【四十八】得积【五百

七十六】为实　句减股得较【三十六】为

法除之得【十六】为乙丁

或以句【十二】除股【四十八】得数【四】内减【一】余【三】为法以除股【四十八】亦得【十六】为乙丁

又设甲乙股【六】乙丙句【四】依法引出乙丁股【十二】与丁戊句等法以句乗股得【二十四】为实　句股较【二】为法除之得【十二】为乙丁

或以句【四】除股【六】得【一半】内减一余【半】为法以除股【六】

亦得【十二】为乙丁

解曰半为除法则得倍数此畸零除

法也详别卷

又设甲乙股【三十】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【二十】与丁戊句等

法以句乗股得【三百六十】为实句股较【十八】为法除之得乙丁【二十】

或以句【十二】除股【三十】得【二半】内减

一余【一半】为法以除股【三十】亦得乙

丁【二十】

解两法相同所以然之故　葢此是依句股正角【即乙角】作正方形于形之外也本法以句较为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股较之本数而用其除过之句股较为法【以句除股则股内所原带句数及句股较数并为句所除而减去其一即减去除过之句也用减余为法即是用其除过之句股较为法也】故亦不用句股形之倍积而用其除过之倍积为实【倍即是句股相乗之数若以句除之必仍得股今径以股数受除即是用其除过之倍积为实也】法实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣

以上补第一条之例

设甲丁戊形甲丁股【廿八】丁戊句【廿一】甲戊【三十五】欲截甲

丁股于乙截甲戊于丙而令所截

之乙丁与乙丙等问其数若干

答曰乙丁一十二

法以甲丁股【二十八】丁戊句【二十一】相乗得【五百八十八】为实并句股得和【四十九】为法除之得【一十二】为所截乙丁与乙丙截句等

如鲍法以句【二十一】除股【二十八】得一【又三之一】又外加一数共二【又三之一】为法【通作七】用以除股二十八【通作八十四】亦得【十二】为乙丁截股

设甲丁股【三百四十五】丁戊句【一百八十四】甲戊【三百九十一】欲截乙丁与乙丙等该若干　答曰一百二十

法以句【一百八十四】股【三百四十五】相乗得【六万三千四百八十】为实句股和【五百二十九】为法除之得所截乙丁【一百二十】与截句乙丙等

或以句【一百八十四】除股【三百四十五】得一【又八之七】又外加一共二【又八之七】通作【二十三】为法以股【三百四十五】通作【二千七百六十】为实法除实亦得【一百二十】为乙丁截股

解两法相同所以然之故　葢此是依句股形正角作方形于内【即句股容方】也本法以句股和为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股和本数而用其除过之句股和为法【股被句除既变为除过之股而得数中之一其本数皆与句同今于得数又加一是又加一除过之句合之则共为除过之句股和矣】故即用股为实以当除过之倍积法与实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣以上补第二条之例

按数度衍有在逺测正方形之算立破句名色不穏图亦不真今于此第一例中生二法补之

分角线至对边【亦系鲍法】

甲乙丙句股形　今平分乙方角作乙丁线至对边欲知丁防之所在

法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形

次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙或甲丁即得

甲乙丙句股形　今平分乙鋭角作线至甲丙股欲知丁防所在

法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚长方亦即乙辛长斜

方其辛戊小长斜方又即戊壬长斜

方取甲子癸小句股形补壬寅丑虚

句股形成甲寅长方此即句股相乗

实以句和除之也【甲乙为乙壬即句】得壬寅边

丙甲辛句股形中【即甲乙丙原设形】作甲卯垂线至丙辛【法另具】于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸【即丁己】成丁己乙戊四斜方形

次用丁戊丙形或丁己甲形依句求股求得丁丙或丁甲即得

按上鲍法此寅甲长方为句和除句股形倍积所得壬寅边必小于句股容方之边其内容丁己乙戊四斜方形之丁己边又必大于句股容方之边二者之间可以得容方边矣【容方邉除倍积得句股和以减句和得股较即其他可知】

求丁己线法　一率甲丙股　二率甲乙　三率壬寅　四率丁己【即壬丑】

甲乙丙鋭角形　求分乙角作线至甲丙边之丁防

法于形中求得辰丙垂线【丙辛甲形即甲乙丙

形故其垂线等】用丙长线乗乙丙所得即辛

乙长斜方形自此以下至成丁己乙

戊四斜方【并同前法】

次用比例法　一率甲乙　二率甲丙　三率丁戊四率得丁丙

或一率甲乙　二率甲丙　三率甲己　四率甲丁甲乙丙钝角形　法先从形外求得甲辰外垂线　引乙丙线与之相遇　次以甲辰垂线乗乙丙得乙辛长

斜方形　余同前法

甲乙丙钝角形　甲辰垂线在形外

与右图同法

鼎按若依几何六卷三题法甚防

句股容员

甲乙丙句股形　求容员径卯戌【即丁辛】

法于甲丙上截丁丙如句【乙丙】又截甲辛如股【乙甲】因得丁辛即容员之径

试依所截丁丙为句作戊丁丙句股形【自丁作之垂线至戊又引乙丙句遇于戊即成此形】又依所截甲辛为股作甲辛氐句股形【自辛作之垂线长出至氐引甲乙股遇于氐】又作戊戌房句股形【引戊丁股至房如之度自房作垂线至戌即成】乃自甲自戊各为分角线遇于己成十字则己即容员心也又引十字线透出而以甲己为度截之于癸于女乃自癸作线与丙戊平行至辰又自女作

辛氐及房戊之垂线穿而

过之与癸辰线遇于辰又

引氐辛线至癸引房戌线

至女得女辰女房癸辰癸

氐四线皆如甲丙女卯

女亢癸丑癸未四线皆如

甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四线皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形纵横相叠并以容员心己防为心此同心八句股形各线相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之而立即所谓和较也此两形者皆相等而其方边并与容员径等即容员径上之方幂也

然则何以又为和较试即以原论之甲丙上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相并即重叠此丁辛一边是句股和多于之数古人以和较为容员径葢谓此也八句股形即有相等之八每一上各有此重叠之线以成两四方形相等之八边可以观矣【因鲍图改作之彼原有八角形外小句股形辏成一等面八角形之论但图欠明显】

相似两句股并求简法

假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等则为相似之两句股形今欲求两形之两句合线【两句者一为己辛大句一为壬乙小句即辛甲也则己甲为两句合线】

法以两【一癸己大一癸乙小】并之为三率以癸角之正【两癸

角等只用其一】为二率二三相

乗为实半径全数为法

实如法而一得四率己

甲即【己辛壬乙】两句之合

数

何以知之曰试引癸己

至丁截己丁如癸乙则丁癸即两合数也乃以癸角之正乗之半径【全】除之即得丁丙而丁戊即壬乙【以己丁即癸乙也亦即甲辛】戊丙即己辛【同在直线限内也】则所得丁丙亦即己甲矣

有句股和有求句求股【量法】乙甲句股和　丙甲

原法以甲为心作乙己卯

象限　又以丙甲半之

于丁以丁为心作甲戊丙

半圆

次于丙戊半员上任以辛为心丙为界作丙己小员屡试之令小员正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二线则辛丙为句辛甲为股如所求按此法不误但己防正切处难真今别立法求己防

法曰自丁防作垂线分半圆于戊以戊为心用丙为界作丙己庚丑甲全员全员与象限相割于己从己向甲作直线割半员于辛乃作辛丙为句即辛甲为股合问如此则径得辛防不用屡试得数既易且真确矣论曰凡平员内作两通至员径两端必为句股而员径常为今既以丙甲为半员径则其辛丙与辛甲两通必句与股也而己辛甲线与乙甲等即句股和也今以辛为心作小员而其边正切己则己辛与丙辛等为小员之半径即等为句线矣于己甲句股和内截己辛为句则辛甲必为股故此法不误也

又论曰半员内所容句股形以半方形为最大【即甲戊丙也其余皆半长方形之句股故小】其句股和亦最大【丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚为最大其余股长者句反甚小故其和皆小于甲戊庚】即上方幂之斜径也【甲未庚丙为上平方幂甲戊庚为其斜径】以此为象限之半径【如辰庚亥象限其半径辰甲及亥甲并与庚戊甲等】则能容上平方【如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内】又戊心所作平方外切之平圆亦能容上平方【此员以戊为心以平方四角为界其全径甲戊庚即平方之斜径也】三者相切于庚防惟相切不相割其余句股和并小【如乙甲和必小于辰丙】不能包平方之角即不能外切平员而与之相割矣【如乙甲和为半径作乙己卯象限不能包庚防即与平员相割如己】其自庚至丙并可为相割之己防而四十五度之句股具焉【八线表所列之句股只四十五度互相为正余句为正股即余也分言正则初度小而九十度最大也若合正余为和数则初度与九十度皆最小惟四十五度最大】己足以尽句股之变态矣【若过庚向末亦四十五度己防至此其和数反小而与前四十五度为正余】句股和之最大者以略小于上斜线而止【凡句股有和有较皆长方形之半非正半方也若半方形则有和无较可无用算非句股所设】其最小者以稍大于线而止【若同线即无句股】无有不割平圆故可以己防取之也

又论曰以方斜为半径作象限则能容平方以方斜为半径作半圆则能容方斜上平圆【如庚己丙甲未平圆其径甲戊庚方斜是即方斜上之平圆也若以甲戊庚半径作大半圆即能容之】凡半圆内所容之圆度每以两度当外周半圆之一度何则论度必以角惟在心之角一度为一度若在边之角则两度为一度【如辰庚亥半圆从甲心出两线一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度为一度也若庚己丙甲未圆从甲边出两线一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是两度当一度以同用甲角故也】凖此论之则上半圆所作之戊甲丙角亦必四十五度矣【既同用甲角则戊辛丙象限亦两度当一度】若是则庚己丙之度与

戊辛丙等【并同用甲角以庚辰为度故也】而

己防所割之己丙弧及辛丙

弧亦必等度矣【己丙为方外切员之度辛

丙为方内切员之度大小不同而同用甲角以己乙为其

度角等者度亦等】

又引辛丙至寅则寅丑甲与辛戊甲两弧亦必等度【以同用丙角故也】而同为甲角之余【丙角原为甲角之余乃甲角减象限是以己甲乙减象限得己甲卯角与辛丙甲角等也其度则两度为一度乃甲角之倍度减半周是以寅庚减半周得寅丑甲以丙辛弧减半周得辛戊甲也】又己庚丑未弧原为己丙减半周之余即与寅丑甲等于此两弧内各减寅丑未则己庚寅与未癸甲亦等于是作己寅线与未甲等亦即与丙甲等而寅己丙与甲丙己又等【于寅己及甲己各加一己丙】则丙辛寅及己辛甲两直线亦等【皆句股和也】两和线相交于辛则交角等【皆十字正角】

又作己丙线成己辛丙三角形而己角丙角等【己甲丙三角形与己寅丙等则对丙甲之己角对己寅之丙角亦等】则角所对己辛边丙辛边亦等矣　凖上论己辛与丙辛必等故用己防以求辛防而和数中句股可分也

又论曰凡句股和所作象限与斜方上平员相割有二防其一为己其一为丑自丑作直线至甲心【象限心也】割半员于壬作丙壬线即成丙壬甲句股形与甲辛丙等【丑甲丙角为丙甲壬角之余与壬丙甲角等而其度丑卯与己乙等是丙甲辛角与壬丙甲等也辛壬又皆正角又同以丙甲为是两句股形等也】凖此论之凡半员内所作句股皆两两相似【句股之正角必负员周亦两两相对如辛防在戊丙象限内即有壬防在戊甲象限与之相对皆与象限上己防丑相应其所作句股形亦两相似】故四十五度能尽句股之变也【戊丙与戊甲两象限并两度当一度其真度在庚辰及庚亥两半象限中故皆四十五度】试以壬为心丑为界作员界必过丙是丙壬股即丑壬而丑甲为和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和数之大至庚甲而极也

凖上论又足以证己庚丑癸员能尽割员句股之理

句股和较

与句股较【相和即　加句即　减股即　内减存较和　股和　句较　句股较相较即　减句即　加股即　用减存较较　股较　句和　句股较】

与句股和【相和即　减即　减股即　减句即和和　句股和　句和　股和相较即　加句　加股　加句较股和较　较即股　较即句　较即】

与句较相和　　【加句即　减句即两　减即两　　句较　　句较】

相较【即句】

句与股较【相和即　加句股　　减股　加句较减句较和　较即　　较即句　股较即股相较即　加句股较股　加股　加句股较股句较较　较即股　　较即句　较较即】

句与股和【相和即　减即　减股即　减句即句和和　句股和　句和　股和

相较即　减股即　减即　加句即句和较　句较　句股较　股和】

句与句股较【相和即股】

相较　　【加句股　加两句股较即句　较即股】

句与句股和相和

相较【即　减股即　加股即两股　两句　　句股和】

句与句较相和【即】

相较　【加句　加两句较即句　较即】

句与句和相和

相较【即】

句股较句较【相较即股较】　　句股较股较【相较即句和内减两句又两股较

相和即股　　　　　　相和即和内减两句　　　　　　句较】

句较股较【相较即句股较】

【相和即两内减一句一股】

句股和句和【相较即股较】　　句股和股和【相较即句较

相和即两句　　　　　　　相和即两股一股一　　　　　　　　一句一】

句和股和【相较即句股较】

【相和即两一句一股】

句股较与【句股】和【相和即两股】　句股较与【句】和【相和即股和】　句股较与股和相和

【相较即　　　　　　　　　　　　　　　　　相较即两句　　　　　　　　　　　　　　　　　　句和】

句较句和【相和即两】　句较与【句股】和【相和即股和】　句较与股和相和

【相较即两句】　　　　　　　相较　　　　　　　　【相较即句股和】

和较和和【相和半之为句股和】　和较较和【相和半之为股

相较半　　　　　　　　相较半之之为　　　　　　　　为句较】

和较较较【相和半之为句】　　和较句较和【相和半之为句

相较半之　　　　　　　相较半之为股较　　　　　　　为股较】

和较句和较【相和半之为句】　　和较句较较【相和半之仍为和较

相较半之为股较】　　　　　　　相较即减尽

和和较和【相和半之为股和】　和和较较【相和半之为句和

相较半之为句】　　　　　　　　相较【半之为股】

和和句较和【相和半之为句和】　和和句和较【相和半之即股和

相较半之为股】　　　　　　　　相较【半之为句】

和和句较较【相和半之即句股和】　较和较较【相和半之为

相较半　　　　　　　　相较半之之为　　　　　　　　为句股较】

较和句较和【相和半之为】　　较和句和较【相和半之为股与句较或与句股较】

【相较半之为句股较】　　　　　　　相较恰尽

较和句较较【相和半之为股】　　较较句较和【相和半之为句与股较

相较半之为句较】　　　　　　　相较恰尽

较较句和较【相和半之为】　　较较句较较【相和半之为句

相较半之　　　　　　相较半之为句股较　　　　　　为股较】

句较和句和较【相和半之为】　句较和句较较【相和半之为句

相较半之　　　　　　相较半之为句股较　　　　　　为股较】

句和较句较较【相和半之为股】

【相较半之为句较】

厯算全书卷四十七

钦定四库全书

厯算全书卷四十八

宣城梅文鼎撰

句股阐微卷三

句股法解几何原本之根

句股羃与羃相等图

甲乙丙句股形　乙辛大方为羃　羃内兼有句股二羃

论曰试于羃作对角之乙

子线与甲丙股平行而等又

作丙丁对角线与甲乙句平

行与乙子线遇于子成十字

正角则丙子与甲乙句相等

成乙子丙句股形与甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊两线皆与丙丁等亦与乙子等而皆与甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆与丙子等即皆与甲乙句等则幂内所作四句股形皆与原设句股形等于是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙

丁癸庚壬磬折形末引丁癸

至巳截成大小二方形则丙

巳方形即股幂癸壬小方即

句幂也

若先有丙巳股幂癸壬句幂

则联为磬折形而移乙壬庚

句股补于丙丁辛之位移甲乙丙句股补于癸庚辛之位即复成乙辛大方而为幂

又法

甲乙丙句股形　乙丙　其幂乙戊丁丙

甲丙股其幂甲壬辛丙　甲乙句其幂乙庚癸甲法于原形之甲正角作十字线分幂为两长方【一为丑子丁丙】凖股幂【一为丑子戊乙】凖句幂又引之至己又自庚癸自壬辛并引之至巳而成方角

次移甲丑丙句股补巳子丁虚形又移巳壬甲句股补丁辛丙虚形即成股幂而与丑子丁丙长方等积又移甲丑乙句股补己子戊虚形再移己卯戊句股补戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形补癸寅乙庚虚形即成句幂而与丑子戊乙等积

解几何二卷第五题　第六题

甲丙为　丁丙为句

丁甲句和　乙丁句

较【丁甲同丁壬甲癸并同】

庚辛戊己幂也　己句

幂也　戊庚辛较乗和之

长方幂也

移戊补戊移庚辛补庚辛而幂内净多一己形即句幂也故幂内有和较相乗之长方又有句幂也论曰凡大小方形相减则其余必为两形边和较相乗之长方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句较乗句和之长方也合之成戊庚辛巳形即自乗之大方矣

几何二卷第五题以倍为甲乙原线以甲丙为平分之线以甲丁和乙丁较为任分之两线以丁丙句为分内线其理一也