历算全书

四十五度亦两当一也所以者何曰试作辛乙线移角于辛则所乗弧【子甲

乙】六十度皆实度也今也

角在心是员周也非员心

也凡员周之角小于员心

一倍故也

论曰员周至员心正得员

径之半故所作角为折半

比例试作乙丙线成辛乙

丙句股形又从心作心周

线与辛乙平行则所作周心丙角与乙辛丙等而此心周线平剖乙丙句亦平分乙周丙于周而正得其半矣系句股形平分线作点从此作线与股平行即平分句线为两

又论曰查角度之法皆以切点为心作半员即见真度此不论半员大小或作于员内或作于员外并同　作于员外其度开明易于简查

又论曰试于所切圈心作横径线与切线平行如辛丙线引长之出员外而以查角度之线割员周而过之则皆成大小句股形而所过横线上防皆即八线中之切线为句股形之股角度斜线为横线所截处即八线中割线常为而切点至员心之半径常为句

如子辛角度线割横线于辛成辛心子句股形其所当角度为酉中四十五度则辛心即四十五度之切线辛子即四十五度之割线余并同　其子心即半径也又论曰角度半员有大小而子心半径常为句者以所作横线在员心欲用员度相较也若于半员之端【如中如外】作横线与切线平行其所作切线割线亦同比例而即以各半员之半径为句矣

不但此也即任于子心外直线上任作一横线其所作句股并同但皆以十字交处距子防之度命为半径此八线割员之法所由以立也

量无法四边形防法

甲乙丙丁形求其容　先作

乙丁对角线分为两三角形

次自丙作丙戊横线与乙

丁线相交于丑为十字正角

而取戊防与甲齐平则戊丑即甲庚也次以丙戊防折半于己　次作壬癸线与乙丁平行而等　又作壬辛癸子二线皆与己丙平行而等　得辛癸长方即原形之容

取平行线简法

法曰乙丙线欲于甲防作

线与之平行法于线外任

取巳防为心甲防为界作

辛甲丁庚圈分次以庚为

心取甲辛之度为界截员分得丁防末自丁作戊丁甲线此线必与乙丙平行矣

论曰凡圈内两直线相距之度等则其线必平行如【丁甲】与【庚辛】两线俱在一圈之内而所距之【甲辛】圈分与【庚丁】圈分等是相距之度等而其线平行也因读数度衍得此法似较他处为防

补测量全义斜坡用切线法【系勿庵补】

斜三角形有一角两边求余边

法用切线分外角求得余

角即以得边可不用垂线

如甲乙己斜角形　有乙

甲及己甲二边　有甲角求乙己边

法以己甲线引长之成乙甲丙角为原有甲角之外角【以元有甲角减半周得】次分外角之度而半之为半外角而求其切线为三率并乙甲己甲二边为首率又以二边相较为次率次率乗三率为实首率为法除之得半较角之切线以查表得半较角之度以减半外角得己角末用正法得己乙边　法为己角正与乙甲若甲角正与乙己

三率法

一　两线之和　　　己丙

二　两线之较　　　己丁

三　半外角之切线　戊癸

四　半较角之切线　壬戊

用外角者乙己两角之和度而较角者乙己两角之较度【以用切线故半之也】

论曰又如后图己甲引至丙而乙甲亦引至辛则乙甲丙及丁甲寅两角皆原有甲角之外角再作甲戊线平分外角则丁甲戊及寅甲戊皆半外角　又作甲壬线

与乙已平行则壬

甲癸角即同己角

壬甲辛角即同乙

角再于甲戊半径

之端作癸戊辛十

字线切员于戊则

戊癸及戊辛皆半外角之切线也再以壬甲癸角减壬甲辛角其较为壬甲子角则壬甲戊即半较角而壬戊其切线也

其比例为己丙【二边和】与己丁【二边较】若癸辛【外角全切线即乙己丁角和度之全切】与壬子【较角度之全切线】则亦若癸戊【半外角切线】与壬戊【即半较角之切线】何也全与全若半与半也

理分中末线

甲乙线求作理分中末线

法以甲乙全线折半于庚乃

作垂线于甲端为丙甲如半

线甲庚之度为句全线为

股次作丙乙线为

次以丙为心乙为界作乙丁圈界　次引丙甲句至丁则丙丁即丙乙也　末以甲为心丁为界作丁戊己圈分则甲己为理分中末之大分己乙为小分其比例为甲乙与甲己若甲己与己乙也

逓加法　借右图以乙为心甲为界运规截丁已圈分于戊自戊作线向甲成甲戊线与甲丁等乃自戊作戊乙线与乙甲等成甲乙戊三角形

此形甲戊两角悉倍于乙角乃平分戊角作戊辛线此线与甲戊并大亦与乙辛同大成辛戊甲相似三角形则甲乙与乙辛【即戊辛】若乙辛与辛甲也又平分辛角作

辛壬线与壬戊与辛甲

皆同大则成甲辛壬三

角形与辛戊甲相似则

乙辛【即戊辛亦即戊甲】与辛甲

【即辛壬戊壬】若辛甲与壬甲

也如此逓半则其角比例并同

一【乙甲】　　　二【乙戊即戊辛戊甲】　三【辛甲即辛壬戊壬】　四【辛癸即壬癸壬甲】五【癸甲即癸子壬子】　六【癸丑即丑子子甲】　七【丑甲即丑寅寅子】　八【丑卯即卯寅寅甲】九【卯甲】　若能知其数则以大分逓乗全数除之得细数

先得甲乙为大分而求乙己全分及

乙庚小分　用此图亦为半圆内求

容方法则以乙巳全分加乙庚小分

折半于戊得戊己为半径若先得戊

己则以戊己【即戊丁】为作丁甲戊句股使戊甲句半于丁甲股则丁甲即为戊己理分中末之大分

解曰甲庚【即乙己】全数与丁甲【大分】若丁甲【大分即甲乙】与甲己小分【即乙庚】也

以量分

甲乙线十数求作理分中末线

先依甲乙线作甲乙丁丙正

方形【四面皆十数】　次任用一面

平分之如甲丙平分于壬【甲壬

及壬丙皆五数】甲乙之半数也【甲丙与甲】

【乙等其分亦等】　次自壬向乙角作乙壬斜线其数一十一【一八○三三九】　次自壬量甲壬或丙壬之度【即甲乙之一半】移置于乙壬线上截壬癸如甲壬则其余癸乙即理分中末之大分其数六【一八○三三九】末以癸乙之度移置于甲乙线上如乙戊则乙戊为大分戊甲为小分其数三【八一九六六○】

简法

作句股形　令甲壬句如甲乙股之

半乃以壬为心甲为界作虚线圆分

截乙壬于癸

末以乙为心癸为界作圆分截甲乙线于戊

则乙戊为大分甲戊为小分

又简法

以甲乙全线为半径作半圆形则乙庚乙辛皆与甲乙等

次平分乙辛于己

次以己为心庚为界运规割甲乙

线于戊【戊己之度即同己庚】

则乙戊为大分　甲戊为小分

又简法

作子寅丑卯十字线相交于乙

次以乙为心甲为界运规截十字

线于甲于庚于辛则乙庚乙辛皆

与设线甲乙等乃折半【乙辛】于己

以己为心庚为界运规截甲乙于戊　则乙戊大分甲戊小分皆得矣　此法可于平面圆器上求之

附长方变正方法

甲乙丙丁长方形欲变正方以长方形之横边【乙丙】直边【丙丁】二线取其中比例即所求

取中比例法以丙丁乙丙【即戊

丙】联为一直线【丁戊】而折半于

己以己为心丁若戊为界作

半圆次引乙丙横线至圆界

截圆界于庚成丙庚线即乙

丙及丙丁二线之中比例线

次于丙庚线上作小方形其容与甲乙丙丁长方形等如右图丙庚线上方形为丙壬乃子壬癸句股形内之容方也而甲丙长方形则子壬癸句股外之余方也余方与容方等积

简法

先引丁丙边至午引乙丙边至

未次以丙角为心乙为界作小

员界虚线截引长线于戊

次以丁戊线折半于己次引乙丙至未次以己为心戊为界运规作小圆界截引长线于庚　则丙庚即所变方形之一边　末依丙庚线作方形与甲乙丙丁长方形等积　其法以丙为心庚为界运规截丙辛与丙庚等

理分中末线用法

一用以分平圆为十平分

法为半径与三十六度之分圆若全分与理分中末之大分也

一用以分平圆为五平分

歴书言以全分为股理分中末之大分为句求其即半径全数为股三十六度之分圆为句求得七十二度之分圆为

一用以量十二等面体

法为立方边与所容十二等面边若理分中末之全分与其小分也又十二等面体之边与内容立方边若理分中末之大分与其全分也又立方内容十二等面体其内又容小立方则外立方与内立方若理分中末之全与其大分也

一用以量二十等面体

法为立方边与所容二十等面边若理分中末之全与其大分也

一用以量圆灯

法为圆灯边与其自心至角线若理分中末之大分与其全分也此自心至角之线即为外切立方立圆及十二等面二十等面之半径又为内切八等面之半径圆灯为有法之形即此可见

用理分中末线説

言西学者以几何为第一义而传只六卷其有所秘耶抑为义理渊深翻译不易而姑有所待耶测量全义言有法之体五其面其积皆等其大小相容相抱与球相似几何十一十二十三十四卷诸题极论此理又几何六卷言理分中末线为用甚广量体所必需几何十三卷诸题全頼之古人目为神分线又言理分中末线求法见本卷三十题而与二卷十一题同理至二卷十一题则但云无数可解详见九卷其义皆引而未发故虽有此线莫适所用疑之者十余年辛未嵗养病山阿游心算学于量体诸法稍得窥其奥爰证厯书之误数端于十二等面二十等面得理分中末之用及诸体相容之确数故以立方为主其内容十二等面边得理分线之末二十等面边得理分线之中反覆推求了无凝滞始信几何诸法可以理解而彼之秘为神授及吾之屏为异学皆非得其平也其理与法详几何补编

遥量平面法

甲乙庚辛为

所欲量之平

面而不能到

如仰视殿

上承尘而人

在殿外又如峭壁悬崖之上有碑若碣凡平面之物人从地面斜视灼然可见而不能到

或平面在下如田池之类人从台上俯视可见或临深崖瞰谷底其理不异但倒用其图即是

欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁则先知丙丁之距及丙丁所作各角即可以知之

先求甲乙线　法于丙于丁各安平圆仪各以指尺向甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有甲角可求甲丁线法为甲角之正与丙丁若丙角之正与甲丁也

次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有乙角可求乙丁线

法为乙角之正与丙丁若丙角之正与乙丁也【此丙角与前形之丙角不同】

次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁两线及两线间所作之丁角【与前形丁角不同】可求甲乙线为所测之一边　法自甲角作甲戊垂线至戊分乙丁线为两而甲丁乙三角形分为两句股形　其一甲戊丁句股形有丁角　有甲丁线为可求甲戊句戊丁股

法为全数与甲丁若丁角之正与甲戊句　又全数与甲丁亦若丁角之余与戊丁股也

其一甲戊乙句股形有甲戊句　有乙戊股【戊丁减乙丁得之】可求甲乙

法以甲戊句乙戊股各自乗而并之开方得甲乙即所测平面之一边

第二求庚辛线　法亦于丙于丁各安平员仪【即先所安之元处】各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁庚丁辛　辛丙丁　凡三角形亦三

依第一法用庚丙丁形　此形有丙丁线【两测之距】有丙角有丁角自有庚角可求庚丁线

法为庚角之正与丙丁若丙角之正与庚丁也【此丙角与前两丙角不同】

依上法用辛丙丁形　此形有丙角【此丙角又与上不同】有丁角自有辛角　可求辛丁线【丁角与前不同】

法为辛角之正与丙丁若丙角之正与辛丁也仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁两线及两线间所作丁角【此丁角又不同】可求庚辛线为所测之又一边法自庚角作庚己垂线至己分辛丁线为两而庚丁辛三角形分为两句股形

其一庚己丁句股形有丁角有庚丁线为可求庚己句己丁股

法为全数与庚丁若丁角之正与庚己句亦若丁角之余与己丁股也

其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股【己丁减辛丁得之】可求庚辛

法以庚己句辛己股各自乗而并之开方得庚辛为所测平面之又一边【即甲乙之对邉】

第三求甲庚线

法于丁防侧安平仪以指尺向甲向庚作甲丁庚角成甲丁庚形此形有甲丁庚丁两线及两线所作之丁角【此丁角在甲丁庚丁两线间】可求甲庚线为所测形之侧边

法自庚角作甲丁之垂线至壬分甲丁线为两而甲丁庚三角形分为两句股形

其一庚壬丁句股形　有庚丁线为有丁角可求庚壬句壬丁股【法同前用丁角之正余】

其一庚壬甲句股形　有庚壬句甲壬股【丁壬减甲丁得甲壬】依句股法可求甲庚线为所测平面之侧边

第四求乙辛线

法亦于丁防侧安平仪指尺向乙向辛作乙丁辛角成乙丁辛形　此形有乙丁辛丁两线及两线所作之丁角此【丁角在辛丁乙丁两线间】可求乙辛线为所测形之又一侧边法自辛角作乙丁之垂线至癸分乙丁线为两而乙丁辛三角形分为两句股形

其一辛癸丁句股形有辛丁线为有丁角可求辛癸句癸丁股【法亦同前用丁角之正余】

其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股【癸丁减乙丁得乙癸】依句股法可求乙辛线为所测平面之又一侧边

如此则所测形之四边皆具乃用后法求其幂

第五求乙庚线

法仍于丁防斜立平仪以指尺向乙向庚作乙丁庚角成乙丁庚形此形有庚丁乙丁两线及两线所作之丁角【此丁角又在乙丁庚丁两线间】可求乙庚线为所测形内之对角斜线

乙庚丁角形内自庚角作乙丁之垂线至卯分乙丁线为两而乙庚丁三角形亦分为两句股形

其一庚卯丁句股形　有庚丁线为有丁角可求庚卯句卯丁股【依上法用丁角之正余】

其一庚卯乙句股形　有庚卯句有卯乙股【卯丁减乙丁得卯乙】依句股法可求乙庚线为所测平面形内对角之斜线

既有乙庚线则所测甲乙辛庚平面形分为两三角形可以求其幂积

其一乙甲庚形有乙庚底　有甲庚甲乙两腰　法以两腰相减为较相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙午以减乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法以甲庚子庚各自乗相减为实开方得甲子垂线垂线半之以乗乙庚底得乙甲庚形平积

其乙辛庚形有乙庚底　有乙辛辛庚两腰如上法以乙辛辛庚相减为较又相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙辰为底较以减乙庚得辰庚半之得丑庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相减为实开方得丑辛垂线垂线半之以乗乙庚底得乙辛庚形平积末以两三角形积并之为所测甲乙辛庚平面四不等形之总积

右法可以不用丈量而遥知亩歩即有种种异态以三角御之足矣新法厯书言测量详矣然未着斯法意者其在几何后数卷中为未译之书欤

庚午蜡月既望晤逺西安先生谈及算数云量田可以不用履亩初闻之甚不以为然归而思之得此法然未知其所用者即此与否而此法固己足用矣若用有纵衡细分之测器指尺一量即得无烦布算矣

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>

测量用影差义疏

凡方形内从角剖成两句股形必相似而等【正方或长方并同】

方形内作对角斜线分为两句股又于斜线上任取一防作直线纵横相交如十字而悉与方边平行分方形为大小四句股形此四句股形各两两相似而等【大形丙与丁等小形庚与辛等】

则其四句股旁之两余方形虽不

相似而其容必等

解曰于原斜线所分相等句股内

各减去相等之大小两句股则其余亦等【丙戊庚形内减去大形丙小形庚余戊又于丁己辛形内减去大形丁小形辛余己原形既等所减又等则其余必等故戊己两长方虽不相似而其容必等也】

句股测逺

有甲乙之距人在戊立

表又立表于丁使戊丁

乙为一直线再于丙立

表使丙丁与乙戊如十字之半而与甲乙平行则丁戊小股与丙丁小句若丙庚大股与甲庚大句也

法以丙丁小句为二率乙丁大股为三率【即丙庚】相乗为实戊丁小股为一率为法法除实得大句甲庚再以庚乙加之得甲乙

假如丙丁两表相距【三歩】人在戊窥丁到乙逺【戊丁十二歩丁乙十八歩】欲求甲乙之距

法以丙丁【三歩】乗乙丁【十八歩】得【五十四歩】为实戊丁【十二歩】为法除之得【四十五歩】为甲庚加丙丁【三歩即乙庚】共四十八歩为甲乙

解曰此以乙丙长方形变为丙癸也依前论乙丙实形丙癸虚形不相似而容积等故也

重测法

有巽乙甲井方池欲遥望测其甲乙之一面方并乙丁之距

法立表于丁望测方池之东北角乙至东南角巽使丁乙巽为一直线　再于丁横过立一表于丙使丙丁为乙丁之横立正线【丙丁横六歩四分】次从丁退而北行至【戊】量得【十二歩】　从戊斜望池西北隅【甲】不能当【丙】表而出其间如【戌】又于戌立表【戌丁】之距【四歩】　再退而北行至【己】从【己】窥【甲】正过【丙】表己丙甲为一直线量得己丁之距【三十六歩】

法以【丙丁六歩四分】为一率【丁己三十六歩】为二率【戊丁四歩】为三率　二三相乗得【一百四十四歩】为实一率【六歩四分】为法除之得【二十二歩半】为辛己于辛己内减丁戊【十二歩】余【十歩半】为壬己是为景差

次以【戌丁四歩】减【丙丁六歩四分】余【丙戌二歩四分】以戊丁【十二歩】乗之得【二十八歩八分】为句实　景差【十歩半】为法除句实得二歩【八分弱】为甲申大句之距加丙丁【六歩四分即申乙】得共【九歩二分弱】为甲乙即方池一面之濶

次以辛己【二十二歩半】减丁己【三十六歩】余【十三歩半】辛丁为二率丁戊【十二歩】为三率相乗得【一百六十二歩】为股实　景差【十歩半】为法除之得【十五歩八分半弱】为乙丁大股之距

解曰此以四表重测改为三表乃巧算也　若测髙则重测本为前后二表者亦改用一表故当先知本法然后明其所以然下文详之

试先明四表本法

有甲乙之濶先立【丁】表从戊测之戊【人目】丁【表】乙【逺物之末端】三者参相直　次于【丁】表横过与【甲乙】平行作戊丁乙直线之横直线此线上取戊立表人目从【戊】过【戌】表窥甲逺物之西端亦参相直但于戊丁乙线为斜成句股形　量得戌丁两表横距【四歩】丁戊【人目距东表】直距【十二歩】

次于丁戊直线退而北行至己　又于西表戌作戌干癸直线与丁戊平行此平行线内取癸立西后表人目从【己】过【癸】至甲参相直成己甲癸斜　亦从【癸】横行至【丁己】线寻【辛】立东后表此后两表【癸辛】之距为前表【戌丁】等【四歩】　又量得【辛己】为东后表距人目之数【辛丁二十二歩半】次以丁戊【十二】减辛己【二十二半】得【十歩半】为壬己景差　末以己辛【二十二半】减【己丁三十六】余【十三歩半】为前后表间之距　以表横距【四歩】乗之得【五十四歩】为表间积【即丁癸长方】　置表间积为实以景差【十歩半】为法除之得【五歩一半弱】加表横距【四歩】　　得共【九歩二分弱】为所测逺物甲乙之濶解曰前表测得成【戊乙甲】句股形内有戌乙余方与形外戌坤余方等积　后表测得【己乙甲】句股形内有癸乙余方与形外酉癸余方等积　于【癸乙】内减【戌乙】于【酉癸】内减【寅癸即丑戌】则所余之【癸丁】及【酉辰】两余方亦必等积也故以【丁癸】变【辰酉】而得【辰寅】亦即【甲庚】也

次明改用三表之理

用三表者于【丙丁】两表间増一【戌】表其实则于【戌丁】两表外増一【丙】表也前増一表而无后表则无从而得景差故以三率法求而得之其实【癸辛】即后表也其理与四表同

然不用【癸子】形而用【戌子】形何也曰准前论【辰酉】形与【丁癸】形等积而【午癸】形与【丁癸】形亦等积【两余方在己丙丁句股形内外故等】则【酉辰】与【午癸】亦等积矣各减同用之【卯未】则所余之【酉卯】与【卯癸】二形亦自相等积而【卯癸】原与【戌子】等故用【戌子】变为【卯酉】而得【卯寅】即得【甲申】矣是故【戌子】可名句实也

其以【辛丁】乗【戊丁】为股实何也曰此三率法也【丁乙】外加【丁辛】前后两测之表距故【辛壬即戊丁】外亦加【壬己】两测之景差法为壬己与辛丁若戊丁与丁乙也凖此测髙可用一表而成两测【即借前测逺之图而以横为直】

假如有【甲乙】髙立【丙丁】表人目在【戊】测之则表之端不相值而参相直于表之若干度如【戊】退若干歩至【己】测之正对表端【丙】其法并同

因看数度衍中破勾测逺条疑其图不真因作此以证明其説

测量图説

一测股六十四尺

八寸【壬丁】　二测

句四十三尺二寸

【丙丁】　三大股三

千六百八十五尺

二寸【乙丁即丙午】四大

句二千四百五十

六尺八寸【甲午】加【午乙】

得二千五百尺为甲乙之髙

解曰癸丁长方形即古人所谓表间积也以景差壬辛【即丑子】除之变为寅子形是寅子与癸丁同积也　而申癸形原与癸丁同积则寅子与申癸亦同积也　于内各减同用之申子而寅未与未癸亦同积矣夫未癸即氐己也是戊丁【即亥己】乗丙己之积也故可命为句实而以景差壬辛【即申未】除之得甲午句也【甲午即戌酉】其取股实何也曰三率法也表在丁其景丁戊　后表在庚则其景庚壬后表之逺于前表者为庚丁故后景之大于前景者为辛壬则其比例为辛壬与庚丁若丁戊【即庚辛】与丁乙也