历算全书

所求角皆先得半角即锐钝通为一术矣

术曰以三边各减半总得较各以所求角对边之较乗半总为法以余两较各与半径全数相乗又自相乗为实法除实得数平方开之为半角切线捡表得度倍之为所求角

假如甲乙丙三角形甲丙边

七十五甲乙边五十六乙丙

边六十一与半总九十六各

相减得甲丙之较二十一甲

乙之较四十乙丙之较三十

五

今求乙角术以乙角所对边

甲丙之较【二一】乗半总【九六】得数

【二○一六】为法以余两较【甲乙较四○乙

丙较三五】各乗半径全数又自相

乗得数【一四○○○○○○○○○○○○】为

实法除实得数【六九四四四四四四四四】平方开之得数【八三三三三】为半

角切线捡表【三十九度四十八分一十九秒】倍之得乙角【七十九度三十六分三十八秒】

次求丙角术以丙角所对边甲乙之较【四○】乗半总得数【三八四○】为法余两较【甲丙二一乙丙三五】各乗半径全数又自相乗得数【七三五○○○○○○○○○○】为实法除实得数【一九一四○六二五○○】平方开之得半角切线【四三七五○】捡表【二十三度三十七分五十二秒半】倍之得丙角【四十七度一十五分四十五秒】

次求甲角术以甲角所对邉乙丙之较【三五】乗半总得数【三三六○】为法余两较【甲丙二一甲乙四○】各乗半径全数又自相乗得数【八四○○○○○○○○○○○】为实法除实得数【二五○○○○○○○○】平方开之得半角切线【五○○○○】捡表【二十六度三十三分五十三秒】倍之得甲角【五十三度○七分四十六秒】

问前条用三较连乗今只用一较为除法何也曰前条求总积故三较连乗今有専求之角故以对邉之较为法也然则用对邉何也曰对邉之较在所求角之两旁为所分小句股形之句今求半角切线故以此小句为法也

如求乙半角则所用者角旁小句股【心戊乙或心丁乙】其句【乙戊或乙丁】并二十一即对邉甲丙之较也术为以乙戊比心戊若半径与乙角【小形之角即半角也】之切线

其与半总相乗何也曰将以半

总除之又以小形句【即对邉之较】除

之今以两除法【一半总一对邉之较即小形句】相乗然后除之变两次除为一

次除也【古谓之异除同除】

用两次除亦有说乎曰前条三较连乗必以半总除之而得容员半径之方幂今欲以方幂为用故亦以半总除也然则又何以对邉之较除曰非但以较除也乃以较之幂除也何以言之曰原法三较连乗为实今只以两较乗是省一乗也既省一对邉之较乗又以对邉之较除之是以较除两次也即如以较自乗之幂除之矣余两较相乗先又各乗半径何也曰此三率之精理也凡线与线相乗除所得者线也幂与幂相乗除所得者幂也先既定乙戊句为首率心戊股【即容员半径】为次率半径为三率乙角切线为四率而今无心戊之数惟三较连乗中有心戊【即容员半径】自乗之幂【即三较连乗半总除之之数】故变四率并为幂以乙戊句幂为首率【即对邉之较除两次】心戊股幂为次率【即半总除连乗数】半径之幂为三率【即半径自乗】得半角切线之幂为四率【即分形之乙角】

一　乙戊　　今用乙戊自乗

二　心戊　　　　心戊自乗

三　半径　　　　半径自乗

四　乙角切线　　切线自乗

故得数开方即成切线

又术

以三较连乗半总除之开方为中垂线【即容员半径】以半径全数乗之为实各以所求角对边之较除之即得半角切线

一　乙戊【乙角对边之较】　丙戊【丙角对边之较】　甲己【甲角对边之较】二　心戊中垂线　心戊中垂线　心己中垂线【亦即心戊】三　半径全数　　半径全数　　半径全数四　乙半角切线　丙半角切縁　甲半角切线

此即用前图可解乃本法也

论曰常法三边求角倘遇钝角必于得角之后又加审焉以钝角与外角同一八线也今所得者既为半角则无此疑实为求角之防法

补遗

问以邉求角【句股第二术】因和较乗除而知正角乃定其为句股形何也曰古法句较乗句和开方得股今大邉【壬丁】与小邉【癸丁】以和较相乗为实癸壬邉为法除之而仍得癸壬是适合开方之积也则大邉小邉之和较即句之和较而癸为正角成句股形矣【凡句股形为大邉而对正角今丁壬邉最大即也故所对之癸角为正角】

试再以丁壬与壬癸之和较求之

如法用丁壬壬癸相加得和【一百九十

六丈】相减得较【一十六丈】较乗和【三千一百三十

六丈】为实丁癸【五十六丈】为法除之亦仍

得五十六丈何则股较乗和亦

开方得句故也

然则句股和较之法又安从生曰生于割圜

试以丁壬为半径作戊丁丙己圜　全径二百一十二　半径一百○六　乙丁正九十【即癸壬股】　乙壬余

五十六【即癸丁句】　丙乙正矢五

十【即句较】　乙庚大矢一百六十

二【即句和】　正矢乗大矢得数八

千一百开方得正【即句和乗较开方

得股】

然则此八千一百者既为正矢大矢相乗之积又为正自乗之积故以正自乗为实而正矢除之可以得大矢大矢除之亦得正矢【即乙丁股自乗为实而以句较丙乙除之得乙庚为句和若以句和除之亦得句较】

更之则正矢乗大矢为实以正除之仍得正矣【即句较丙乙乗句和乙庚为实以乙丁股为法除之而仍复得股】

论曰句股形在平圜内其半径恒为若正余则为句为股可以互用故其理亦可互明【以丁壬及丁癸二邉取和较求壬癸邉为句求股以丁壬及壬癸二邉取和较求丁癸邉为股求句一而已矣】

问数则合矣其理云何曰仍句股术也

如上图于圜径两端【如丙如庚】各作通线至正【丁乙】之锐

【如庚乙丙乙】成丙乙庚大句股形又

因中有正成大小两句股形

【乙丁庚为大形乙丙丁为小形】而相似【以乙丁线分正

角为两则小形乙角为大形乙角之余而与庚角等即大形乙

角亦与小形丙角等故两形相似】则乙丁正

既为小形之股又为大形之句其比例为丙丁【小形句】与乙丁【小形股】若乙丁【大形句】与丁庚【大形股】也故正矢【丁丙】乗大矢【丁庚】与正【乙丁】自乗等积【丙庚全径为正所分其一丁丙正矢为小形之句而乙丁正为其股其一丁庚大矢为大形之股而乙丁正为其句】

一　丁丙正矢　小形句　　凡二率三率相乗与一二　乙丁正　小形股　　四相乗等积故乙丁自三　乙丁正　大形句　　乗即与丁丙丁庚相乗四　丁庚大矢　大形股　　等积也

论曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故论句股者必以割圜而论割圜者仍以句股如根株华实之相须乃本法非旁证也

或疑切线分外角以正为比例恐不可施于钝角作此明之

甲丙乙钝角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求余角一率丁乙【邉总】二率癸乙【邉较】三率己戊【半外角切线】四率壬己【半较角切线】

论曰试作壬丙线与乙甲平行分外角为两则壬丙丁即乙角其正卯丁又甲丙壬即甲角其正甲丑以两句股【丑子甲卯子丁】相似之故能令两正【丑甲卯丁】之比例移于通以成和较【丑甲与卯丁既若子甲与子丁则丁甲即两正之和辰子即两正之较】而半外角半较角之算以生【半外角为和半较角为较并与两正之和较同比例即与两邉之和较同比例】并如锐角

又论曰此所分大角为钝角故甲丑正作于形外然虽在形外而引分角线至丑适与之防即能成丑子甲句股形与卯子丁相似而生比例

【丙乙甲形先有丙角求余角　法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线未己此亦因所分为钝角故卯丁正在形外　又大邉为半径故乙癸较亦在形外而丁乙为和余并同前】

【丙甲乙形先有丙角求余角　法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此因先得钝角故所分之内反无钝角而正所作之小句股并在外角之内同锐角法矣】

【丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙如法作丙壬线与乙甲股平行分外角为两则句和丁乙与句较癸乙若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正知所得为正角】

【甲乙丙形先得丙角求余角　如法作丙庚线与乙甲句平行次截辛丁如庚甲作辛丙线分外角为两则小角之正卯丁大角之正即丙甲而成两句股相似为切线比例　法为句和丁乙与句较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬　此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正知辛丙甲为正角而丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙甲而乙为正角矣以乙正角减外角余为甲角】

论曰右并以先不知其为句股形故求之而得正角凡正角之弧九十度别无正而即以半径全数为正得此明之

【甲乙丙形先有正角求余角　法为句股和丁乙与句股较癸乙若半外角切线戊己与半较角切线己壬】论曰此因先得者为正角故其外角亦九十度而半外角四十五度之切线即同半径全数余并同前

又论曰句股形求角本易不须外角而外角之用得此益明

【以大邉为半径作外角弧分角线丙未与次大邉平行邉总乙丁与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线壬己】

【以次大邉为半径作外角弧分角线丙未与小邉乙甲平行大邉总丁癸与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬】

问平三角形以一邉为半径得三正比例不识大邉亦可以为半径乎【小邉次邉为半径已具前条故云】曰可

如乙丙丁钝角形引乙丁至辰如

乙丙大邉而用为半径以丁为心

作丑辰亥半弧从辰作辰午为丁

钝角正又作丁斗半径与乙丙

平行则斗牛为丙角正又截女

丑弧如辰斗作女丁半径则女亢

为乙角正合而观之丁角正【辰午】最大故对邉乙丙亦大丙角正【斗牛】居次故对邉乙丁亦居次乙角正【女亢】最小故对邉丁丙亦小

又问若此则三邉任用其一皆可为半径而取正是已然此乃同径异角之比例也若以三邉为三正为股则同角异邉之比例也两比例之根不同何以相通曰相通之理自具图中乃正理非旁证也试于前图用乙丁次邉为其股乙癸与斗牛平行而等则丙角

正也又截酉丁如丁丙小邉为

其股酉壬与女亢平行而等则

乙角正也又辰丁大邉为【即乙

丙】其股辰午原为丁大角正也

于是三邉并为三对角之正

并为股成同角相似之句股形而

比例皆等可以相求矣

一大邉【乙丙即辰丁】　　　　一丁角正【辰午】

二丁角正【辰午】　　　　二大邉乙丙

三次邉乙丁　小邉【丁丙即酉丁】三丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四次邉乙丁　小邉丁丙此如先得大邉【乙丙即辰丁】与所对大角【丁】故用辰午丁大句股形为法求余二句股也【乙癸丁酉壬丁】皆同用丁角而形相似故法可相求其实三正皆大邉为半径所得故其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理非旁证也

又试于乙丙丁形【或钝角或鋭角同理】以丁丙小邉为半径作房箕壁象弧【以乙为心】如上法取三正【以尾壁弧为丁角度其正尾虚又箕壁弧为丙角度其正箕危又戍壁弧为乙角度其正戍申】成同径异角之比例又如法用三邉为三正为股【乙戍即丁丙小邉配乙角正戍申原如与

股又本形乙丁次邉为则丁甲为股与箕危平行而等

丙角正也又引乙丁至子成子乙即乙丙大邉以为

则子寅为股与尾虚平行而等丁角正也】则并

为相似之句股形而比例等

一小邉丁丙【即戍乙】

二【乙角正】戍申

三大邉乙丙【即乙子】　次邉丁乙

四【丁角正】子寅【即尾　丙角虚　　正】丁甲【即箕危】

此如先得小邉【丁丙】与所对小角【乙】故以戍申乙小句股形为法求两大句股也【丁甲乙子寅乙】皆同用乙角而形相似又试以乙丁次邉为半径作象限如前【以丙为心】取三正【张娄为丁角弧度张井其正氐娄为丙角弧度氐参其正室娄为乙角弧度室奎其正】成同径

异角之比例又仍用三邉为三正

为股【引丁丙至翌与大邉乙丙等成翌丙其股翌胃与张井

平行而等丁角正也又乙丁次邉成氐丙其股氐参原为丙角正

又丁丙小邉为其股丁柳与室奎平行而等乙角正也】即复

成相似之句股形而比例等

一次邉乙丁【即氐丙】

二【丙角正】氐参

三大邉乙丙【即翌丙】　小邉丁丙

四【丁角正】张井【即翌　乙角胃　　正】丁柳【即室奎】

此如先得次邉【乙丁】及所对丙角故以氐参丙句股为法求大小二句股也【求翌胃丙为以小求大求丁柳丙为以大求小】皆同用丙角而比例等

问员内三角形以对弧为角倍度设有钝角小邉何以取之【或问内原设锐角两邉并大于半径故云】曰法当引小邉截大邉作角之通【如图乙甲丙钝角形在平员内以各角切员而乙甲邉小于半径则引乙甲出员周之外乃以甲角为心平员心丁为界作子丁丑弧截引长邉于子截大邉于丑则丑甲子甲并半径与丁甲等而丑子为

通】又平分对邉作两通【从员心作

丁乙丁丙两半径截乙戊丙员周为甲角对邉所乗之弧而半

之于戊作乙戊丙戊二线成两通】则此两通

自相等又并与丑子通等夫

子丁丑弧甲角之本度也丙戊

弧乙戊弧皆对弧之半度也而今乃相等【通等者弧度亦等】是甲角之度适得对弧乙戊丙之半而乙戊丙对弧为甲角之倍度矣

厯算全书卷五十三

钦定四库全书

厯算全书卷五十四

宣城梅文鼎撰

三角法举要卷五

测量【三角用法算例已具兹则举髙深广逺以徴诸实事亦与算例互相补备也】

一测髙

一测逺

一测斜坡

一测深

附隔水量田

附解测量全义

三角测髙第一术

自平测髙

假如有塔不知其髙距三十丈立表一丈用象限仪测得髙二十六度三十四分弱依切线术求得塔髙一十六丈

一半径　　　　　　一○○○○○

二戊角切线　　　　　五○○○○

三距塔根【丙乙即戊丁】　　　三十丈

四塔顶髙【甲丁　是截算表端以上】　十五丈

加戊丙表一丈【即丁乙】共得塔髙十六丈【甲乙】

凡用象限仪以垂线作角与用指尺同理【指尺即闚衡亦曰闚管亦曰闚筩】若戊丙表立于髙所当更加立处之髙以为塔髙

省算法从表根丙平安象限

以一邉指塔根乙一邉指癸

乃顺丙癸直线行至癸得三

十丈与丙乙等复于癸平安

象限作癸角与戊角等邉指

丙尺指壬则壬丙逺即甲丁之髙【亦加丁乙为塔髙】

论曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙

与乙并正角则两句股形等立面

与平面一也

又术自丙向癸却行以象限平安

邉指丙尺指乙求作戊之余角得

己丙之距即同甲丁之髙

又省算法用有细分矩度自戊数至癸令其分如丙乙

之距【或两倍三倍】从癸数壬癸直线之

分即甲丁之距也【先以二分为丈或三分为丈今

亦同之】

用矩度以垂线作角其用亦同

三角测髙第二术

平面则不知逺之髙法用重测

假如有山顶欲测其髙而不知所距之逺依术立二表相距一丈二尺用象限仪测得髙六十度十九分退测后表得五十八度三十七分查其两余切线以相减得

较数为法表距乗半径为实算

得山髙三十一丈

一　余切线较○○四○○○

二　半径　　一○○○○○

三　表距戊己　一丈二尺

四　山髙甲丁　三十丈

加表一丈共三十一丈

省算法用矩度假令先测指线

交于辛后测指线交于庚成辛

庚戊三角形法于两指线中间

以两测表距【即戊己】变为分如壬

癸小线引长之至丙即丙戊所当测髙

论曰此即古人重表法也或隔水量山或于城外测城内之山并同

三角测髙第三术

从髙测髙　又谓之因逺测髙

假如人在山颠欲知此山之髙但知山左有桥离山半里用象限测桥得逺度一十八度二十六分强依切线法求得山髙一里半

一　甲角切线　半径【一○○○○○】二　半径　　　甲角余切【三○○○二八】三　桥逺【戊丁】　一百八十步

四　山髙【甲丁】　五百四十步【○五尺】省算法用矩度作壬癸线以当

戊丁则己壬当甲丁

三角测髙第四术

从髙测不知逺之髙　法用重测

假如人在山上欲知本山之髙然又无可防之逺但山有楼或塔量得去山二十一丈以象限仪指定一处于楼下测得五十五度二十六分又于楼上测得五十三度五十分用余切线求得山髙三百四十四丈五尺

一　两余切较　　　四二

二　下一测余切　六八九

三　楼髙【两测之距】　二十一丈

四　山髙　　　三百四十四

丈五尺

省算法用矩度上测交庚下测

交辛成辛己庚三角形法于两

指线中间以上下两测之距变

为分如壬癸小线引长之至丙

即壬丙当所测本山之髙

三角测髙第五术

若山上无两髙可测则先测其【但山上有两所可以并见此物即可测矣】

甲乙为山上两所【不拘平斜但取直线】任

指一处如戊于甲于乙用噐两

测之成甲乙戊形此形有甲乙

两角又有甲乙之距为两角一

邉可求甲戊邉法为戊角之正

与甲乙邉若乙角之正与甲戊

再用甲戊丁句股形为半径与甲戊若甲角余与甲丁即山之高也

三角测髙第六术

借两逺测本山之髙

有山不知其髙亦无距山之逺但山前有大树从此树向山而行相去一百八十五丈又有一树人在山上可见两树如一直线即于山上以象限仪测此二树一测逺树四十三度三十二分一测近树三十度○七分用切线较得本山髙五百丈

一　切线较　　三七○○○

二　半径　　　一○○○○○

三　两逺之较　一百八十五丈

四　本山髙　　五百丈

省算作壬癸小线当两逺之距【己戊】而丙甲当本山髙【甲丁】

三角测髙第七术

用山之前后两逺测髙

甲为山颠可见戊己两树其树

与山参相直【如山南树直正子北树直正午】而

不知其距但山外有路与此树

平行为庚辛其长三里【如两树正南北

此路亦自南向正北行】即借庚辛之距为

两树之距以两切线并为法求之

先从甲测巳得甲角一十七度○四分又从甲测戊得甲角三十四度三十四分法为两切线并与己戊若半径与甲丁也

一率两切线并【○九九六○○】二率半径【一○○○○○】三率己戊即庚辛【三里】求得四率甲丁【三里○四步又三之一强】

三角测髙第八术

测山上之两髙

甲山上有塔如乙欲测其髙如

乙甲之距于戊安仪噐测乙测

甲得其两戊角之度【一乙戊丁二甲戊丁】各取其切线相减得较法为半

径比切线较若戊丁与乙甲

省算法数戊丙之分以当戊丁作壬癸丙小线则壬癸之分即当乙甲

用矩度亦同

三角测髙第九术

隔水测两髙之横距

有甲乙两髙在水外欲测其相

距之逺任于丙用仪噐以邉向

丁窥筩指甲得甲丙丁角【一百二十

五度】又指乙得乙丙丁角【五十度】次

依丙丁直线行至丁【得一百步】再用

仪噐以邉向丙窥筩指甲得甲丁丙角【三十九度】又指乙得乙丁丙角【一百零八度】又甲丁乙角【六十九度】得三角形三【一甲丁丙二乙丁丙三甲丁乙】

今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉

一率甲角【一十六度】正【二七五六四】二率丁丙【一百步】三率丙角【一百二十五度】正【八一九一五】求得四率甲丁邉【二百九十七步】

次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉

一率乙角【二十二度】正【三七四六一】二率丁丙邉【一百步】三率丙角【五十度】正【七六六○四】求得四率乙丁邉【二百○四步】

末乙丁甲形有甲丁邉【二百九十七步】乙丁邉【二百○四步】丁角【六十九度】先求甲角

一率两邉之总【五百○一步】二率两邉之较【九十三步】三率半外角【五十五度半】切线【一四五五○一】求得四率半较角切线【二七○○九】查表得一十五度○七分弱以减半外角得甲角四十度二十三分强

次求甲乙邉

一率甲角正【六四七九○】二率乙丁邉【二百○四步】三率丁角正【九三三五九】求得四率甲乙邉二百九十四步弱

论曰此所测甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙两髙并在一山之上于山麓测之或甲乙分居两峯于两峯间平地测之或甲在水之东乙在水之西于一岸测之并同若用有度数之指尺并可用省算之法

三角测髙第十术

隔水测两髙之直距

有两髙如乙与甲于戊于庚测

之

先以乙庚戊形求乙庚斜距次