历算全书

万七千二百○六九五四五六六五六寸

约法　立方径一千尺其积一十尺　外切之浑圎径一十七尺三二○五　浑圎积二千七百二十○尺六九五四　约为二千七百二十一尺弱

试再用径上立方求浑圎积法【即立方内求所容浑圎】以浑圎径自乗再乗得浑圎径上立方以圎率【三一四竒】乗之得数六除之得浑积并同

立方与员柱若四○○与三一四竒【同径之员柱也】

立方为六方角所成员柱为六员角所成其所容角体并六而方与员异故其比例如同径之周　此条为积之比例

员周上自乗之方与浑员面幂若三一四竒与一○○浑员面幂与员径上平方形亦若三一四竒与一○○皆员周与径之比例

浑员面幂与员径上平员若四与一

员柱面幂与员径上平员若六与一【六员角之底皆外向合成此数】平员并为一而员柱幂为其六倍浑员幂为其四倍浑员为员柱三之二即此可徴积之比例如其面也以上四条并面幂之比例浑员体与员角体若四与一浑员面既为平员之四倍从面至心皆成角体故体之比例亦四倍

立方面与径上平方若六与一【六面故也】

立方体与浑员体若六○○与三一四竒

浑员面与径上平方既若三一四竒与一○○而立方面与径上平方若六与一平方同为一○○而立方面为其六倍浑员面为其三倍一四竒故立方之面与浑员之面亦若六○○与三一四竒也而体之比例同面故亦为六○○与三一四竒

立员得员柱三之二

论曰凡员柱之面及底皆立员径

上平员也旁周似员筩亦如截竹

周围并以员径为髙即员径乗员

周幂也为径上平员之四倍与浑

员面幂同积【半径乗半周得平员则全径乗全周必平员之四倍】合面与底共得平员之六倍而浑员面幂原系平员之四倍是员柱幂六而浑员幂四也而体积之比例凖此可知亦必为三之二矣【三之二即六之四之半】

问体积之比例何以得如面幂曰试于员柱心作员角

体至面至底成员角体二皆以半

径为髙平员为底其余则外如截

竹而内则上下并成虚员角于是

纵剖其一邉而令员筩伸直以其

幂为底以半径为髙成长方锥【底濶

如全径直如员周髙如半径锥只一防】此体即同四

员角【或纵剖为四方锥亦同皆以周四分之一为底濶以全径

为底长以半径为髙其体并同员角何也以周四之一乗全径与半

径乗半周同故方底同员底而其髙又同则方角同员角】合面

底二员用共六员角矣而浑员体

原同四员角【浑员面为底半径为髙作员锥即同四员

角】是员柱浑员二体之比例亦三

与二也

员角体得员柱三之一　凡角体并同

凖前论员柱有六员角试从中腰平截为两则有三员角而员筩体原当四员角今截其半仍为二员角或面或底原系一员角合之成三员角以为一扁员柱然则员角非员柱三之一乎

若立方形各从方楞切至心则成六方角【皆以方面为底半径为髙】从半径平切之为扁立方则四周之四方角皆得一半成两方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角体亦三之一矣

浑员体分为四则所分角体各所乗之浑幂皆与员径上平员幂等

甲戊丙丁浑员体　从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径各自其浑幂透至乙心而以半径旋行而割切之则成上下两员角体一甲卯辰丑乙【以甲丑卯辰割浑员之面为底乙为其锐此割员曲径自丑而甲而辰居员周三之一】一丙癸寅子乙【以子丙寅癸浑员之割面为底乙为其锐此割员曲径亦

三之一如三百六十之一百二十】此上下两角体

相等皆居全浑体四之一中腰成

鼓形而上下两面并穵空各成虚

员角【其外则周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割员状此割

员曲径自辰而丁而癸居员周六之一为三百六十之六十】

此鼓形体倍大于上下两角体居浑员全体之半若从戊乙丁腰横截之为二则一如仰盂一如覆碗而其体亦浑员四之一也

如此四分浑体而其割员之面幂即各与员径上之平员幂等故曰浑员面幂与径上平员若四与一也问何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体曰试于子丙乙癸角体从子寅癸横切之则成子未癸午小员面

为所切乙子寅癸小员角体之底

乃子寅小半径乗子未癸小半周

所成也然则以子寅小半径乗子

未癸小半周又以乙寅半半径为

髙乗之而取其三之一即小角体矣

试又于中腰鼓体从丑子及卯寅

及辰癸诸立线周遭直切之脱去

其外鼓凸形即成员柱体之外周

截竹形又从酉乙申横切之为两

【一仰盂一覆碗】则此覆碗体举一式为例

可直切断而伸之亦可成方角体

此体以乙寅半半径乗子未癸午

小员全周为底【其形长方】又以小半径

子寅【子寅即乙申】为髙而乗之取三之

一为长方角体此长方角体必倍

大于小员角体何也两法并以小

半径及半半径两次连乗取三之

一成角体而所乗者一为小员全

周一为小员半周故倍大无疑

也

又丙癸寅子亦可成角体与乙子

寅癸等覆碗体既倍大则兼此两

角体矣

凖此而论仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体亦无疑也

又角体内既切去一小角体又穵

去一相同之小角体则所余者为

丙癸寅子员底仰盂体

鼓体内既穵去如截竹之体则所

余者为内平【如丑子及辰癸】外凸【如子戊丑及辰

丁癸】之空圈体而此体必倍大于员

底仰盂体何以知之盖两体并以

半径为平面【丑子与癸丙并同】并以员周

六之一为凸面而腰鼓之平面以

半径循员周行员底仰盂之平面则以半径自心旋转周行者两头全用旋转者在心之一头不动而只用一头则只得其半矣故决其为倍大也

凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员覆碗体而只得鼓体之半矣由是言之则上下角体各得中腰鼓体之半而鼓体倍大于角形浑体平分为四夫复何疑

曰浑体四分如此真无纎芥之疑体既均分为四则其浑体外幂亦匀分为四亦无可复疑但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶曰此易明也凡割浑员一分而求其幂法皆从其所切平面员心作立线至凸面心而以其髙为股员面心至邉之半径为勾勾股求其斜用为半径以作平员即与所割圎体之凸面等幂假如前圗所论上下两角体从丑夘辰横线切之则以甲夘为股夘丑为句求得甲丑与半径同以作平员与丑夘辰甲凸面等然则此角体之凸面岂不与径上平员等幂乎

甲亢半径与甲丑同以作丑

亢平员与甲丑夘辰凸面等

幂

试又作甲戊线为半径之斜线【甲乙与戊乙皆半径为句为股故也】以为半径而作平员必倍大于半径所作之平员而浑员半幂与之等则浑员半幂不又为平员之倍乎

【如图甲丑为半径作乙庚房平员与丙戊甲平员等亦与甲辰夘丑

割员凸面等为浑幂四之一也】

【甲戊为半径作戊心亥平员与甲丁乙戊半浑幂等而倍大于乙庚

房亦倍大于丙戊甲平员则平员居浑幂四之一】

如是宛转相求无不脗合则平员为浑员幂四之一信矣取浑幂四之一法

当以半径为通以一端抵圎径之端为心旋而防之则所割浑幂为四之一而其浑幂与圎径上平员幂等

甲辰【即丁乙】之自幂一百辰夘之自

乗幂【七十五】如四与三则辰丑通

为径以作平员亦丁戊全径上平

员四分之三也大小两平员各为

底以半径为髙而作员角体其比

例亦四与三也

今浑员径上平员【即下戊径上平员】所作之员角体既为浑积四之一则辰丑通径所作之员角体即浑体十六之三矣【即甲丑夘辰角体及乙丑夘辰角体之合】若以丑辰通上平员为底半半径为髙而作角体即浑体三十二之三

分浑体为四又法

甲乙丙浑员体　从员周分为三【一丑甲辰一辰癸丙一丙子丑各得周三之一】又从辰从丙从丑依各半径【辰乙丙乙丑乙皆是】至乙心旋而

切之则成三角体者三各得浑体

四之一【一辰甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙说见前】则

其所余亦浑体四之一也【此余形有三平

员面以辰丑丑丙辰丙为员径而并穵空至乙心如员锥之幂有两】

【凸面以辰丑丑丙辰丙之员周为界以乙为顶皆弧三角形三角并锐】两凸面各得浑员幂八之一按辰丑即一百二十度通也凖前论以此通为圎径作平员为底半半径为髙而成员角体此员角体积即为浑员体积三十二分之三【即先所论员角体八之三】

若依此切浑员体成半平半凸之体其积为浑积三十二之五【即员角体八之五】

环堵形面幂　锥形面幂

有正方正员面欲于周作立围之堵墙而幂积与之倍法于方面取半径为髙即得

甲乙丙平方于其周作立起之

方围形如环堵取平方乙丙半

径为髙则方围面幂倍大于平方

论曰从平方心乙对角分平方为四成四三角形并以方根为底半径为髙于是以此四三角形立起令乙锐上指则皆以乙丙半径为髙而各面皆半幂故求平方以半径乗周得幂也然则依方周作方墙而以半径为髙岂不倍大于平方幂乎

凖此论之凡六等邉八等邉以至六十四等邉虽至多邉之面而从其各周作墙各以其半径为髙则其幂皆倍于各平幂矣然则平员者多邉之极也若于其周作立圈如环而以其半径为髙则环形幂积亦必倍大于平员有方锥员锥于其周作围墙而幂积与之倍

法于锥形之各斜面取其至锐之中线【如乙丙】以为环墙之髙即得

方墙如环堵底用方周髙如乙

丙即斜面自锐至底之斜立中

线

解曰此以锥体之斜面较幂也

论曰凡方锥皆有棱两棱交于锐各成三角面而斜立从此斜立之三角面自锐至根濶处平分之得中线【乙丙】于是自棱剖之成四三角面而植之则中线直指天顶而各面皆圭形为半幂故凡锥体亦可以中线乗半周得幂也然则于底周作方墙而以中线为髙四面补成全幂岂不倍大乎

凖此论之凡五棱六棱以上至多棱多面之锥体尽然矣而员锥者多棱多面之极也则以其斜立线为髙而自其根作员环则其员环之幂亦必倍大于员锥之幂前条所论切浑员之算得此益明盖员仰盂员覆碗及穵空之鼓形其体皆一凸面一平面相合而成其凸面弧径皆割浑员圈六之一其平面之濶皆半径然而不同者其内面穵空之平幂一为锥形【仰盂覆碗之内空如笠】一为环形也【鼓体之内空如截竹】准前论穵空之环幂必倍大于锥形之幂则其所负之割浑员体亦必环形所负倍大于锥形而穵空之鼓体必能兼员覆碗员仰盂之二体

撱圎算法【订厯书之误】

偶查撱圎求体法见其截小分之法有误今以数考之假如撱圎形长径为一千四百尺短径七百尺大分截长径一千○五十尺

甲己三百五十戊乙七百相并得

一千○五十　以此乗

己乙一千○五十尺　以此除

两数相同

右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率再用截大分轴己乙为法为苐一率以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率求得小分之容与圎角形等夫小分之容形外为弧线圎角之容形外为直线小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分渐小则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣有是理哉【小分渐小如辛癸甲则其甲己小于己戊而己乙者己戊与戊乙并也则其数亦大于甲己与戊乙并矣】

又如截大分长七百二十分己乙

为其轴甲己为其小分轴六百八

十分

依厯书法甲己小分轴【六百八十】为一率甲乙长径【一千四百】并戊乙短径【七百】共【二十一百】为二率求到庚壬乙圎角体为三率则所得四率为大分之容者比圎角容大三倍有竒亦恐无是理也何也圎角在圎柱形为三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也【虽壬庚畧小于丙丁在中腰相近可以不论】今试求之【用苐一圗】依勿庵改法

假如截己乙大分轴一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己　依勿庵补法以己戊【三百五十尺】自乗【一十二万二千五百尺】与甲戊【七百尺】自乗【四十九万尺】相减余【三十六万七千五百尺】开方得己庚相当之原数　再以丙戊【三百五十尺】乗之甲戊【七百尺】除之为己庚实数倍之为庚壬线

再以壬庚线上方变为平员今用简法【因长径甲乙与短径丙丁原是折半之比例故也】竟以减余【三十六万七千五百尺】命为庚壬线上方以十一乗之得【四百○四万二千五百尺】又以十四除之得【二十八万八千七百五十尺】为庚壬线上所截撱体之平圎面

法以平圎面各乗其【大分小分】之轴【一千○五十尺三百五十尺】皆成圎柱形乃三除之为【大小】分内所容之【大小】圎角形

再以长径【一千四百尺】乗大圎角为实小轴【三百五十尺】除之为所截撱形之大分

以长径【一千四百尺】乗小圎角为实大轴【一千○五十尺】除之为所截撱形之小分

今用简法　置平圎面三除之得【九万六千二百五十尺】以小分轴【三百五十】乗之得庚甲壬小圎角形【三千三百六十八万七千五百尺】置小圎角四因三除之得【四千四百九十一万六千六百六十六又三之二】为所截小圎分

又置圎面三除之积【九六二五○】以大分轴【一千○五十尺】乗之得庚子乙大圎角形【一亿○一百○六万二千五百尺】

置圎角形【一○一○六二五○○】用四因之得【四亿○四百二十五万尺】为所截大圎分

小圎分大圎分两形并之【共四亿四千九百一十六万六六六六】为撱形全积

另求撱形全积

置短径【七百】自乗得【四十九万】以长径【一千四百】乗之得【六亿八千六百万】以十一因之二十一除之得【三亿五千九百三十三万三三三】为真撱圎全积

以真撱圎积与两截形并相较其差为九十分之一而弱

若用厯书法　求得截小分【二千三百六十八万七千五百尺】与小圎角同

截大分【六亿○六百三十七万五千】为大圎角之六倍

相并得【六亿四千○○六万二千五百尺】为撱圎全积　与撱圎真积相较其差更甚

如是辗转推求则知撱体大截分不可算今别立法凡撱体皆先如法求其全积再如法求其小分截积以小分截积减全积余为大分截积此法无可存

厯算全书卷五十六

几何补编自序

天学初函内有几何原本六卷止于测面其七卷以后未经译出葢利氏既歾徐李云亡遂无有任此者耳然厯书中往往有杂引之处读者或未之详也壬申春月偶见馆童屈为灯诧其为有法之形【其制以六圈成一灯每圈匀为六折并周天六十度之通故知其为有法之形而可以求其比例然测量诸书皆未言及】乃覆取测量全义量体诸率实攷其作法根源【法皆自楞剖至心即皆成锥体以求其分积则总积可知】以补原书之未备而原书二十等面体之算向固疑其有误者今乃徴其实数【测量全义设二十等面体之边一百则其容积五十二万三八○九今以法求之得容积二百一十八万一八二八相差四倍】又几何原本理分中末线亦得其用法【几何原本理分中末线但有求作之法而莫知所用今依法求得十二等面及二十等面之体积因得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例乂两体互相容及两体与立方立圆诸体相容各比例并以理分中末线为法乃知此线原非徒设】则西人之术固了不异人意也爰命之曰几何补编

钦定四库全书

厯算全书卷五十七

宣城梅文鼎撰

防何补编卷一

四等面形算法

先算平三角形平三角形

三边同者求中得中长线

【乙甲】其三之一即内容平圆

半径【心甲】其三之二即外切

圆之半径【乙心或心丙】

又法以边半之【丙甲】自乘得数【丙庚方】取其三之一开方【甲壬小方】得容圆之半径【壬癸或甲癸俱与心甲等】又取自乘数【丙庚方】三分加一【丙庚方加壬甲小方】并而开方得外切圆之半径【丙心】

论曰三边角等则半边之角六十度【丙心甲角】其余角三十度【心丙甲角】内容圆半径为三十度之正【心甲】外切圆半径如全数【丙心】其比例为一与二故内容圆半径【心甲】正得外切圆半径【丙心】之半也【此论可解前一条】

形内丙心甲与乙心丁两小句股形相等又并与乙甲丙大句股形相似【何则乙角丙角并分原等角之半丁甲等为正角则三角皆等而边之比例等】而大形之句【丙甲】旣为其【乙丙】之半则小形之句【心丁亦即心甲】自必各为其【心乙亦即心丙】之半故知心甲【原同心丁】为乙甲之半也

心甲旣为心丙之半则心甲一心丙必二而丙戊必三矣【乙甲同】何也以乙心与丙心同为二心甲与心戊同为一也联心乙二与心甲一岂不成三

今以内圆半径为股【心甲】外圆半径为【心丙】三边之半为句【丙甲】成心甲丙句股形则心丙自乘内【幂】有心甲【股幂】及甲丙【句幂】两自乘之积也而心甲股与心丙旣为一与二之比例则心甲之幂一心丙之幂必四也以心甲股幂一减心丙幂四其余积三即丙甲句幂矣故心甲之幂一则丙甲之幂三心丙之幂四今先得边故以丙甲三为主而取其三之一为心甲股幂又于丙甲三加三之一为四即成心丙幂也【此论可解后一条】

以上俱明三等边平面之比例

今作四面等体求其心

法自乙顶向子向甲剖切之成乙子甲三角面

心者面之心中者体之心

前图所谓心者面之心也今

所求者体之心即后图所谓

中也故必以剖而后见

次求甲丑线

乙子边平分于丑从丑向甲

得垂线此丑甲垂线在体中

必小于乙甲在外之垂线故

乙甲如丑甲如股乙丑如句也法以甲乙自乘内减乙丑句幂余为股幂开方得丑甲

又法凖前论乙丑之幂三【即丙甲皆半边故】则乙甲之幂九【乙甲三倍大于心甲故心甲幂一则乙甲幂九】以三减九余六亦即甲丑股幂矣以开方得甲丑

捷法倍原半边【甲丙】自乘数以开方得【甲乙】中垂线　或半原边【丙己】自乘之数开方亦得【甲丑】　丙甲之幂三【乙丑同】则甲丑之幂六而丙己之幂十二也【甲丑与丙己幂积之比例为一与二】次求心中线

捷法但半心甲自乘即心中幂

论曰心甲与心中犹甲丑与乙丑也甲丑幂与乙丑幂为六与三则心甲与心中之幂亦如二与一

又捷法心中之幂一心甲之幂二则乙丑之幂六【即丙甲】而心丙之幂八【亦即乙心】俱倍数

但以半边【乙丑或丙甲】之幂取六之一即心中幂开方得心中即四等面形内容小浑圆之半径也【心中线者即各面之心至体心也故为内容小浑圆半径】

以心中之幂一【句】加乙心之幂八【股】并之为幂九开方得中乙【或中子或用前总图则为甲丙为甲己并同】是即四等面形外切浑圆之半径也外切圆之幂九【中乙】内切圆之幂一【心中】得其根之比例为三与一故四等面形内容浑圆之径一则其外切浑圆之径三又捷法但以乙丑半边之幂加五【即二之一】为中乙【或中子等】幂开方得外切圆之半径【葢乙丑之幂六中乙之幂九其比例为一有半也】

此四边不等形【又为三角立锥形】为

四等面形四之一各自中切

至边线成此形其底三边等

即四等面形之一面其髙为中心即内容小浑圆之半径其中乙等三楞线三倍大于中心之髙即外切浑圆之半径

取四等面形全积捷法

先取面幂【即前图乙己丙平面依前比例求其幂】以内容圆半径【心中】乘之得数四因三归见积

法曰丙甲半边之幂三则甲乙中长之幂九开方得中长【乙甲】以乘丙甲得乙己丙三等边之幂积即四等面形之一面也

次求本积四之一【即各面辏心剖裂之形如右图】

丙申半边之幂六则中心之幂一开方得中心髙以乗所得面幂而三分取其一即为四等面形四之一于是四乗之即为全积也

又防法以丙甲乗心甲又以中心乗之即得本形四之一【即同三除以心甲为乙甲三之一故也】

此带纵小立方形与右图四等面形四之一等积

又防法以丙己全边【亦即丙乙】乗

乙心再以中心乗即得本形

全积【乙心为心甲之倍数丙己为丙甲之倍数用以】

【相乗则得丙甲乗心甲之四倍数也】

边设一百

依上法求容

丙己边一百其幂一万丙甲半边五

十其幂二千五百三因之得七千五百

为乙甲中垂之幂【丙甲股幂减丙己幂得句幂也丙己亦即丙乙】　平方开之得八十六【六○二五】为乙甲其三之一得二十八【八六七五】为心甲　其三之二得五十七【七三五○】为心乙　又置丙甲幂二千五百取六之一为心中幂得四百一十六六六不尽　开方得心中之髙二十零四一二四亦即内容浑圆之半径

依上法以丙己全边一百乘乙心五十七【七三五○】得五千七百七十三半　又以心中二十零【四一二四】乘之得全积一十一万七千八百五十一弱【与厯书微不同】

四等面体求心捷法

准前论心中幂一则心甲幂

二中乙幂九乙丑幂六以句

股法考之则中甲与中丑之幂俱三也

何也心中甲句股形以中甲为故心中句幂一心甲股幂二并之为中甲幂三也而乙中丑句股形以中丑为句故乙中幂九内减乙丑股幂六其余为中丑句幂亦三也

由是徴之则中丑与中甲正相等但如法求得甲丑线折半得中防即为体心

又捷法取乙丑幂【即原设边折半自乗】半之为中丑幂开方得中丑亦得甲中【或乙子全边自乘取八之一为甲中幂亦同】

中丑即原边乙子距体心之度甲中即原边丙己距体心之度而中为体心