历算全书

法算得二十等面之容一百万其根七十七

比例规解作七十六尚差不多测量全义云二十等边设一百其容五二三八○九则大相悬絶矣乆知其误今乃得其确算己未年所定之率以两书酌而为之究竟不是今乃得之可见学问必欲求根也

二十等面分体之图

亥子戌为二十等面之一面

亦即各分体之底

亥子子戍戍亥皆其边即根

也半之为亥甲

甲乙丙为横边切处即横切成十等边形之一边丁为体心亦即切十等边平面之中心

甲乙丙丁即横切十等边平面之分形　心为二十等面每面之正中　心丁为体周各平面至体心之垂线亦即分体之中髙亦即体内容浑圆之半径　丁亥丁子丁戌皆分体之楞线乃自各分面角辏体心之棱也亦即为外切浑圆之半径　丁甲丁丙皆横切平面各角辏心之线亦即分体各斜面之中垂斜线也

求法以丁甲为股亥甲为句【即根之半】两幂相并开方得即丁亥也【丁子丁戌同】

求二十等面外切浑圆之半径

依句股法　以丁甲股八十○【九○六一】自乘幂六千五百四十五【七九七○】　亥甲句五十○自乘幂二千五百　相并为亥丁幂九千○四十五【七九七○】　平方开之得亥丁九十五【一○五二】为外切浑圆半径　亦即二十分形自其各角辏心之棱　倍之得一百九十○【二一○四】即外切浑圆全径

计开二十等面体诸数

设边一百　其容二百一十八万一千八百二十八其内容浑圆径一百五十一　其外切浑圆一百九十其每面中心至体心七十五半【即内容浑圆之半径】

其每面各角至体心九十五【即外切浑圆之半径】

计开二十等面体诸用数

设边一百　外切立方之半径八十○【九○一七】为体心至边之半径【即寅中卯中辰中等】

倍之为边至边一百六十一【八○三四】即外切立方全径外切浑圆之半径九十五【一○五六】为体心至各角尖之半径【即甲中戊中心中等】

倍之为角尖至角尖一百九十○【二一一二】即外切浑圆全径

内容浑圆及内容十二等面之半径七十五【五七六一】为体心至各面之半径【即己中庚中等】

倍之为内容浑圆全径一百五十一【一五二二】为面至面内容十二等面之边五十三【九三四四】

每面之幂四千三百三十○【一二五○】

二十等面之幂共八万六千六百○二半

分体积一十○万九千○八十四【六五】为二十等面体积二十之一

合之得全积二百一十八万一千六百九十三

内容小立方之边八十七【二六　以内容立圆径自乘七七　乏幂取三之一开方得之】

内容灯体边五十【即原边之半】

立方内容二十等边算法

亢卯寅房为立方全径一百

中寅中卯为半径五十

寅卯二点为二十等面边折

半之界

寅卯线为二十等面边之半

中为体之中心　寅中卯角为三十六度

中寅半径当理分中末之全数　寅卯即理分中末之大分

甲戊戊心心甲皆寅卯之倍数即

二十等面之边其数六十一【八○三三九八】

甲辰半边三十○【九○一六六九与寅卯同】

心辰垂线五十三【五二三三】　半垂线心箕二十六【七六一六】　甲辰幂九百五十四【九一五○】　三因甲辰幂为心辰幂二千八百六十四【七四五○不尽】

计开

立方径设一百　半径五十

理分中末线大分六十一【八○三三九八】即二十等面之边论曰以中寅半径五十求寅卯正得理分中末大分之半而甲戊边原倍于寅卯寅房全径亦倍于寅中是全数与大分皆倍也故径以全数当寅房全径以理分中末之大分当甲戊等二十等边之全边也

又立方边设一百【即寅房径】　半之五十【即中寅】

内容二十等面之边六十一【八○三三九八即甲戊等】

面之中垂线五十三【五二三三即心辰】

中垂线之半二十六【七六一六即心箕】

面之幂一千六百五十三【九五七八甲戊心面】

中垂线三之一得一十七【八四一一即心己】

内容立圆半径四十六【七○八六即己中】　全径九十三【四一七二】二十等面全积五十一万五千○二十六【九五九七】

约法

立方根与所容二十等面之边若全数与理分中末之大分　面幂三之一以乘容圆全径得数十之为全积中垂线三之一心己为句【即平面容员半径】自乘得句幂三百一十八【三○四八四九】以减中寅幂二千五百○○余己中股幂二千一百八十一【六九五一五一】开方得己中根四十六【七○八六】

二十等面边设一百用理分中末线求其外切之立方一率　二十等面边六十一【八○三三九八】

二率　外切立方一百○○

三率　二十等面边一百○○

四率　外切立方一百六十一【八○三四】

依法求得二十等面边一百其外切立方一百六十一【八○三四】与先所细算合

半圆内容正方

法以圆径为三率【丙丁】　理分中末之小分为二率【庚辛】理分中末全线加小分为首率【丁辛为全线再加庚辛为小分共得为丁庚总线也】　二三相乘一率除之得四率【丙乙即甲丁】为全径之小

分以减全径余【乙丁】乃于乙作

正十字线至圆界【如己乙】即以

此线自乘作正方【己甲】如所求

论曰己乙即丙乙与乙丁之中率而丙乙旣为乙丁全径之小分则己乙即大分也而甲乙亦为大分　甲丁亦为小分矣若自甲作甲戊必与己乙甲乙等而其形正方

半浑圆内容立方

法以乙甲圆径自乘之幂取其六之一开方得容方根【丙丁方丙戊边】

论曰试倍甲丙乙庚半浑圆为全浑圆体亦倍丙丁正方形作丙己长立方形亦必能容矣然则丙己线在长

立方形之内为斜线者亦即

浑圆之径也【与甲乙径等】

试于长立方面作戊己斜

则己壬为之句戊壬为之股

而戊己幂内有己壬幂与

戊壬幂矣

而丙己线为则戊己又为

股丙戊又为句而丙己自幂内又兼有戊己幂及丙戊幂矣【丙戊亦即己壬】

又戊壬为己壬【即丙戊亦即戊癸】之四倍则戊壬股幂内有己壬句幂四合之为戊己幂则戊己幂内有己壬幂五矣

而丙己幂内复兼有戊己股幂及丙戊句幂是丙己幂内有丙戊幂六也丙己旣同圆径则取其幂六之一开方必丙戊容方边矣

立方内容十二等面其内又容立方【此相容比例】

立圆内容十二等面其内又

容立方此立方之面幂为外

圆径上面幂三之一而立方

之各角即同十二等面角以切于立圆之面

法以外切浑圆径上幂取三之一为十二等面内小立方幂平方开之得小立方根根乘幂见积

又简法以十二等面之面幂求其横剖之大线此线即

十二等面内容小方之边

如图作甲乙线剖一面为二

此线在面中最大即为内小

立方根以此自乘而三之即

小立方外切浑圆径幂

凡立方内容二十等面二十等面内又容浑圆圆内又容小立方此小立方之各角能同浑圆之切点以切于二十等面之平面心

法以内容浑圆径之幂取三

之一为内小立方之幂平方

开之得切点相距即小立方

根以根乘幂见积

简法取内容浑圆之内小立方边求其理分中末之大分为内容十二等面边

又简法如前求得二十等面内容十二等面之一面乃求其横剖之大线即二十等面内容小立方之根　以根自乘而三之即二十等面内容浑圆之径幂　开方得根即内容浑圆径　折半为分体之中髙

此二十等面之面作三分之

一横剖

此十二等面之面在二十等

面内

此五等面边即前横线所成

凡五等边平面其边即七十二度之通横剖大线即一百四十四度之通各折半为正可以径求一率　　三十六度正

二率　　七十二度正

三率　　五等边之一边

四率　　横剖之大线

凡十二等面体与二十等面体可互相容而不穷十二等面体有二十尖二十等面体有十二尖其各尖之相距必均其互相容也皆能以其在内之尖切在外各面之中心而徧

凡二十等面内容立圆仍可以容二十等面

二十等面内容立圆仍可以容十二等面

甲心乙　乙心丙　丙心丁

丁心戊　戊心甲　皆二十

等面之一面其各三边皆等

各以庚辛壬癸己为其面之

心若内容十二等面体则十二等面之各尖必切于庚辛壬癸己等心点

今求内容十二等面之边则必以庚辛等心点聮为直线即成五等边面之边而与十二等面之形相似而可

以相容矣

法当以边【如甲戊】半之【如甲辰】作

对心垂线【如辰心】成心辰甲句

股形既得己卯倍之为己庚即内容十二等面之一边二十等面体内容十二等面之图

第一图原形如五面扁锥心

尖鋭起甲心戊等三等边平

面凡五共辏而成一心尖乃

二十等面四之一

其己庚辛壬癸五点皆三等边平面之中心亦即内容十二等面之棱尖所切故必先求此点

简法曰以甲戊边半之于辰作辰心对角斜垂线又以心甲心戊各取三分之二为心子心丑乃聮子丑为线与甲戊边平行与辰心垂线十字交于己点则己点即甲心戊平面之心再从子至午作与边平行线线之半即庚点余三面尽如此作平行线则辛点在午未线壬点在未酉线癸点在酉丑线但半之皆得心矣

第二图剖形是五等边平面

因前图所作子丑等平行线

横剖之去其中髙之尖成子

午未酉丑五等邉平面此平

面之心点在前图心顶之内

惟子丑等邉线是原形所作平行线在体外可见余皆以剖而成乃从各角作线至心如子心等分形为五皆平面三角形而心子等线皆小于子丑邉因子己原邉及子心丑角求得心己垂线及子心对角线

第三图正用之形即内容十二等面之一面

因前第二图各平分其邉得

己庚辛壬癸五点即原形之

平面心又聮此点作己庚等

直线则成此形以此形为内容十二等面之一面则己庚等五点为十二等面之鋭角而皆切二十等靣之平面心矣

求己庚线法因心子对角线及心己垂线子己原半边得己卯倍之为己庚

第一图

设二十等面边一百　甲戊等五边甲心等五辏顶线并同　则子心六十六【六六】　子丑平行线同　皆为原边三之二　心己斜垂线五十七【七三五○】　为心辰斜垂线三之二

以上用第一图乃斜立面也

第二图

子己半边三十三【三三】　子心对角线五十六【七○九九】己心垂线四十五【八七九二】

法为全数与五十四度之割线【一七○一三○】若子己边与子心也子己乘割线以全数十万而一得子心

又全数与五十四之切线【一三七六三八】若子己边与己心也子己乘切线以全数十万而一得己心　凡全数除降五位

第三图　仍从第二图生

己庚等两平面心相距线五十三【五八一六】　其半己卯二十六【七九○八】

法为子心对角线与己子半边若己垂线与己卯也倍己卯得己庚

求得二十等面边一百　内容十二等面其边五十三【五八一六】

防法但用法聮两平面之中心点即为内容十二等面之边　两平面心相聮为直线之图

乙心甲及戊心甲两等边平

三角面以甲心边为同用之

边而甲心隆起如屋之山

两平面之中心为己为庚聮

为己庚线与甲心为十字然

不相切何也甲心既隆起

则甲心折半之卯在己庚折

半之栁点上其距为卯栁

试侧视之则甲心戊面变为

戊卯线甲心乙面变为卯乙

线而甲卯心线变为卯点己

庚点在平面原近甲心点为

卯戊卯乙三之一则卯栁之距亦为垂线三之一矣二十等面从腰横剖之图

凡二十等面体其面之边皆

等而皆斜交故边皆髙于面

面之中心如己如庚是距体

心最近之处故为内容浑圆

及十二等面所切之点也

边之两端又髙于其折半之处边所辏为尖如甲如戊如乙如心等是距体心最逺之处故为外切浑圆及外切十二等面之尖也　其各边折半之点如寅如卯其距体心在近逺酌中为外切立方之半径其内切之己庚外切之甲戊乙心等頼寅卯距心之线为用然后可知故其用最要

横剖所成之面【十二等面从腰横剖其根亦同】

问各边既髙于面而又斜交

何以能横切成平面乎曰从

右图观之甲戊尖最髙则其

所对之乙心等边似平矣而

乙心等尖亦髙则其所对之甲戊等边又平一髙一平彼此相制而成相等之距故寅卯等折半之处其距体心皆等联之为线即成相等之线而皆平行也

然则何以知其为十等边平面曰准右图上下各五面其腰围亦上下各五面而尖牙相错成十面今各从其半边剖之则必为十边平面无疑也

如图奎卯寅十等边平面以中为心

中寅中卯皆原体心与其邉

折中处相距之半径亦即为

外切立方之半径也于前图

作外切之奎角卯寅平图则

寅卯等即为分圆线乃全圈十分之一当三十六度理分中末线图

奎中为全径井中为半径以半

径【设五十】为句全径【设一百】为股

求其得一百一十一【八○三三】

【九八】为井奎　以井为心中为界作圆分如中斗截井奎线于斗则井斗亦半径也　以井斗减井奎其余斗奎即为理分中末线之大分【亦即奎牛】　以奎牛为度作点于倍径之圈周而徧即成十平分圈周之点聮其点为线即成寅卯等十等边故十等边之寅卯等即木圈半径之理分中末大分也　若奎中为半径则井中为半半径亦同

奎中全数【半径】设一百　寅卯必六十一【八○三三九八】即半径理分中末之大分【奎牛即奎斗】

理分中末线　法以全数一百之幂一万为股幂其半五十之幂二千五百为句幂并得一万二千五百为幂开方求其根得一百一十一【八○三三九八】以半数五十减之得六十一【八○三三九八】为理分中末之大分即三十六度之分圆线也

半之为十八度之正三○九○一六九九【八线表作三○九○二】二十等面分体之图

甲戊心为二十等面之一面

其三边等中为体心

甲中戊中心中皆各面之鋭

角距体心之线又为体外切

浑圆及外切十二等面之半

径

以甲戊心面为底依甲中戊

中心中三线剖至体心中成

三角锥体为二十等面体二

十之一

锥体之底各以其三边半之

于寅于辰于卯从此三点作

线而体心之中点皆为锥体各立面之斜垂线如辰中即为甲中戊立面之斜垂线寅中为甲中心立面之斜垂线卯中为戊中心立面之斜垂线并同

又聮寅卯辰三点为寅卯卯辰辰寅三线成寅卯辰小等边平三角面以此为底依寅中卯中辰中三斜垂线剖至体心之中点成小三角锥体其积为大三角锥四之一其寅卯等边为原边二之一　原设边一百则寅卯五十

其己点为三角面之中心【大小并同】　己中即分体之中髙【大小锥体同】是即内容浑圆之半径亦即内容十二等面体各尖距其体中心之半径

其辰中卯寅中卯卯中辰皆立三角面皆为横剖成十等边平面之分形故寅卯与寅中之比例若理分中末线之大分与其全数也

今求寅中线【即外切立方半径卯中亦同】

一率　理分中末之大分　　　　　六十一【八○三三九八】

二率　全数　　　　　　　　　　一百

三率　寅卯【剖形十等边之一即原边之半】　　　　五十

四率　寅中　　　　　　　　　　八十○【九○一七】按寅中线为量体之主线既得此线即可以知余线而此线实生于理分中末线几何原本谓分中末线为用最广盖谓此也

次求己中【即内容浑圆及十二等面之半径】

甲戊原边设一百半之于寅

作寅己垂线至己心【乃平靣心】己寅二十八【八六七五】为句其幂

八百三十三【三三三三】　用防法

以边幂一万取十二之一得

之

寅中八十○【九○一七】为其幂

六千五百四十五【○八五○】句幂减幂余五千七百一

十一【七五一七】开方得股为己中

七十五【五七六一】

订定寅中线

一率　理分中未线大分　六十一【八○三三九八】

二率　全数　　　　　　一百

三率　寅卯【剖形十等边之一即原边之半】五十

四率　寅中【即外切立方之半径】　　八十○【九○一七】

订定己中线

甲戊边原设一百【半之于寅作寅己线】

己寅句二十八【八六七五】　幂八百三十三【三三三三】

寅中八十○【九○一七】　幂六千五百四十五【○八五○】己中股幂五千七百一十一【七五一七】　根七十五【五七六一】末求己庚线【两平面心相聮即内容十二等面之边】

一率　寅中八十○【九○一七】　为大

二率　己中七十五【五七六一】　为大股

三率　寅己二十八【八六七五】　为小

四率　己星二十六【九六七二】　为小股

倍己星得五十三【九三四四】为己庚

解曰中寅己大句股形与己寅星小句股形同用寅角则其比例等而为相似之形故也

己庚等线相聮成五等边平靣图

准前论甲心戊等三角平面

合二十面为二十等面体则

甲心等边线皆髙于平面而边

线之端五相辏即为尖角【如心

点】依此推知甲乙丙丁戊点

皆必与他线五相辏而成尖角矣

其己庚辛壬癸各点为各平面之最中央在体为最平之处故内容之浑圆及内容之十二等面各尖必切此点

今依前法求得己庚等点相联为直线则凡五平面相辏为尖必有各中央之点相联为线而皆成五等边平面形矣【此平面形正与心尖相应】　依此推知甲乙丙丁戊各点皆能为尖则其周围相辏之五平面亦必各以其中央之点相联为线而皆成五等边平面形　二十等面体以五边线相辏之尖凡十有二每一尖之周围皆有五平面即皆有中央之点相联而成五等边平面亦十有二如此而内容十二等平面体己成故曰但联己庚二

点为线即内容十二等面之边也

求甲中线【即外切浑圆及十二等面之半径心中戊中并同】

寅甲为原边之半设五十其

幂二千五百为句幂

寅中为外切立方半径八十

○【九○一七】其幂六千五百四十

五【○八五○】为股幂并句股幂九千○四十五【○八五○】平方开之得甲中

依法求得甲中九十五【一○六五】

求体积

设边一百其半五十　斜垂线八十六【六○二五】　相乗得面幂四千三百三十○【一二五○】

又以己中髙七十五【五七六一】乗面幂得柱积三十二万七千二百五十三【九六○○】

三除之得分体积一十○万九千○八十四【六五○○】以二十乗之得全积二百一十八万一千六百九十三十二等面分体之图

戊辛庚己壬五等边形即十二等面立体之一面　亦即分体形之底【乃五面立锥形之底】丙为平面心

丙丁为平面心至体心之垂线亦即分体形之中髙又为体内切浑圆之半径亦即为内切二十等面之半径丁为全体之中心又为十二分体之上鋭即五等面立锥形之顶

戊辛壬庚等皆各面之外周线【即边也】为体之棱亦名之

为根

自分面之心丙作垂线至边

【如癸丙甲丙】分各边为两其分处

为癸为甲【即各边折半处】

乃自癸至甲聮为癸乙甲线又自此线向丁心平剖之成甲丁癸三角形面各分形俱如此切之成十等边平面形故丁癸丁甲皆分体形自顶鋭至各边之斜垂线在所切之十等边平面形即为自丁心至平面角之线【甲癸等点在各边为折中在切形之平面则对角】

又自丁至体周各角之线【如丁辛丁庚丁戊等】在分体即为自底角至顶鋭之棱又为外切浑圆之半径又为外切二十等面之半径

先算十二等面之面【即戊辛庚己壬】

法为全数与五十四度之切线若甲辛与甲丙也　以甲丙乘甲辛又五乘之得戊辛庚己壬五角面积【甲丙辛角为五等边之半角三十六度其余角甲辛丙必五十四度】

次算面上大横线【即甲癸】

又全数三十六度之正若甲丙与甲乙也倍甲乙得甲癸

次算中髙线【丙丁】

法为全数与七十二度之割线若甲乙与甲丁也【因平切十等边为三十六度半之为十八度其余角七十二度即乙甲丁角】

乃以甲丁为甲丙为句两幂相减开方得股即丙丁也

次算分体之积

法以中髙丙丁乘戊辛庚己壬底而取其三之一为分形积

末以十二为法乘分形积得总积

简法以分形中髙乘底又四乘之即得总积【三归三因对过省用】算甲丙

一率　全数　　　　　一○○○○○

二率　五十四度切线　一三七六三八【相乗得六八】

三率　设根之半【甲辛】　　　　　五○【八一九○○】

四率　甲丙　　　　　六八　【以全数除之减五位为畸零】算甲乙

法为全数与三十六度之正若甲丙与甲乙也

一率　全数　　　　　一○○○○○

二率　三十六度正　○五八七七九

三率　甲丙　　　　　六八八一九○

四率　甲乙　　　　　四○四五一一

甲癸为横切十等边平面之一

其半为甲乙丁即总形之心

亦横切平面之心

算甲丁

法为全数与十八度之余割若甲乙与甲丁也

一率　全数　　　　　一○○○○○

二率　七十二度割线　三二三六○七

三率　甲乙　　　　　四○四五一一

四率　甲丁　　　　　一三○九○二五