古今律历考

其乖舛亡论已至蔡季通所云十其广之分以为长者谓广九分以十分之寸因之每寸九十分九寸得长八百一十分云十一其长之分以为广者谓长八百一十分九因七百二十九再加八十一为八百一十乃十一其长以九而一得空围九分是其数似合而不知黄钟九寸九分之寸也每寸九九八十一分九寸积七百二十九分蔡谓八十一则是谓八百一十则非也

蔡邕铜龠铭曰龠黄钟之宫长九寸空围九分容秬黍一千二百粒称重十二铢两之为一合三分损一转生十一律月令章句云黄钟之管长九寸径三分其余皆稍短虽大小围数无增减韦昭周语注曰黄钟之变也管长九寸径三分围九分因而九之九九八十一故黄钟之数立焉郑康成月令注曰凡律空围九分孔颖逹疏曰诸律虽短长有差其围皆以九分为限汉志曰一黍之广度之九十分黄钟之长累九十黍之广积八百一十分隋志牛宏辛彦之郑译何妥等叅攷古律度合依时代制律其黄钟之管俱长九寸径三分然围径长短与度而差故容黍不同晋前尺黄钟容黍八百八粒梁法尺黄钟容八百二十八梁表尺黄钟三其一容九百二十五其一容九百一十其一容一千一百二十汉官尺黄钟容九百三十九古银错题黄钟容一千二百宋氏尺即铁尺黄钟二其一容一千二百其一容一千四十七后魏前尺黄钟容一千一百一十五后周玉尺黄钟容一千二百六十七后魏中尺黄钟容一千五百五十五后魏后尺黄钟容一千八百一十九东魏尺黄钟容二千八百六十九万宝常水尺律母黄钟容一千三百二十隋志又云梁表尺三律宋铁尺二律黄钟副别其长短及口空之围径竝同而容黍或多或少皆是作者旁庣其腹使有盈虚蔡氏谓梁宋尺容受不同乃制作之疎晋前尺黄钟止容八百八黍者失在径三分古银错与玉尺玉斗合玉斗之容受与晋前尺三分四厘六毫不甚相逺但玉尺律径不及三分故其律遂长而尺长于晋前尺一寸五分八厘葢自汉魏而下造律竟不能成而度之长短量之容受权衡之轻重皆戾于古大率皆由径三分之说误之也蔡氏又云班志以黄钟八百一十分起十二律之周径审度章以一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章以千二百黍实其龠谨衡权章以千二百黍为十二铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃是围十分三厘八毫径三分四厘六毫也毎一分容十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也又汉斛铭文云律嘉量方尺圆其外庣旁九厘五毫羃百六十二寸深尺积一千六百二十寸容十斗嘉量之法合龠为合十合为升十升为斗十斗为石一石积一千六百二十寸为分者一百六十二万一斗积一百六十二寸为分者十六万二千一升积十六寸二分为分者一万六千二百一合积一寸六分二厘为分者一千六百二十则黄钟之龠为八百一十分明矣空围八百一十分则长累九十黍广容一千二百黍矣盖十其广之分以为长十一其长之分以为广也自孟康以律之长十之一为围之谬其后韦昭之徒遂皆有径三分之说而隋志始着以为定论然累九十黍径三黍止容黍八百有奇终与一千二百黍之法两不相通而律竟不成本朝胡安定谓管长九十黍之广内实十三黍三分黍之一其围容九分者乃九方分也云围九分者取空围圆长九分耳以是围九分之误遂有径三分之说若从径三围九之法则管止容九百黍积止六百七分半矣此胡氏破径三分之说也以是定律皆与古不合又不知变律之法但见仲吕反生不及黄钟之数乃迁就林钟已下诸律围径以就黄钟清声以夷则南吕为径三分围九分无射为径二分八厘围八分四厘应钟为径二分六厘五毫围七分九厘五毫其数不同遂使十二律之声皆不当位反不如和岘旧乐之为得也鲁斋彭氏曰黄钟律管有周有径有面羃有空围内积有从长如史记论从长律厯志论从长及积东汉郑氏注月令论羃东汉蔡氏月令章句论从长皆不易之论独周径之説汉以前俱无明文汉律厯志开端未竟东汉蔡氏始创为径三分之说晋孟氏以后诸儒续为径三分围九分之说宋胡氏蔡氏又为径三分四厘六毫围十分三厘八毫之说然攷之古方围周径羃积率皆未有合尝依东汉蔡氏所言径三分以九章少广内祖氏宻率乗除止得空围内面羃七分七厘奇乃少一分九十二厘奇空围内积实止得六百三十六分奇乃少一百七十三分奇如此则黄钟之管无乃太狭葢黄钟空积忽防若径内差一忽即面幂及积所差忽数至多此东汉蔡氏之说所以不合也晋孟氏诸儒言径三分围九分又用径一围三之法虽是古率然古人大约以比圆田若以宻率推之径一则围三有奇假如径七则围当二十有二今依孟氏所言径三分则围长当九分四厘二毫一秒强不但止于九分也若依九分围长之数则径当止有二分八厘六毫二秒六忽强又不及三分也此晋孟氏诸儒之说所以不合也宋胡氏不主径三围九之说大意疑其管狭耳然所言径长三分四厘六毫围长十分三厘八毫亦用径一围三之率若依所言三分四厘六毫径当得围长十分八厘七毫六秒二忽强不但止于十分三厘八毫也若依十分三厘八毫围长之数则径止得三分三厘奇又不及三分四厘六毫也此宋胡氏之说所以不合也宋蔡氏说径围分数与胡氏同至于算法用圆田术三分益一得一十二开方除之求径又以径相乘以管长乘之用三分益一四分退一之法求羃积今姑依其说以九方分平置□又三分益一以三方分割置于九方分之外如此□共积十二方分其纵横可得三分四厘六毫强不尽二毫八丝四忽的如蔡氏之说但依此径以宻率相乘则空围内面羃不但止得九方分乃得九方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽奇空围内积实不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽奇如此则黄钟之管无乃太细乎考之方内之圆所占者不止四分三圆外之方所当退者又不及四分一以此知三分益一四分退一乃虚加实退算家大约之法此宋蔡氏之说所以又不能以尽合也今欲求黄钟律管从长周径羃积的实定数者须依蔡氏多截管候气之说又以祖氏冲之宻率乗除方可葢祖冲之乃古今算家之最而蔡氏多截管候气之说实得造律本原其说有前人未发者今宜依此说先多截竹以拟黄钟之管或短或长长短之内每差纎微各为一管悉以此诸管埋地中俟冬至时验之若诸管之中有气应者即以此管分作九寸寸作九分分作九厘厘作九毫毫作九秒秒作九忽以合八十一终天之数及元气运行自子至亥得十七万七千一百四十七之数凡用此管三分损益上下相生由此又取此管九寸寸作十分分作十厘厘作十毫毫作十秒秒作十忽以合天地五位终于十之数乃以十乗八十一得八百一十分以八百一十分配九十分管知此管长九十分空围中容八百一十分即十分管长空围中容九十分一分管长空围中容九分凡求度量衡由此乃以此管面空围中所容九分以平方羃法推之知一分有百厘厘有百毫毫有百秒秒有百忽积而计之一平方分通有面羃一万万忽九平方分通有面羃九万万忽乃以此九万万忽依算经少广章所载宋祖冲之宻率乘除得圆周长的计十分六厘三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二又以圆周求径计三分

三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五又以半径半周相乗仍得九万万忽内一忽弱通得面羃九平方分也既以周径相乗复得面羃如此则黄钟之广与长及空围内积实皆可计矣故面羃计九方分深一分管则空围内当有九立方分深九十分管计九寸则空围内当有八百一十立方分此即黄钟一管之实其数与天地造化无不相合此算法所以成也算法既成之后或以竹或以铜别为之依其长各作八十一分以为十二律相生之法又依其长作九十分乃取九十分之分计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五以合孔径如此则圆长面羃与空围内积自然无不谐防特径数自八毫以下非可细分而算法积忽与秒不容不然耳至司马光与范镇论律镇曰益州进士房庶尝得古本汉书云度起于黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之起积一千二百黍之广度之九十分黄钟之长一为一分今文脱去之起积一千二百黍八字故自前世累黍为乏纵置之则太长横置之则太短今新尺横置之不能容一千二百黍则大其空径四厘六毫是以乐音太髙皆由儒者误以一黍为一分其法非是且汉志云一为一分者葢九十分之一当以千二百黍实管中随其短长断之以为黄钟九寸之管得九十分其长一为一分取三分以度空径合其数黄钟之长九寸加一以为尺则律正矣是镇意谓制律之法必以千二百黍实黄钟九寸之管九十分其管之长一为一分是度由律起也光曰汉书正本之度起于黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广九十分黄钟之长一为一分本无之起积一千二百黍八字是光意谓制律之法必以一黍之广定为一分九十分则得黄钟之长是律由度起也光镇争论前后三十年不决程回着三器图议曰体有长短所以起度也受有多寡所以生量也物有轻重所以用权也是器也皆准之上党羊头山之秬黍焉古人以度定量以量定权必参相得然后黄钟之律可求八音五声从之而应也回谓以黍定三器三者尺为之本周尺也者先儒攷其制脗合者不一阮逸胡瑗累黍定尺既大于周姑欲合其量然于权不合宋祁取隋大业中厯代尺十五等独以周尺为本韩琦累黍尺二其一亦与周尺相近司马刻之于石光旧物也茍以是定尺合诸器矣夫自昔诸说之不同如此有是者有非者有似是而非者有是而未宻者以余论之古云黄钟管九寸围九分径三分长八十一分容千二百黍此皆古人大率言之未着为宻率也故朱子曰古只说空围九分不说径三分葢不啻三分犹有奇也正谓是耳然从古无九十分为黄钟并积八百一十分之说至刘歆典钟律乃有本起黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广度之九十分一为一分十分为寸之说蔡季通信之谓为累九十枚黍度之广积八百一十分为一龠之数皆非也考史迁云黄钟长九寸长八寸十分一是以十分为寸以九约之为八寸十分一此其说最为近古可信也葢古法十其寸为尺九其寸为律观蔡邕铜龠铭曰黄钟之宫长九寸空围九分乃章句又曰管者形长尺围寸夫既曰九寸又曰一尺既曰九分又曰一寸则约十为尺约九为寸即如史迁所谓长九寸长八寸十分一之说也葢治律约十为九其数乃齐以为度则约为十其理一也古一为一分者去声之分非平声之分也刘歆误认为平声遂命黄钟为九十分蔡季通等又演为八百一十分是已误而益误也季通既曰全数即十取九相生约九为十是明知约九为十矣乃曰积八百一十分夫十则为百分千分九则为八十一分七百二十九分乃何有八百一十分哉胡氏云黍实于管中十三黍三分黍之一而满一分是一为一分也而以管之九寸九十枚黍度之得千二百黍为黄钟之管是乃十其广之分以为长十一其长之分以为广也然以此治律则管长而狭矣葢约九为十者就此黄钟九寸而约为十寸非有加也胡氏蔡氏则九十分真加九分矣夫围九分仍旧贯之九分也而长乃加其十之一以此长且狭之管吹之何怪其不成声耶胡安定谓径三分为误不知径三分之误不过毫忽间而八百一十分则实多八十一分其误大矣若彭氏谓以管作九寸寸作九分以合八十一终天之数以九作十寸寸作十分以合天地终于十之数似得相约之法而乃亦谓以十乘八十一得八百一十分则犹之乎胡氏蔡氏也至谓管埋地中以候气取其气应者用之不知候气之说皆属伪为不足凭耳若房庶増之起积一千二百黍八字乃为妄増其欲于黄钟之九寸加一以为尺则为赘疣温公论本无之起积一千二百黍八字良是而其以九寸为九十分则亦犹之乎房庶也所以晋梁以来诸尺制律各有容受不同皆坐此分寸不明之故非旁庣盈虚之致也惟程回议三器壹禀于黍而宋祁取厯代尺十五等独以周尺为本似为得之然则造律者必遵何术而可曰古乐亡矣所在者幸有此九寸九分之数千二百黍之文也舍此其奚之焉然而古尺不一莫辨真伪知何尺为九寸则舍黍又奚之焉必也定九寸为黄钟以九分为寸空围九分以实千二百黍算之葢以九寸归千二百黍得毎寸一百三十三黍三分黍之一以九分归一百三十三黍三分黍之一得毎分十四黍八一四八不尽置毎分一十四黍八一四八不尽以九九八十一分乘之得一千二百黍还黄钟之原此其数也其长围之数既定则径自在其中约九为十约十为九无不可者如以十分为寸则分亦十厘亦以十数量围径如以九分为寸则分亦九厘亦以九数量围径均齐得所于黄钟一无增损数既定矣考古称秬黍出上党羊头山可用或谓地有肥瘠种有不同者然秬之言大也似宜于地美种大者用之其实黍则勿论纵横但以容千二百黍为准葢长之分寸与围之分寸同则自无有余不足之弊而分寸径围一皆从此出也程回等论周尺为最想古代之玉尺铜尺或管今载在内府必有存者未之见耳倘见其器如前法约其分寸实以秬黍酌取其近千二百黍者为用以声音正之即此且可辨尺与管之真伪又何论异同哉得黄钟之管然后以勾股宻率布之而律即正矣【勾股宻率见律原】

古今律厯考卷三十一

<子部,天文算法类,推步之属,古今律历考>

钦定四库全书

古今律厯考卷三十二　　　明　邢云路　撰律吕四

律吕

辨黄钟三寸九分之非

古法黄钟九寸而吕氏春秋乃曰黄帝命伶伦取竹断两节间长三寸九分而吹之为黄钟之宫其后莆田李文利作律吕元声遂亦谓黄钟三寸九分最短其音清后人遂有信之者夫吕不韦在先秦若可信矣然考古黄钟起于冬至为阳阳为九故九寸为宫八十一分以渐而短至羽四十八分自然之数也律以和人声宫属喉喉音浊故国语云大不逾宫细不过羽夫宫音之主也第以及羽管子云聴宫如牛鸣窌中言其浊至羽则如鸣鸟在树言其清自然之声也国语管仲不在不韦之前乎盖黄钟律之九寸为宫九九八十一分宫之八十一三分去一下生徴徴数五十四徴三分益一上生啇商数七十二商三分去一下生羽羽数四十八羽三分益一上生角角数六十四角属木清浊中葢木之声清于土金之声浊于水火之声角声亦清于宫商浊于征羽故角声属木所以清浊中凡数多者浊少者清宫数八十一商数七十二征数五十四羽数四十八角数六十四少于宫商多于征羽故云清浊中尊者为浊卑者为清民则卑于君臣尊于事物则角乃民之象也声之尊卑取象五行者宫主土土声浊其数多故为君商主金金声稍重其数稍多故为臣角主木木声清浊中其数多少中故为民征主火火声稍轻其数稍少故为事羽主水水声极轻其数最少故为物其自然之序如此尔雅与蔡邕俱云管长尺晋志载黄帝玉管长尺六孔为十二月音周语注及月令章句俱云黄钟长九寸葢审度以一尺而推律以九寸是约十为九其数一也况吕不韦六月纪又曰黄钟生林钟林钟生太蔟太蔟生南吕三分损益上下相生以至于仲吕淮南子以黄钟八十一分上下相生与吕氏同此其法即史记汉书黄钟起于九寸八十一相生至于应钟四寸六分四十二之数也夫吕氏既云三寸九分而又用九寸八十一之数以相生已自相抵牾矣若谓吕氏黄钟原非九寸之数而用三寸九分为管依吕氏相生之法布之吕氏以黄钟为上三分去一下生林钟葢以黄钟之三寸九分损其一分之一寸三分以下生林钟得二寸六分吕氏以林钟为下三分益一上生太蔟葢以林钟之二寸六分益其一分之八分六厘六毫六丝六忽不尽以上生太蔟得三寸四分六厘六毫六丝六忽不尽以此俱如法上下相生太蔟损一寸一分五厘五毫五丝不尽下生南吕得二寸三分一厘一毫一丝一忽不尽南吕益七分七厘三丝七忽不尽上生姑洗得三寸八厘一毫四丝八忽不尽姑洗损一寸二厘七毫一丝六忽不尽下生应钟得二寸五厘四毫三丝二忽不尽则自长至短之数也夫管所以吹也管而由三寸余递降至二寸余之短吹之何以成声以被之人声和乎人声之歌咏与金石丝竹诸音其髙下清浊有自然音调今槩以三寸二寸之管吹为尖亮急裂之声以奏之宗庙明堂必无幸矣葢不韦之书集门客为之其语多杂一面云三寸九分一面云损益相生则用古来九寸正法其用九寸正法则是而云三寸九分则非自言而自背之不自知其前后之相矛盾也晋书宋书以讹传讹亦载三寸九分之说皆吕氏启之矣故本朝何文定公读律吕元声议云李文利之法谓黄钟律三寸九分最短蕤宾律九寸最长宫音最清羽音最浊与古法大相反非也葢阳数九故黄钟九寸若谓三寸九分则何所取义乐声与人声各有五音而人声尤为自然喉为宫音舌为商音牙为角音齿为征音唇为羽音此人声之自然也喉为宫音岂非以其来之深长而浊乎故古法以长律之音为宫以配之唇为羽音岂非以其来之短浅而清乎故古法以短律之音为羽以配之今李氏乃谓宫音最清羽音最浊则与人声之宫羽相反伦类之不通也李法谓数少者音清数多者音浊及论五音之数则谓宫音五十商音八十角音九十征音七十羽音六十宫音五十最少谓数少音清可也商音次清数乃八十羽音最浊数乃六十又安在其少者清而多者浊乎若谓宫土音故数五十羽水音故数六十则商金音数何以反八十角木音数何以反九十乎土浊水清理不可易今乃谓土音清而水音浊何耶且既以宫为清而羽为浊矣及论乐调则又谓蕤宾为宫则夹钟为羽又安在其宫清而羽浊乎其辩皆是

三分损益上下相生

吕氏春秋季夏六月纪曰黄钟生林钟林钟生太蔟太蔟生南吕南吕生姑洗姑洗生应钟应钟生蕤宾蕤宾生大吕大吕生夷则夷则生夹钟夹钟生无射无射生仲吕三分所生益之一分以上生三分所生去其一分以下生黄钟大吕太蔟夹钟姑洗仲吕蕤宾为上林钟夷则南吕无射应钟为下淮南子曰黄钟位子其数八十一主十一月下生林钟林钟之数五十四主六月上生太蔟太蔟之数七十二主正月下生南吕南吕之数四十八主八月上生姑洗姑洗之数六十四主三月下生应钟应钟之数四十二主十月上生防宾防宾之数五十六主五月上生大吕大吕之数七十六主十二月下生夷则夷则之数五十一主七月上生夹钟夹钟之数六十八主二月下生无射无射之数四十五主九月上生仲吕仲吕之数六十主四月极不生之二说者应钟以前上下相生之数与迁固律志同而防宾以后与迁固不同蔡季通谓吕氏淮南上下相生虽大吕夹钟用倍数则一然不过以数之多寡为生之上下律吕隂阳皆错乱而无伦近郑世子以吕氏淮南为是而不用三分损益隔八相生谓长律下生短律左旋隔八短律上生长律右旋隔六以勾股算术布之周而复始以余论之皆殊涂而同归也夫三分损益自管子言之无以易矣吕氏淮南法由黄钟至应钟与迁固同勿论独蕤宾以后之各异者葢吕氏淮南以黄钟至仲吕皆属阳防宾至应钟皆属隂朱子亦主此说谓子黄钟复卦一阳丑大吕临卦二阳寅太蔟泰卦三阳卯夹钟大壮卦四阳辰姑洗夬卦五阳已仲吕乾卦六阳午防宾姤卦一隂未林钟遯卦二隂申夷则否卦三隂酉南吕观卦四隂戌无射剥卦五隂亥应钟坤卦六隂以此为隂阳故自蕤宾之数变下为上而上生大吕以隂生阳大吕变上为下而下生夷则以阳生隂相生以至于仲吕非错乱无伦也迁固则谓从子自亥黄钟太蔟姑洗阳之阳也林钟南吕应钟隂之隂也阳生隂退故律生吕言下生吕生律言上生蕤宾夷则无射隂之阳也大吕夹钟仲吕阳之隂也隂升阳退故律生吕言上生吕生律言下生防宾而后因在阳倍之于数既倍故阳反四上生益而隂反倍下生损相生以至于仲吕与吕氏淮南其究竟一也葢二说一以隂阳正位言一以隂阳易位言于理皆合总之于黄钟之位子其数八十一主十一月相生至于仲吕位已其数六十主四月一无所异耳迁固左旋八八为伍以自黄钟而下其相生固分上下而一以左旋顺数并本位为隔八以相生郑世子以下生左旋隔八上生右旋隔六以相生是其左旋之八仲吕可生黄钟犹夫右旋之六仲吕可生黄钟其数不同其归一也故曰殊涂而同归第郑之说较迁固为简约而其以勾股术布周而复始则独优于往昔矣

和声

汉前志曰黄钟为宫则太蔟姑洗林钟南吕皆以正声应无有忽微不复与他律为役非黄钟而他律虽当其月自宫者则其和应之律有空积忽微不得其正蔡氏谓黄钟正声其他变律半声虽欲役之而不可得惟杜佑通典再生黄钟之法为得之按杜佑通典曰十二律相生之法自黄钟始三分损益下生林钟林钟上生太蔟太蔟下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应钟应钟上生防宾蕤宾上生大吕大吕下生夷则夷则上生夹钟夹钟下生无射无射上生仲吕此谓十二律长短相生一终于仲吕之法又制十二钟以准十二律之正声又鳬氏为钟以律计自倍半以子声比正声则正声为倍以正声比子声则子声为半但先儒释用倍声有二义一义云半十二律正律为十二子声之钟二义云从于仲吕之管寸数以三分益一上生黄钟以所得管之寸数然后半之以为子声之钟其为变正声之法者以黄钟之管正声九寸子声则四寸半又上下相生之法者以仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四上生黄钟三分益一得八寸五万九千四十九分寸之五万一千八百九十六半之得四寸五万九千四十九分寸之二万五千九百四十八以为黄钟又上下相生以至仲吕皆以相生所得之律寸数半之以为子声之律故有正声十二子声十二以为二十四蔡氏云此说黄钟九寸生十一律有十二子声所谓正律正半律也又自仲吕上生黄钟黄钟八寸五万九千四十九分寸之五万一千八百九十六又生十一律亦有十二子声即所谓变律变半律也正变及半凡四十八声上下相生最得汉志所谓黄钟不复为他律役之意与律书五声大小次第之法但变律止于应钟虽设而无所用则其实三十六声而已其间阳律不用变声而黄钟又不用正半声隂吕不用正半声而应钟又不用变半声其实又二十八声而已以余论之古传十二律未闻有变律之说也杜佑云子声者即所变之半律而谓有正声十二子声十二共二十四蔡氏则谓变律至于应钟乃自仲吕上生黄钟林钟太蔟南吕姑洗应钟为六变律夫考古六律六吕已自成音谓仲吕二数之不行而强演诸律皆赘疣也汉志谓他律不得其正而蔡氏既以杜佑再生黄钟为得乃又云变律虽设而无所用六变且无所用十二子又焉用之既不得其正而又设之无用则亦觉多术为矣

汉后志京房六十律

黄钟【子】