同文算指

钦定四库全书　　　　　子部六

同文算指　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要

【臣】等谨案同文算指前编二卷通编八卷明李之藻演西人利玛窦所译之书也前编上下二卷言笔算定位加减乗除之式及约分通分之法通编八卷以西术论九章卷一曰三率凖测即古异乗同除曰变测即古同乗异除曰重测即古同乗同除卷二卷三曰合类差分曰和较三率曰洪衰互徴即古差分又谓之衰分卷四曰叠借互徴即古盈朒卷五曰杂和较乗即古方程巻六曰测量三率即古勾股曰开平方曰竒零开平方即古少广巻七曰积较和开平方卷八曰纵诸变开平方曰开立方曰广诸乗方曰竒零诸乗方皆即古少广按九章乃周礼之遗法其用各殊为后世言数者所不能易西法惟开方【即古少广】勾股各有専术余皆以三率御之若方田粟布差分商功均输五章本可以三率御之至于盈朒以御隠杂互见方程以御错糅正负则三率不可御矣葢中法西法固各有所长莫能相掩也是书欲以西法易九章故较量长短俱有増补其论三率比例视中土所方田粟布差分诸术实为详悉至盈朒方程二术则皆仍旧法少广畧而未备且法与数多出入之处梅文鼎方程余论曰防何原本言勾股三角备矣同文算指于盈朒方程取古人之法以之非利氏之所也又曰诸书之谬误皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可见矣诚确论也然中土算书自元以来散失尤甚未有能起而搜辑之者利氏独不惮其烦积日累月取诸法而合订是编亦可以为算家考古之资矣乾隆四十六年十月恭校上

总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

总　校　官　【臣】　陆　费　墀

同文算指前编序

古者教士三物而艺居一六艺而数居一数于艺犹土于五行无处不寓耳目所接已然之迹非数算纪闻见所不及六合而外千万世而前而后必然之验非数莫推巳然必然总归自然乘除损益神智莫増矞诡莫掩颛莫可诳也惟是巧心濬发则悟出人先功力研熟则习亦生巧其道使人心心归实虚防之气潜消亦使人跃跃含灵通变之才渐啓小则米盐凌杂大至画野经天神禹赖矩测平成公旦从周髀窥验谁谓九九小数致逺恐泥尝试为之当亦贤于博奕矣乃自古学既邈实用莫窥安定苏湖犹存告饩其在于今士占一经耻握从衡之算才高七步不嫺律度之宗无论河渠厯象显忒其方寻思吏治民生隂受其吁可慨已徃游金台遇西儒利玛窦先生精言天道旁及算指其术不假操觚第资毛颖喜其便于日用退食译之久而成帙加减乘除总亦不殊中土至于竒零分合特自畅多昔贤未发之防盈缩句股开方测圜旧法最囏新译弥捷夫西方逺人安所窥龙马畴之秘首商高之业而十九符其用书数共其宗精之入委防高之出意表良亦心同理同天地自然之数同欤昔婆罗门有九执厯写字为算开元摈为繁琐遂致失传视此异同今亦无从参考若乃圣明在宥遐方文献何嫌并蓄兼收以昭九译同文之盛矧其禆实学前民用如斯者用以鼓吹休明光阐地应比夫献琛辑瑞傥亦前此希有者乎仆性无他嗜自揆寡昧游心此道庶补防学洒扫应对之阙尔复感存忘之永隔幸心期之尚存荟辑所闻厘为三种前编举要则思已过半通编稍演其例以通俚俗间取九章补缀而卒不出原书之范围别编则测圜诸术存之以俟同志今庙堂议兴厯学通算与明经并进传之其人傥不与九执同湮至于縁数寻理载在几何本本元元具存实义诸书如第谓艺数云尔则非利公九万里来苦心也

万厯癸丑日在天驷仁和李之藻振之书于龙精舍

钦定四库全书

同文算指前编巻上

明　李之藻　撰

定位第一

古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍累纪于一协于十长于百大于千衍于万算之原也后世乃为珠算而其法较便然率以定位为难差毫厘失千里矣兹以书代珠始于一究于九随其所得而书识之满一十则不书十而书一于左进位乃作○于本位【○一】曰一十由十进百由百进千由千进万皆仿此

假如四万三千二百一十作何排列

自左方写起平行大数列左小数列右若从小数起积者每满十则进位一十者书一二十者书二余仿此若大数积多则于左方渐进加字如后图万亿兆京是也若小数积余则于右方渐退加字如两下有钱钱下有分分下有厘又有毫有丝有忽之类是也

大衍式

几度十丈曰引五丈曰端四丈曰疋十尺曰丈十寸曰尺十分曰寸而计田则横一丈纵六十丈为亩【即濶一步长二百四十步】四分其亩为一角角得方丈者十五十分其亩为一分分得方丈者六得方尺者六百分以下厘毫析之而以百亩为顷五项四十亩为丘凡量六粟为圭十圭为撮十撮为抄十抄为勺满十而进之为合为升为斗为石亦曰斛凡衡以两为君两有十钱钱有十分自分以下十而析之曰厘曰毫曰丝曰忽曰微曰纎曰沙曰尘曰埃曰曰漠至细之倪惟所立名而十六两为斤二百斤为引今公私通用之则也古法之衡则十黍为累十累为铢八铢为锱六铢为分二十四铢为两两即四分也两又四之自乘一十六以象四时是命曰斤计铢三百八十有四当朞之月又以十五斤为称二称为钧四钧为石度则古尺长短不一丈尺而外别以七尺为施八尺为仞亦为寻倍寻为常量则六十四黍为圭又有四升之豆四豆之区四区之釡十釡之钟十六斗之庾十六斛之秉今皆不用　凡钱千文为缗五缗为绽凡钞五贯为锭锭当钱千里法三百六十步步法今用五尺

厯法每度百分每分百秒西厯则积六十秒为分积六十分为度秒以下俱以六十析之

右式三位而成百五位而成万九位而成亿十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以极于正于载皆以万万递加是谓中数昔者黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也从亿至载终于大衍下数浅短计事不尽上数宏廓世不可用故其业惟以中数举一中数而天地鬼神人物之纪思议之所不及者皆尽之矣况更有上数在乎由旬刹那吾无取焉尔

加法第二

凡数惟加法最易加之不已至于无算故算首论加加也并也积也一也少曰并多曰积皆加也列散数于上各横置以类相比【如十从十百从百及两从两斗从斗之类】先从小数并之而以所得数纪本位下遇十则进一位遇百则进二位第一图　系进一位式

【倂四七九得二十下纪○　二进位并五八八又并前二得二十三下纪三二进位并六九七八又倂前二得三十二下纪二三进位并八六又并前三得一十七下纪七一进位并一五又并前一得七下纪七】

【只七下纪七】

右式散数四项列格上并总得数七十七万七千二百三十列格下

第二图　系进二位式

【初并一百零二下纪二以一百进二位

次并五下纪五

再并一十六前一得一十七下纪七一进位

终并连前共得二十三下纪三二进位】

右式散数一十二项并总得数二万三千七百五十二

以上二图尽加法矣另有试法具后

一法先自上数下得若干复自下数上得若干然后纪总一法以减法试加随意减一行得若干再加所减仍得若干

又有将散数总数错综覈之者有九减七减二法先减散数余若干次减总数余若干以其所余两数对列相较同则无差异则有差

第一图用九减

此法不论进位只以见数为

准累用九减去○不用先以

散数九减之余置于左次以

总数九减之余置于右俱得

八故知不差

又用七减

此法与九减者稍异乃以实数七七减之从左起连○算者如首行首七竞减净　次【○一】减七余三　次即作【六三】减七余一　次作【五一】减七余一　次作【四一】七减无余乃于首行之左格外纪○　又以次行之首【九八】七减余五　次即作【○五】七减余一　次作【七一】七减余三乃于次行之左格外纪三　其第三行依法减之余得五第四行依法减之亦余得五各以纪于其左　次将总数七减如前法余得六　乃合四项散数所七减而余者据见数更七减之三五五余得六纪于□左以总数所余之六纪于右六六相合固知不差

第二图用九减

【先减散去九不用六个八

共四十八余三加次行五

得八又加次行得二十四

又加末行得四十六九减

余一纪左次阅总数共一

十九九减亦余一纪右】

又用七减

照前七减法先将散

数逐减纪左累

而减之余一次

将总数亦以七

减余一相合无差

右九减七减法繁碎难用然出巧思具至理录之备翫

减法第三

减与加反用稽所余其法先较数之多寡多中减寡亦自右方小数减起以渐进位其辨多寡之法于左方首位辨之首位相等乃视次位次复相等逐位退求则多寡分焉

【此数首位视之

相等然退至三

位上系一千下

系九百九十九】

既审多寡乃以原数列上减数列下依法右起所余逐纪于下如就多中减少者不须别立借法如后第一图若少内减多须立借法以通其变如后第二图云

此上下相减俱系以少减多

不须更立借法

第二图【亦系以少减多但中有上数小下数反大者须立借法】

右借法乃借大数兼小数以便总减者又法直于借数一十用减却加入本数尤为便捷假如二不能减九当借作一十二内减九得三今却不作一十二只就所借一十之内先减九余一次乃加二仍得三也先减后加比前较易

以上二图减法尽矣其间有差与否何以覈之

一法用加法验之以减数合减余数得原数【如三加六合原九之类】又法以减余数减其原数应与所减数合【如原数七减二余五今却减五合余二为不差】

亦有用九减七减二法者俱以第一行原数为一项第二行减数第三行余数共为一项而较零之同否同即不差

九减　　　　　　　　七减

【减数首作六十七余四次作四十八余

六又作六十二余六又作六十三无

零其余数首作三十九余四次作四

十三余一次作一十二余五次作五

十三余四次作四十一余六次作六

十一余五纪右五五相合无差】

乘法第四

既知加减当论因乘单位曰因位多曰乘通谓之乘凡乘之数妙于九九作九九图

九九相乘图

首横一行自上读下右直

一行自右读左其相值处

即是乘得数指掌可尽也

附九九相乘歌

一一如一　　一二如二　　二二如四　　一三如三二三如六　　三三如九　　一四如四　　二四如八三四一十二　四四一十六　一五如五　　二五得一十三五一十五　四五得二十　五五二十五　一六如六二六一十二　三六一十八　四六二十四　五六得三十六六三十六　一七如七　　二七一十四　三七二十一四七二十八　五七三十五　六七四十二　七七四十九一八如八　　二八一十六　三八二十四　四八三十二五八得四十　六八四十八　七八五十六　八八六十四一九如九　　二九一十八　三九二十七　四九三十六五九四十五　六九五十四　七九六十三　八九七十二九九八十一

又法就小乘得大乘不用九而用十假如二数并列因其数大难乘未知乘得若干且连注二数而取十数与较看所不足若干因连注不足数于本数右平衡相对其所不足数必其小于原数者也小者易乘乃以不足数上下相乘注乘得数于下为单数又以不足数与原数上下互减注减余数于其下为进位数即得所求大乘数

右法专为未熟大乘者设也若小数相乘不必用此盖以小数减十则不足之数反多而乘出亦多但多出十数外者以十外之数寄于进位就于互除还之其数未尝不合

【左七俱得三合　　　　　三三如九所寄进位一共得四是为六七四十二】

既知乘数乃列乘位凡乘亦从右小数乘起次第进位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位【十数】三位【百数】及数十位者有以二位乘一位或二位三位以至数十百位者其变无穷其法一定

若以几位乘几位者无拘上下随意互乘

上图位数相近随意互乘如第一图者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得数置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置于七本位下以乘九所得置于七进一位下以乘三所得置于七进二位下其余徧乘仿此毕乘诸位仍以加法通并详具于后

二位乘【此以三十八乘三百九十四者是为二位乘】先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置于三本位下而其进位及进乘所得皆以次递进一位不可紊乱　如三乘四者得【二一】纪二于三下一进位　如三乘九者得【七二】加前一共【八二】纪八于三之次位二又进位　如三乘三者得九加前二得【一一】纪一于又次位一又进位　两位所乘鱼鳞相比毕则总并其数

以上二图乘法之大略也覈其差否须以除法还原列乘出总数为实如以第一行为法除之必得第二行数【如前一万四千九百七十二为实以三百九十四为法除之必得三十八】如以第二行为法除之必得第一行数【如前实以三十八为法除之各得三百九十四数】合即不差又有九除七除法列原数所余于左列乘数所余于右左右相乘列乘出数于上乃以乘积总数依法除之余数列下上下相比同即不差中间逐位乘出散数俱不用

【首行余七列左次行余二列右

二七乘得一十四以九除余五

列上其积出总数亦余五列下

依法实除原数首三十九

余四次作四十四余二纪

左乘数三十八余三纪右

二三乘得六纪上次除总

数一十四除尽次九十七

余六次六十二余六纪下】

六位乗

挨身下次以九乘上诸位尾

位亦挨本身下余以渐进位

排列　次以三乘上诸位挨

身进位如前　次以○徧乘

上位无乘各挨身照位作○

纪之或空其本位亦可　次

以六徧乘上位尾位所得就

挨六之本身其余以渐而进

云

七位乘

此即前数上下易位为乘故散

数不同而总数同

○无所乘姑空本位

试上图用九除

用七除

【依法按实七除首行余四列左次行

余四列右四四一十六仍除余二列

上总数余二列下】

亦有原数乘数并除而一有零一无零照无乘例只作○

用九除首行原数无余列左

次行乗数余五列右以五遇

○无乗只作○列上次除总

数无余亦只作○列下比同

亦有左右上下俱无零数者

用九除原数乗数俱无余左

右上俱○其总数又无余亦

作○比同

凡乗法或上行原数首尾俱系实数而次行乘数之尾却系几○或次行乘数首尾俱实数而首行原数之尾却几○者不必多作诸○第从简便将各实数如法相乘讫却照其尾余几○逐加于后即见全数盖凡以○乘数者只是作○缘其无可乘出但存其位而已此原数首尾皆实而乘数尾却多○者○无可乘且置不用只以四乘六挨身下数乘徧而止乃将三○系之于尾但不可遗其○位所差不小

若原数及乘数之尾俱各有○若干即须一一相乘以存其位嗣以实数所乘出者挨次进位不得仅如前图照位加○而已

乘得一十

六也

右图上下尾位皆○须留其位故数尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘【共得七○为尾】上有○○○亦进三位乃下四四一十六若但就身下数乘毕补○如下图然则尾少三○其失非小

若以一数为首而尾带多○其数虽多总只是一以此相乘无复可乘但照首行原数挨身进位录之乃视尾有几○照加于后即成全数

除法第五

凡数以少剖多曰除亦名归除归者各分所入除者分分除减其义一也法列原数于上层列除数于次层【旧以原数为实除数为法】从左大数除起上下挨身列位然必以小数系大数下若上层原数小下层除数大者须退一位系之详具左

列位图

凡除法原数列上除数列下于原数尾右界格如半规然而于格外注所得数其归除率以下字除上字要见几除而尽如九除而尽者格外注九字八除而尽者格外注八字余仿此所除不尽之数就原数变之抹原数而书其上凡欲知除出之数得几位者视除数之末位去原数之尾位得若干字即是归除所得位数

一位除【假如七万六千○四十八数以八除之】

格右为除得数第一除得九第二除得五未毕

先看八除【六七】得几转以乘法除之八九七十二是九也注九于格右尚余四变六作四【冩四于六上】削去首七亦削去次行除数之八

挨身另下八以八除【○四】依乘法五八四十格右再纪五其上层【○四】俱削亦削八

同前

第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是为每得九千五百○六恰尽

第一次除得九削去【六七】及八以六变四　第二次除得五削去【○四】及八尽　另挨身下八八虽不除四而当存其位乃于格右纪○而存四削八　另挨身下八以八除【八四】得六八四十八恰尽纪六于格右削去【八四】及下八毕

若除数至二位三位者除讫一位挨身布退一位如鱼鳞然其格右所注数每次所除不论几位总之只得一数但其除数首位必须兼顾次位如以首位除之已得某数即取除余变数为实以所得某数呼次位乗之看是恰尽或有余否方可纪于格右若有不足则将首位所除量减数以为次位之地【如九乗不足则减而用八如八乗不足则减而用七用六之类】务取通融恰当其三位除四位除者亦如之三位除【此有一百八十三万二千四百八十七之数而以四百六十九除之先以首四除一十八尽乘得四四一十六用四而余二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不减数从三只用三以除一十八除得三四一十二尚余六四上八变六进位削一而格右纪三为用数并削首位之四　嗣以三因次位之六三六一十八六上三变五进位四上六变四乃削三削六下又削次位六　嗣以三因九三九二十七九上二变五进位六上五变二乃削二削五亦削九是以三除之余四十二万五千四百八十七数故当用三余再除如后图】右图下层次位以三因六三六一十八其六上三变五者三小八大照减法借进位一数于一十之内除八余得二再加三是变五也

若除法未熟不妨小注于下假上层【三六】下层用三因六三六一十八即于三下且注八于六下且注一三除八如前借法六除一乃还借除二为六变四余仿此

【另退一位挨下四六九先以四除四十二看得几个四凡数极于九用九乘

四九三十六尚余六四上二变六进位四削尽亦削下首位之四格右纪九

嗣以次位六因九六九五十四余一十一六上五变一进位六变一亦削

下位六嗣以次位九因九九九八十一尚余

三十三九上四变三进位一变三系借除进位一削尽亦削九其不尽三

千三百八十七数再除如后图】

【复列四六九而四不能除三姑存其位作○于格右其下层四六九

皆削去　又列四六九以四除三十三看除得几转四八三十二余

一矣然六乘一十八则不足故减而用七除得四七二十八四上三

变五进位削三嗣以六因七六七四十二六上八变六进位五变一

亦削下位六　嗣以九因七七九六十三九上七变四进位削六缘

尚有进位之数仍作○以纪其位而削九存一百○四为不尽之数

不复可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九

为母数以一百○四为子数法别详】

右尾第二位变六作○缘进位尚有一数须作○以存其位此法切记

若上层除余之数反多于下层除数者或上数与下数相等者定是除法有差【只就除过本位上下相较】亦不必另创第将差者抹去而另注所除数于上层之上另注除数于下层之下又另注除得之数于格右以从简便

【先以二除一十六当用五却误用四是宜多反

少者且如二因四得八六变八削一与六亦削

下首位二嗣以四因八四八三十二八上二变

○进位八变五下削八嗣以四因九四九三十

六九上三变七进位○变六系借除进位五变

四下位削九谛视之则余数反多于分数其数

可知悉抹之而另注原数于上另注除数于下

而用五以除之二五除首位一十五八得四十

进位六变二五九四十五九上三变八进位二

变七又进位二变一再列二八九用六除二六

一十二二上七变五进位削一六八四十八八

上八变○进位五变一六九五十四九上一变

七进位○变四进位削一　再列二八九用一】

右误除乃宜多反少者亦　【除二上四变二八上七变九进位二变一九上】有宜少反多者具后　　　【四变五进位九变八又列二八九用六除二六

一十二二上八变六进位削一八上五变七进

位六变一六九五十四九上九变五进位七变

二外余一百二十五数以法命之】

六有竒

【此不当用六却误以六除二六一十二二上六

变四进削一次位六八四十八却不足抹削另

起另列二八九于下一六于上而以五分之二

五除一十五八得四十进位六变二余如前式

不差　再列不当用七而误用七二七一十四

二上七变三进削一七八五十六即不足削三

另列一七于上又列用六二六一十二二上七

变五进削一六八四十八八上八变○进位五

变一六九五十四九上一变七进位○变四进