同文算指

之义】以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十约之则五之三于一十之九乃三之二也

问六数是何数中九之一又问五之三是何数中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六数依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也

问化法假如一化为八今七数共化几分又问以一化四见有四分之三设以一化一十二此四之三者得一十二中之几又问以一化七见有七之三设以一化八则此七之三者是八中之几曰此用乘法以前后数相乘得之问化八者以七乗八得五十六是所求其化数矣问以化四较化一十二者以前子四中之三与后母一十二倒位相乘得数【三十六】以前母除归本数【四个九】即后母之子数也【一十二之九】问以化七较化八者亦然以前子七中之三与后母八倒位相乘得数【二十四】以前母除归本数【三七二十一得整三数余三不尽是零七之三】即后母之子数也【后母八此前母七中之三即后母八中之三零七之一也】譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中国计日以百刻西洋以九十六刻今问西洋之三十一刻当中国之三十几刻即以西洋九十六为母三十一为子却以中国之母倒下作子与之对乘得三千一百是为九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再寻纽数四约之乃是二十四分刻之七也

同文算指前编卷下

<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__前编>

钦定四库全书

同文算指通编卷一

明　李之藻　撰

三率准测法第一

数有显隐必頼显以徴隐故列前三率求后一率先定三率之位大都取其相准如货准货钱准钱之类凡第三率必与第二率相乗而以第一率除之因得第四率为所求旧名异乗同除

假如钱四贯得货十二斤今问钱二十贯当得货几斤则以二十为三率以十二为二率与相乗以四贯为一率

第一率　四贯　　二率三率乗得二百四十数以一第二率　十二斤　率之四除之每分得六十数为所第三率　二十贯　求盖第一率与第三率相准也而第四率　六十斤　第二率又与未知之第四率相准

相准故以相推妙在相准

假如米六十石足支五月今问有米一百三十二石足支几月此以六十石为一率五月为二率今有一百三十二石为三率以与二率相乗以第一率六十除之第一率　六十石

第二率　五月　　　　【以五乗一百三十二得六百六十数乃以六十除之得一】第三率　一百三十二石【十一月】

第四率　一十一个月

右试法二率三率相乗如前却以第四率除之仍得第一率则所推不误

又法移第三率为第一率第四率为第二率却以第一为第三如前二三乗之以一除之所得第四率必合第二率

第一率　二十贯　　　　　一百三十二石

第二率　六十斤【四乗六十得二百四十以】十一月【十一乗六十得六百六十以一】第三率　四贯　【二十除之得十二】六十石【百三十二除得五】

第四率　十二斤　　　　　五月

又有化多为寡之法先寻纽数凡一数可以除尽两数者为纽数其两数亦取相准者为用因以相对乃取纽数所得置本位下乗除如前若无纽数者则否

三率　二十　二十【四以三代十二仍依法乗得六】五　【十故以一代四以五代二】

四率　六十　六十【十】　　　　　六十【十依法乗之得六十如前】又式

三率六十三　六十三【八故以四更之依前乗除仍得】七　【也七九六十三故代之以七也】四率　八十四　八十四【八十四】　　　八十四【仍前乗除亦得八十四】又三率准测之法以一率除二率得数乃以乗第三率所得第四率不异前法

一率　六十　　　【先以一率除二率得六以乘第三率推得第四率】二率　三百六十

三率　一百三十二

四率　七百九十二

乂法先以第一率除第三率得数以乗第二率乗出数为第四率亦如前

一率　六十　　　【以一率除第三率得二零六十之十二约之乃五分之一为用数以】二率　三百六十　【乗第二率仍得七百九十二如前】以上二法皆用三率　一百三十二　先除后乗但除之不尽必用零乗四率　七百九十二　之法故不若从前先乗后除为捷右准测法之变凡三而吃在于定位孰为第一率孰为第二三率应前者前应后者后又或前者反后后者反前畧具凡例如左

问用银四十四两买绢五十二疋今买二百六十疋该银几何此所问者二百六十疋则以二百六十为第三率以原买绢五十二为第一率相当而以四十四为第二率以当所测之第四率

一　五十二疋

二　四十四两

三　二百六十疋

四　二百二十两

问买绢五十二疋用过价四十四两今有银二百二十两该绢几疋此所指者银数则以今有银为三率原价为一率与相当而以买过绢为二率乗之

一　四十四两

二　五十二疋

三　二百二十两

四　二百六十疋

问用银四十四两不知籴米若干曽见有人以银二百二十两籴米二百六十石

一　二百二十两

二　二百六十石

三　四十四两

四　五十二石

问有人粜米五十二石不知得银几何曾见有人粜米二百六十石得银二百二十两

一　二百六十石

二　二百二十两

三　五十二石

四　四十四两

右四问总是一法所问不同以辨三率之位

问有人七日行二百一十里今行一千六百里须几日一　二百一十里

二　七日

三　一千六百里

四　五十三日又二百一十分日之七十

【刻法每日一百依法以乗子数七十得七千以母数二百一十除之得三十三刻又三分刻之一】

问椒一斤不知其价见人买六十斤用价二十两一　六十斤

二　二十两【二率乗三率仍得二十却以一率之六十除之系以多除少者説在前编竒零除法】三　一斤　【立一为母倒位互乗以除之】

四　　　　【约之乃三分两之一也求分厘法依前编以两化之子乗母除得三钱三分三厘三三】问谷每石价银一两七钱五分米每石价银二两五钱今有谷三百九十六石照价折米该若干

一　二两五钱

二　一两七钱五分

三　三百九十六石

四　二百七十七石二斗

若问米二百七十七石二斗照价该准谷若干者即以一两七钱五分为第一率二两五钱为第二率以二百七十七石二斗为第三率

问有八成金五十两价银二百两今有九成金四十两该银若干此因有成色有两数有价数法当取成色折足色后用准测推之五八四十为第一率二百两为第二率四九三十六为第三率

一　四十两

二　二百两

三　三十六两

四　一百八十两

问银一百两零七钱八分雇工筑堤四百丈零四分今欲筑堤一千丈零四分三厘该银几何此法化两为分化丈为厘以列三率

一　四万四十厘　　【化四百丈四分】

二　一万七十八分　【化一百两七钱八分】

三　一十万四十三厘

四　二百五十一两八钱六厘又四千零四分厘之二千一百三十【约之乃二千二之一千六十五以毫归整乃五毫三丝一忽九微六纎】

问住居七个月零十五日已支银二百两七钱八分又七分分之二若住六年该费若干此化年月为日化两为分以列三率

一　二百二十五日

二　二万七十八分又七分分之二

三　二千一百九十日

四　一十九万五千四百二十八分又一千五百七十五分分之一千二十【即一千九百五十四两二钱八分六厘四毫七丝六忽八防七纎不尽】

问有蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一共价银二两六钱今有银九钱买蜡几何曰此谓三不同类之率【因蜡有斤有两又有零分银亦有两有钱故云】取一最细数为君以大数化之取原价二两六钱为二十六钱取原蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一为一百七十三两零十分两之九【即一千七百三十九钱也每斤十六两先以十斤乗得一百六十数次以五之二乗得五之三十二乃共得一百六十六两零斤之二也次加七两得一百七十三两其所零二之一倂前所零五之二用并母法互乗积之为十分两之九总之如上数】

一　二十六钱　　　　　　　　　　【二率乘三率依前编零乗之法归整得一】二　一百七十三两一十分两之九【千五百六十五又一十之一乃以第一率用零】

三　九钱　　　　　　　　　　　【除之法则一十乗二十六得二百六十为四率】四　六十两又二百六十之五十一【约之如上照斤法得三斤十二两一钱九

分又六十五之四在前通问十四】

问欲买防氄八分丈之七价若干曰曾买三分丈之一原价四分两之三算之

问炼矿求银初火炼得三之二再火得七之五又入火得五之四凡三火共得足银一十六两原矿若干此并子并母求之以三子相乗【二五得一十又四乗得四十】为首率以三母相乗【三七二十一又以五乗得一百零五】为次率一十六为三率

问筑墙上广一尺下广四尺高一丈二尺今上广如故下广仅二尺一寸可高若干法以较求之取原上广较原下广所差为一率以原高数为二率今筑下广较原下广差为三率

一　三十寸【上广不及下广数】

二　一百二十寸【高】

三　一尺九寸【今下广减原下广】

四　七十六寸

右法若以筑高七尺六寸问上广若干者以筑高数乗原上下广较而以原高数除之

问筑墙上广二尺下广六尺高二丈今已筑至上广三尺六寸量高若干亦以上下广较为一率原高为二率今所筑中广以较下广差数为三率

一　四十寸【原上下广较】

二　二百寸【原高】

三　二十四寸

四　一百二十寸

右法若问筑至高一丈二尺问上广者以筑至数乗原上下广较而以原高数除之

问筑墙上广十尺下广三十尺高四丈今欲筑至上广九尺该接高几何以今上广较原上广余一尺为主置第三率置原高四丈为二率以原上广不及下广二十尺为首率

一　二十尺【原上下广较】

二　四十尺【原高数】　　　　又法以原上下广较减三　一尺【今上广较原上广数】原高为实以今上广与

四　二尺　　　　　　　　原上广较得数为法除

之亦同

右法若问再加二尺上广几何者以再加数与原上下广较相乗而以原高数除之

问驿使先发三十七里别以一骑追之驰一百四十五里尚不及二十三里须追几里可及此以先发及追去未及之里推之知驰一百四十五里只追上一十四里以追上数为第一率疾驰数为二率不及数为三率一　一十四里

二　一百四十五里

三　二十三里

四　二百三十八里又十四分里之三

问甲乙二人同步甲疾乙迟甲行百步乙才行六十步假使乙先行百步甲方举步追之该几步可及

一　甲行疾四十步

二　甲日行一百步

三　乙先去一百步

四　乙防甲二百五十步

问商人籴米三千五百石每石价银六钱五分外用脚价银五分就籴处以米准脚价则原数内该脚夫若干商存若干此以每石籴价为首率总米为次率脚价为三率依法乗除先得脚价米为四率以减总米余为存商之数

一　六钱五分

二　三千五百石

三　五分【脚价】

四　二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五【约之为一十三之九】以减总米余三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十【约之为一十三之四】为存商之数

右系初籴未运送者故以原籴价算若已搬运到仓则倂籴价雇值每石共值七钱矣以七分为首率依衰分法求之只该脚米二百五十石

问蚕茧二百五十斤换绵八十八斤若茧百斤十斤一斤一两各该绵几何此求斤两法茧数为首率绵为次率列茧百斤等为三率有零分者以斤法十六化之再除

一　二百五十斤

二　八十八斤

三　一百斤　　　一十斤　　一斤　　一两四　三十五斤五之一【即三两二钱】三斤八两【三钱二分】五两六钱【三分二厘】三钱五分二厘以上十五问见三率布置之序余可触类而通

变测法第二

前准测法皆以二率乗三率而以一率除之盖以三率视四率犹以一率视二率多寡相等可例推也又有变测之法假如第一率多于第三率而其第二率反少于第四率或一率少于三率而二率反多于四率者此当审其不相准之数而变法测之则以第一率乗第二率以第三率除之旧名同乗异除

问布长九丈阔三尺作衣一袭今有布但阔二尺亦欲作衣一袭増布若干此以三尺为一率以九丈为二率乗之以二尺为三率除之

一　三尺

二　九丈

三　二尺　　　　【若欲复前准测之法则移三率为一率移一率为二率却以二】四　一十三丈五尺【三率而仍以二三相乗以一率除】问原借九成金五十四两今以八成金抵还照成色该还若干

一　九成

二　五十四两

三　八成　　　　　【若欲复前准测法则以八成为首率九成为二率而以原借五】四　六十两七钱五分【十四为三率】

问母银四千两生息三年今母银七千四百八十两数多于前只须几年即可当前三年之息此以四千为一率三年为二率乗之今母为三率除之

一　四千两

二　三年

三　七千四百八十两

四　一年二百二十日六时四刻又三百七十四分刻之八十六　　　【若复前准测法则以今母为一率原母为二率三年为三率】

问荒年麦半石价钱六百文作麦饼每饼重十两值十文今麦价四百文或贵至八百文而价仍每饼十文则其饼该増减若干

一　钱六百

二　饼十两

三　钱四百　　钱八百　　【移三率为一率移一率为二率而以二率为第】四　饼十五两　饼七两五钱【三率乗之即前准测法】问二百四十方步为一亩合阔八步长三十步今阔只六步或阔至十二步各该长几何

一　八步

二　三十步

三　六步　　　十二步

四　四十步　　二十步

问方仓贮米三百八十四石原高八尺阔一丈二尺深一丈今另建一仓照前米数亦高一丈但减深八尺或増深一丈六尺各该阔几何

一　一丈

二　一丈二尺

三　八尺　　　一丈六尺

四　一丈五尺　七尺五寸

问筑一台每日用夫三十工四年而成今每日用夫五十工或减至二十工各该几时而成或不待四年于二年一百四十六日而成又或迟至四年零二百九十二日而成每日各应用夫若干此四难俱用一法而化年为日以一率乗二率以三率除【每年作三百六十五日】一　三十工　三十工　一千四百六十日　一千四百六十日

二　四年　四年　三十工　　　　三十工

︵字位过密　无法显示︶

四　八百【七十六日】六年　五十工　　　　二十五工问以兵八千五百共守一隘其粮仅支十一月若待餽运至日尚须二十五个月计当撤兵几何留兵几何而后可供二十五月之食

一　十一月

二　八千五百人

三　二十五月

四　三千七百四十人当留　四千七百六十人当撤

【以除得数为留数余为撤数】

问象牙一枝因无大枰用小秤称之不及其锤重一斤十两外加一锤重一斤四两八钱称得六十七斤依小秤算该几斤法并原加锤数为首率以称得数为次率原锤数为三率

一　四十六两八钱

二　六十七斤

三　二十六两

四　一百二十斤【又五】之三【用加六求之即九两六钱】问原秤称物重八斤二两失去原锤欲另铸锤配用不知轻重另借别锤以较原称之物只六斤则原锤若干此须化斤为两以加六通后称数【九十六两】为首率以所借锤【三十七两】为次率原称数【一百三十两】为三率得所求原锤数以斤法除之【按别锤下脱重三十七两五字】

一　九十六两

二　三十七两

三　一百三十两

四　二十七两三钱又一十三分钱之三【以斤法除得一斤十一两三钱二分七毫不尽】问空车日行七十里若重载即日行五十里今载粮到仓五日三返路逺若干法以五日为首率以空车重车日行数相乗为次率并空车重车日行数以三返乗之为三率

一　五日

二　五百三十里【按数误应作三千五百里】

三　三百六十

四　四十八里又三十六之二十二

重准测法第三

凡数两相较者皆两两相准故以巳然为一二率见在为三率以测四率若巳然者先有杂数见在者又有杂数此当以类次第归并而叠用三率之法推之准而又准测而又测为重准测法

问每人每月织绢六疋若八人四年该几疋此以一人为第一率以六疋为第二率以八人为第三率八六乗得四十八为第四率又以四十八为所问第二率化四年作四十八个月为第三率依法乗得第四率

一　一人　【先以人数测绢数】　一月　　【即八人之一月次以月数测绢数】

二　六疋　　　　　　四十八疋

三　八人　　　　　　四十八月【即四年】

四　四十八疋　　　　二千三百四疋

又倂法以一人乗一月为第一率以六疋为第二率以八人乗四十八个月为第三率而二三相乗以一除之一　一人一月乗只是一数【凡不同数者用此乗法倂之如人与月不同是也若】

二　六疋　　　　　　　【月与年则同数者竟当化一年为十二月不必相乘】

三　三百八十四　　　　【矣】

四　二千三百四疋

问雇役一千里运货二百斤给值四两今货三百斤运四千里该值几何此以一千里乗二百斤为一率以四两为二率以三百乗四千为三率

一　二十万

并　二　四两

法　三　一百二十万

四　二十四两

用　一　二百斤【先测货价】　一千里【次测里价】

重　二　四两　　　　　　六两

准　三　三百斤　　　　　四千里

法　四　六两　　　　　　二十四两

问三人用米五石值银三两计食五旬每人每日该银米几何此以三人乗五十日为第一率以三两及五石各为第二率以一人乗一日为第三率二三相乗一率除之

一　一百五十【三乗五十】

并　二　三两【三百分】五石【五百升】

法　三　一　【一乗一】

四　二分　　　　三升三合零三之一

一　三人【先以人准银米】五十日【次以日准银米】

重　二　三两　　五石　　一两　　一石三一二

准　三　一人　　　　　　一日

四　一两　一石三一二　二分　三升又三一一

问母银三百两四年得子银一百两今有母银一千五百八十两七年该出子银几何此以三百乗四年为一率以一百为二率以一千五百八十乗七为三率

一　　一千二百

并　二　一百

法　三　一万一千六十

四　九百二十一两又三分两之二

一　三百　　　　　　　　四年【次以四年子母相算】

重　二　　一百　　　　　　　五百二十六两又三之二

准　三　一千五百八十　　　　　七年

四　五百二十六两又三之二　九百二十一两又三之二

问母银十两三个月得子银四两若母银一百两欲得子银二千两须几年此因有月在内湏作重准测法先知百两三月所得然后再测若只如前并法以四乗十共作一率则所差多矣式具后

一　一十两【此未言三个月但十两之得四】　　　四十两【既得上数乃以银准月而推】二　四两　　【两以三月则百两之得四十两】　　　三月

三　一百两【亦是三月要在此便可再测】　　　二千两

四　四十两　　　　　　　　　一百五十月右法试之以十两乗三月为第一率以四两为第二率以一百两乗一百五十月为三率而以二三相乗以一率除之【此系倒法盖带月作一率三率者】

一　三十【以一十乗三】

二　四

三　一万五千【以一百乗一百五十】

四　二千

问有夏布四十五疋以换绵布两价不等夏布每三疋价二钱绵布每七疋价七钱五分该换若干疋法先以三率法求夏布四十五疋共价若干次即以所获价为第三率以七钱五分配为第一率七疋为第二率推之

一　三疋　　　　　　一　七钱五分

二　二钱　　　　　　二　七疋

三　四十五疋　　　　三　三两

四　三两　　　　　　四　二十八疋

问将银二十三两买布七十五疋每疋长四丈阔二尺今另买布阔一尺六寸长与前等该减前价若干此先求每尺之价以四丈乗全布又以阔二尺乗【六千尺】为首率价银为二率另立一尺为三率求得四率为尺价次求应减之价乃移三四率为一二率以两阔相减余四寸乗原长三千尺【一千二百尺】为三率

一　六千尺　　　　　　　一尺

二　二十三两　　　　　　三厘八毫三丝又三之一

三　一尺　　　　　　　　一千二百尺

四　三厘八毫三丝又三之一　四两六钱

问重舟日行八十里轻舟日行一百里今重舟先去一十五日轻舟几日追及先求重舟一十五日行若干里得数用为重测之三率而以轻舟每日多行二十里为首率推之得四率为追及之日

一　一日　　　　　一　二十里

二　八十里　　　　二　一日

三　一十五日　　　三　一千二百里

四　一千二百里　　四　六十日

问车轮半径一尺九寸五分假令一日转二万周该几里此因有里有尺又有寸有分须用再测先倍半径得三尺九寸为全径数三因得一百一十七寸为一周数以一周为一率一百一十七寸为二率二万周为三率推得尺寸共数乃以其数为第三率以里法一千八百尺除之