周髀算经

有君长之州九阻中国之文徳及而不治又云八极之广东西二亿之万三千五百里南北二亿三万三千五百里淮南子坠形训云禹使大章步自东极至于西极南极步自北极至于南极而数皆然或其广阔将焉可步矣亦后学之徒未之或知也夫言亿者十万曰亿也

凡为日月运行之圆周七衡周六六间以当六月春秋分冬夏至璇玑之运也

节六月为百八十二日八分日之五

节六月者从冬至至夏至日一百八十二日八分日之五为半嵗六月节者谓中气也不尽其日也此日周天通四分之一【案之一各本讹作一之今改正】倍法四以除之即得也

臣鸾曰求七衡周而六间以当六月节六月为一百八十二日八分日之五此为半嵗也列周天三百六十五日四分日之一通分内子得一千四百六十一为实倍分母四为八除实得半嵗一百八十二日八分日之五也

故日在夏至东井极南衡日冬至在牵牛极外衡也东井牵牛为长短之限内外之极也

衡复更终冬至

冬至日从外衡还黄道一周年复于故衡终于冬至

故曰一嵗三百六十五日四分日之一一嵗一内极一外极

从冬至一内极及一外极度终于星月穷于次是为一嵗

三十日十六分日之七月一外极一内极

欲分一嵗为一十二月一衡间当一月此举中相去之日数以此言之月行二十九日九百四十分日之四百九十九则过周天一日而与日合宿论其入内外之极大归粗通未必得也【案各本大讹作六必讹作心今改正】日光言内极月光言外极日阳从冬至起月阴从夏至起往来之始易曰日往则月来月往则日来此之谓也此数真一百八十二日八分日之五通分内子五以六间乘分母以除之得三十以三约法得一十六约余得七

臣鸾曰求三十日十六分日之七法列半嵗一百八十二日八分日之五通分内子得一千四百六十一为实以六间乘分母八得四十八除实得三十日不尽二十一更置法实求等数平于三即以约法得一十六约余得七即是从中气相去三十日十六分日之七也

是故一衡之间万九千八百三十三里三分里之一即为百步

此数夏至冬至相去一十一万九千里以六间除之得矣法与余分皆半之

臣鸾曰求一衡之间一万九千八百三十三里三分里之一法置冬至夏至相去一十一万九千里以六间除之即得法余余分半之得也

欲知次衡径倍而增内衡之径

倍一衡间数以增内衡即次二衡径

二之以增内衡径

二乘所倍一衡之间数以增内衡径即得三衡径

次衡放此

次至皆如数

内一衡径二十三万八千里周七十一万四千里分为三百六十五度四分度之一度得千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三通周天四分之一为法又以四乘衡周为实实如法得一百歩不满法者十之如法得一十歩不满法者十之如法得一歩不满者以法命之至七衡皆如此臣鸾曰求内衡度法置夏至径二十三万八千里以三乘之得内外衡周七十一万四千里以周天分母四乘内衡周得二百八十五万六千里为实以周天分一千四百六十一为法除之得一千九百五十四里不尽一千二百六即因而三之为三千六百一十八以法除之得二百歩不尽六百九十六步上十之如法而一【案各本脱一字今补】得四十步不尽一千一百一十六复上十之如法而一得七步不尽九百三十三即是一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三

次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步周八十三万三千里分里为度度得二千二百八十里百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二

通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满者求步数不尽者命分

臣鸾曰求第二衡法列一衡间一万九千八百三十三里少半里倍之得三万九千六百六十六里太半里增内衡径二十三万八千里得第二衡径二十七万七千六百六十六里二百步是三分里之二又以三乘之步满三百成一里得二衡周八十三万三千里以周天分母四乘周得三百三十三万二千为实更置周天三百六十五度四分度之一通分内子得一千四百六十一为法除之得二千二百八十里不尽九百二十以三百乘之得二十七万六千复以前法除之得一百八十八步不尽一千三百三十二即是度得二千二百八十里一百八十八步一千四百六十一分步之一千三百三十二

次三衡径三十一万七千三百三十里百步步周九十五万二千里分为度度得二千二百六里百三十步千四百六十一分步之二百七十

通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满法者求步数不尽者命分

臣鸾曰求第三衡法列倍一衡间得三万九千六百六十六一三分里之二复增第二衡径二十七万七千六百六十六里之二复即三分里之二得第三衡径三十一万七千三百三十三里一百步以三乘径步步满三百成里得周九十五万二千里又以分母四乘周得三百八十万八千为实以周天分一千四百六十一为法以除实得二千六百六里不尽六百三十四以三百乘之法以除之得一百三十步不尽二百七十即是度得二千六百六里一百三十步一千四百六十一分步之二百七十

次四衡径三十五万七千里周百七万一千里分为度度得二千九百三十二里七十一步千四百六十一分步之六百九十九【案六十一分各本讹作一十分今改正】

通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满法者求步数不尽者命分

臣鸾曰求第四衡法列倍一衡间三万九千六百六十六里三分里之二増第三衡径三十万万七千三百三十三里一百步步满三百成里得径三十五万七千里以三乘之得周一百七万一千里以分母乘之得四百二十八万四千里为实以周天分一千四四六十一除之得二千九百百三十二里不三百四十八以三百乘之以法除之得七十一步不尽六百六十九即是度得二千九百三十二里七十一步一千四百六十一分步之六百六十九

次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步周百一十九万里分为度度得三千二百五十八里十二步千四百六十一分步之千六十八

通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满法者求步数不尽者命分

臣鸾曰求第五衡法列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二增第四衡径三十五万七千里满三百成里得第五衡径三十九万六千六百六十六里二百步以三分乘径得周一百一十九万里又以分母四乘周得四百七十六万为实以周天分一千四百六十一为法除之得三千二百五十八里不尽六十二以三百乘之以法除之得一百十步不尽一千六十八即是度得三千二百五十八里一十二步一千四百六十一分步之一千六十八

次六衡径四十三万六千三百三十三里百步周百三十万九千里分为度度得三千五百八十三里二百五十四步千四百六十一分步之六

通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得一里不满法者求步不尽者命分

臣鸾曰求第六衡法列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二増第五衡径三十九万六千六百六十六里二百步步满三百成里得径四十三万六千三百三十三里一百步【案近刻脱二百步步满三百成里得径四十三万六千三百三十三里共二十三字】又三乘径得周一百三十万九千里又以分母四乘周得五百二十三万六千为实以周天分一千四百六十一为法除之得三千五百八十三里不尽一千二百三十七以三百乘之以法除之得二百五十四步不尽六即是度得三千五百八十三里二百五十四步一千四百六十一分步之六

次七衡径四十七万六千里周百四十二万八千里分为度度得三千九百九里【案各本脱一度字今补】百九十五步千四百六十一分步之四百五

通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满法者求步数不尽者命分

臣鸾曰求第七衡法列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二增第六衡径四十三万六千三百三十三里一百步得第七衡径四十七万六千里【案千各本讹作十今改正】以三乘之得周一百四十二万八千里以分母四乘之得五百七十一万二千为实以周天分一千四百六十一为法除之得三千九百九里不尽九百五十一又以三百乘之所得以法一千四百六十一除之得一百九十五步不尽四百五即是度得三千九百九里一百九十五步一千四百六十一分步之四百五

其次曰冬至所北照过衡十六万七千里

冬至十一月日在牵牛径在北方因其在北故言照过北衡

为径八十一万里

倍所照增七衡径

周二百四十三万里

三乘倍增七衡周

分为三百六十五度四分度之一度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七过此而往者未之或知

过八十一万里之外

或知或疑其可知或疑其难知此言上圣不学而知之上圣者智无不至明无不见攷灵曜曰防式出冥惟审其形此之谓也

故冬至日晷丈三尺五寸夏至日晷尺六寸冬至日晷长夏至日晷短日晷损益寸差千里故冬至夏至之日南北游十一万九千里四极径八十一万里周二百四十三万里分为度度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七此度之相去也

臣鸾曰求冬至日所北照十六万七千里并南北日光得三十三万四千里増冬至日道径四十七万六千里得八十一万里三之得周二百四十三万以周天分母四乘之得九百七十二万里为实以周天分一千四百六十一为法除之得六千六百五十二里不尽一千四百二十八以三百乘之得四十二万八千四百【案二万各本讹作三万今改正】复以法除之得二百九十三步不尽三百二十七即是度得六千六百五十二里二百九十三步一千四百六十一分步之三百二十七

其南北游日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八

术曰置十一万九千里为实以半嵗一百八十二日八分日之五为法

半嵗者从外衡去内衡以为法除相去之数得一日所行也

而通之

通之者数不合齐以法等【案此三字有讹脱永乐大典本作常以法等亦误据法用分母乘全数纳分子则实亦应以分母通之宜云数不合齐欲今实与法等】得相通入以八乘也

得九十五万二千为实

通一十一万九千里

所得一千四百六十一为法除之

通百八十二日八分日之五也

实如法得一里不满法者三之如法得百步

一里三百步当以三百乘而言之三之者不欲转法便以一位为百实故从一位命为百

不满法者十之如法得十步

上既用三百乘故此十之便以一位为十实【案各刻脱一字今补】故从一位命为十

不满法者十之如法得一步

复十之者但以一位为实故从一位命为一

不满法者以法命之

位尽于一步故以法命其余分为残步

臣鸾曰求南北游法置冬至一十一万九千里以半嵗日分母八乘之得九十五万二千为实通半嵗百八十二日八分日之五得一千四百六十一以除得六百五十一里不尽八百八十九以三百乘之得二十六万六千七百复以法除之得一百八十二步不尽七百九十八即得日南北游日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八

周髀经卷之三

<子部,天文算法类,推步之属,周髀算经>

钦定四库全书

周髀算经巻下之一

汉　赵君卿　注

周　甄　鸾重述

唐　李淳风　注释

凡日月运行四极之道

运周也极至也谓外衡也日月周行四方至外衡而还故曰四极也

极下者其地高人所居六万里滂沱四隤而下

游北极从外衡至极下乃髙六万里而言人所居所复尽外□滂沱四隤而下如覆槃也

天之中央亦髙四旁六万里

四旁犹四极也随地穹隆而髙如盖笠

故日光外所照径八十一万里周二百四十三万里日至外衡而还出其光一十六万七千里故云照

故日运行处极北北方日中南方夜半日在极东东方日中西方夜半日在极南南方日中北方夜半日在极西西方日中东方夜半凡此四方者天地四极四和四和者谓之极子午卯酉得东西南北之中天地之所合四时之所交风雨之所防隂阳之所和然则百物阜安草木蕃庻故曰四和

昼夜易处

南方谓昼北方谓夜

加四时相及

南方日中北方夜半

然其隂阳所终冬夏所极皆若一也

隂阳之数齐冬夏之节同寒暑之气均长短之晷等周回无差运变不二

天象象笠地法覆槃

见乃谓之象形乃谓之法在上故凖盖在下故拟槃象法义同盖槃形等互文异器以别尊卑仰象俯法名号殊矣

天离地八万里

言其隆髙相从其相去八万里

冬至之日虽在外衡常岀极下地上二万里

天地隆髙髙于外衡六万里冬至之日虽在外衡其相望为平地直常出于北极下地上二万里言日月不相障蔽故能扬光于昼纳于夜

故曰兆明

日者阳之精譬犹火光月者隂之精譬犹水光月含景故月光生于日之所照魄生于日之所蔽当日则光盈就日则明尽月禀日光而成形兆故云日兆月也

月光乃出故成明月

待日然后能舒其光以成其明

星辰乃得行列

灵宪曰众星被曜因水火转光故能成其形列

是故秋分以往到冬至三之精防以成其道逺

日从中衡往至外衡其径日逺以相逺故光防不言从冬至到春分者俱在中衡之外其同可知

此天地阴阳之性自然也

自然如此故曰性也

欲知北极枢旋周四极

极中不动旋璇玑也言北极璇玑周旋四至极至也

常以夏至夜半时北极南游所极

游在枢南之所至

冬至夜半时北游所极

游在枢北之所至

冬至日加酉之时西游所极

游在枢西之所至

日加卯之时东游所极

游在枢东之所至

此北极璇玑四游

北极游常近冬至而言夏至夜半者极见【案此二句有脱误当云而言夏至者夏至夜半极见】冬至夜半极不见也

正北极璇玑之中正北天之中

极处璇玑之中天心之正故曰璇玑也

正极之所游冬至日加酉之时立八尺表以绳系表颠希望北极中大星引绳致地而识之

颠首希仰致至也识之者所望大星表首及绳至地参相直而识之也

又到旦明日加卯之时复引绳希望之首及绳致地而识其端相去二尺三寸

日加卯酉之时望至地之相去子也

故东西极二万三千里

影寸千里故为东西所致之里数也

其两端相去正东西

以绳至地所识两端相直【案识各本讹作谓今改正】为东西之正也

中折之以指表正南北

所识两端之中与表为南北之正

加此时者皆以漏揆度之此东西南北之时

冬至日加卯酉者北极之正东西日不见矣以漏度之者一日一夜百刻从夜半至日中【案夜半各本讹作半夜今改正】从日中至夜半无冬夏常各五十刻中分之得二十五刻加极卯酉之时揆亦度也

其绳致地所识去表丈三寸故天之中去周十万三千里

北极东西之时与天中齐故以所望表句为天中去周之里数

何以知其南北极之时以冬至夜半北游所极也北过天中万一千五百里以夏至南游所极不及天中万一千五百里此皆以绳系表颠而希望之北极至地所识丈一尺四寸半故去周十一万四千五百里【案十一万各本讹作十二万今改正】过天中万一千五百里其南极至地所识九尺一寸半故去周九万一千五百里其南不及天中万一千五百里此璇玑四极南北过不及之法东西南北之正句

以表为股以影为句绳至地所亦如短中径二万六千六百三十二里有竒法列八十一万里以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之余二万六千六百三十三里取一里破为一百五十六万六千七百三十五分减一十四万三千三百一十一万一百四十二万三千四百二十四即径东西二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四

周去极十万三千里日去人十六万七千里夏至去周万六千里夏至日道径二十三万八千里周七十一万四千里春秋分日道径三十五万七千里周百七万一千里冬至日道径四十七万六千里周百四十二万八千里日光四极八十一万里周二百四十三万里从周南三十万二千里

影言正句者四方之影皆正而定也

璇玑径二万三千里周六万九千里此阳絶阴彰故不生万物

春秋分谓之阴阳之中而日光所照适至璇玑之径为阳絶阴影故万物不复生也

其术曰立正句定之

正四方之法也

以日始出立表而识其晷日入复识其晷晷之两端相直者正东西也中折之指表者正南北也极下不生万物何以知之

以何法知之也

冬至之日去夏至十一万九千里万物尽死夏至之日去北极十一万九千里是以知极下不生万物北极左右夏有不释之冰

冰冻不解是以推之夏至之日外衡之下为冬矣万物当死此日逺近为冬夏非阴阳之气爽或疑焉

春分秋分日在中衡春分以徃日益北五万九千五百里而夏至秋分以徃日益南五万九千五百里而冬至并冬至夏至相去一十一万九千里以徃日益北近中衡以徃日益南逺中衡

中衡去周七万五千五百里

影七尺五寸五分

中衡左右冬有不死之草夏长之类

此欲以内衡之外外衡之内常为夏也然其脩广爽未之前闻

此阳彰阴微故万物不死五谷一歳再熟

近日阳多农再熟

凡北极之左右物有朝生暮获

获疑作获谓葶苈荠麦冬生之类北极之下从春分至秋分为昼从秋分至春分为夜物有朝生暮获者亦有春刍而秋熟然其所育皆是周地冬生之类荠麦之属言左右者不在璇玑二万三千里之内也此阳微阴彰故无夏长之类

立二十八宿以周天厯度之法

以用也列二十八宿之度用周天

术曰倍正南方

倍犹背也正南方者二极之正南北也

以正句定之

正句之法日出入识其晷晷两端相直者正东西中折之以指表正南北

即平地径二十一歩周六十三歩令其平矩以水正如定水之平故曰平矩以水正也

则位径百二十一尺七寸五分因而三之为三百六十五尺四分尺之一

径一百二十一尺七寸五分周三百六十五尺二寸五分二寸五分者四分之一而或言一百二十尺举其全数

以应周天三百六十五度四分度之一审定分之无令有纤微

所分平地周一尺为一度二寸五分为四分度之一其令审定不欲使有细小之差也纤微细分也臣鸾曰求一百二十一尺七寸五分因而三之为三百六十五度四分度之一法列径一百二十一尺七寸五分以三乘得三百六十五尺二寸五分二寸五分者即四分之一此即周天三百六十五度四分度之一

分度以定则正督经纬而四分之一合各九十一度十六分度之五

南北为经东西为纬督亦通周天四分之一又以四乘分母为法度之【案为各本讹作以今改正】

臣鸾曰求分度以定四分之一合各九十一度一十六分度之五法列周天三百六十五度以四分度之一而通分内子得一千四百六十一为实更以四乘分母得一十六分法除之得九十一不尽五即是各九十一度一十六分度之五也

于是圆定而正

分所圆为天度又四分之皆定而正

则立表正南北之中央以绳系颠希望牵牛中央星之中

引绳至经纬之交以望之星与表绳参相直也

则复候湏女之星先至者【案候各本讹作望今据注文改正】

如复以表绳希望湏女先至定中

湏女之先至者又复如上引绳至经纬之交以望之

即以一游仪希望牵牛中央星出中正表西几何度游仪亦表也游仪移望星为正知星出中正之表西防何度故曰游仪

各如游仪所至之尺为度数

所游分圗周一尺应天一度故以游仪所至尺数为度

游在于八尺之上故知牵牛一度

湏女中而望牵牛游在八尺之上故牵牛为八度

其次星放此以尽二十八宿度则定矣【案定各本讹作之今据注文改正】

皆如此上法定

立周度者

周天之度

各以其所先至游仪度上

二十八宿不以一星为体皆以先至之星为正之度

车辐引绳就中央之正以为毂则正矣

以经纬之交为毂以圆度为辐知一宿得几何度则引绳如辐凑毂为正望星定度皆以南方为正知二十八宿为几何度然后还分而布之也

日所以入亦以周定之

亦同望星之周

欲知日之出入

出入二十八宿东西南北面之宿列置各应其方立表望之知日出入何宿从出入径几何度

即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿以二十八宿列置地所圆周之度使四面之宿各应其方

以东井夜半中牵牛之初临子之中

东井牵牛相对之宿也东井临午则牵牛临于子也

东井出中正表西三十度十六分度之七而临未之中牵牛初亦当临丑之中

分周天之度为一十二位而一十二辰各当其一所应一十二月从午至未三十度一十六分度之七未与丑相对而东井牵牛之所居分之法己陈于上矣臣鸾曰求东井出中正表西三十度一十六分度之七法先通周天得一千四百六十一为实以位法一十二乘周天分母四得四十八为法除实得三十度不尽二十一更副置法实等数平于三约不尽二十一得七约法四十八得一十六即部三十度一十六分度之七

于是天与地恊

协合也置东井牵牛使居丑未相对则天之列宿与地所为圆周相应合得之矣

乃以置周二十八宿

从东井牵牛所居以置一十二位焉

置以定乃复置周度之中央立正表

置周度之中央者经纬之交也

以冬至夏至之日以望日始出也立一游仪于度上以望中央表之晷

从日所出度上立一游仪皆望中表之晷所以然者当曜不复当日得以视之也

晷参正则日所出之度

游仪与中央表及晷参相直游仪之下即所出合宿度

日入放此

此日出法求之