御制历象考成

南北二极为赤道之枢纽皆距赤道九十度故凡过南北二极经圈与赤道相交所成之角俱为直角其相当之弧皆九十度又凡有一圈即有两极其过两极经圈与本圈相交亦必为直角其所成三角形必皆为正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相对者用弧角之八线所成勾股为比例而弧角不相对者则用次形盖以弧角之八线所成勾股比例不生于本形而生于次形而次形者乃以本形与象限相减之余度所成故用本形之余余切即用次形之正正切也其法可易弧为角易角为弧【若斜弧三角形可易大形为小形易大边为小边易钝角成锐角】边与角虽不相对可易为相对且知三角即可以求边其理实一以贯之也今以黄道赤道与过极经圈所成之三角形设例而正弧三角形比例推算之法无不统于是矣

正弧三角形图说【设黄赤大距二十三度三十分】

如甲乙丙丁为赤道甲戊

丙己为黄道相交于甲丙

甲为春分丙为秋分戊为

夏至己为冬至庚为北极

辛为南极庚戊乙辛己丁

为二极二至交圈戊至乙

己至丁俱二十三度三十

分为黄赤大距今作庚壬

癸辛为过南北二极经圈

与黄道交于壬与赤道交

于癸成甲癸壬正弧三角

形甲为黄道赤道交角当

戊乙弧二十三度三十分

癸为直角葢庚辛二极即

赤道之极皆距赤道九十

度故凡过南北极经圈与

赤道所成之角皆为直角

其相当之弧皆九十度又

如子丑为黄道两极若从

子丑二处作子寅卯丑过

黄极经圈与黄道交于卯

与赤道交于寅成甲寅卯

正弧三角形则卯亦为直

角葢子丑为黄道两极皆

距黄道九十度故凡过黄

极经圈与黄道所成之角

皆为直角其相当之弧皆

九十度由此推之凡有一

圈必有两极其过两极圈

与本圈相交必为直角其

所成三角形必皆为正弧

三角形可知矣

正弧三角形八线勾股比例图说【设黄道四十五度】

甲为黄道赤道交角甲乙

为黄道四十五度甲丙为

赤道同升度乙丙为黄赤

距度成甲乙丙正弧三角

形甲丁甲戊皆象限丁戊为

黄赤大距二十三度三十分

即甲角度己为北极庚为南

极己丁庚壬为二极二至交

圈甲为春分丁为夏至辛为

秋分壬为冬至癸为地心己

乙丙庚为过南北二极经圈

其甲乙丙三角形之八线各

成相当比例之勾股形丁子

为甲角之正弦子癸为甲角

之余丑戊为甲角之正切

丑癸为甲角之正割戊癸丁

癸皆为半径成丑戊癸及丁

子癸同式两勾股形乙寅为

乙丙距纬弧之正乙卯为

甲乙黄道弧之正将两正

之寅卯

二处作虚线聨之成乙寅

卯勾股形【两正之末立于各半径寅卯

二处而寅卯二处皆未抵于弧界故不得为正今

以虚线聨之者为眀勾股之理也】辰丙为

乙丙距纬弧之正切丙己

为甲丙赤道弧之正将

正切正之辰巳二处作

虚线聨之成辰丙巳勾股

形午甲为甲乙黄道弧之

正切未甲为甲丙赤道弧

之正切将两正切之午未

二处作虚线聨之成午未

甲勾股形此三勾股形与

前二勾股形皆为同式形

夫甲癸辛原系一线如将

甲癸辛平视之则甲癸辛

合成一防而辛癸卯己甲

五角皆合为一角甲戊象

限亦成一直线而戊癸半径

寅卯聨线丙己正未甲正

切亦皆合为一线矣赤道既

平置则黄道斜倚従辛视之

甲丁象限亦成一直线而丁

癸半径乙卯正辰巳聨线

午甲正切亦皆合为一线矣

夫五勾股形既同角而各股

皆合为赤道之一线各皆

合为黄道之一线则各勾必

皆与赤道径线相交成直角

而自将平行故皆为相当比

例之勾股形而可以互相比

例也正弧三角形用次形图

说如甲乙丙

形可易为乙己丁次形葢

甲戊甲丁己丙

己戊四弧皆象限九十度

于甲丁象限弧内减去甲

乙弧余乙丁弧即次形之

乙丁边于己丙象限弧内

减去乙丙弧余己乙弧即

次形之己乙边于己戊象

限弧内减去丁戊弧【即甲角度】余己丁弧即次形之己丁

边于甲戊象限弧内减去

甲丙弧余丙戊弧即次形

之己角度是次形之三边

一角即本形三边一角之

余度而用形之余余

切实即用次形之正正

切也次形之丁角为直

角与本形之丙角等乙为

交角其度又等故算乙己

丁形即得甲乙丙形也

又甲乙丙形可易为己庚辛

次形葢庚丁为象限弧与己

戊等则庚己与丁戊等故本

形【丁戊即甲角度】之甲角即次形

之庚己边乙辛壬庚乙壬皆

为象限弧与甲丁等则壬丁

即与甲乙等故本形之甲乙

边即次形之庚角乙壬与乙

辛既皆【庚壬与庚丁俱象限故壬丁弧为庚

角度】为象限则辛壬弧即乙角

之度故象限内减去乙角之

辛壬弧余即次形之庚辛边

丙戊弧即己角之度故于甲

戊象限弧内减去甲丙弧余

丙戊弧即次形之己角又次

形之辛角为直角与本形之

丙角等次形之丁戊即甲角

度庚壬与庚丁俱象限故壬

辛己边与本形之乙丙边等

故【辛乙与己丙等故辛己与乙丙等】算己

庚辛形亦得甲乙丙形也辛

乙

正弧三角形边角相求法

正弧三角形边角相求错综变换共三十则用黄赤交角所生八线勾股比例者九用黄道交极圏角所生八线勾股比例者亦九用次形者十二依题比类列目于前按法循序设问于后以便观览

有直角有黄赤交角有黄道求距纬【第一】

有直角有黄赤交角有黄道求赤道【并见第一】有直角有黄赤交角有黄道求黄道交极圏角【并见第一】

有直角有黄赤交角有赤道求距纬【第二】

有直角有黄赤交角有赤道求黄道【并见第二】有直角有黄赤交角有赤道求黄道交极圏角【并见第二】

有直角有黄赤交角有距纬求黄道【第三】

有直角有黄赤交角有距纬求赤道【并见第三】有直角有黄赤交角有距纬求黄道交极圏角【并见第三】

有直角有黄道有赤道求黄赤交角【第四】

有直角有黄道有赤道求距纬【道并见第】

有直角有黄道有赤道求黄道交极圏角【四并见第】有直角有黄道有距纬求黄赤交角【四第】

有直角有黄道有距纬求赤道【五并见第】

有直角有黄道有距纬求黄道交极圏角【五并见第】有直角有赤道有距纬求黄赤交角【五第】

有直角有赤道有距纬求黄道【六并见第】

有直角有赤道有距纬求黄道交极圏角【六并见第】有直角有黄道交极圏角有黄道求赤道【六与第一之理】

有直角有黄道交极圏角有黄道求距纬【同与第一之理】

有直角有黄道交极圏角有黄道求黄赤交角【同与第一之理】

有直角有黄道交极圏角有距纬求赤道【同与第二之理】

【同】有直角有黄道交极圏角有距纬求黄【与第二之理同】

有直角有黄道交极圏角有距纬求黄赤交角【与第二之理同】

有直角有黄道交极圏角有赤道求黄道【与第三之理同】

有直角有黄道交极圏角有赤道求距纬【与第三之理同】

有直角有黄道交极圏角有赤道求黄赤交角【与第三之理同】

有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求黄道【第七】

有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求赤道【并见第七】

有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求距纬【并见第七】

设如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度求距纬度及赤道度并黄道交极圏角各防何【第一】

甲乙丙正弧三角形甲为

黄赤交角丙为直角甲乙

为黄道弧求乙丙距纬弧则

以丙直角为对所知之角其

正即半径一千万为一率

甲角二十三度三十分为对

所求之角其正三百九十

八万七千四百九十一为二

率甲乙弧四十五度为所知

之边其正七百零七万一

千零六十八为三率求得四

率二百八十一万九千五百

八十二为乙丙弧之正检

表得一十六度二十二分三

十八秒即乙丙距纬弧之度

也如图丁癸为半径丁子为

甲角之正乙卯为甲乙弧

之正乙寅为乙丙弧之正

丁子癸

勾股形与乙寅卯勾股形为

同式形故以丁癸与丁子之

比同于乙卯与乙寅之比也

求甲丙

赤道度则以半径一千万为

一率甲角二十三度三十分

之余九百一十七万零六

百零一为二率甲乙弧四十

五度之正切一千万为三率

仍得四率九百一十七万零

六百零一为甲丙弧之正切

检表得四十二度三十一分

二十二秒即甲丙赤道弧之

度也如图丁癸为半径子癸

为甲角之余午甲为甲乙

弧之正切未甲为甲丙弧之

正切丁子癸

勾股形与午未甲勾股形为

同式形故以丁癸与子癸之

比同于午甲与未甲之比也

求黄道

交极圈之乙角则用次形法

以甲乙弧四十五度之余

七百零七万一千零六十八

为一率甲角二十三度三十

分之余切二千二百九十九

万八千四百二十五为二率

半径一千万为三率求得四

率三千二百五十二万四千

六百八十三为乙角之正切

检表得七十二度五十四分

三十四秒即黄道交极圈之

乙角度也如图甲乙丙正弧

三角形之次

形为乙己丁葢甲乙弧之余

即乙己丁次形之丁乙弧

之正为丁子而甲角之余

切即乙己丁次形之己丁弧

之正切为丑丁又乙角之正

切亦即乙己丁次形之乙角

之正切为寅壬而丑丁子勾

股形与寅壬癸勾股形为同

式形故以丁子与丑丁之比

同于壬癸与寅壬之比也此

法用乙己丁次形有丁乙边

己丁边及丁直角求乙角即

与【甲乙余弧】有赤道【甲角余弧】有距

纬求黄赤交角之理同葢乙

角即如黄赤交角丁乙即如

赤道己乙即如黄道己丁即

如距纬其八甲乙余弧甲角

余弧

线所成之勾股皆由乙角

而生故其相当之比例皆

同也

设如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度三十一分二十二秒求距纬度及黄道度并黄道交极圈角各防何【第二】

甲乙丙正弧三角形甲为

黄赤交角丙为直角甲丙

为赤道弧求乙丙距纬弧

则以半径一千万为一率

甲角二十三度三十分之

正切四百三十四万八千

一百二十四为二率甲丙

弧四十二度三十一分二

十二秒之正六百七十

五万八千八百二十一为

三率求得四率二百九十

三万八千八百一十九为

乙丙弧之正切检表得一十

六度二十二分三十八秒即

乙丙距纬弧之度也如图戊

癸为半径丑戊为甲角之正

切丙己为甲丙弧之正辰

丙为乙丙弧之正切丑戊癸

勾股形与辰丙己勾股形为

同式形故以戊癸与丑戊之

比同于丙已与辰丙之比也

求甲乙黄道度则以甲

角二十三度三十分之余

九百一十七万零六百零一

为一率半径一千万为二率

甲丙弧四十二度三十一分

二十二秒之正切九百一十

七万零六百零一为三率仍

得四率一千

万为甲乙弧之正切检表得

四十五度即甲乙黄道弧之

度也如图子癸为甲角之余

丁癸为半径未甲为甲丙

弧之正切午甲为甲乙弧之

正切丁子癸勾股形与午未

甲勾股形为同式形故以子

癸与丁癸之比同于未甲与

午甲之比也求黄道交极圈

之乙角

则用次形法以半径一千万

为一率甲丙弧四十二度三

十一分二十二秘之余七

百三十七万零九十八为二

率甲角二十三度三十分之

正三百九十八万七千四

百九十一为

三率求得四率二百九十三

万八千八百二十为乙角之

余检表得七十二度五十

四分三十四秒即黄道交极

圈之乙角度也如图甲乙丙

正弧三角形之次形为己庚

辛葢甲丙弧之余即己庚

辛次形之己角之正为卯

辰而甲角之正亦即己庚

辛次形之己庚弧之正为

庚己又乙角之余即己庚

辛次形之庚辛弧之正为

庚午而庚午巳勾股形与卯

辰癸勾股形为同式形故卯

癸与卯辰之比同于庚己与

庚午之比也此法用己庚辛

次形有己

角【甲丙余弧】己庚边【与甲角等】及辛

直角求庚辛边【乙角余弧】即与

有黄赤交角有黄道求距

纬之理同葢己角即如黄

赤交角己庚即如黄道己

辛即如赤道庚辛即如距

纬其八线所成之勾股皆

由己角而生故其相当之

比例皆同也

设如黄赤交角二十三度三十分距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄道度及赤道度并黄道交极圈角各防何【第三】

甲乙丙正弧三角形甲为

黄赤交角丙为直角乙丙

为距纬弧求甲乙黄道弧

则以甲角二十三度三十

分为对所知之角其正

三百九十八万七千四百

九十一为一率丙直角为对

所求之角其正即半径一

千万为二率乙丙弧一十六

度二十二分三十八秘为所

知之边其正二百八十一

万九千五百八十二为三率

求得四率七百零七万一千

零六十八为甲乙弧之正

检表得四十五度即甲乙黄

道弧之度也如图丁子为甲

角之正丁癸为半径乙寅

为乙丙弧之正乙卯为甲

乙弧之正丁子癸勾股形

与乙寅卯勾股形为同式形

故丁子与丁癸之比同于乙

寅与乙卯之比也

求甲丙赤道度则以甲角二

十三度三十分之正切四百

三十四万八千一百二十四

为一率半径一千万为二率

乙丙弧一十六度二十二分

三十八秒之正切二百九十

三万八千八百一十九为三

率求得四率六百七十五万

八千八百二十一为甲丙弧

之正检表得四十二度三

十一分二十二秒即甲丙赤

道弧之度也如图丑戊为甲

角之正切戊癸为半径辰丙

为乙丙弧之正切丙己为甲

丙弧之正丑戊癸勾股形

与辰丙己勾股形为同式形

故丑戊与

戊癸之丙同于辰丙与丙己

之比也求

黄道交极圈之乙角则用次

形法以乙丙弧一十六度二

十二分三十八秒之余九

百五十九万四千二百六十

七为一率甲角二十三度三

十分之余九百一十七万

零六百零一为二率半径一

千万为三率求得四率九百

五十五万八千四百一十七

为乙角之正检表得七十

二度五十四分三十四秘即

黄道交极圈之乙角度也如

图甲乙丙正弧三角形之次

形为乙己丁葢乙丙弧之余

即乙己丁

次形之己乙弧之正为

己未而甲角之余即乙

己丁次形之己丁弧之正

为巳申又乙角之正

亦即乙己丁次形之乙角

之正为辛酉而巳申未

勾股形与辛酉癸勾股形

为同式形故巳未与巳申

之比同于辛癸与辛酉之

比也

设如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分二十二秒求黄赤交角及距纬度并黄道交极圈角各几何【第四】

甲乙丙正弧三角形丙为

直角甲乙为黄道弧甲丙

为赤道弧求黄赤相交之

甲角则以甲乙弧四十五

度之正切一千万为一率

甲丙弧四十二度三十一分

二十二秒之正切九百一十

七万零六百零一为二率半

径一千万为三率仍得四率

九百一十七万零六百零一

为甲角之余检表得二十

三度三十分即黄赤相交之

甲角度也如图午甲为甲乙

弧之正切未甲为甲丙弧之

正切丁癸为半径子癸为甲

角之余午未甲勾股形与

丁子癸勾股形为同式形故

午甲与未甲之比同于丁癸

与子癸之比也求乙丙距纬

度则用次形法以甲丙

弧四十二度三十一分二十

二秒之余

七百三十七万零九十八为

一率半径一千万为二率甲

乙弧四十五度之余七百

零七万一千零六十八为三

率求得四率九百五十九万

四千二百六十六为乙丙弧

之余检表得一十六度二

十二分三十八秒即乙丙距

纬弧之度也如图甲乙丙正

弧三角形之次形为乙己丁

葢甲丙弧之余即乙己丁

次形之己角之正为丙辰

而甲乙弧之余即乙己丁

次形之乙丁弧之正为乙

子又乙丙弧之余即乙己

丁次形之乙己弧之正为

乙未而丙

辰癸勾股形与乙子未勾股

形为同式形故丙辰与丙癸

之比同于乙子与乙未之比

也此法用乙己丁次形有己

角乙丁边及【甲丙余弧】丁直角

【甲乙余弧】求乙己边即与有黄

【乙丙余弧】赤交角有距纬求黄

道之理同葢己角即如黄赤

交角己乙即如黄道己丁即

如赤道乙丁即如距纬其八

线所成之勾股皆由己角而

生故其相当之比例皆同也

求黄道交极圈之乙角

则以甲乙弧四十五度为对

所知之边其正七百零七

万一千零六十八为一率甲

丙弧四十二度三十甲丙余

弧甲乙余弧乙丙余弧

一分二十二秒为对所求之

边其正六百七十五万八

千八百二十一为二率丙直

角九十度为所知之角其正

即半径一千万为三率求

得四率九百五十五万八千

四百一十六为乙角之正

检表得七十二度五十四分

三十四秒即黄道交极圈之

乙角度也如图甲申为甲乙

弧之正甲酉为甲丙弧之

正戌癸为半径戌亥为乙

角之正甲酉申勾股形与

戌亥癸勾股形为同式形故

甲申与甲酉之比同于戌癸

与戌亥之比也此与有黄道

有距纬求

黄赤交角之理同葢乙角

即如黄赤交角甲乙为黄

道乙丙即如赤道甲丙即

如距纬其八线所成之勾

股皆由乙角而生故其相

当之比例皆同也

设如黄道弧四十五度距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及赤道度并黄道交极圈角各防何【第五】

甲乙丙正弧三角形丙为

直角甲乙为黄道弧乙丙

为距纬弧求黄赤相交之

甲角则以甲乙弧四十五

度为对所知之边其正

七百零七万一千零六十

八为一率乙丙弧一十六

度二十二分三十八秒为

对所求之边其正二百

八十一万九千五百八十二

为二率丙直角九十度为所

知之角其正即半径一千

万为三率求得四率三百九

十八万七千四百九十一为

甲角之正检表得二十三

度三十分即黄赤相交之甲

角度也如图乙卯为甲乙弧

之正乙寅为乙丙弧之正

丁癸为半径丁子为甲角

之正乙寅卯勾股形与丁

子癸勾股形为同式形故乙

卯与乙寅之比同于丁癸与

丁子之比也求甲丙赤道度

则用次形法以乙丙

弧一十六度二十二分三十

八秒之余

九百五十九万四千二百六

十七为一率甲乙弧四十五

度之余七百零七万一千

零六十八为二率半径一千

万为三率求得四率七百三

十七万零一百一十三为甲

丙弧之余检表得四十二

度三十一分二十二秒即甲

丙赤道弧之度也如图甲乙

丙正弧三角形之次形为乙

己丁葢乙丙弧之余即乙

己丁次形之乙己弧之正

为乙未而甲乙弧之余即

乙己丁次形之乙丁弧之正

为乙子又甲丙弧之余

即乙己丁次形之己角之正

为丙辰

而乙子未勾股形与丙辰

癸勾股形为同式形故乙

未与乙子之比同于丙癸

与丙辰之比也

求黄道交极圈之乙角则

与前第四问有黄道有赤

道求黄赤交角之理同葢

乙角即如黄赤交角甲乙

为黄道乙丙即如赤道其

勾股比例同也

设如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄道度并黄道交极圈角各防何【第六】

甲乙丙正弧三角形丙为

直角甲丙为赤道弧乙丙

为距纬弧求黄赤相交之

甲角则以甲丙弧四十二

度三十一分二十二秒之

正六百七十五万八千八

百二十一为一率乙丙弧一

十六度二十二分三十八秒

之正切二百九十三万八千

八百一十九为二率半径一

千万为三率求得四率四百

三十四万八千一百零九为