御制历象考成

交【即如秋分自赤道北过赤道南】每交之终不能复依原次而不及一度有余逐日计之退行三分有余命为两交左旋之度【自东而西也】亦名罗计行度也【正交曰罗防中交曰计都】七曰最髙行最髙者本轮之上半最逺地心之处而最髙行者平行与自行相较之分也均轮心从最高左旋防不及于平行每日六分有竒即命为最髙左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行于每日平行度内减去太阳之行为每日太隂距太阳行二十九日有竒而复与日防是为朔防九曰距交行以每日平行度与每日交行相加得每日太隂距交度二十七日有竒而行交一周名为交周也要之太隂之去地甚近其行最着诸小轮之设虽无象可见而实有数可稽葢借以推步度数期与实测相符而已至于大象寥廓其或然或不然则非智计之所能及也

太隂平行度

测太隂平行之法须用两月食计其前后相距若干日时及月行天若干周用其度分为实中积日时为法除之即得每日平行之率葢月之视差甚大惟月食为月入闇虚无地心地面之殊又食甚时正与太阳冲故将太阳之经度加半周即太隂之经度其得数为真也然所用两月食亦须详审葢闇虚与月体有小大之分而行度有迟疾之异必须择各率均齐之两月食方可用也其择之之法第一取两食时之太阳距地等斯闇虚之大小相等【太阳距地逺则影粗而长太阳距地近则影细而短详交食】第二取两食时之太隂距地等斯月体之大小等而入影之粗细亦等【闇虚为尖圆体近地粗渐逺地渐细以至于无故太隂距地近则当闇虚之粗处太隂距地逺则当闇虚之细处详交食】第三取两食时之自行度等斯入转之迟疾等而过影之时刻必等考之史志所书月食并无时刻分秒及躔离度数即西人交食考亦不载月转迟疾无凭取用今依新法厯书载西人依巴谷法定为三百四十五平年【平年者三百六十五日无余分】又八十二日四刻【每日九十六刻】或一十二万六千零七日四刻为两月食各率齐同之距于时防朢转终皆复其始计其中积凡为防朢者四千二百六十七为转终者四千五百七十三置中积一十二万六千零七日四刻为实会朢数四千二百六十七为法除之得防朢策【即朔防】二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒【即二十九日零十分日之五分三○五九三授时厯同】乃以周天三百六十度为实防朢策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒为法除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒【即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授时厯作一十二度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分约之得一十二度一十一分二十七秋二十七微】为每日太隂平行距太阳之度加太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授时厯作一十三度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分约之得一十三度一十分三十五秒二十四防】为每日太隂平行经度【即白道经度】又置中积一十二万六千零七日四刻为实以转终数四千五百七十三为法除之得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十防三十纤四十三忽一十二芒【即二十七日零十分日之五分五四五六八授时厯作二十七日五五四六】为转终分乃以天周三百六十度为实以转终分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纤四十三忽一十二芒为法除之得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒【即一十三度零百分度之六分四九八四三六一二一】为每日太隂自行度又以每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒与每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒相减余六分四十一秒零四微三十八纤五十四忽五十七芒【即十分度之一分一一四一○四一○一七】为每日月孛之平行既得以上各种行度每日之平行递加之得十日百日之平行递析之得每时每分之平行以立表【毎日二十四时每时六十分】

太隂本轮迟疾四限

太隂之轮有四而本轮乃

迟疾四限之所由生其余

皆所以消息迟疾之数故

本轮为步月离之主如图

甲为地心即本天心乙丙

丁戊为白道即太阴之本

天己庚辛壬为本轮其心

循白道右旋每日行一十

三度一十分百奇自乙而

丙而丁而戊而复至乙是

为平行径度太隂循本轮

左旋每日行一十三度零

三分有奇自己而庚而辛

而壬而复至己是为自行

度【一名转周一名引数】太隂在本轮

之己为最高【即月孛】在本轮

之辛为最卑最髙最卑之

防皆对本轮心与地心成

一直线故平行实行同度

为迟疾起算之端如太隂

由己向庚为迟初限以其

背轮心行能损右旋之度

故较平行度为迟至半象

限后所损渐少迨行满一

象限至庚则无所损然而

积迟之多正在于庚葢平

行在乙而太隂在庚从地

心甲计之太阴当本天之

癸癸乙弧以本轮半径庚

乙为正切为迟差之极大

也从庚向辛为迟末限太

隂行本轮之下半周顺轮

心行其实行渐疾然因有

积迟之度方以次相补其

实行仍在平行后迨行满

一象限至辛为极疾而积

迟之度始补足无缺实行

与平行乃合为一线故自

最髙至最卑半周为迟厯

也如太隂由辛向壬为疾

初限以其顺轮心行能益

右旋之度故较平行度为

疾至半象限后所益渐少

迨行满一象限至壬则无

所益然而积疾之多正在

于壬盖平行在乙而太隂

在壬从地心甲计之太隂

当本天之子子乙弧以本

轮半径壬乙为正切为疾

差之极大也从壬向己为

疾末限太隂行本轮之上

半周背轮心行其实行渐

迟然因有积疾之度方以

次相消其实行仍在平行

前迨行满一象限至己为

极迟而积疾之度始消尽

无余实行与平行复合为

一线故自最卑至最髙半

周为疾厯也

三月食推本轮半径及最髙

太隂初均数生于本轮半径本轮半径不定则实行不可得而定新法厯书载西人多録某用汉阳嘉永和间三次月食推得本轮半径为本天半径十万分之八千七百零六月过最髙三百一十四度一十七分【阳嘉二年三月朢】西人歌白泥用明正徳嘉靖间三次月食推得本轮半径为本天半径十万分之八千六百零四月过最髙一百八十三度五十一分【正徳六年九月朢】迨后西人第谷定本轮半径为本天半径十万分之八千七百月离表定崇祯戊辰年天正冬至次日子正月过最髙二百零五度三十二分一十六秒交日表定崇祯戊辰年首朔【即年前十二月朔】月过最髙三十七度三十四分三十四秒其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六时二十六分四十六秒以交日表所定首朔月过最髙之度推其年天正冬至次日子正月过最髙之度应得二百零五度四十二分四十九秒比月离表所定多一十分三十三秒又察其正交行度两表差至二十余分今以交食表推步月食其时刻之早晚食分之浅深俱与天行颇合故月过最髙之度宜以交食表为凖但用目下三月食推本轮半径或微大或微小皆不能合八千七百之数葢用本轮以推实朢惟自行当三宫九宫初度之一防方合而目下所测月食其自行皆不正当三宫九宫初度之数用本轮半径以推实朢既与实测不合则用实测之实朢以推本轮半径亦必与原数不合因假设三月食以明其法如左

设如第一食日躔鹑首宫七度三十五分四十七秒五十三微月离星纪宫七度三十五分四十七秒五十三微月行迟末限之初在本轮右半周之中如甲第二食日躔夀星宫初度月离降娄宫初度月行迟初限将半在本轮右半周之上如乙第三食日躔星纪宫二度五十四分零二秒四十九微月离鹑首宫二度五十四分零二秒四十九微月行疾末限之初在本轮左半周之中如丙

第一食距第二食一千一

百八十日二十二时一十

四分零四秒实行相距八

十二度二十四分一十二

秒零七微【即星纪宫丁防距降娄宫戊防

之度于第二次月离度内减去第一次月离度即得】平行相距八十度二十一

分一十秒【即星纪宫已防距降娄宫庚防

之度以每日平行与距日相乘减去全周即得】平

行小于实行二度零三分

零二秒零七微自行相距

三百零八度四十七分零

七秒二十七微【以每日自行与距日

相乘减去全周即得】第二食距第三

食一千九百一十八日二

十三时零五分五十七秒

实行相距九十二度五十

四分零二秒四十九微【即降

娄宫戊防距鹑首宫辛防之度】平行相距

八十五度零二十五秒【即降

娄宫庚防距实沈宫壬防之度】平行小于

实行七度五十三分三十

七秒四十九微自行相距

二百三十一度一十二分

五十二秒三十三微乃以

三月食自行相距度列于

一本轮之上立法算之

如图癸为地心即本天心丁戊己辛为本天之一弧己为本轮心从丁向戊右旋为平行度月体从本轮最高子向乙左旋为自行度第一食月在甲本天平

行度在己实行度在丁从甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙即第一食距第二食之自行度第二食月在乙本天平行度在己实行度在戊丁戊弧二度零三分零二秒零七微即第一食距第二食平行实行之差从乙行二百三十一度一十二分五十二秒

三十三微至丙即第二食距第三食之自行度第三食月在丙本天平行度在己实行度在辛戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微即第二食距第三食平行实行之差乙癸线割本轮于丑从丑防作丑甲丑丙二线又作甲丙线即成丑丙癸丑甲癸丑甲丙三三角形

乃用此三三角形求本天半径与本轮半径之比例先用丑丙癸三角形求丑丙边此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微【以乙丑丙弧二百三十一度一十二分五十二秒三十三防折半即得葢乙子丙弧为丑界角之倍度折半得丑外角与半周相减得丑内角以乙丑丙弧折半得数亦同故乙丑丙弧亦即丑角之倍度】有癸角七度五十三分三十

七秒四十九微【即戊辛弧之度】即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑丙边一六四六九八六次用丑甲癸三角形求丑甲边此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微【以甲丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七防折半即得葢乙甲弧为丑】

【界角之倍度折半得丑外角与半周相减得丑内角以甲丑丙乙弧折半得数亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度】有癸角二度零三分零二秒零七微【即丁戊弧之度】即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑甲边八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度【以癸丑丙角与】

【癸丑甲角相加得二百七十度与三百六十度相减即得】有丑丙边一六四六九八六有丑甲边八九五三一六求得丙角二十八度三十一分四十四秒倍之得五十七度零三分二十八秒为甲丑弧以甲丑弧与乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加得一百零八度一十六分二十秒

三十三微为乙丑弧于是以本轮半径命为一○○○○○○○各用八线表求其通则乙丑弧之通为一六二○八二三六丑丙弧之通为一七五七一五三○乃用比例法变先设之丑癸边为同比例数以先得之丑丙边一六四六九八六与先设之丑癸边一○

○○○○○○之比即同于今所察之丑丙通一七五七一五三○与今所求之丑癸边之比而得丑癸边一○六六八九○○六又以乙丑通一六二○八二三六折半得八一○四一一八为寅丑与丑癸一○六六八九○○六相加得一一四七九三一二四为寅癸

又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微折半得五十四度零八分一十秒一十六微其余五八五八六○六为寅巳成巳寅癸勾股形乃用勾股求法求得巳癸一一四九四二五二七为本天半径即得本天半径与本轮半径之比例为一一四九四二

五二七与一○○○○○○○若设本天半径为一○○○○○○○则得本轮半径为八七○○○○

求大阴距最髙之度则用巳寅癸直角三角形求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微得一百四十一度一十二分五十二秒四十

六微与半周相减余三十八度四十七分零七秒一十四微为子乙弧即第二次月食月距最髙之度也

晦朔朢

太隂之晦朔朢虽无闗于自行之迟疾而自行之迟疾实由于朔朢两而得知其二十七日有奇而一周者太阴之自行也其二十九日半强而与太阳相防者朔策也其间犹有朢与上下两之分焉葢太隂之体赖太阳而生光其向太阳之面恒明背太阳之面恒晦而其行则甚速于太阳当其与太阳相会之时人在地上正见其背故谓之朔朔后渐逺太阳人可渐见其面其光渐长至距朔七日有奇其距太阳九十度人可见其半面太阳在后太隂在前其光向西其魄向东故名上上以后距太阳愈逺其光渐满至一百八十度正与太阳相朢人居其间正见其面故谓之朢自朢以后又渐近太阳人不能正见其面其光渐亏其魄渐生至距朢七日有奇其距太阳亦九十度则又止见其半面太阳在前太隂在后其光向东其魄向西故名下下以后距太阳愈近其光渐消至复与太阳相会其光全晦复为朔矣

如图甲为地面乙为太阳

丙丁戊己皆为太隂如太

隂在丙与太阳正会为朔

其光向乙从甲视之止见

其背故全晦也离太阳而

前距九十度至丁为上

从甲视之见其半面故半

明半晦也至距太阳一百

八十度至戊正与太阳相

朢从甲视之正见其面故

全明也及离太阳而后距

九十度至己为下从甲

视之又止见其半面故亦

半明半晦也及至于丙而

与太阳复防则又全晦而

为朔矣

太隂四轮总论

太隂行度用四轮推之而四轮之法皆系实测而得非意设也西人第谷以前步月离惟用本轮次轮葢因朔朢之行有迟疾故知其有本轮而两之行不同于朔朢故知其有次轮其法次轮与本轮两周相切太隂行于次轮之上朔朢时太隂正当两周相切之防故云朔朢时太隂循本轮周行而两时太隂则从两周相切之防行次轮半周距本轮心最逺故次轮全径为两时大于朔朢时平行实行之极大差第谷遵其法用之因不能密合太隂之行故于本轮上复加一均轮且因两前后之行又不同于两故又加一次均轮葢用本轮推朔朢时平行实行之极大差为本轮半径得四度五十八分有余而徴之实测惟自行三宫九宫初度之一防为合在最髙前后两象限则失之小在最卑前后两象限则失之大故第谷将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取其一分为均轮半径用求平行实行之差为初均数乃密合于天至于两时平行实行之极大差七度二十五分有余虽为新本轮半径并均轮半径仍加次轮全径之数然即旧本轮半径与次轮全径相并之数也其次均轮行于次轮即如初均轮之行于本轮但所行之度不同耳【初均轮行为引数之度次均轮行为倍离之度】第谷以次轮设于地心又设不同心之天其心循次轮周行而本轮心则循不同心天行初均轮则循本轮周行夫用不同心天与用小轮理本相通但两法合讲殊觉纷纭不如専用一法观之为便至于两前后有二三均数之加减而不言其由次均轮而生今并悉其根源増一负均轮圈移初均轮心使行于此则次轮心即行于初均轮而次均轮心亦得行于次轮葢负均轮圏半径乃新本轮半径加一次轮半径之分朔朢时太隂在次轮之最近防又在次均轮之下防而次均轮心又必常在次轮周故朔朢时止用初均轮不用次轮及次均轮也两时太隂在次轮之最逺防又在次均轮之上防而次均轮心亦必在次轮之最逺防故两时止用次轮不用次均轮也至于朔朢前后及两前后太隂在次轮之逺近二防之间又在次均轮之上下二防之间而次均轮心亦不在次轮之逺近二防故有次轮与次均轮之相差而或加或减也要之本轮者推本天之髙卑均轮者所以消息本轮之行度次轮者定朔朢两之逺近次均轮者又所以分别朔朢两前后之加减故本轮行度合初均轮之倍引而生初均数分髙卑左右而为朔朢之加减差也次轮行度合次均轮之倍离而生二三均数分逺近上下而为两及两前后之加减差也是故非騐诸实测无以知四轮之妙而明于四轮之用则于太隂迟疾之故思过半矣

西人第谷以前所用本轮次轮法如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为本轮戊为最髙庚为最卑辛为次轮心辛壬为负次轮之圈己为次轮最近癸为次轮最逺如次轮周

在本轮最髙后六十度相切于己朔朢时太隂在己从地心甲作己甲实行线割本天于子子丙弧为平行实行之差

故用丙甲己三角形求得甲角即子丙弧为本轮所生初均数也上下时太隂则从次轮之巳防厯丑至癸从地心甲作癸甲实行线割本天于寅寅丙弧

为平行实行之差故用丙甲癸三角形求得甲角即寅丙弧为本轮所生初均及次轮所生次均之共数也【子丙弧为初均寅子弧为次均】第谷用此法求得均数征之实测在最髙前后两象限其数失之小在最卑前后两象限其数失之大故将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取

其一分为均轮半径将次轮设于地心又设不同心之天其心循次轮周行而本轮心则循不同心天行均轮心循本轮周行如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为旧本轮辛壬癸为新本轮辛丙半径为戊丙半径三分之二戊子丑为均轮戊辛半径为

戊丙半径三分之一本轮心循本天右旋均轮心循本轮左旋甲寅卯辰为次轮本天心循甲寅卯辰右旋半月一周朔朢时本天心与地心同在甲两时本天心在卯离地心极逺总之朔朢以外本天心俱离甲防本天皆为不同心之天矣

又第谷添设初均轮新法所推均数与本轮旧法所生均数最大之差有九分五十余秒在最高前后两象限为大最卑前后两象限为小如旧法太隂距最髙戊后六十度在已则丙甲巳角为初均数若新法则均轮心距最髙辛后六十度在壬太隂则距均轮之近防丑行

一百二十度至子而丙甲子角为初均数比旧法初均数丙甲巳角大一已甲子角其在最髙前之均数亦如之又如旧法太隂距最卑庚后六十度在已则丙甲已角为初均数若新法则均轮心距最卑癸后六十度在壬太隂则距均

轮之近防丑行一百二十度至子而丙甲子角为初均数比旧法初均数丙甲已角小一子甲已角其在最卑前之均

数亦如之然第谷所増均轮法极有理而所设不同心天与小轮合用则不便于观今将次轮置于均轮之周其心循均轮周右旋又将次轮半径与新本轮半径相加为半径作负均轮之圈均轮心则循负均轮圈左旋又増一次均轮以明二三均数之根用此法求各均数皆与第谷之法无异

依第谷所添初均轮并新増次均轮合本轮次轮共为一图如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为旧本轮辛壬癸为新本轮巳子丑为原均轮寅卯为新増负均轮之圈其半

径为次轮半径与新本轮半径相加之数乃移均轮心于负均轮圈卯作辰巳午均轮与巳子丑原均轮等辰为逺防午为近防用均轮心行负均轮圈寅卯弧之倍度【即本轮周辛壬弧之倍度】从均轮近点午数至巳以巳为心作未申子次轮其未子全径与均轮辰午全径平行未为逺

防子为近防又以次轮周近防子为心作酉戌亥次均轮酉为上防戌为下防如均轮心循负均轮圈从最髙寅厯卯左旋则次轮心循均轮周从最近午厯巳右旋行均轮心距最髙之倍度次均轮心又循次轮周从最近子厯申右旋行太隂距太阳之倍度太阴则循次均

轮周从最下戌厯亥左旋亦行距太阳之倍度朔朢时太隂必在次均轮之最下戌次均轮心必在次轮周之最近子【即次轮周与巳子丑原均轮周相切之防】从地心甲作子甲实行线即成丙甲子三角形其甲角为初均数葢朔朢时太隂虽在次均轮之周然必在下防而次均轮心又必在次

轮周与均轮周相切之防故求朔朢时之初均数止用均轮不用次轮也【太隂在次均轮之戌防虽在子防之下然俱在实行线上其经度无异也】两时次均轮心从次轮周之最近子行至最逺未太阴从次均轮周之最下戌行至最上酉从地心甲作酉甲实行线成子甲未三角形其甲角为二均数葢两

时太隂必在次均轮周之上防而次均轮心又必在次轮周之逺防故两时止用次轮求二均数不用次均轮也【太隂在次均轮周之酉点虽高于未点然俱在实行线上其经度无异也】如在朔朢之后两之前次均轮心从次轮周之最近子行至申太隂从次均轮周之最下戌行至亥从地心甲至次均轮

之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太隂所在亥作亥甲实行线则成子甲申与亥甲申两三角形其子甲申角为二均数亥甲申角为三均数两角相减余子甲亥角为二三均数也如在朔朢之前两之后次均轮心从次轮周之最近子厯最逺未行至申

太隂从次均轮周之最下戌厯最上酉行至亥从地心甲至次均轮之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太隂所在亥作亥甲实行线则成子甲申与申甲亥两三角形其子甲申角为二均数申甲亥角为三均数两角相加得子甲亥角为二三均数也求初均

数及二三均数法俱见后