御制历象考成后编

一率日在最卑最大二均数三十七分一十一秒为二率月距日倍度之正为三率得四率三十二分一十二秒为日在最卑月距日三十度之二均数两二均之较为三分二十五秒乃以太阳高卑立方大较一○一四一○为一率两二均之较三分二十五秒为二率日距最高三十度距地之立方一○四四三一九与最高距地之立方一○五一五六二相减余七二四三为本日立方较为三率求得四率一十四秒与日在最高之二均相加得二十九分一秒为日距最高三十度时月距日三十度之二均数比前法仅多一秒故太阳距最高逐度二均之差以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例也

求三均末均

新法算书推歩朔望两皆无三均数而三均之最大者毎在朔望之间故知三均之差生于月距日之倍度自噶西尼以来以朔望间之最大差属之二均而月距日九十度与月高距日高九十度其差正等【见求两心差第二第三条求一平均第一第二条】月距日四十五度与月高距日高四十五度其差又等【见求一平均第三条求二平均第一条求二均第一条】则是三均之差不専系乎月距日之故也于是取月距日与月高距日高之共为九十度时测之其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等又取月距日与月高距日高之共为四十五度时测之其差与月距日或月高距日高之独为四十五度者等乃知三均之差生于月距日与月高距日高之总度半周内为加半周外为减其九十度与二百七十度之最大差为二分二十五秒其间逐度之差以半径与总度之正为比例则三均之法定矣然必日月最高同度或日月同度两者止有一相距之差则止有三均若月天最高与日天最高有距度日月又有距度则三均之外朔后又差而迟望后又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十度时无三均而其差反最大故知三均之外又有末均乃将月高距日高九十度分为九限各于月距日九十度时测之两高相距九十度其差三分渐近则渐小其间月距日逐度末均之差皆以半径与月距日之正为比例朔后为减望后为加而后推太隂经度之法纎悉具备今考其所测其数之小者只在秒微之间其时又数十年而不一遇然其用意细宻学者茍通乎此何患推测之无术欤

如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设日在最高丙月天最高在庚距日天最高四十五度日距月天最高三百一十五度月在最高庚距日四十五度与月高距日高共为九十度此时二平均应加三分三十四秒二均应加三十三分一十四秒实行应比平行多三十六分四十八秒然测太隂实行却比平行多三十八分五秒半比所推实行多一分一十七秒半若月天最高在辛距日天最高二百二十五度日距月天最高一百三十五度月在最高辛距日二百二十五度与月高距日高共为四百五十度减全周余亦九十度此时二平均亦应加三分三十四秒二均亦应加三十三分一十四秒实行应比平行多三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行多四十分二十秒半比所推实行多三分三十二秒半又设月天最高在壬距日天最高三百一十五度日距月天最高四十五度月在最高壬距日三百一十五度与月高距日高共六百三十度减全周余二百七十度此时二平均应减三分三十四秒二均应减三十三分一十四秒实行应比平行少三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行少三十八分五秒半比所推实行少一分一十七秒半若月天最高在癸距日天最高一百三十五度日距月天最高二百二十五度月在最高癸距日一百三十五度与月高距日高亦共为二百七十度此时二平均亦应减三分三十四秒二均亦应减三十三分一十四秒实行应比平行少三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行少四十分二十秒半比所推实行少三分三十二秒半前测两距总数共九十度实行皆比所推为多后测两距总数共二百七十度实行皆比所推为少是知两距之总度半周内为加半周外为减两三均之故矣然距日半周内则多数小少数大距日半周外则多数大少数小是必另有一均因朔后而减望后而加者于是以大小两数相减折半得一分七秒半别为末均以加小数减大数得二分二十五秒为两距共九十度与二百七十度之三均九十度为加二百七十度为减也

设日在最高丙月天最高在子距日天最高二十二度半日距月天最高三百三十七度半月在最高子距日二十二度半与月高距日高共为四十五度此时二平均应加二分三十一秒二均应加二十三分三十秒实行应比平行多二十六分一秒然测太阴实行却比平行多二十七分一十八秒七微半比所推实行多一分一十七秒七微半若月天最高在丑距日天最高二百零二度半日距月天最高一百五十七度半月在最高丑距日二百零二度半与月高距日高共四百零五度减全周余亦四十五度此时二平均亦应加二分三十一秒二均亦应加二十三分三十秒实行应比平行多二十六分一秒然测太阴实行却比平行多二十八分九秒五十二微半比所推实行多二分八秒五十二微半又设月天最高在寅距日天最高三百三十七度半日距月天最高二十二度半月在最高寅距日三百三十七度半与月高距日高共六百七十五度减全周余三百一十五度此时二平均应减二分三十一秒二均应减二十三分三十秒实行应比平行少二十六分一秒然测太阴实行却比平行少二十七分一十八秒七微半比所推实行少一分一十七秒七微半若月天最高在卯距日天最高一百五十七度半日距月天最高二百零二度半月在最高卯距日一百五十七度半与月高距日高亦共为三百一十五度此时二平均亦应减二分三十一秒二均亦应减二十三分三十秒实行应比平行少一十六分一秒然测太阴实行却比平行少二十八分九秒五十二微半比所推实行少二分八秒五十二微半前测两距总数共四十五度实行皆比所推为多后测两距总数共三百一十五度实行皆比所推为少是知两距总度半周内为加半周外为减为三均之故矣然距日半周内则多数小少数大距日半周外则多数大少数小是必另有一均因朔后而减望后而加者于是以大小两数相减折半得二十五秒五十二微半别为末均以加小数减大数得一分四十三秒为两距共四十五度与三百一十五度之三均四十五度为加三百一十五度为减也

前测日月同度两高相距九十度三均差二分二十五秒【见求两心差第二条一平均第二条】两高同度日月相距九十度三均亦差二分二十五秒【见求两心差第三条一平均第一条】日月同度两高相距四十五度三均差一分四十三秒【见求二平均第二条】两高同度日月相距四十五度三均亦差一分四十三秒【见求二均第一条】今测两距共九十度三均亦差二分二十五秒两距共四十五度三均亦差一分四十三秒故知三均生于两距之总度而九十度之正与二分二十五秒之比同于四十五度之正与一分四十三秒之比故知逐度之三均以半径与总度之正为比例也前测月天最高在日天高卑前后四十五度月在朔望前后四十五度末均皆为一分七秒半月天最高在日天高卑前后二十二度半月在朔望前后二十二度半末均皆为二十五秒五十二微半可见月天最高距日天高卑前后之度等则其差亦等月距朔望前后之度等则其差亦等而独四十五度与二十二度半一分七秒半与二十五秒五十二微半无以为比例于是取月天最高距日天高卑前后九十度时按月距日逐度测之设日在最高丙正当交点月天最高在丁距日天最高后九十度月在最高丁距朔后九十度此时无一二三平均亦无初二三均然测太阴实行比平行少三分若月天最高在己距日天最高前九十度月在己距日二百七十度而距朔前九十度以测太阴实行则比平行多三分是知月天最高距日天最高前后九十度而月距日朔望前后九十度时末均为三分朔后为减望后为加又设日在最高丙月天最高在丁距日天最高后九十度月在庚距最高前六十度而在朔后三十度此时太阴初均应加四度一十分五十六秒二均应加二十八分四十七秒三均应加二分六秒实行应比平行多四度四十一分四十九秒然测太阴实行仅比平行多四度四十分一十九秒比所推实行少一分三十秒若月天最高在己距日天最高后二百七十度而距日天最高前九十度月在辛距最高前六十度距日二百一十度而距望后三十度此时太阴诸均俱与前同然以测太阴实行则比平行多四度四十三分一十九秒比所推实行多一分三十秒又设日在最高丙月天最高在丁月在壬距最高后六十度距日一百五十度而距望前三十度此时初均应减四度一十分五十六秒二均应减二十八分四十七秒三均应减二分六秒实行应比平行少四度四十一分四十九秒然测太阴实行却比平行少四度四十三分一十九秒比所推实行少一分三十秒若月天最高在己月在癸距日三百三十度而距朔前三十度此时太阴诸均俱与前同然以测太阴实行仅比平行少四度四十分一十九秒比所推实行多一分三十秒是知月天最高距日天最高前后九十度而月距日朔望前后三十度时末均为一分三十秒朔后为减望后为加又九十度之正一千万与三分之比同于三十度之正五百万与一分三十秒之比故知月距日逐度之末均以半径与月距日之正为比例也乃用此法各于月距日九十度时测得月天最高距日天高卑前后九十度最大末均为三分八十度最大末均为二分三十九秒七十度最大末均为二分一十九秒六十度最大末均为二分五十度最大末均为一分四十三秒四十度最大末均为一分二十八秒三十度最大末均为一分一十六秒二十度最大末均为一分七秒一十度最大末均为一分一秒月天最高与日天高卑同度无末均其间月高距日高逐度之差用中比例法求得月天最高距日天高卑前后四十五度之最大末均为一分三十五秒半以半径与月距日四十五度之正为比例得本时末均为一分七秒半又求得月天最高距日天高卑前后二十二度半之最大末均为一分九秒一十五微以半径与月距日二十二度半之正为比例得本时末均为二十六秒二十二微半与前测合

求交均及黄白大距

正交之行有迟疾由于黄白大距有大小上编言之详矣授时厯用古法黄白大距恒为六度【以周天三百六十度每度六十分约之得五度五十四分三十九秒】朔望两无异故无交均新法算书测定朔望时交角【即大距度】最小为四度五十八分三十秒两时交角最大为五度一十七分三十秒两距度之较为一十九分交均之最大者为一度四十六分零八秒自奈端噶西尼以来谓日在两交时交角最大为五度一十七分二十秒日距交九十度时交角最小为四度五十九分三十五秒两距度之较为一十七分四十五秒朔望而后交角又有加分因日距交与月距日之渐逺以渐而大至日距交九十度月距日亦九十度时加三分四十三秒交均之最大者为一度二十九分四十二秒皆与新法算书不同然厯家测黄白大距必于月距交九十度时夫月距交九十度而值朔望则日距交亦九十度是今之谓日距交九十度交角小犹与朔望交角小之义同也月距交九十度而值两则日必在两交是今之谓日在两交交角大犹与两交角大之义同也惟日在两交而又值朔望则交角关乎食分之浅深日距交九十度而又值两则加分关乎距纬之逺近是必验诸实测古今确有不同之处防稽经纬以成一家之言而非轻为改定也至其推算之法以五十九为边总五十六为边较求得黄极之角为交均以日距交月距日之余比例得加分与最小之交角相加为大距亦与新法算书不同则是作者务出新竒而又取其易于入算故近日西士皆从之称为新学今并悉其根源具详图説于左

如图甲为黄极乙丙丁为

黄道以最大距限【距限即大距度

因大距又有大小故名距限以别之】五度一

十七分二十秒与最小距

限四度五十九分三十五

秒相加折半得五度八分

二十七秒半为距限中数

以中数为半径作戊己庚

辛圏为白极绕黄极本轮

又以两距限相减折半得

八分五十二秒半为半径

作壬癸子丑圏为负白极

均轮均轮心循本轮周左

旋自戊向己每日三分有

余为正交行度白极循均

轮周右旋自壬向癸每日

二度四分有余为日距正

交之倍度如均轮心在戊

日在两交时白极在壬正

交在乙中交在丁寅丙弧

为最大距限五度一十七

分二十秒与壬甲弧等日

距交九十度时白极在子

正交亦在乙中交亦在丁

卯丙弧为最小距限四度

五十九分三十五秒与子

甲弧等惟此二时白极与

轮心同在一线故无交均

日厯两交而后白极从壬

向癸距限渐小交行渐迟

交均俱为加差日距交九

十度而后白极从子向丑

距限渐大交行渐疾交均

俱为减差【正交逆行故加为迟减为疾也】此即上编求交均大距之

法惟白极行日距正交之

倍度与月距日倍度不同

耳然用是以推交均则与

今表不合设日距交四十

五度白极自壬行九十度

至癸交均戊甲癸角当为

一度三十九分一秒今表

则为一度二十九分四十

秒其法以五十九为一率

五十六为二率日距正交之

正切线为三率求得四率为

正切线检表与日距正交相

减得交均盖弧线三角形之

小者可作直线算而甲戊癸

三角形知甲戊戊癸二边及

壬戊癸外角当用切线分外

角法日距正交之度即半外

角也则五十九必边总也五

十六必边较也以数推之戊

辰当为四百八十二秒半辰

癸当为五十秒用约分比例

甲戊一万八千五百零七秒

半为五十七分半则戊辰四

百八十二秒半为一分四九

九若以甲戊正八九六○

六六为五

十七分半则戊辰正二三

三九二为一分五○一折中

而取之为一分半故相加得

五十九分为边总相减得五

十六分为边较此其为立法

所自来断如矣然用是以求

大距则又与今表不合盖均

轮之内仍有一小轮试将壬

子均轮全径一千零六十五

秒五分之得二百一十三秒

除一百六十三秒为加分小

轮全径余五十秒即为交均

小轮全径与均轮全径相减

余一千零一十五秒为负小

轮全径小轮心循负小轮周

右旋行日距正交之倍度白

极自小轮

最逺防左旋行轮心之倍度

如日在两交无距度则小轮

心在己白极在壬无交均仍

以壬甲弧为距限也日距交

九十度则小轮心自己行一

百八十度至午白极自最逺

子行三百六十度仍至子无

交均仍以子甲为距限也如

日距交四十五度则小轮心

自己行九十度至未白极自

最逺癸行一百八十度至辰

戊甲辰角一度二十九分四

十秒为交均辰甲五度八分

三十四秒为距限也如日距

交三十度则小轮心自己行

六十度至申白极自最逺酉

行一百二

十度至戌戊甲戌角一度

一十六分三十七秒为交

均【表多二秒】戌甲五度一十二

分五十八秒为距限也【先用

戊酉斗三角形求得酉斗邉七分四十一秒一六斗

戊邉四分二十六秒二五则斗甲为五度一十二分

五十三秒七五次求得酉戌通四十三秒三○与

酉斗相减余六分五十七秒八六为斗戌邉然后用

斗甲戌直角形求甲角及甲戌邉余仿此】如日

距交六十度则小轮心自

巳行一百二十度至亥白

极自最逺亢行二百四十

度至氐戊甲氐角一度一

十八分五十秒为交均【表少

九秒】氐甲五度四分六秒为

距限也如此则交均距限

理数皆极精宻而推算则

属繁难且交均用小轮与

去一小轮全径作小均轮

其角度相去不逺【见前】距限

用与用股其邉度亦相

去不逺【见后】故戊癸均轮

半径五百三十二秒半减

癸辰小轮全径五十秒余

戊辰四百八十二秒半作

小均轮半径则甲戊与戊

辰之比常如五十七分半

与一分半之比用切线分

外角法即得逐度之交均

以半径一千万为一率日

距正交倍度之正矢为二

率【过九十度则用大矢】仍以均轮壬

戊半径五百三十二秒半

为三率【酉斗癸戊亢牛等线皆为均轮正

壬斗壬戊壬牛等线皆为均轮正矢故仍以均轮半

径为比例】求得四率为距交减

分【如壬斗壬戊壬牛之类】与壬甲最

大距限五度一十七分二

十秒相减即得逐度之距

限也【斗甲为五度一十二分五十四秒比戊甲

少四秒戊甲为五度八分二十八秒比辰甲少六秒

牛甲为五度四分一秒比氐甲少五秒故日相去不

逺】然此又惟朔望为然朔

望而后交角又有加分因

日距交与月距日之渐逺

以渐而大至日距交九十

度月距日亦九十度时交

角比朔望大二分四十三

秒盖白道之上又有小轮

其周之下点与白道相切

日距交渐逺其径渐大至

日距交九十度时最大全

径为二分四十三秒其逐

度之小轮全径与最大小

轮日距正交倍度之正矢

等是为距交加差朔望而

后白道以渐而张与白道

小轮月距日倍度之正矢

等【凡正矢过九十度俱用大矢后仿此】是为

距日加分如白极在壬无

日距交度则无白道小轮

即无距交加差如白极在

子日距交倍度为一百八

十度则白道小轮女卯全

径为二分四十三秒即距

交加差【一百八十度之大矢即全径故小轮

全径最大】设两时月距日倍

度为一百八十度则白道

自卯张至女女卯小轮全

径即为距日加分【一百八十度之

大矢即全径故交角加分即与小轮全径等】与

卯丙距限相加【卯丙与子甲等】得

女丙为黄白大距设月距

日倍度为六十度则白道

张至危以半径一千万为

一率六十度之正矢五百

万为二率【半径与余相减为正矢】小

轮半径一分二十一秒半

为三率求得四率危卯四

十一秒为距日加分与卯

丙距限相加得危丙为黄

白大距又如白极在辰日

距交倍度为九十度则白

道小轮干坎全径一分二

十一秒半为女卯最大小

轮全径之一半是为距交

加差【九十度之正矢与半径等故白道小轮全

径与最大小轮半径等】设月距日倍

度为一百二十度则白道

张至艮以半径一千万为

一率一百二十度之大矢

一千五百万为二率【半径与余

相加为大矢】小轮半径四十秒

七五为三率求得四率坎

艮一分一秒为距日加分

与坎震距限相加【坎震与辰甲等】得艮震为黄白大距其数

悉与今表相合而表之立

算则不用距交减分而总

用加分其法以半径一千

万为一率日距正交倍度

之余为二率壬戊均轮

半径八分五十二秒半为

三率求得四率如斗戊与

戊牛之类日距正交倍度

九十度以内者与戊子半

径相加得数如斗子之类

日距正交倍度九十度以

外者与戊子半径相减得数

如牛子之类是为距交加分

盖前以壬斗壬牛等类之距

交减分与壬甲最大距限相

减此以斗子牛子等类之距

交加分与子甲最小距限相

加其得数同也至求距日加

分则又用两加差为比例先

以半径一千万为一率日距

正交倍度之正矢为二率最

大加分二分四十三秒折半

得一分二十一秒半为三率

求得四率为距交加差次以

半径一千万为一率月距日

倍度之正矢为二率仍以最

大加分之半数一分二十一

秒半为三

率求得四率为距日加差

乃以最大加分二分四十

三秒为一率距交加差为

二率距日加差为三率求

得四率为距日加分盖距

交加差即白道小轮全径

用其半径与月距日倍度

之正矢为比例即得距日

加分今距日加差与距交

加差同列一表仍以最大

加分为全径立算则其所

得距日加差乃差之最大

者故以最大加分【即最大小轮全

径也】与距交加差之比【即本时小

轮全径也】同于最大距日加差

【最大小轮全径所生】与本时距日加

分之比也【本时小轮全径所生】以距

日加分与距交加分相加

为交角加分与最小距限

相加即为黄白大距盖以

距交加分加于最小距限

与以距交减分减于最大

距限其得数旣同而得距

限之后再加距日加分与

先以距日加分与距交加

分相加而后加于最小距

限其得数亦同也论法则

用交角减分为明列表则

用交角加分为便故推月

离之法则两载之实并行

而不相悖也

地半径差

太阴地半径差以太阴距地平及距地心之逺近为大小上编言之详矣顾旧法高卑距地心有定数而推距地平逐度之视差则皆用三角形立表易而推算难故自五十三倍地半径至六十二倍地半径列为十表今法高卑距地心无定数太阴之自行虽同度而距地心之逺近常不同至推距地平逐度之视差则即以距天顶之正与地平最大差为比例【见本编日躔地半径差篇】立表难而推算易故以最大两心差与最小两心差各求太阴自高至卑逐度之地平最大差合为一表若两心差在大小之间者则用中比例求之【法见本表】其求太阴自高至卑逐度地平最大差之法则先求得两心差最大时最高距地心一○六六七八二○为六十三倍地半径又百分之七十七最卑距地心九三三二一八○为五十五倍地半径又百分之七十九两心差最小时最高距地心一○四三三一九○为六十二倍地半径又百分之三十七最卑距地心九五六六八一○为五十七倍地半径又百分之一十九中距距地心一千万为五十九倍地半径又百分之七十八【测算之法并同上编】依法求得太阴自高至卑逐度距地心线与地半径之比例及地平最大差列为表因其为推交食之用故表入交食焉