御制数理精蕴

此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此如甲乙两几何又有他几何丙若甲与丙之比例大

于乙与丙则甲大于乙若丙与乙之比例大于丙与甲则乙小于甲

十一此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等如甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比例等则甲乙

与丙丁之比例亦等

十二数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例如甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己也则甲丙戊诸前率并与

乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之比例也

十三数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之比例亦大于第五与六之

比例如甲【一】与乙【二】之比例若丙【三】与丁【四】而丙丁之比例大于戊【五】与己【六】则甲乙之比例亦大于戊己十四四几何第一与二之比例若第三与四之比例而第一大于三则第二亦大于四第一或等小于三则第二亦等小于三

十五两分之比例与两多分并之比例等如甲与乙同任倍之为丙丁为戊己则丙丁与戊己之比例若甲与乙

十六四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等如甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若丙与丁更推之则甲与丙之比例亦

若乙与丁

十七相合之两几何为比例等则分之为比例亦等如甲乙合丁乙丙戊合己戊其甲乙与丁乙之比例若丙戊与己戊分之甲丁与丁乙亦若

丙己与己戊

十八两几何分之为比例等则合之为比例亦等此即反前题之说也

十九两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等如甲乙全与丙丁全之比例若截甲戊与丙己则余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁又甲乙

与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己也

二十有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等小于第三则第四亦等小于第六如甲乙丙三几何丁戊己三几何

其甲与乙之比例若丁与戊乙与丙

之比例若戊与己如甲大于丙丁亦

大于己甲丙等丁己亦等甲小于丙

丁亦小于己

二十一有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一几何大于第三则第四亦大于第六第

一或等小于第三则第四亦等小于

第六如甲乙丙三几何丁戊己三几

何相为连比例不序不序者甲与乙

若戊与己乙与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于于丙丁亦大于己甲丙等丁己亦等甲小于丙丁亦小于己

二十二有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推如有甲乙丙又有丁戊己而甲与乙之比例若丁与戊乙与丙若戊与己

以平理推甲与丙之比例若丁与己

二十三若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推如甲乙丙又丁戊己相为连比例而错者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊以平理推甲与丙之比例亦若丁与己

二十四凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四如甲乙【一】与丙【二】若丁戊【三】与己【四】而乙庚【五】与

丙若戊辛【六】与己则甲乙乙庚并与丙若丁戊戊辛并与己

二十五四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并如甲与乙若丙与丁甲最大丁最小则甲与丁并大于丙与乙并也

二十六第一与二之比例大于第三与四之比例反之则第二与一之比例小于第四与三之比例如甲【一】与乙【二】之比例大于丙【三】与丁【四】反

之则乙与甲之比例小于丁与丙

二十七第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一与三之比例亦大于第二与四之比例如甲【一】与乙【二】之比例大于丙【三】与丁【四】

更之则甲与丙之比例亦大于乙与丁

二十八第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例如甲乙【一】与乙丙【二】之比例大于丁戊三与戊己【四】合之则甲丙与乙丙之比例亦大

于丁己与戊己

二十九第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例此反前题之说也

三十第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例如甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己转之则甲丙与甲乙之比例小于

丁己于丁戊

三十一此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比

例如甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于戊与己如是序者以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己

三十二此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例如此甲乙丙彼丁戊己而甲与乙之比例大于戊与

己乙与丙之比例大于丁与戊如是错者以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己

三十三此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例如甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己则两分余戊乙与

己丁之比例大于甲乙与丙丁

三十四若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小于此第一与彼第一之比例如甲乙丙又丁戊己其甲与丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己则甲乙丙并与丁戊己并之比例

大于丙与己亦大于乙丙并与戊己并但小于甲与丁也

通曰比称数等者是数等也凡称比例等者非数等也数不等而比例等也

论线面之比例

一等髙之三角形方形自相与为比例与其底之比例等如甲乙丙丁戊己两三角形等髙其底乙丙戊己如庚丙戊辛两方形等髙其底乙丙戊己则甲乙丙与丁戊己之比例庚丙与戊辛之比例皆若

乙丙与戊己

又甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊己

等则甲乙丙与丁戊己两角形之比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例皆若甲壬与丁癸之髙之比例也

二三角形任依一边作平行线即此线分两余边以为比例必等三角形内有一边分两边以为比例而等即此线与余边为平行如甲乙丙角形作丁戊与乙丙平行线于形内则甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙反言之甲丁与丁乙甲戊与戊丙比例若

等则丁戊与乙丙两线必平行

三三角形任以直线分一角为两平分而分对角边为两分则两分之比例若余两边之比例三角形分角之线所分对角边之比例若余两边则所分角为两平分如甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角

为两平分则乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙反言亦可

四凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似之边如甲乙丙丁丙戊两角形各角俱等则甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙

与丙乙若丁戊与戊丙而每对等角之边各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当等角也

又凡角形内之直线如丁戊与乙丙平行则截一分之甲丁戊角形必与甲乙丙全角形相似又甲乙丙角形内作丁戊线与乙丙平行于乙丙边任取己防向甲角作线则乙己与己丙之

比例若丁庚与庚戊

五两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等此反前题之说也

六两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等如两角形之乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则余角丙与己甲与丁俱等

七两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等如两角形之甲与丁角等而第二相当角如丙角两旁之甲丙丙乙两边偕己角两旁之丁

己己戊两边比例等其第三之相当角如乙与戊或俱小俱不小于直角则丙角与己等乙角与戊等

八直角三边形从直角向对边作一垂线分本形为两直角三边形即两形皆与全形相似亦自相似如甲乙丙直角三边形从乙甲丙直角作丁垂线则所分甲丁丙甲丁乙两三边形皆与全形相似亦

自相似同直角也

又从直角作垂线即此线为两分对边线比例之中率而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例之中率也

九一直线求截所取之分如甲乙线欲取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即甲庚为甲

乙三分之一

十有直线求截各分如所设之截分如甲乙线先任作甲丙线又作丙乙线相聨乃任分于丁于戊即从丁作丁己从戊作戊庚皆与丙乙平行即分

甲乙线于己于庚若甲丙之分于丁于戊又法如后图甲乙线求五平分任作丙乙线次于乙丙上任取一防作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸令小于甲乙次作甲癸子线再作子壬子辛子庚子己四线各引长之即分甲乙于丑于寅于夘于辰为五平分也又法从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸

辛壬四线即分甲乙于午于辰于卯于寅为五平分又法先作丙丁戊己两平行线任平分若干格今欲分甲线为五平分即观甲线之度

以一角抵戊一角抵庚辛线如长于庚即渐移之至壬而合即戊壬之分为甲线之分

十一两直线求别作一线相与为连比例如甲乙甲丙两线而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也先引甲乙为乙丁与甲丙等次作丙乙线次作

丁戊线与丙乙平行次引甲丙至戊即丙戊线为所求又法以甲乙乙丙两线别作甲乙丙直角次以甲丙线聨之次作丙丁为甲丙之垂线末引甲

乙至丁即乙丁线为所求

十二三直线求别作一线相与为断比例如甲乙乙丙甲丁三线而甲乙与乙丙之比例若甲丁与他线也先以甲乙乙丙作一直线为甲丙以甲丁线任作甲角次作丁乙线次作丙戊线与丁乙平行次

引甲丁至戊即丁戊线为所求

十三两直线求别作一线为连比例之中率如甲乙乙丙两线求甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次两平分于戊

次以戊为心甲丙为界作半圜次从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁线为中率也

又凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率线也又甲乙线大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率者先以甲乙甲丙作丙甲乙直

角平分甲乙于丁以丁为心甲乙为界作半圜次作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊次作戊己垂线分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之中率戊己与甲丙等也通曰凡半圜外之切线自等半径以下者皆为全径两分之中率也

十四两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视之边两平行方形之一角等而等角旁两边为互相视之边即两形等如甲乙丙丁乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊己庚两角又等此

两角各两旁之两边甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也反言之亦可

十五相等两三角形之一角等即等角旁之各两边互相视两三角形之一角等而等角旁之各两边互相视即两三角形等如甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又等此等角旁之各两边甲乙与乙戊之

比例若丁乙与乙丙也反言之亦可

十六四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形等即四线为断比例如甲乙丙丁四线为断比例甲与乙若丙与丁而戊形系甲丁首

尾两线矩内直角形己形系乙丙中两线矩内直角形则戊己两形必等反言之亦可

十七三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方形等即三线为连比例如甲乙丙三线为连比例甲与乙若乙与丙而丁形系甲丙首尾两

线矩内直角形戊形系乙上直角方形则丁戊两形必等反言之亦可

十八直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等如甲乙线先设丙丁戊己庚形任从一角向各对角各作直线而分本形为若干角形如作己丙己丁分为丙丁己丁己戊丙己庚

三三角形次于甲乙上作甲壬乙角形与丙己丁等角次作乙壬辛与丁己戊等角又作甲壬癸与丙己庚等

角则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚相

似而体势等矣凡设多角形俱仿此

又法如设甲乙丙丁戊己形求于庚

线上作相似而体势等形先引甲乙

至辛甲丑亦然次从甲向角各作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线等不论其在乙内外末作辛壬与乙丙平行作壬癸与丙丁平行作癸子与丁戊平行作子丑与戊己平行即所求

十九相似三角形之比例为其相似边再加之比例如甲乙丙丁戊己两角形等角乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则两形之比例为乙丙与戊己两边再加

之比例也

又凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例也

二十以三角形分相似之多边直线形则分数必等而相当之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若两元形之比例为两相似边再加之比例如此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线形其乙甲戊庚己癸两角等余相当之各

角俱等而各等角旁各两边之比例各等则各以角形分之其分数必等如题所云

又甲线倍大于乙线则甲上方形与乙上方形为四倍大之比例

又凢三直线为连比例其线上多边形一与二之比例若一与三

二十一两直线形各与他直线形相似则自相似二十二四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线为断比例

二十三等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结如甲丙丙己两平行方形之乙丙丁戊丙庚两角等则两比例之前率在此形两比

例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结此乃不同理之比例也

二十四平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似如甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而与对角

线交相遇于壬则戊庚己辛两角线方形自相似亦与全形相似

二十五两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等如甲乙两形先于甲形任取一边如丙丁上作平行方形与甲等为丙戊次于丁戊边上作平行方形与乙等而丙丁庚己戊辛

俱为直线也次作壬癸线为丙丁丁庚之中率次于壬癸上作子形与甲相似而与乙等

通曰似者形似也等者容等也体势等者非容等也二十六平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线如乙丁形内减戊庚形元形减形相似而体势等又戊甲庚同角则戊庚形必依乙丁形之对

角线

二十七凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形如甲乙线平分于丙于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形

对角线乙丁次作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半线上之阙形此两形相似相等体势又等则甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形必大于此有阙依形

二十八一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似而体势

等次作甲辛庚乙满元线平行方形若甲己平行方形与丙等者即得所求甲己依线之有阙平行方形也戊庚阙形也

二十九一直线求作依线之带余平行方形与所设直线形等而其余形与所设平行方形相似如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似别作平行方形与丙及戊庚并相等为辛形又别作平行方形与辛

等又与丁相似为壬癸子丑形乃引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等作夘寅平行方形与申等又引甲乙至酉引庚乙至午引午卯至未又作甲未与己卯平行得甲辰带余平行方形依甲乙线与丙等而酉午为其余形与戊庚形相似即与丁相似也

三十有直线求作理分中末线如甲乙线上作甲丙直角方形次依丁甲边作丁己带余平行方形与甲丙形等而甲己为其余形又与甲丙形相似

则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也谓甲乙与甲辛若甲辛与辛乙也

三十一三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形若相似而体势等则一形与两形并等如甲乙丙三边直角形乙甲丙为直角于乙丙

上任作直线形为丁于甲乙甲丙上亦作己戊两形与丁相似而体势等则丁形与戊乙两形并必等

通曰此勾股半幂相并与半幂等也

三十二两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两形成一外角若各相似之各两边各平行则其余各一边相聨为一直线如甲乙丙丁丙戊两角形甲乙甲丙边与丁丙丁戊边相似则甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切

成甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各平行则乙丙丙戊必一直线

三十三等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例如两圜等其心为丁为辛各任割一圜分为乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为

乙甲丙己戊庚则乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角又乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚又乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚

又凡在圜心两角之比例皆若两分圜形

又在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界

増题

一圜与圜为其径与径再加之比例如甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己则甲乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例

又全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等盖诸比例皆两径再加之比例故也又三边直角形对直角边为径所作圜与余两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等

又三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者

二直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等如甲形求减三分之一先作丙丁形与甲等与乙相似次任于一边如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊为三分而取其庚戊

一分从庚作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线次于己丙己戊上作己辛己壬两形各与乙相似又若于大圜求减所设小圜以圜径当形边法如右又依此可作直角方形与初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一为乙壬丙戊初

月形先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形次用方形法四平分之即其一为所求方形

三两直线形求别作一直线形为连比例如甲子两形先作戊己庚直线形与甲等与子相似以相似两形之各一边如戊己乙丙为前率中率

线而求其连比例之末率线为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与子丑两形相似如求

四三直线形求别作一直线形为断比例如甲丁辛三形先作戊形与甲等与丁相似次以三形之任各一边如壬癸乙丙己庚求其断比

例之末率线为寅卯于寅卯上作寅卯辰形与辛相似如求

五两直线形求别作一形为连比例之中率如甲丁两形先作戊己庚直线形与甲等与丁相似次求戊己乙丙两线之中率为辛壬于辛壬上

作辛壬癸形与戊己乙丙上两形相似即为戊己乙丙两形之中率又法如后图甲乙两形先作丁丙戊己平行线形与甲等次作庚己辛壬平行线形与乙等与丁戊相似以所作两形己角相聨令

丁己壬戊己庚俱成直线再引各边成丙子辛癸平行线形即两余方形俱为丁戊庚壬两形之中率

六一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例此与二题之法相同但多乙丙两线之比例耳如先取戊己边两分之于庚令戊庚与庚己之比

例若乙与丙也余用前法

七一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似边之比例若所设两几何之比

例如甲形求分两形俱与丁相似其

两分形两相似之边又与乙与丙之

比例相若先以乙丙两线求其连比例之末率为戊次作己庚辛形与甲等与丁相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊余同二题之法

八两直线形求并一直线形与所设形相似而体势等如甲乙两形先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等又各与所设丙相似次令两形

相似之戊己己辛两边聨为直角次作戊辛线聨之于戊辛上作戊辛壬形与丙相似即与上两形并等也又法作一平行方形与甲乙两形并等又作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似即所求

九圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视如圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊则所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线谓甲