御制数理精蕴

立表测量等

变景法

景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变爲直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乗【如矩度十二自乗得一百四十四为矩幂】以景度【即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之】为法除之【其变景之理详句股述】

直景必高多逺少如一象限人望四十五度【半象限九十度】以上权线必切直景

倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景

变景者变倒景之少度为直景之多度葢测物愈逺则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也

矩度测髙

直景以矩度乗逺得积实以景度为法除之

设所测不知其髙距所逺三十尺权线切直景八度法以矩度【十二】与逺【三十】相乗得三百六十为积实以直景八度为法除之【如筹算检八号筹视某格与积实近少除之】得四十五尺为矩乙角以上之髙即所测之髙是为以小句【景度】比小股【矩度】若大句【逺】与大股【髙】

倒景以景度乗逺得积实以矩度为法除之

设逺六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度【七】通五分之得【三十六】分以乗逺【六十】得积实二千一百六十以矩度【十二】通五分之得【六十】为法除之得三十六尺为矩乙角以上之髙【此倒景不必变但变其法以景度乘逺以矩度为法除之亦同】是为以小句比大句若小股与大股

重矩测髙【测髙先不知其逺则用重矩如重表测法】

前矩直景后矩直景以矩度乗表间得积实以两景较为法除之【表间即悬矩之干两矩相距之间】

设前直景【五度】后直景【十度】两矩相距【十尺】法以矩度【十二】乗表间【十尺】得【一百十尺】　为实以两景较【五度】为法除之得二十四尺为矩乙角以上之髙以小句比小股若大句与大股同前首条

前矩直景后矩倒景以矩度乗表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之

设前直景【十一度】后倒景【九度】两矩相距【二十二尺】法以矩度【十二】乗表间二十得【二百四十】为积实又以倒景【九度】为法除矩幂【一百四十四】得变景十六与前矩直景较余【五】为法除积实得【四十八】为矩乙角以上之髙是为以小句【景较】比小股【矩度】若大句【表间相距】与大股【所测之髙】

前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乗表间得积以两变景较为法除之得所测之髙仝前按测望即容方求余句余股法其矩测之倒景必变者葢立表测髙人目退望使参相直若所测愈髙则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈逺表即容方之边而人目退望之处即余句也今矩之甲角愈髙则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之余句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乗逺以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正

测逺

按测无髙之逺先用重矩测得髙【巳壬】次以矩度【甲】为一率以后矩所变之

景【乙戊】为二率以高【巳壬】为三率即得四

率之逺是为以小股【甲乙】比小句【乙戊】若大股【巳壬】与大句【壬乙】

右高【巳壬】得四八变景【乙戊】得一六矩度【甲乙】十二度依三率法得逺六十四葢倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例

以测髙法还原

设逺【六十四尺】倒景【一六】矩度【一二】以矩度乗逺【六四】以变景度【一六】为法除之得高【四八】与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之逺西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图

测深

设井口或径广十二尺求至水面深几何

用矩度视深【辛】使甲巳辛叅相直

视权线在直景乙戊【三度】以矩度【十二】

乘等庚巳之辛壬水面【十二尺】得【一百四十四尺】为实以乙戊【三度】为法除之得【巳壬】深【四十八尺】是为以【乙戊】比【乙甲】若【壬辛】与【壬巳】

设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何

权线切倒景丁戊【三度】依法变为直景【四十八度】以乗巳壬【十三尺】得【六百二十四尺】为实以甲乙矩度【十二】为法除之得庚巳广【五十二尺】是为以甲乙比乙癸若巳壬与等【壬辛】之巳庚

又倒景不变以矩度乘【巳壬】得积以倒景丁戊【三度】为法除之亦得巳庚广【五十二尺】

按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乗深而矩度为法除之若在倒景则矩度乗深而景度为法除之固两不相混也至于测髙则必矩度乗取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也

附三率算术

古名异乗同除西法变为三率

原有丁戊股十四尺

丙戊句十一尺二寸

今截丁乙股十尺

求乙甲截句几何

西法三率

一率　【以】原有股十四尺　　　为法

二率　【比】原有句十一尺二寸　【相乗为实】三率　【若】今截股十尺

四率　【与】求得截句八尺　　　法除实所得术以原股比原句若截股与截句

凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率

二率三率常相乘为实一率为法除实故名三率而求得之数为四率

按西法三率算术専为比例之用如右所求在截句则以原股比原句若截股与截句如所求在截股则以原句比原股若截句与截股又如所求在原句则以截股比截句若原股与原句再如所求在原股则以截句比截股若原句与原股随所比例各视所求而以同类比之如前测望诸法或以小句比小股若大句与大股或以大句比大股若小句与小股之类其纵横大小不相紊乱后三角法悉依此术纵横大小相为比例而又线与线为类边与边为类法益加宻矣

勾股引卷三

钦定四库全书

勾股引蒙卷四

海宁　陈訏　撰

三角法

八线全图

【周天三百六十度两分之为半

周四分之为一象限　每一象

限各九十度又名弧度　　六】

凡正方角【乙】即直角即象限之角其所对弧必九十度

凡在一象限不及九十度者为鋭角【如丙】

凡过一象限多于九十度者为钝角

凡言角以中一字为所指之角【如甲乙癸】

凡求某角者求其角之对弧度与分

凡求某角即本角之弧矢割切为正其外为余凡半径为全数为一○○○○○八线有增减半径无増减常为十万弧中旋转可如如句

凡正角以半径全数为正

凡钝角以外角之正余为正余

直角【即正方角一名勾股形】

有角有边求余角余边【直角之一】

假如【壬癸丁】勾股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】求余角余边

先求癸丁边

术曰以半径全数比丁角之余

若壬丁与癸丁句

一率【原设】半径　　　　一○○○○○　为法二率【原设句】丁角【五十七度】余　　五四四六四　【相乗】三率【今有】壬丁边　　　九十一丈八尺　【为实】四率【今所求句】癸丁边　　　五十丈　　【法除实得所求】右三率法后同　半径即乙丁余即甲丁

求壬癸边

以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股

一率【原设】半径　　　　一○○○○○

二率【原设股】丁角【五十七度】正　○八三八六七

三率【今有】壬丁边　　　　九十一丈八尺

四率【所求股】壬癸边　　　　七十七丈

求壬角

以丁角五十七度与象限九十度相减得余三十三度为壬角

右例先得以求勾股

假如【壬癸丁】勾股形有丁角【六十二度】癸丁勾【二十四丈】求余角余边

求壬角

以丁角【六十二度】与象限相减得余【二十八度】为壬角　平面弧止容一正方角两鋭角今既有勾股形【癸】则于一象限内减丁角之度其余度自必壬角

戊丙丁勾股形以戊丙

切线为股丙丁半径为

勾戊丁割线为是丁

角原有之线　今壬癸丁勾股形与戊丙丁勾股形既同丁角则其比例等

求壬丁边

以半径比丁角之割线若癸丁勾与壬丁

一率【原设勾】半径　　　　　一○○○○○二率【原设】丁角【六十二度】割线　二一三○○五

三率【今有勾】癸丁边　　　　二十四丈

四率【所求】壬丁边　　　　五十一丈一尺

求壬癸边

以半径比丁角之切线若癸丁勾与壬癸股

一率【原设勾】半径　　　　　一○○○○○二率【原设股】丁角【六十二度】切线　一八八○七三

三率【今有勾】癸丁边　　　　二十四丈

四率【所求股】壬癸边　　　　四十五丈一尺右例先得勾以求及股或先得股以求及勾亦同

按半径随弧旋转无有増减故可为为勾为股各随比例之所取用视边与线之纵横小大为比例

有边求角【直角之二】

假如【壬癸丁】勾股形有壬丁【一百○二丈二尺】癸丁勾【四十八丈】求二角一边

求丁角

以丁壬比癸丁勾若半径乙丁与丁角之余甲丁

一　　壬丁边　　一百○二丈二尺

二　　癸丁边　　○四十八丈

三　　半径　　　一○○○○○

四　　丁角余　四六九六六

以所得余检表得六十二度为丁角度

右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为余角之比例矣然丁角必求余为四率者盖若求正正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若余【甲丁】与正割【壬丁】之例然余尚未求得又无可为比故以壬丁比癸丁句若乙丁之半径与甲丁勾之丁角余相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数歴然可于无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可于无比例中寻出比例矣

求壬角

以丁角六十二度与象限相减得余二十八度为壬角

求壬癸边

以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股

一　　半径　　　　一○○○○○

二　　丁角【六十二度】正　○八八二五九

三　　壬丁边　　　一百○二丈二尺

四　　壬癸边　　　○九十丈○二尺三寸右例以边求角而先知方角故止用二边此先有之边是与勾故求壬癸边之股者以壬丁边之斜为比而正如股半径旋转如可线与线相比以为边与边相比之例也若先有者是股边勾边则求切线者以股邉为例而勾之比股者又可以半径为勾如下求丁角法

假如壬癸丁三角形有壬丁边一百○六丈壬癸边九十丈癸丁边五十六丈求角

求癸角

以壬丁大边与丁癸边相加得【一百

六十二丈】为总又相减得【五十丈】为较以

较乘总得【八千一百丈】为实以壬癸边

【九十丈】为法除之仍得【九十丈】与壬癸

边数等即知癸角为正方角

求丁角

以丁癸边比壬癸边若半径与丁角切线

一　　丁癸勾　　五十六丈

二　　壬癸股　　九十丈

三　　半径　　　一○○○○○

四　　丁角切线　一六○七一四

以所得切线检表得五十八度○六分为丁角

有一角必有一弧每一弧必有八线今求丁角而壬癸边如丁角弧之切线可以半径相比故先以丁癸边比壬癸边为例若半径与丁角之切线

求壬角

以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角

右例亦以边求角而先不知其为勾股形故兼用三边

鋭角

有两角一边求余角余边【鋭角之一】

假如【乙丙丁】鋭角有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁边【一百二十尺】

求乙角

以丙角【六十度】丁角【五十度】相并得【一百一十

度】以减半周一百八十度余七十度

为乙角

右丙角丁角有度而无边乙角有边

而无度先以两角之度除半周而乙

角之弧度得矣既得乙角之度即可

以乙角之线比乙角相对之边若他

角之线与他角之边

求乙丁边

以乙角正比丙丁边若丙角正与乙丁边一　　乙角【七十度】正　九三九六九

二　　丙丁边【即乙角对边】　一百二十尺

三　　丙角【六十度】正　八六六○三

四　　乙丁边【即丙角对边】　一百一十尺○六寸以前诸法俱线比线边比边互相为例此处以线比边下求乙丙边同

求乙丙边

以乙角正比丙丁边若丁角正与乙丙边一　　乙角【七十度】正　九三九六九

二　　丙丁【乙角对边】　　　一百二十尺

三　　丁角【五十度】正　七六六○四

四　　乙丙【丁角对边】　　　○九十七尺八寸右例先有之边在两角之间也若先有之边与一角相对亦同

有一角两边求余角余边【鋭角之二】

假如【甲乙丙】鋭角形有丙角【六十度】甲丙边【八千尺】甲乙边【七千○三十四尺】

求乙角

以甲乙边比甲丙边若丙角正

与乙角正

一　　甲乙边　　　　七千○三十四尺

二　　甲丙边　　　　八千尺

三　　丙角【六十度】正　八六六○三

四　　乙角　　正　九八四九六

检表得八十度○三分为乙角

凡角俱有正下垂角小亦小角大亦大依割线之低昻也今丙角斜边长近俯乙角斜边短近仰则乙角必大于丙角故以小边比大边亦若正小之比大而可得角也此以小比大也

求甲角

以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角

求乙丙边

以乙角之正比甲角之正若甲丙边与乙丙边

一　　乙角【八十○度三分】正　九八四九六二　　甲角【三十九度五十七分】正　六四二一二

三　　甲丙【乙角对边】　　　　　八千尺

四　　乙丙【甲角对边】　　　　　五千二百一十五尺乙角以乙丙为底其正从甲下垂故长甲角以甲丙为底正从乙下垂故短今乙丙边小于甲乙甲丙之两边故以最大之邉比之先以最大之线比最小之线用乙角甲角之正为例也

右例有两边一角而角与一边相对

假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】角在两边之中不与边对求甲乙边

先求中长线分为两勾股形

以半径比丙角正若甲丙边

与甲丁中长线

【此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及

分形之角】

一　　半径　　　　　一○○○○○

二　　丙角【六十度】正　　○八六六○三

三　　甲丙边　　　　四百尺

四　　甲丁中长线　三百四十六尺四寸一分

求丙丁边【求中长线专为分边而求】

以半径比丙角余若甲丙边与丙丁边

一　　半径　　　　一○○○○○

二　　丙角【六十度】余　○五○○○○

三　　甲丙边　　　四百尺

四　　丙丁边　　　二百尺

求角者须先审四率之线应求某线而以边之可比例者为一二率求边者须先审二率应用某线可与四率之边相比例而以一率三率比之盖边有定在而线则随所比例而变其所取也如右求丙丁边乃分边而非乙丙之全边妙在八线余限于正而不越于正之外与丁丙分边限于中长线甲丁不能越丁而至乙故二率取为比例而得丙丁之分边

求乙丁边

以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁

求丁甲乙分角

以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分角切线

一　　甲丁中长线　三百四十六尺四寸一分二　　乙丁分边　　○六十一尺○八分

三　　半径　　　　一○○○○○

四　　甲分角切线　○一七六三三

检切线表得一十度为甲分角

右求分角之线自必以分边为例则所得之线乃分角之线而非甲全角之线惟切线即在角之对边故分边之线为分角之度

求甲乙边

以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙边

一　半径　　　　　一○○○○○

二　甲分角【十度】割线　一○一五四三

三　甲丁中长线　　三百四十六尺四寸一分

四　甲乙边　　　　三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边

求甲全角

以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求得甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角

求乙角

以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周同】

右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股

用切线分外角【梅本新増】

假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角六十度

求甲角

以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角【六十度】减半周得外角【一百二十度】半之得半外角【六十度】检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角

一　　两边总　　　六百六十一尺○八分二　　两边较　　　一百三十八尺九寸三分三　　半外角切线　一七三二○五

四　　半较角切线　○三六三九七

检切线表得二十度为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度

求乙角

以甲丙二角相并共【一百度】以减半周得余八十度为乙角

求甲乙边

以甲角【四十度】正　六四二七九

比丙角【六十度】正　八六六○三

若乙丙边　　　　　二百六十一尺○八分

与甲乙边　　　　　三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角葢一弧之中既有丙角则所余之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长鋭于乙角则乙角必大甲角必小又应于外角之半分出较角而后甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小于乙角若干而此求得之较为小于乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻増此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左

此平三角借弧以明其理

若弧三角所容三角不止

三个如平方立方有面体

之别后同

有三边求角【鋭角之三】

假如【甲乙丙】鋭角形有乙丙边【二十丈】甲丙边【一十七丈五尺八寸五分】乙甲边一【十三丈○五寸】

求两勾相减之数为勾较

任以【乙丙】大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形

一甲丁丙形以甲丙边为丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为丁乙为勾两相并为总相减为较　两勾相并【即乙丙边原数】为勾总　求戊丙勾较

以勾总比总若较与勾较

一　　两勾之总【即乙丙】　二十丈

二　　两之总　　三十丈○六尺三寸五分三　　两之较　　四丈五尺三寸五分四　　两勾之较【即丙戊】　六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余然余长短必限于正今甲丁中垂线即丙角之正今若求丙角余又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾【戊丁】而得丁丙分边与丙角之余等以之比例而得丙角之余即查表得丙角之度

求分形之两勾

以勾较【六丈九尺四寸六分】减勾总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形

又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加勾较【六丈九尺四寸六分　即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形

求丙角

以甲丙比丁丙勾若半径与丙角余

一　　甲丙边　　一十七丈五尺八寸五分二　　丁丙分边　一十三丈四尺七寸三分三　　半径　　　一○○○○○

四　　丙角余　○七六六一六

检余表得丙角四十度

求甲角

先求分形大半之甲角

以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形甲角

次求分形小半之甲角

以甲乙比丁乙勾若半径与分形甲角之正一　　甲乙边　　　一十三丈○五寸

二　　丁乙分边　　○六丈五尺二寸七分

三　　半径　　　　一○○○○○

四　　甲分角正　○五○○一五

【以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正】

检正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角并分形两甲角【先得五十度次得三十度】得共八十度为甲全角

求乙角

并丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角