御制数理精蕴

一负积当以负纵除而以亷减纵适尽者约负积得次商以乗负隅为隅法以乗商减负积【既无负纵则独用隅法减负积也或以负隅除负积以常法平方开之亦可】如实八百六十四初商三十而负积三十六再开以亷减纵适尽即约负积得次商六为隅法自乗得三十六减负积尽为长三十六又如实九千三百七十五和二百初商一百而负积六百二十五再开以亷减纵适尽即约负积得次商二十为隅法自乗得四百减负积三开以亷减纵纵负四十乃以负纵除负积二百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长一百二十五【负积六百二十五常法开平方亦得二十五平方再开亷法之四十犹翻法三开负纵之四十也葢纵亷相减负纵即是余亷而在负隅法中方亷隅皆负也纵乃正也以相减则负纵固是余负亷也】

一以亷减纵有余纵不可以除负积者约计当得次商若干以乗负隅为隅法再减余纵纵负则以负纵除负积合次商【负纵与隅法皆所用以除负积者也无负纵则独用隅法有余纵则以隅法相减】如实一千六百六十六和八十三初商四十而负积五十四再开以亷减纵余三即约九为次商以再减余纵纵负六乃以负纵除负积合次商为长四十九也

一以亷减纵有余纵不可以除负积再以隅减纵适尽者此为有商无除【隅与纵相减并尽既无负纵即无余隅矣无可用以除负积者也】而其负积则续商以除之如实五万五千五百七十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再开以亷减纵余八十即以八十为次商【若以九十为次商则减纵而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积又负于法不得行也】以再减余纵适尽无可除三开以亷减纵纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长二百八十五一以亷减纵有余纵再以隅减纵仍有余纵者以余纵乗商益负积【余纵以减积负纵以减负积然则余纵当以益负积矣】而续商以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四初商一百而负积二百七十二再开以亷减纵余六十四即以六十为次商【不以七十为次商者犹前例不可以九十为次商也】以再减余纵仍余四则以余纵乗商得二百四十以益负积得五百一十二三开以亷减纵纵负五十六乃以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八自乗得六十四减负积尽为长一百六十八

右自带纵并方亷开平方至此凡有纵方七法六法所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此外更有隅算开平方一法其以商亷相乗与负隅同而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带纵葢隅有正负犹纵有正负也【若以一为隅算则与无隅算同商亷固即是隅算之一也】以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣隅算法前未有例于后见之云

平方以斜径求方　法以斜径自乗为实以二为隅算开方　假如方田斜径七十步求方者以斜径自乗得四千九百为实以二为隅算初商四十以乗隅算得八十为方法以方法乗商得三千二百减实再开倍前商得八十以乗隅算得一百六十为亷法以亷法除实一千四百四十得九为次商又以次商乗隅算得一十八为隅法以隅法乗商得一百六十二减实不尽九十八倍商加隅仍乗隅算以命分为一百九十八之九十八约为九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也　按斜径自乗之实倍方积故以二为隅算开之【或不用隅算以斜径实半之开方亦得】旧説率方五斜径七然方五则斜七而强斜七则方五而弱未可为密率不若方斜积率方一斜二无黍丝差也

平方以方求斜径　法倍方积开方

大小两方以共积及两方互乗数求大小方　法倍两方互乗数减共积开方得两方较乃以两方互乗数为实以较为带纵用带纵并方亷开之【言并方亷而或用减积可知不待言也他仿此】得小方或以较为负纵用负纵减方亷开之得大方

又法倍两方互乗数并共积开方得两方和乃以两方互乗数为实以和为带纵一为负隅用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方【按此葢以句股法通之大方股也小方句也共积实也两方互乗数句股相乗长方积也故倍互乗数则与共积相并减而开方可得和与较也或和或较但得其一即以互乗数为实用纵方开之自见大小方矣若兼求和与较以见大小方不用纵方之法亦可耳】

大小两方以共积及两方较求大小方　法以较实减共积余为实以二为隅算倍较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方或倍较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方　假如大小两方田共积七千五百九十二步两方较二十八步求大方者以较自乗得七百八十四以减共积得六千八百零八为实以二为隅算倍较得五十六为负纵初商七十以乗隅算得一百四十为方法先以负纵乗商得三千九百二十益实乃以方法乗商得九千八百减实再开倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十为亷法约计次商当得四以乗隅算得八为隅法先以负纵乗商得二百二十四益实乃以亷法除实一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二减实尽得大方七十四【此以隅算负纵益积法为例余可类推】

大小两方以共积及两方和求大小方　法以和实减共积余为实以二为负隅倍和为带纵用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方【按右二条但倍共积以减较实开方得两方和以减和实开方得两方较兼和较以见大小方最为便易然欲仿此意而推之三方以上则格而难通矣若以较和实减共积为实倍较和为带纵负纵则推之三方以上总用此法不过递增其隅算负隅之数及中方以较较为纵微不同耳合下二条观之乃知法之妙也】

大小三方以共积及三方之两较求各方　法以两较实减共积余为实以三为隅算而视其较若系大与小中与小之两较则倍两较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方系大与中大与小之两较则倍两较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方或系大与中中与小之两较而大与中之较盈于中与小之较【可知中方近小方也】则倍两较之较为带纵用隅算带纵并方亷开之大与中之较朒于中与小之较【中方近大方也】则倍较较为负纵用隅算负纵减方亷开之大与中之较中与小之较等则直用隅算开之得中方

大小三方以共积及三方之两和求各方　法以两和实减共积余为实以三为负隅倍两和为带纵用带纵负隅减纵开之得中方及小方或用翻法开之得大方【按并两和实其数自多虽以共积减之犹多也以此为实则除之常有余实矣并两和又倍之其数亦复不少以此为纵则减之常有余纵矣故举大与中与小之两和往往只用负隅减纵法即得大方不须翻法也惟大方与中小二方盈朒迥殊者乃间用翻法耳】

右四条以较求方以和求方其法两两相对由二方以推之三方更推之多方皆可以一理贯也但较有带纵负纵之分和则惟有带纵而已又中方以较较为纵与大小方固殊而以和和为纵则与大小方不异故以较求者其绪繁以和求者其术简也且如甲乙丙丁戊五方举甲与戊乙与戊丙与戊丁与戊之四较即先求戊方以四较实减共积余为实以五为隅算倍四较为带纵用隅算带纵并方亷开之求甲方者用负纵【若四较皆以甲方为主即先求甲方也　甲大戊小】并如右法至于求乙丙丁三方者当倍较较为纵而欲得较较固自有説假使求乙方即并乙与丙与丁与戊之三较而以甲与乙之较减之余则较较也葢以大于乙之较与小于乙之较相减既得较较且可知乙方为近大方为近小方而较较为带纵为负纵矣【乙下于甲一等似近大方而较较当为负纵然使并乙与丙丁戊之三较不及甲与乙一较之数即乙近小方而当为带纵也并三较与一较之数等者但用隅算开之】丙丁仿此其以和求者只如

右法云

三广田以积与三广之两较及长广较求长广　法以中广与长之较为带纵【必以中广为主此算三广之定法　既称长广则中广必朒于长故直称带纵而下文立法皆就带纵言之也然亦或有中广反盈于长者自当为负纵耳】以中广与南北广之两较并而四除之为旁纵【长既有纵广不当又称纵而广之有较亦纵也故谓之旁纵】而中广朒则为旁带纵中广盈则为旁负纵又有不同旁带纵者用双带纵并方亷兼减积开之【带纵法以并方亷为便而两纵分属长广两边则初开未可皆并入方故兼用减积法至再开或减积或并亷者亷固统长广两边不妨并两纵也】旁负纵者用带纵并方亷兼负纵益积减亷开之【带纵既用并方亷法而两纵分属长亷两边则初方不可一并一减故负纵必用益积法至再开或益积或减亷者亷统长广两边不妨且并且减也】得中广　假如三广田积二千四百六十五步中广朒于南广八步朒于北广三十六步朒于长六十七步求三广及长者以长广较六十七为带纵以两广较并而四除之得一十一为旁带纵初商一十并带纵得七十七为方法先以方法乗旁带纵得八百四十七减积乃以方法乗商得七百七十减积再开倍前商得二十并带纵得八十七为亷法约计次商当得八为隅法先以隅法乗旁带纵得八十八减积乃以亷法除积六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四减积尽得中广一十八【各加较得南广二十六北广五十四长八十五】或再开以旁带纵并入亷法得九十八以除积七百八十四得八为次商而以隅法减积尽尤简捷

又如三广田积二千四百六十五步中广盈于南广一十五步盈于北广九步朒于长五十步求长广者以长广较五十为带纵以两广较并而四除之得六为旁负纵初商三十并带纵得八十为方法先以方法乗旁负纵得四百八十益积乃以方法乗商得二千四百减积再开倍前商得六十并带纵得一百一十为亷法约计次商当得五为隅法先以隅法乗旁负纵得三十益积乃以亷法除积五百五十合次商又以隅五自乗得二十五减积尽得中广三十五【各加减较得南广二十北广二十六长八十五】或再开以旁负纵减亷法得一百零四以除积五百二十得五为次商而以隅法减积尽尤便【按右条之法亦可以纵为旁纵以旁纵为纵也虽纵有带负之分而带纵兼旁负纵者易为负纵兼旁带纵于算亦通然长广之较自当为纵广与广之较自当为旁纵理固如此耳且如下文各条例中其法更加隅算及负隅者纵与旁纵断不可移易也】

方长带偏斜田以积及四边之三较求长广　法以一边为主若主东一边即以东长与南北广之两较俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相减而以所余盈朒之数半之为纵以东西之较半之为旁纵其为带纵负纵并以东一边之盈朒分之先求东长如前三广田法　假如偏斜田积四千一百四十八步东长盈于南广十步朒于北广四步朒于西长八步求各长广者以东与南北两较相减得盈六半之得三为负纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十减负纵得五十七为方法先以方法乗旁带纵得二百二十八减积乃以方法乗商得三千四百二十减积再开倍前商得一百二十减负纵得一百一十七并旁带纵得一百二十一为亷法以亷法除积四百八十四得四为次商而以隅四自乗得一十六减积尽得东长六十四【各加减较得南广五十四北广六十八西长七十二】

又如偏斜田积一万一千四百步东长盈于南广一百三十步盈于北广一百一十步朒于西长二十步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得一十为旁带纵初商一百【此因负纵多而初商少兼用益积法】先以负纵乗旁带纵得一千二百益积【凡带纵皆用之减积也此旁带纵何以益积葢以方法相乗则减积耳方法之中有商有带纵方也商也带纵也皆正也两正相乗宜减积一正一负相乗宜益积也】次以商乗旁带纵得一千减积又以负纵乗商得一万二千益积乃以商自乗得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十并旁带纵得九十为亷法以亷法除积七千二百得八十为次商而以隅八十自乗得六千四百减积尽得东长一百八十【南广五十北广七十西长二百】

又如偏斜田积八千一百步东长盈于南广一百二十五步盈于北广一百一十五步盈于西长一十六步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得八为旁负纵初商一百先以负纵乗旁负纵得九百六十减积【凡负纵皆用之益积此旁负纵何以减积葢一正一负相乗宜益积则两负相乗又宜减积也两负如无负也】次以商乗旁负纵得八百益积又以负纵乗商得一万二千益积乃以商自乗得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十又减旁负纵得七十二为亷法以亷法除积五千零四十得七十为次商而以隅七十自乗得四千九百减积尽得东长一百七十【南广四十五北广五十五西长一百五十四】　按右三例第一例以负纵减方亷兼带纵减积并亷也其第二例第三例亦是负纵兼旁纵而初开以负纵减商商皆不足当以所负商数各二十为负方第二例以负方乗旁带纵得二百益积又以负方乗商得二千益积第三例以负方乗旁负纵得一百六十减积又以负方乗商得二千益积即初开各毕矣前着例颇详者欲使其中条理显然而防径自出也

三广田以积与三广和两广较及长广较求长广　法以四乗积为实以和为带纵一为隅算【凡三广必倍中广并边两广而四除之以为广今四乗积则可以当四除矣乃以三广和为带纵而犹少一中广即以一隅算并纵隅算固所求之中广也】以中广与长之较为旁带纵【如中广反盈于长则为负也】用隅算双带纵并方亷兼减积开之得中广【以加长广较得长以减三广和得南北二广和欲知南北各广数以两广较推之其较非必南北之较而皆可以次第推也　按此以长广较为旁纵者和不得为旁纵也凡和为带纵必加隅算及负隅而隅算负隅势不得在旁也此隅算只一犹与无隅算同纵与旁纵可以互换非负隅之比负隅虽只一其纵亦不可移耳】

方长带偏斜田以积与三边和及长较广较求长广法以二乗积为实以和为带纵一为负隅【以三边和为带纵非有二长即有二广故以二乗积而有二长者一为负隅以求广因以减纵中之广有二广者一为负隅以求长因以减纵中之长】以长较或广较半之为旁纵【求长则取长较求广则取广较】其为带纵负纵以所求一边之盈朒分之乃用带纵负隅减纵兼旁纵开之得一边长广　假如偏斜田积四千一百四十八步东南北三边和一百八十六步东长朒于西八步南广朒于北一十四步求各长广者以二乗积得八千二百九十六为实以一为负隅以和一百八十六为带纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十以乗负隅仍得六十为方法以方法减纵余一百二十六先以余纵乗旁带纵得五百零四减实乃以余纵乗商得七千五百六十减实再开倍前商得一百二十以乗负隅仍得一百二十为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法以亷法减纵余六十六又以隅法减纵余六十二乃先以隅法乗旁带纵得一十六益实【在负隅法中方亷隅皆负也旁带纵以正而与负乗故宜益实也】而以余纵减实二百四十八合次商得东长六十四【以减和更以广较推之得南广五十四北广六十八以长较见西长七十二】或再开以旁带纵乗负隅仍得四【凡纵不与隅算及负隅二者相乗而旁纵自再开以后欲与亷纵相并减则必与二者相乗也前以隅法乗之而益积隅法固已先乗负隅矣】以减纵余五十八【带纵而乗负隅故以减纵】而以除实二百三十二合次商亦便

又如偏斜田积三千二百五十步东南北三边和一百七十四步东长朒于西一十二步南广朒于北六步此须用带纵负隅减纵翻法【倍积为实则除实宜有余实一长二广为纵则减纵宜有余纵而或须用翻法者必其田狭长之甚也】而兼旁纵开之以二乗积得六千五百为实以一为负隅以和一百七十四为带纵以东西较半之得六为旁带纵初商一百【若商八十或九十则负积愈多而八十且有余纵无以置之九十虽有负纵其数甚少不能除尽负积故定商一百】以乗负隅仍得一百为方法以方法减纵余七十四先以余纵乗旁带纵得四百四十四减实乃以余纵乗商得七千四百减实实负一千三百四十四再开倍前商得二百以乗负隅仍得二百为亷法以亷法减纵纵负二十六约计次商当得二十以乗负隅仍得二十为隅法先以隅法乗旁带纵得一百二十减负实乃以负纵除负实五百二十合次商又以隅法乗商得四百减负实三开倍前商得二百四十以乗负隅仍得二百四十为亷法以亷法减纵纵负六十六约计三商当得四以乗负隅仍得四为隅法先以隅法乗旁带纵得二十四减负实乃以负纵除负实二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六减负实尽得东长一百二十四【南广二十二北广二十八西长一百三十六】或再开以旁带纵乗负隅仍得六以并负纵得三十二以除负实六百四十得二十为次商而以隅法减负实四百三开以旁带纵乗负隅仍得六以并负纵得七十二以除负实二百八十八得四为三商而以隅法减负实尽尤便　按算术固不能尽言即如偏斜田设举积及东南和东北和东西较则并两和为带纵以二为负隅而依前半较为旁纵倍积为实开之得东长或举积及东南和东北和东西和则以四乗积为实以东西和除之得南北和而并东南和东北和以南北和减之半其余得东长如三广田举积与三广之两较及长广和则以和为带纵一为负隅并两较而四除之为旁纵以开积得中广神而明之法随问变岂可限也兹因偏斜田而引伸其説凡诸条例莫不皆然请以俟通人之自悟焉

长方以重长重广共步及积求长广　法以共步为带纵而求长则以长数【重几长则为几数也下广数同】为负隅以广数乗积为实求广则以广数为负隅以长数乗积为实用带纵负隅减纵及翻法开之【不论求长求广但负隅数少乗积数多者积与纵常有余往往用带纵负隅减纵法负隅数多乗积数少者积与纵常不足往往用翻法惟田形狭长之甚者则不然临算当自知之不可预定耳】　假如长方积八百六十四步二长五广共一百九十二步为带纵以五乗积得四千三百二十为实【五乗积则得长乗广之数五而可以五广为带纵也】以二为负隅【实中无长自乗之数而带纵有二长故以二为负隅不益实即减纵也】用带纵负隅减纵开之得长三十六或以二乗积得一千七百二十八为实以五为负隅用翻法开之得广二十四　更有重长重广重和重较共步及积求长广者如积八百六十四步一和二较三长四广共二百八十八步法先约一和得一长一广并三长四广得四长五广又以二较益广为长共得六长三广乃如前求之若重较数多既益广尽为长而尚有余较者此则不可求长但可求广【原积无长乗较之数故不可求长原积有广自乗及广乗较之数各一故可求广】且如积八百六十四步一和六较三长四广共三百三十六步约一和三长四广得四长五广又以六较之五益广为长共得九长而余一较则以九长减较为广乃得九广十较而以十乗积得八千六百四十为实以一为隅算【十乗积则得广自乗及广乗较之数各十而带纵少一广故以一为隅算并纵也】以共步为带纵用隅算带纵并方亷开之得广二十四

长方以长广母子分数之共步及积求长广　法以长母乗广子为广率为广数以广母乗长子为长率为长数以两母相乗为总率以乗共步为带纵乃如前重长重广例求之　假如长方积八百四十步五分长之二四分广之一共二十步求长广者以五乗一得五为广率为五广以四乗二得八为长率为八长以五与四乗得二十为总率以乗共步得四百为带纵而此带纵之数凡有八长五广也乃以八乗积得六千七百二十为实以五为负隅用带纵负隅减纵开之得广二十四或以五乗积得四千二百为实以八为负隅用翻法开之得长三十五

长方匿原积以长乗重长重广积步及较或以广乗重长重广积步及较求长广　法以乗积为实并长广数为隅算而长乗求长则以广数乗较为负纵用隅算负纵减方亷开之广乗求广则以长数乗较为带纵用隅算带纵并方亷开之若广乗求长则以广数乗较为负纵又以较为旁负纵用隅算双负纵减方亷兼益积开之长乗求广则以长数乗较为带纵又以较为旁带纵用隅算双带纵并方亷兼减积开之假如长方匿其原积而以广乗六长三广得六千

九百一十二步其长广较一十二步求长者以乗积六千九百一十二为实以九为隅算以三乗较得三十六为负纵又以较一十二为旁负纵初商三十以乗隅算得二百七十减负纵得二百三十四为方法先以方法乗旁负纵得二千八百零八益实乃以方法乗商得七千零二十减实再开倍前商得六十以乗隅算得五百四十减负纵得五百零四为亷法约计次商当得六以乗隅算得五十四为隅法先以隅法乗旁负纵得六百四十八益实乃以亷法除实三千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四减实尽得长三十六或再开以旁负纵乗隅算得一百零八以减亷法得三百九十六以除实二千三百七十六得六为次商而以隅法减实尽尤捷　右法更有以长乗重长重广重和重较或以广乗之而以其积步及较求长广者并先约和较为长广不待言矣若以较益广尽为长而尚有余较如前九长一较之比者别自有法且如九长一较法以九为隅算而长乗求长则以一乗较为带纵广乗求广则以十乗较为带纵【九广十较也】广乗求长则以一乗较为带纵又以较为旁负纵长乗求广则以十乗较为带纵又以较为旁带纵依例开之

长方匿原积以长乗重长重广积步及和或以广乗重长重广积步及和求长广　此与前一条相似而不同以长乗者但可求长以广乗者但可求广【隅算及负隅无旁加者势不能也故长乗不便于求广广乗不便于求长矣】法亦以乗积为实而长乗求长则以广数乗和为带纵广乗求广则以长数乗和为带纵又以长广数相减余数为隅算不足数为负隅求长取长求广取广为之乃用隅算带纵并方亷或用带纵负隅减纵及翻法开之如六长三广长乗求长则以三乗和为带纵以三为隅算【六长三广相减长余三以为隅算之数葢并三长于带纵得六长三广也】广乗求广则以六乗和为带纵以三为负隅【六长三广相减广不足三以为负隅之数葢减三广于带纵亦得六长三广也】开之是也　右法长广所乗若更兼重和重较者先约和较为长广而约得余较如前九长一较之比亦别有法且如九长一较长乗求长则以一乗和为负纵以十一为隅算【减一长一广于隅算得九长一较也】广乗求广则以十乗和为带纵以十一为负隅【减十一广于带纵亦得九长一较也】依例开之