御制数理精蕴

该当差之日几何法以甲丙戊三家田数【甲八十丙六十戊五十二】相并得一百九十二亩为一率一年连闰月作三百八十四日为二率各家田数各为三率推得各四率甲当差一百六十日丙当差一百二十日戊当差一百零四日并之得三百八十四日合一年连闰月之数也

设如二人居住相隔一千四百里同日起身一人日行八十里一人日行六十里问途中几日相防法以八十里与六十里相并得一百四十里为一率一日为二率一千四百里为三率推得四率十日即相防之日也此法以八十里六十里相并为一率者毎一日之内两人共行一百四十里也一百四十里行一日则一千四百里行十日矣盖日行八十里者十日行八百里日行六十里者十日行六百里并之以合原数也

设如有银四百八十六两籴米麦豆三色其石数相等米每石价银一两二钱麦每石价银九钱豆每石价银六钱问石数若干

法以米价一两二钱麦价九钱豆价六钱相并共得二两七钱为一率一石为二率总银四百八十六两为三率推得四率一百八十石即各色之石数也此法盖因三色之石数既相等故三色每石之共价与每一石之比即同于三分之共价四百八十六两与每一分之一百八十石之比也

设如有银一千二百两买绫绢二色绢一分绫二分绫每疋价银三两六钱绢每疋价银二两四钱问绫绢与价银各几何

法以绫价三两六钱二因之【绫二分故用二因】得七两二钱与绢价二两四钱相加共得九两六钱为一率绢一疋为二率总银一千二百两为三率推得四率一百二十五疋为绢数倍之得二百五十疋为绫数以绢每疋价银二两四钱与绢一百二十五疋相乗得三百两为共绢价以绫每疋价银三两六钱与绫二百五十疋相乗得九百两为共绫价也此法盖因绢为一分绫为二分故将绫价二因之与绢价相加即绫二疋绢一疋之共价以绫二疋绢一疋之共价与绢一疋之比即同于绫二分绢一分之共价一千二百两与绢一分一百二十五疋之比也

设如有银三百三十六两买罗八十疋绢一百二十疋罗每疋价比绢每疋价加一倍问罗价绢价各几何

法以罗八十疋倍之得一百六十疋与绢一百二十疋相加得二百八十疋为一率绢一疋为二率总银三百三十六两为三率推得四率一两二钱即绢毎一疋之价倍之得二两四钱即罗每一疋之价也此法盖因罗价比绢价加一倍故将罗疋数倍之与绢疋数相加为罗二倍绢一倍之共数而以罗二倍绢一倍之共数与绢一疋之比即同于罗二倍绢一倍之共价三百三十六两与绢一疋之价一两二钱之比也

设如有银七百八十五两令甲乙丙丁四人分之乙得甲银十分之七丙得乙银十四分之三丁得丙银十二分之九问各分银几何

法以一千六百八十分【三分母连乗之数】为甲衰数取甲十分之七得一千一百七十六分为乙衰数取乙十四分之三得二百五十二分为丙衰数取丙十二分之九得一百八十九分为丁衰数乃以四人衰数相并得三千二百九十七分为一率总银七百八十五两爲二率以甲衰一千六百八十分为三率得四率四百两即甲所分之银数以乙衰一千一百七十六分为三率得四率二百八十两即乙所分之银数以丙衰二百五十二分为三率得四率六十两即丙所分之银数以丁衰一百八十九分为三率得四率四十五两即丁所分之银数四人所得银数并之得七百八十五两以合原数也此法因各分母不同恐难度尽故以分母连乗为甲衰数次各按分取其衰数乃并各衰数为共衰数以共衰数与总银数之比即同于各人衰数与各银数之比也

设如东西中三村共纳粮一千零三十六石东村一百二十戸每戸该纳七分西村八十戸每戸该纳五分中村六十戸每戸该纳四分问各村纳粮若干每戸纳粮若干

法以七分与东村一百二十戸相乗得八百四十分为东村衰数以五分与西村八十戸相乗得四百分为西村衰数以四分与中村六十戸相乗得二百四十分为中村衰数乃以三村衰数相并得一千四百八十分为一率共纳粮一千零三十六石为二率各村衰数各为三率推得各四率东村共该纳粮五百八十八石西村共该纳粮二百八十石中村共该纳粮一百六十八石再以各村戸数归除各村所纳粮数则东村每戸该纳粮四石九斗西村每戸该纳粮三石五斗中村每戸该纳粮二石八斗如以三村共衰分数归除共纳粮数得每一分所纳粮数而以各村分数乗之即得各村共纳粮数以各戸分数乗之即得各村每戸所纳之粮数也

设如乙丙丁三人共纳地租银十一两五钱乙田长一百二十丈寛四十丈丙田长二百丈寛六十丈丁田长八十丈寛二十丈问每人该租银若干法以乙田长一百二十丈与寛四十丈相乗得四千八百丈丙田长二百丈与寛六十丈相乗得一万二千丈丁田长八十丈与寛二十丈相乗得一千六百丈三数相并共得一万八千四百丈为一率共地租银十一两五钱为二率各田长寛相乗之数各为三率推得各四率乙该银三两丙该银七两五钱丁该银一两并之为十一两五钱以合原数也

设如孙郑褚三家买货共载一船逺近船价不同孙家货物九十五担每担船价六分郑家货物八十五担每担船价四分褚家货物五十六担每担船价二分五厘因中途拨浅共贴银二两五钱二分欲照船价分派问各该若干

法以孙货九十五担与每担六分相乗得五两七钱以郑货八十五担与每担四分相乗得三两四钱以褚货五十六担与每担二分五厘相乗得一两四钱乃以三家船价相并共得一十两五钱为一率共贴银二两五钱二分为二率一两为三率推得四率二钱四分即为每一两应贴之数复以各家船价银乗之所得一两三钱六分八厘即孙应出之数所得八钱一分六厘即郑应出之数所得三钱三分六厘即褚应出之数也

设如甲丙戊三县共纳米四千石论县之大小米之贵贱运之逺近分之甲县有三千三百六十戸每米一石价银八钱运至六十里丙县有一千二百戸每米一石价银一两运至三十里戊县有二千四百戸每米一石价银六钱运至八十里问每县该米若干

法以甲县米价八钱与六十里相乗得四百八十用此数归除甲县三千三百六十戸得七为甲县之衰数又以丙县米价一两与三十里相乗得三百用此数归除丙县一千二百戸得四为丙县之衰数以戊县米价六钱与八十里相乗得四百八十用此数归除戊县二千四百戸得五为戊县之衰数乃以此三衰数相并得一十六为一率总米四千石为二率各县衰数各为三率推得各四率甲县为一千七百五十石丙县为一千石戊县为一千二百五十石三数相并共四千石以合原数也

设如甲乙丙丁戊五处共输粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟价之贵贱均输之甲田一万三千零六十亩粟每石价银二两自输本处乙田一万二千三百一十二亩粟每石价银一两至输所二百里丙田七千一百八十二亩粟每石价银一两二钱至输所一百五十里丁田一万三千三百三十八亩粟毎石价银一两七钱至输所二百五十里戊田五千一百三十亩粟每石价银一两三钱至输所一百五十里每石每里车价四厘问各处所输若干

法以甲粟毎石价二两归除甲田一万三千零六十亩得六百五十三为甲衰数次以乙输所二百里与每石车价四厘相乗得八钱并入乙粟毎石价一两共一两八钱归除乙田一万二千三百一十二亩得六百八十四为乙衰数次以丙输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱并入丙粟每石价一两二钱共一两八钱归除丙田七千一百八十二亩得三百九十九为丙衰数次又以丁输所二百五十里与每石车价四厘相乗得一两并入丁粟每石价一两七钱共二两七钱归除丁田一万三千三百三十八亩得四百九十四为丁衰数次又以戊输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱并入戊粟每石价一两三钱共一两九钱归除戊田五千一百三十亩得二百七十为戊衰数乃合五衰数共二千五百为一率共粟二千石为二率五处各衰数各为三率推得各四率甲为五百二十二石四斗乙为五百四十七石二斗丙为三百一十九石二斗丁为三百九十五石二斗戊爲二百一十六石五数相并共二千石以合原数也此法盖因地亩以定粟数故粟可以均然粟之价既有贵贱而道里又有逺近故取粟价以除地亩正所以均其贵贱而取车价并入粟价以除地亩又所以均其逺近也

设如买米八十四石每米一石价一两四钱七分运价一钱三分今欲抽米作运价与之问正米与运价米各几何

法以每石米价一两四钱七分与每石运价一钱三分相加得一两六钱为一率总米八十四石为二率每石米价一两四钱七分为三率推得四率七十七石一斗七升五合即正米数如先求运价米数则仍以一两六钱为一率总米八十四石为二率每石运价一钱三分为三率推得四率六石八斗二升五合即运价米数也既得正米数与运价相乗得十两零三分二厘七豪五丝为共运价而以运费米数与米价相乗亦得十两零三分二厘七豪五丝其数适相当也此法盖因八十四石为正米与运价米之总数今抽米作运费故以米价与运价相并亦为米价与运价之总数以总价与总米之比即同于米价与正米之比又以总价与总米之比即同于运价与运米之比也此法即和数差分之变体旧算书名为就物抽分因其以总米内抽运价故为抽分然要以米价运价之和与总米为比例故附于和数比例之后

设如有丝四十三斤十二两每织绢一疋用丝一斤与织工丝四两问织绢丝与织工丝各几何法以织绢丝一斤通为十六两与织工丝四两相加得二十两为一率总丝四十三斤十二两通为七百两为二率织工丝四两为三率得四率一百四十两收为八斤十二两即织工丝与总丝相减余三十五斤即织绢丝也此亦就物抽分法也以毎疋织绢丝及织工丝之共数与总丝之比即同于每疋织工丝与总织工丝之比也

较数比例

比例之中有和数而复有较数者以数相合而为比例故谓之和数若夫因数之相较而成比例则谓之较数在九章谓之匿价差分其立法盖以每一物与较数之比即若共物与共较之比或以共物之较与每一物价之较为比即若共物与每一物价之比也又或有以实数相比者或有以各物分数相比者虽未有一定之规然而总不越以彼此相差之较数为比例故今质名之曰较数比例焉

设如有钱买绫罗二色绫七尺罗九尺两价相等但知绫每尺比罗每尺价多三十六文问二色毎尺价钱几何

法以绫一尺为一率绫比罗每尺价多三十六文为二率绫七尺为三率推得四率二百五十二文即绫七尺共多之数又以绫七尺与罗九尺相减余罗二尺为一率绫七尺共多二百五十二文为二率罗一尺为三率推得四率一百二十六文即罗一尺之价加多三十六文得一百六十二文即绫一尺之价以一百二十六文乗罗九尺得一千一百三十四文以一百六十二文乗绫七尺亦得一千一百三十四文两价相等也此法盖因绫一尺多三十六文则绫七尺共多二百五十二文也夫绫价多二百五十二文罗多二尺而其价相等则二百五十二文即罗二尺之价罗二尺价二百五十二文则罗一尺价一百二十六文也既得罗价则绫价亦可推矣又法以绫七尺与罗九尺相减余二尺为一率绫比罗每尺价多三十六文为二率绫七尺为三率推得四率一百二十六文即罗毎一尺之价加多三十六文得一百六十二文即绫每一尺之价如以罗九尺为三率推得四率一百六十二文即绫每一尺之价减多三十六文余一百二十六文即罗每一尺之价也此法共绫与共罗之较为二尺绫每尺与罗每尺之较为三十六文凡共物之较与共价之较相比即同于共物与共价之比而共物之较与每一物价之较相比亦必同于共物与每一物价之比故以绫共少二尺与罗每尺价少三十六文之比即同于绫共七尺与罗每尺价一百二十六文之比也又以罗共多二尺与绫每尺多三十六文之比亦即同于罗共九尺与绫毎尺价一百六十二文之比也

设如有银买驼马二色马十匹驼六匹两价相等但知驼每匹比马每匹价多八两问二色每匹价银若干

法以驼一匹为一率驼比马每匹价多八两为二率驼六匹为三率推得四率四十八两即驼六匹共多之数又以马十匹与驼六匹相减余马四匹为一率驼六匹共多四十八两为二率马一匹为三率推得四率十二两即马一匹之价加多八两得二十两即驼一匹之价以二十两乗驼六匹得一百二十两以十二两乗马十匹亦得一百二十两两价相等也此法盖因驼一匹多八两则驼六匹共多四十八两也夫驼价多四十八两马多四匹而其价相等则四十八两即马四匹之价马四匹价四十八两则马一匹价十二两也

又法以驼六匹与马十匹相减余四匹为一率驼比马每匹价多八两为二率驼六匹为三率推得四率十二两即马每匹之价加多八两得二十两即驼毎匹之价如以马十匹为三率推得四率二十两即驼每匹之价减多八两余十二两即马每匹之价也盖驼共少四匹与马每匹价少八两之比即同于驼共六匹与马每匹价十二两之比又马共多四匹与驼每匹价多八两之比即同于马共十匹与驼每匹价二十两之比也

设如有稻一十八石稷二十二石两价相等如交换五石则两边俱差银一两六钱问每石价与共价各若干

法以交换五石为一率相差一两六钱为二率稻一十八石为三率推得四率五两七钱六分即稻一十八石共多之数又以稻一十八石与稷二十二石相减余稷四石为一率稻一十八石共多五两七钱六分为二率稷一石为三率推得四率一两四钱四分即稷一石之价以稷二十二石乗之得三十一两六钱八分即稷之共价亦即稻之共价以稻十八石除之得一两七钱六分即稻一石之价也如交换五石则一为稻十三石稷五石稻十三石价二十二两八钱八分稷五石价七两二钱相加得三十两零八分比共价三十一两六钱八分少一两六钱一为稷十七石稻五石稷十七石价二十四两四钱八分稻五石价八两八钱相加得三十三两二钱八分比共价三十一两六钱八分则多一两六钱是两边俱差一两六钱也此法盖因稻五石多一两六钱则稻十八石共多五两七钱六分也夫稻多五两七钱六分稷多四石而其价相等则五两七钱六分即稷四石之共价稷四石价五两七钱六分则稷一石价必一两四钱四分而稷二十二石价必三十一两六钱八分与稻十八石之价相等故以十八除之得稻每一石之价也

设如有金球八银球十二两重相等今移换三则银球边多六十两问金球银球各重几何

法以移换之三为一率多六十两折半得三十两【即三金球比三银球所多之数】为二率金球八为三率推得四率八十两即金球八共多之数又以金球八与银球十二相减余银球四为一率共多八十两为二率银球一为三率推得四率二十两即银球一之重数以十二乗之得二百四十两即银球十二之共重数亦即金球八之共重数以金球八除之得三十两即金球一之重数也此法盖因移换三而差六十两即三金球比三银球多三十两三银球比三金球少三十两其总差为六十两故折半为三金球多于三银球之重数也三金球多三十两则八金球共多八十两夫金球多八十两银球多四而其重相等则八十两即四银球之重数四银球重八十两则一银球重二十两而十二银球必重二百四十两与八金球之重相等故以八除之即得金球之重数也

设如甲乙丙三人合本为商共得利银四百两乙比甲多分十二两丙比乙又多分十六两问各分利银几何

法以共利银四百两内减乙比甲多十二两又减丙比甲多二十八两【丙比乙多十六两则比甲多二十八两】余三百六十两乃以甲乙丙共三人为一率三百六十两为二率甲一人为三率推得四率一百二十两即甲应得利银数加十二两得一百三十二两为乙应得利银数又加十六两得一百四十八两为丙应得利银数也此法减去乙丙共多于甲之数所余者即三人均分之数故以三人与三百六十两之比即同于甲一人与一百二十两之比也

设如有银七百四十两共买马驴一百匹马八十匹驴二十匹其马每匹价比驴每匹价多三两问马驴每匹价各得几何

法以马驴共一百匹为一率马每匹多三两与马八十匹相乗得二百四十两于总银内减之余五百两为二率驴一匹为三率推得四率五两即驴一匹之价加马每匹多三两得八两即马一匹之价以马价八两乗马八十匹得马共价六百四十两以驴价五两乗驴二十匹得驴共价一百两也此法盖因马每匹多三两则马八十匹共多二百四十两于总银内减去马共多之价则马价皆同于驴价矣故以总数一百匹与银五百两之比即同于驴一匹与银五两之比也

设如有银二千九百九十六两二钱买上等田一百六十亩中等田三百亩下等田四百六十亩其上等田比中等田每亩价多四钱七分中等田比下等田每亩价多一两三钱五分问三等田每亩价银几何

法以上中下三等田数相并得九百二十亩为一率将中等田三百亩用中等比下等每亩多一两三钱五分乗之得四百零五两为中等比下等共多之数又以上等田一百六十亩用上等比下等每亩多一两八钱二分乗之【上等比中等每亩多四钱七分中等比下等每亩多一两三钱五分共为一两八钱二分】得二百九十一两二钱为上等比下等共多之数爰并两数共六百九十六两二钱与总银二千九百九十六两二钱相减余二千三百两为二率下等田一亩为三率推得四率二两五钱即下等田每一亩之价加多一两三钱五分得三两八钱五分即中等田每一亩之价再加多四钱七分得四两三钱二分即上等田每一亩之价也此法盖因中等田比下等田每亩多一两三钱五分则三百亩共多四百零五两上等田比下等田毎亩多一两八钱二分则一百六十亩共多二百九十一两二钱于总银内减去两等共多之数则上等田价中等田价皆同于下等田价矣故以三等田共九百二十亩与银二千三百两之比即同于下等田每一亩与银二两五钱之比也

设如二人行路疾徐不等疾行者日行九十五里徐行者日行七十五里今令徐行者先行八日问疾行者追及之日数几何

法以徐行七十五里与疾行九十五里相减余二十里为一率一日为二率徐行七十五里与先行八日相乗得六百里为三率推得四率三十日即追及之日数也此法盖因徐行者先行八日以日行七十五里计之则已多行六百里今疾行者日行九十五里则比徐行者每日多行二十里多二十里为一日追行之数多六百里则为三十日追行之数可知矣

设如二人自乡上城一人步行一人骑马使步行者先行三十七里骑马者追至一百五十四里尚不及二十三里问追及之里数几何

法以不及二十三里与先行三十七里相减余一十四里为一率追至一百五十四里为二率不及二十三里为三率推得四率二百五十三里即追及之里数也此法盖因步行者已先行三十七里今骑马者追之止不及二十三里是已追过十四里也追过十四里必须一百五十四里今尚不及二十三里则必须二百五十三里方能追及也

设如一人行路步行则三十日可到骑行则二十日可到今行二十六日到问步行骑行日数各几何法以三十日与二十日相减余十日为一率步行三十日为二率今行二十六日与骑行二十日相较多六日为三率推得四率十八日为步行之日数与共二十六日相减余八日即骑行之日数也如以十日为一率骑行二十日为二率今行二十六日与步行三十日相较少四日为三率推得四率八日即骑行之日数也此法盖因步行三十日可到骑行二十日可到则步行比骑行迟十日即骑行比步行早十日也步行比骑行迟十日而步行为三十日今步行比骑行迟六日则步行为十八日可知矣骑行比步行早十日而骑行为二十日今骑行比步行早四日则骑行为八日可知矣

设如有上下二等酒上等酒每斤价银五分下等酒每斤价银三分今以二等酒相合一处共重一百二十斤每斤价银三分六厘问二等酒各几何法以上等酒价银五分内减下等酒价银三分余二分为一率二等酒共一百二十斤为二率二等酒相合毎斤价银三分六厘与下等酒价银三分相较得多六厘为三率推得四率三十六斤为上等酒数于二等酒共一百二十斤内减三十六斤余八十四斤即下等酒数也如以二等酒相合毎斤价银三分六厘与上等酒价银五分相较得少一分四厘为三率则得四率八十四斤即下等酒数也此法上等酒价五分下等酒价三分是上等比下等多二分即下等比上等少二分也若二等酒相合价比下等酒价多二分则一百二十斤皆上等酒矣因二等酒相合价比下等价多六厘故知上等酒有三十六斤也又二等酒相合价比上等酒价少二分则一百二十斤皆下等酒矣因二等酒相合价比上等价少一分四厘故知下等酒有八十四斤也

设如有布三百一十疋每疋长四十尺但知每疋扣运费二尺共扣去一十六疋复找囘钱六百文问布毎疋价钱几何

法以毎疋扣运费二尺与总布三百一十疋相乗得六百二十尺又以每疋长四十尺与共扣布一十六疋相乗得六百四十尺两数相减余二十尺为一率找囘钱六百文为二率每疋长四十尺为三率推得四率一千二百文即每一疋之价也此法盖以每疋扣运费二尺计之则总布三百一十疋当扣六百二十尺今乃抽去十六疋则扣去六百四十尺是多扣去二十尺也多扣去二十尺而找回钱六百文是六百钱即二十尺之价二十尺价六百文则四十尺【一疋之数】价必一千二百文也

设如有银一千零八两买线一分丝二分绵三分共重三百六十斤俱不言价但知绵二两当线一两之价线一两当丝一两六钱之价问三色各重若干三色每斤价银若干

法以线一分丝二分绵三分相并得六分为一率共重三百六十斤为二率线一分为三率推得四率六十斤即线一分之重数二因之得一百二十斤即丝二分之重数三因之得一百八十斤即绵三分之重数既得各色之重数即以线重六十斤为线之衰分绵二两当线一两之价即将绵一百八十斤二归之得九十斤为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价即将丝一百二十斤用一六除之得七十五斤为丝之衰分并三衰分共二百二十五斤为一率总银一千零八两为二率线一斤为三率推得四率四两四钱八分即线每斤之价二归之得二两二钱四分即绵每斤之价一六除之得二两八钱即丝每斤之价也此法先求各色之重数以共分与共重数之比即同于线一分与线重数之比又以各分数因之即得各重数也次求各色之价数既以线重六十斤为线衰分则丝价与绵价必俱变为与线相当之数而后可以为比例盖绵二两当线一两之价则绵一百八十斤必当线九十斤之价故以九十为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价则丝一百二十斤必当线七十五斤之价故以七十五为丝之衰分既得各衰分并之与总银相比即同于线每斤与每斤之价相比也既得线每斤之价以二除之得绵每斤之价者绵价居线价二分之一也既得线每斤之价又以一六除之得丝每斤之价者丝价居线价十六分之十也