御制数理精蕴

十六文今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣价必为六万一千七百四十文亦以六十三除之得九百八十文为枣之共价也

又法以枣七枚栗九枚共五千枚列于上枣价四文栗价十一文共价四千九百九十五文列于下乃以下枣价四文遍乗上枣七枚栗九枚共五千枚得枣二十八枚栗三十六枚共二万枚又以上枣七枚遍乗下枣价四文栗价十一文共价四千九百九十五文得枣价二十八文栗价七十七文共价三万四千九百六十五文两下相较则枣数与枣价同为二十八彼此减尽枣价比栗数多四十一共价比共数多一万四千九百六十五爰以多四十一为一率栗九枚为二率多一万四千九百六十五为三率得四率三千二百八十五枚即栗数于五千枚内减之余一千七百一十五枚即枣数如以栗价十一文为二率得四率四千零一十五文即栗之共价于四千九百九十五文内减之余九百八十文即枣之共价也若欲先得枣数则以栗九枚价十一文移于前枣七枚价四文移于后乃以下栗价十一文遍乗上栗九枚枣七枚共五千枚得栗九十九枚枣七十七枚共五万五千枚又以上栗九枚遍乗下栗价十一文枣价四文共价四千九百九十五文得栗价九十九文枣价三十六文共价四万四千九百五十五文两下相较则栗数与栗价同为九十九彼此减尽枣价比枣数少四十一共价比共数少一万零四十五爰以少四十一为一率枣七枚为二率少一万零四十五为三率得四率一千七百一十五枚即枣数如以枣价四文为二率得四率九百八十文即枣之共价也此法与方程互乗齐分之理同其先求栗数而以枣数列于前者盖将枣数栗数共数皆加四倍枣价栗价共价皆加七倍则枣数与枣价相同是为每枣一枚价一文夫枣数与枣价既相同而减尽无余则枣栗共数内之共枣数与枣栗共价内之共枣价亦必相同而减尽无余所余者即为共栗价多于共栗数之较是比每栗一枚价一文所多之数是知栗价比栗数多四十一文而栗为九枚栗价为十一文今共栗价比共栗数多一万四千九百六十五文则栗必为三千二百八十五枚栗价必为四千零一十五文也其先求枣数而以栗数列于前者盖将栗数枣数共数皆加十一倍栗价枣价共价皆加九倍则栗数与栗价相同是为每栗一枚价一文夫栗数与栗价既相同而减尽无余则栗枣共数内之共栗数与栗枣共价内之共栗价亦必相同而减尽无余所余者即为共枣价少于共枣数之较是比每枣一枚价一文所少之数是知枣价比枣数少四十一文而枣为七枚枣价为四文今共枣价比共枣数少一万零四十五文则枣必为一千七百一十五枚枣价必为九百八十文也

设如有僧一百人给馒首一百个大僧一人给三个小僧三人给一个问大小僧数及各得馒首若干法先用互乗以齐其分以大僧一人与小僧三人相乗得三人为乗出之縂僧数即以三人乗馒首一百个得三百个为乗出之共馒首数又以小僧三人乗大僧馒首三个得九个为乗出之大僧馒首数以大僧一人乗小僧馒首一个仍得一个为乗出之小僧馒首数然后以共僧一百人与大僧馒首九个相乗得九百个与乗出之共馒首三百个相较则共馒首少六百个又以共僧一百人与小僧馒首一个相乗得一百个与乗出之共馒首三百个相较则共馒首多二百个乃以大僧馒首九个与小僧馒首一个相减余八个为一率一人为二率多二百个为三率得四率二十五人即大僧数于共僧一百人内减之余七十五人即小僧数如以少六百个为三率得四率七十五人亦即小僧数也既得僧数则以一人为一率三个为二率大僧二十五人为三率得四率七十五个即大僧馒首数又以三人为一率一个为二率小僧七十五人为三率得四率二十五个即小僧馒首数也如欲先得馒首数则仍以八个为一率大僧馒首九个为二率今多二百个为三率得四率二百二十五个三归之得七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数如以八个为一率小僧馒首一个为二率今少六百个为三率得四率七十五个三归之得二十五个亦即小僧馒首数也此法用互乗得大僧三人馒首九个小僧三人馒首一个今以三人当一人则为大僧一人馒首九个小僧一人馒首一个是馒首为加三倍故将共馒首亦加三倍即为共僧一百人共馒首三百个而大僧一人比小僧一人馒首差八个是知多八个而大僧为一人今多二百个则大僧必为二十五人也又少八个而小僧为一人今少六百个则小僧必为七十五人也其先求馒首者因多八个而大僧馒首为九个今多二百个则大僧馒首必为二百二十五个因馒首为加三倍故以三归之得七十五个为大僧馒首数又少八个而小僧馒首为一个今少六百个则小僧馒首必为七十五个亦以三归之得二十五个为小僧馒首数也

又法以小僧三人大僧一人共僧一百人列于上小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个列于下乃以下小僧馒首一个遍乗上小僧三人大僧一人共僧一百人仍得原数又以上小僧三人遍乗下小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个得小僧馒首三个大僧馒首九个共馒首三百个两下相较则小僧人数与馒首数同为三彼此减尽大僧馒首数比人数多八共馒首数比共人数多二百爰以多八为一率大僧一人为二率多二百为三率得四率二十五人即大僧数于共一百人内减之余七十五人即小僧数如以大僧馒首三个为二率得四率七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数也若欲先得小僧数则以大僧一人馒首三个移于前小僧三人馒首一个移于后乃以下大僧馒首三个遍乗上大僧一人小僧三人共僧一百人得大僧三人小僧九人共僧三百人又以上大僧一人遍乗下大僧馒首三个小僧馒首一个共馒首一百个仍得原数两下相较则大僧与大僧馒首同为三彼此减尽小僧馒首数比人数少八共僧馒首数比共人数少二百爰以少八为一率小僧三人为二率少二百为三率得四率七十五即小僧人数如以小僧馒首一个为二率得四率二十五个即小僧馒首数也此法先求大僧数而以小僧列于前者盖将小僧馒首大僧馒首共僧馒首数皆加三倍则小僧人数与馒首数相同是为每小僧一人馒首一个夫小僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共小僧数与共馒首数内之共小僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为大僧共馒首数多于共人数之较是比每大僧一人馒首一个所多之数是知馒首比人数多八个而大僧为一人大僧馒首为三个今馒首比人数多二百个则大僧必为二十五人大僧馒首必为七十五个也其先求小僧数而以大僧列于前者盖将大僧小僧共僧数皆加三倍则大僧数与馒首数相同是为每大僧一人馒首一个夫大僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共大僧数与共馒首数内之共大僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为小僧馒首数少于小僧数之较是比每小僧一人馒首一个所少之数是知少八个而小僧为三人小僧馒首为一个今少二百个则小僧必为七十五人小僧馒首必为二十五个也

设如有豆三十三石共换黄米京米一十九石止云每黄米三石值豆一石每京米一石值豆三石问二色米各得防何

法先用互乗以齐其分以黄米三石与京米一石相乗得三石为乗出之共米数即以三石乗共豆三十三石得九十九石为乗出之共豆数以京米一石乗豆一石仍得一石为乗出黄米所值之豆数以黄米三石乗豆三石得九石为乗出京米所值之豆数然后以共米一十九石用黄米值豆一石乗之仍得一十九石与乗出之共豆九十九石相较则共豆多八十石又以共米一十九石用京米值豆九石乗之得一百七十一石与乗出之共豆九十九石相较则共豆多七十二石乃以黄米值豆一石与京米值豆九石相减余八石为一率一石为二率少七十二石为三率得四率九石即黄米数于共米十九石内减之余十石即京米数如以多八十石为三率得四率十石亦即京米数也此法用互乗得黄米三石值豆一石京米三石值豆九石今以米三石当一石则为黄米一石值豆一石京米一石值豆九石是豆为加三倍故将共豆亦加三倍即为共米一十九石共豆九十九石而黄米一石比京米一石所值豆差八石是知豆少八石而黄米为一石今少七十二石则黄米必为九石也又豆多八石而京米为一石今多八十石则京米必为十石也

又法以黄米三石京米一石共米一十九石列于上黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石列于下乃以下黄米值豆一石遍乗上黄米三石京米一石共米一十九石仍得原数又以上黄米三石遍乘下黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石得黄米值豆三石京米值豆九石共豆九十九石两下相较则黄米与所值豆同为三石彼此减尽京米所值豆比京米多八石共豆比共米多八十石爰以多八石为一率京米一石为二率多八十石为三率得四率十石即京米数于共米一十九石内减之余九石即黄米数也如先求黄米数则以京米一石值豆三石移于前黄米三石值豆一石移于后乃以京米值豆三石遍乗上京米一石黄米三石共米一十九石得京米三石黄米九石共米五十七石又以上京米一石遍乗下京米值豆三石黄米值豆一石共豆三十三石仍得原数两下相较则京米与所值豆俱为三石彼此减尽黄米所值豆比黄米少八石共豆比共米少二十四石爰以少八石为一率黄米三石为二率少二十四石为三率得四率九石即黄米数也此法先求京米数而以黄米列于前者盖将京米所值豆数黄米所值豆数共米所值豆数皆加三倍则黄米数与所值豆数相同是为每黄米一石值豆一石夫黄米数与所值豆数既相同而减尽无余则共米数内之共黄米数与共豆数内之共黄米所值豆数亦必相同而减尽无余所余者即为共京米所值豆数多于共京米之较是比每京米一石值豆一石所多之数是知豆比米多八石而京米为一石今豆比米多八十石则京米必为十石也其先求黄米数而以京米列于前者盖将京米黄米共米皆加三倍则京米数与所值豆数相同是为每京米一石值豆一石夫京米数与所值豆数既相同而减尽无余则共米数内之共京米数与共豆数内之共京米所值豆数亦必相同而减尽无余所余者即为黄米所值豆数比黄米所少之较是比每黄米一石值豆一石所少之数是知豆比米少八石而黄米为三石今豆比米少二十四石则黄米必为九石也

设如有船桅共五十七桨共二百零四但知大船毎只三桅六桨小船每只一桅八桨问大小船数各若干

法先用互乗以齐其分以大船三桅与小船一桅相乗得三桅为乗出之共桅数即以三桅乗共桨二百零四得六百一十二为乗出之共桨数以小船一桅乗大船六桨仍得六桨为乗出大船之桨数以大船三桅乗小船八桨得二十四桨为乗出小船之桨数然后以共桅五十七用大船六桨乗之得三百四十二与乗出之共桨六百一十二相较则共桨多二百七十又以共桅五十七用小船二十四桨乘之得一千三百六十八与乗出之共桨六百一十二相较则共桨少七百五十六乃以大船六桨与小船二十四桨相减余十八桨为一率一桅为二率少七百五十六桨为三率得四率四十二即大船桅数三归之得十四即大船数也于共桅五十七内减大船桅数余十五即小船桅数亦即小船数如以得二百七十桨为三率得四率十五亦即小船桅数也此法用互乗得大船三桅六桨小船三桅二十四桨今以三桅当一桅则为大船一桅六桨小船一桅二十四桨是桨为加三倍故将共桨亦加三倍即为共五十七桅共六百一十二桨而大船一桅比小船一桅差十八桨是知少十八桨而大船为一桅今少七百五十六桨则大船必为四十二桅也多十八桨而小船为一桅今多二百七十桨则小船必为十五桅也

又法以小船一桅大船三桅共五十七桅列于上小船八桨大船六桨共二百零四桨列于下乃以下小船八桨遍乗上小船一桅大船三桅共五十七桅得小船八桅大船二十四桅共四百五十六桅又以上小船一桅遍乗下小船八桨大船六桨共二百零四桨仍得原数两下相较则小船桅与桨同为八彼此减尽大船桅比桨多十八共桅比共桨多二百五十二爰以多十八为一率大船三桅为二率多二百五十二为三率得四率四十二桅即大船桅数三归之得十四即大船数于五十七桅内减去大船四十二桅余十五桅即小船桅数亦即小船数也如欲先得小船数则以大船三桅六桨移于前小船一桅八桨移于后乃以下大船六桨遍乗上大船三桅小船一桅共五十七桅得大船十八桅小船六桅共三百四十二桅又以上大船三桅遍乗下大船六桨小船八桨共二百零四桨得大船十八桨小船二十四桨共六百一十二桨两下相较则大船桅与桨同为十八彼此减尽小船桅比桨少十八共桅比共桨少二百七十爰以少十八为一率小船一桅为二率少二百七十为三率得四率十五桅即小船桅数亦即小船数也此法先求大船桅数而以小船列于前者盖将小船桅数大船桅数共船桅数皆加八倍则小船桅数与桨数相同是为毎小船一桅一桨夫小船桅数与桨数既相同而减尽无余则共桅数内之小船共桅数与共桨数内之小船共桨数亦必相同而减尽无余所余者即为大船共桅数多于大船共桨数之较是比每大船一桅一桨所多之数是知多十八桅而大船为三桅今多二百五十二桅则大船必为四十二桅也其先求小船桅数而以大船桅数列于前者盖将大船桅数小船桅数共船桅数皆加六倍桨数皆加三倍则大船桅数与桨数相同是为大船一桅一桨夫大船桅数与桨数既相同而减尽无余则共桅数内之大船共桅数与共桨数内之大船共桨数亦必相同而减尽无余所余者即为小船共桅数少于小船共桨数之较是比每小船一桅一桨所少之数是知少十八桅而小船为一桅今少二百七十桅则小船必为十五桅也

设如有银八十七两按饭银马银二项分给众人但知三人共给二两饭银七人共给五两马银问人数及二项银数各若干

法以三人与七人相乗得二十一人又以三人乗马银五两得一十五两七人乗饭银二两得一十四两爰以十四两与十五两相并得二十九两为一率二十一人为二率共银八十七两为三率得四率六十三人即共人数也既得其人数则以三人为一率饭银二两为二率共六十三人为三率得四率四十二两为饭银数于共银八十七两内减之余四十五两即马银数如以七人为一率马银五两为二率共六十三人为三率得四率四十五两亦即马银数也盖三人给饭银二两则二十一人必给饭银十四两七人给马银五两则二十一人必给马银十五两夫二十一人既给饭银十四两马银十五两是二十一人共给银二十九两矣是知有二十九两为二十一人今有八十七两则必为六十三人也又三人共给饭银二两则六十三人必共给饭银四十二两七人共给马银五两则六十三人必共给马银四十五两也

设如赏人饭肉共用碗一百但知二人共饭一碗三人共肉一碗问共人数及二项各用碗若干法以二人与三人相乗得六人又以二人乗肉一碗得二碗三人乗饭一碗得三碗爰以三碗二碗相并得五碗为一率六人为二率共碗一百为三率得四率一百二十人即共人数也既得共人数则以二人为一率饭碗一为二率共一百二十人为三率得四率六十为饭碗数于共碗一百内减之余四十即肉碗数如以三人为一率得四率四十亦即肉碗数也此法因二人共饭三人共肉其数不同故用互乗以齐其分盖二人共饭一碗则六人必共饭三碗三人共肉一碗则六人必共肉二碗夫六人既共饭三碗共肉二碗是六人共用五碗矣是知有五碗为六人今有一百碗则必为一百二十人也又二人共饭一碗则一百二十人必共饭六十碗三人共肉一碗则一百二十人必共肉四十碗也

设如有兵三千四百七十四名每三人给衫绢七十尺每四人给裤绢五十尺问縂绢若干

法以三人与四人相乗得十二人又以三人乗裤绢五十尺得一百五十尺四人乗衫绢七十尺得二百八十尺爰以十二人为一率二百八十尺与一百五十尺相并得四百三十尺为二率兵三千四百七十四名为三率得四率一十二万四千四百八十五尺为共绢数也此法与前同但前法以共银数求共人数故以银数为一率人数为二率此法以共人数求共绢数故以人数为一率绢数为二率其比例之理一也

设如赏人茶饭酒共用碗一千三百三十八但知三人共茶二碗五人共酒三碗七人共饭六碗问共人数及三项各用碗若干

法先以三人茶二碗五人酒三碗互乗以三人与五人相乗得一十五人又以三人乗酒三碗得九碗五人乗茶二碗得十碗是为十五人共用茶酒十九碗复与七人饭六碗互乗以十五人与七人相乗得一百零五人又以十五人乗饭六碗得九十碗七人乗茶酒共十九碗得一百三十三碗爰以一百三十三碗与九十碗相并得二百二十三碗为一率一百零五人为二率共碗一千三百三十八为三率得四率六百三十人即共人数也既得共人数乃以三人为一率茶碗二为二率共六百三十人为三率得四率四百二十为茶碗数又以五人为一率酒碗三为二率共六百三十人为三率得四率三百七十八为酒碗数又以七人为一率饭碗六为二率共六百三十人为三率得四率五百四十为饭碗数也此法因用碗三项故用两次互乗以齐其分得一百零五人应用三项碗共二百二十三是知有二百二十三碗为一百零五人今有一千三百三十八碗则必为六百三十人也既得共人数则以各项分数比例求之即得各项碗之共数矣

设如有灯大小二防大灯居小灯三分之二但知大灯三盏用油四两小灯四盏用油三两共用油十八斤零七两问大小灯数各若干

法以大灯三盏与小灯四盏相乗得十二盏又以小灯四盏乗大灯用油四两得大灯用油十六两以大灯三盏乗小灯用油三两得小灯用油九两又将大灯用油十六两二因之【大灯二分故用二因】得三十二两将小灯用油九两三因之【小灯三分故用三因】得二十七两二数相并得五十九两为一率十二盏为二率共油十八斤七两通为二百九十五两为三率得四率六十盏为灯一分之数二因之得一百二十盏即大灯数三因之得一百八十盏即小灯数也此法因有分而互乗所得之十二盏为一分之衰数又因共油数为大灯二分小灯三分之共数故亦二因十六两三因九两并之为五分之衰数是知油五分之衰数五十九两与灯一分之衰数十二盏之比即同于五分共油二百九十五两与一分灯数六十盏之比也既得一分为六十盏故二因之得大灯数三因之得小灯数也

设如有银二十五两三钱买铜鐡二色其重相防鐡三斤价四钱铜二斤价五钱问斤数及各价防何法以鐡三斤与铜二斤相乗得六斤又以铜二斤乗鐡价四钱得八钱以鐡三斤乗铜价五钱得一两五钱乃以八钱与一两五钱相并得二两三钱为一率六斤为二率縂银二十五两三钱为三率得四率六十六斤为铜鐡相防之斤数又以鐡三斤为一率价四钱为二率今鐡六十六斤为三率得四率八两八钱即鐡价于共银二十五两三钱内减之余十六两五钱即铜价如以铜二斤为一率价五钱为二率今铜六十六斤为三率得四率十六两五钱亦即铜价也盖鐡三斤价四钱则六斤价八钱铜二斤价五钱则六斤价一两五钱是铜鐡各六斤而共价为二两三钱故以二两三钱与各六斤之比即同于共价二十五两三钱与各六十六斤之比也既得各斤数则以各价比例求之即得各价数矣

设如有米九百石令甲乙二处各因米价贵贱纳之其所纳之银适相等甲处米价每石五钱乙处米价每石七钱问各米数及共价数防何

法以乙七钱乗甲一石得七石以甲五钱乗乙一石得五石乃以七石与五石相并得十二石为一率以甲七石为二率縂米九百石为三率得四率五百二十五石即甲处纳米之数于九百石内减之余三百七十五石即乙处纳米之数如以乙五石为二率得四率三百七十五石亦即乙处纳米之数以甲五百二十五石与每石价五钱相乗得二百六十二两五钱以乙三百七十五石与每石价七钱相乗亦得二百六十二两五钱是其所纳之银数适相防也盖甲处每石价五钱则七石之价为三两五钱乙处每石价七钱则五石之价亦为三两五钱其价相防是十二石之中甲应七石乙应五石故以十二石与甲七石之比即同于縂米九百石与甲五百二十五石之比又十二石与乙五石之比即同于縂米九百石与乙三百七十五石之比也

设如空车一日行三十里重车一日行二十里今载米至仓徃返足一日问距仓路逺防何

法以空车行三十里与重车行二十里相乗得六百里又以重车行二十里乗空车一日得二十日以空车行三十里乗重车一日得三十日乃以二十日与三十日相并得五十日为一率六百里为二率一日为三率得四率一十二里即距仓之里数也盖空车一日行三十里则二十日行六百里重车一日行二十里则三十日亦行六百里一徃一返共五十日是知五十日徃返六百里则今一日必徃返十二里也

设如重车一日行五十里轻车一日行七十五里今载米至仓五日徃返三次问距仓里数防何法以重车行五十里与轻车行七十五里相乗得三千七百五十里又以轻车行七十五里乗重车一日得七十五日以重车行五十里乗轻车一日得五十日乃以七十五日与五十日相并得一百二十五日为一率三千七百五十里为二率五日为三率得四率一百五十里即五日徃返之里数以三次除之得五十里即距仓之里数也此法与前法同前法一日徃返一次故所得即距仓之里数此法五日徃返三次故所得为徃返三次之里数是以用三次除之而得距仓之里数也

御制数理精蕴下编卷七

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷八

线部六

盈朒【单法　双套】

盈朒

盈有余也朒不足也设有余不足以求适中亦为因较而得正数之法此固比例法也但比例以实数求实数而盈朒则以虚数求实数然虚数皆与实数相较而生盈朒之差则虚数亦实数也比例以所有之三率求所余之一率而盈朒则所有为两数且两数之中各藏一数其实亦三率也其间有一盈一朒者则以两数相加为相较之率有两盈或两朒者则以两数相减为相较之率有一盈一适足或一朒一适足者则无可加减而或盈或朒之数即其较也法不一致惟在相较以得其差理本一原惟在互比以得其实错综变幻其用不穷所谓以实御虚和较互见者庶防尽于此矣

一盈一朒

设如有人分银不知人数亦不知银数只云每人七两分之则余四两每人九两分之则少十二两问人数及银数各若干