御制数理精蕴

四十只相较则少四百只乃将前借数三百只少一百只书于右后借数二百四十只少四百只书于左用两不足法算之于是以两少数相减余三百只为一率两借数相减余六十只为二率前借数与甲丙两羣相较之少一百只为三率得四率二十只加前借数三百只共三百二十只即丙羣之羊数加入甲羣四百只得七百二十只三分之得二百四十只即丁羣之羊数也若并甲丁两羣得六百四十只折半得三百二十只即丙羣为甲丁两羣二分之一也

又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三百只互乗后少四百只为加三百倍得少一十二万只以后借数二百四十只互乗前少一百只为加二百四十倍得少二万四千只乃以互乗所得两少数相减余九万六千只为二率原两少数相减余三百只为一率丙一羣为三率得四率三百二十只即丙羣之羊数也葢所加三百倍与二百四十倍相差为六十倍则互乗所得两少数相差之九万六千只即六十倍总差数也然丙羣为总差数之三百分之六十必为六十倍总差数之三百分之一故以三百分与九万六千只之比即同于一分与三百二十只之比也

设如有田一百亩令甲乙二人分耕若以甲田三分之一与乙以乙田五分之一与甲则各得五十亩问甲乙原田数各若干

法先借三十亩为甲原田之衰数此数与一百亩相减余七十亩为乙原田之衰数甲原田三十亩之三分之一为十亩乙原田七十亩之五分之一为十四亩若甲与乙十亩乙与甲十四亩则甲得田三十四亩【甲三十亩与乙十亩余二十亩又得乙所与十四亩故为三十四亩】与各五十亩相比则甲少十六亩再借六十亩为甲原田之衰数此数与一百亩相减余四十亩为乙原田之衰数甲原田六十亩之三分之一为二十亩乙原田四十亩之五分之一为八亩若甲与乙二十亩乙与甲八亩则甲得田四十八亩【甲六十亩与乙二十亩余四十亩又得乙所与八亩故为四十八亩】与各五十亩相比则甲少二亩乃将前借数三十亩少十六亩书于右后借数六十亩少二亩书于左用两不足法算之于是以两少数相减得十四亩为一率两借数相减余三十亩为二率前借数与五十亩相较之少十六亩为三率得四率三十四亩二分八厘有余加前借数三十亩共六十四亩二分八厘有余即甲原田之数与一百亩相减余三十五亩七分一厘有余即乙原田之数也若甲以其三分之一二十一亩四分二厘有余与乙而乙以其五分之一七亩一分四厘有余与甲则两人各得五十亩矣

又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三十亩互乗后少二亩为加三十倍得少六十亩以后借数六十亩互乗前少十六亩为加六十倍得少九百六十亩乃以互乗所得两少数相减余九百亩为二率原两少数相减余十四亩为一率甲一人为三率得四率六十四亩二分八厘有余即甲原田之数也葢所加三十倍与六十倍相差为三十倍则互乗所得两少数相差之九百亩即三十倍总差数也然甲原田为总差数之十四分之三十必为三十倍总差数之十四分之一故以十四分与九百亩之比即同于一分与六十四亩二分八厘有余之比也

设如甲丙丁三人共有银二百一十两只云甲与丙四分之一丁与甲二分之一丙与丁三分之一则每人均得银七十两问各人原有之银数若干法先借十两为甲银衰数此数减四分之一二两五钱余七两五钱与七十两相减余六十二两五钱为丁银二分之一加一倍得一百二十五两为丁银衰数【因甲与丙四分之一丁与甲二分之一成七十两故于甲衰十两内减四分之一余七两五钱再加六十二两五钱方凑成七十两故以六十二两五钱即为丁银二分之一加一倍得丁银全数也】又并甲丁两衰数得一百三十五两与总银二百一十两相减余七十五两为丙银衰数【因三人共银二百一十两减去甲银十两丁银一百二十五两所余七十五两即丙之银数也】又于丙衰七十五两内减三分之一二十五两余五十两加甲衰四分之一二两五钱共得五十二两五钱【因丙与丁三分之一甲与丙四分之一成七十两故于丙衰七十五两内减与丁二十五两又加甲所与二两五钱共五十二两五钱也】此数与七十两相较则少十七两五钱再借二十八两为甲银衰数此数减四分之一七两余二十一两与七十两相减余四十九两为丁银二分之一加一倍得九十八两为丁银衰数【甲银减四分之一余四十九两既为丁银二分之一故加一倍即为丁银全数也】又并甲丁两衰数得一百二十六两与总银二百一十两相减余八十四两为丙银衰数【因三人共银二百一十两减去甲银二十八两丁银九十八两其余八十四两即丙之银数也】又于丙衰八十四两内减三分之一二十八两余五十六两加甲衰四分之一七两共得六十三两【因丙与丁三分之一甲与丙四分之一成七十两故于丙衰八十四两内减与丁二十八两又加甲所与七两共得六十三两也】此数与七十两相较则少七两乃将前借数十两少十七两五钱书于右后借数二十八两少七两书于左用两不足法算之于是以两少数相减余十两五钱为一率两借数相减余十八两为二率前借数与七十两相较之少十七两五钱为三率得四率三十两加前借十两共四十两即甲之银数减四分之一十两余三十两【因去一分与丙也】与七十两相减余四十两倍之得八十两即丁之银数并甲丁银数得一百二十两与总银二百一十两相减余九十两即丙之银数也此叠借三色之法也借衰时加减甚繁然条理分明自能了然如此法前借数甲衰十两丙衰七十五两丁衰一百二十五两若于丁衰减去二分之一【减六十二两五钱与甲】加丙衰三分之一【丙与丁二十五两】得八十七两五钱与七十两相较则多十七两五钱丙差与丁差其数一也至再借二十八两为甲衰其加减亦与前借数同惟甲成七十两至丙则少七两丁则多七两其数相同故但取丙差数就其两差之较数以比例之得甲之原银数也

又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数十两互乗后少七两为加十倍得少七十两以后借数二十八两互乗前少十七两五钱为加二十八倍得少四百九十两乃以互乗所得两少数相减余四百二十两为二率原两少数相减余十两五钱为一率甲一人为三率得四率四十两即甲银数也葢所加十倍与二十八倍相差为十八倍则互乗所得两少数相差之四百二十两即十八倍之总差数也然甲银为总差数之十分半之十八必为十八倍总差数之十分半之一故以十分半与四百二十两之比即同于一分与四十两之比也

设如甲丙两果园不知亩数将甲园扩出五十亩则比丙园大二倍若将丙园扩出五十亩则比甲园大一倍问两园原有之亩数若干

法借四十亩为甲园衰数加五十亩得九十亩此数三分之得三十亩为丙园衰数【因甲加五十亩比丙园大二倍是丙园为甲园三分之一也故三分之】将丙园三十亩加五十亩得八十亩与甲园四十亩相较适大一倍此数已合则不必再借故凡叠借法中一借即合原数者皆如此例不必再借也

设如大小两船雇夫小船每人出银为大船每人五分之四若大船八人小船五人出银则不足七两若大船六人小船八人出银则不足三两问共银及每人各出银几何

法以五分为大船每人衰数四分为小船每人衰数【因小船每人为大船每人五分之四也】以五分与大船八人相乗得四十分为大船八人共衰数以四分与小船五人相乗得二十分为小船五人共衰数相加得六十分为大船八人小船五人共出银共分数又将五分与大船六人相乗得三十分为大船六人共衰数以四分与小船八人相乗得三十二分为小船八人共衰数相加得六十二分为大船六人小船八人共出银共分数乃将六十分少七两书于右六十二分少三两书于左用两朒求总银法算之于是以六十分与六十二分相减余二分为一率以两少数相减余四两为二率一分为三率得四率二两为每分之银数与六十分相乗得一百二十两加少七两得一百二十七两为雇夫之总银数【如与六十二分相乗则得一百二十四两加少三两亦得一百二十七两为雇夫之总银数】又以每分二两与大船每人衰数五分相乗得十两为大船每人所出银数以每分二两与小船每人衰数四分相乗得八两为小船每人所出银数也此盈朒内两朒之正法但因有借分为衰数之故故附于此以备叠借之一体云

设如有石二块大小不等俱不知重数只有铜条一根重十二两互换称之而得二石之各重几何法先将铜条分作十二分每分又作十分用一绳系于第五分之上【系于五分者随便取一数也】乃以五分加一倍与十二分相较余二分折半得一分与五分相加为六分乃以五分为一率六分为二率余二分作二两为三率【因铜条重十二两分为十二分今二分故为二两也】得四率二两四钱【此四率是先将铜条之五分处取均平之法葢提系在五分上必于五分之端加二两四钱乃与七分相平也】爰以铜条作秤杆将大石挂在铜条一头离提系五分而以小石作锤称之今离提系得六分始平记之【如前图】又将小石挂在铜条一头离提系五分而以大石作锤称之今离提系得四分始平亦记之【如后图】乃先借二十六两四钱为大石衰数与前所得二两四钱相减余二十四两【内减二两四钱者因铜条之五分一边必加二两四钱始平今于借衰中减去者所以补足均平之数然后较物之轻重也】用六分为一率【即小石在六分之数】五分为二率【即大石在五分之数】二十四两为三率【即大石衰中减去二两四钱所余之数】得四率二十两为小石之衰数【此四率是以大石衰数求小石衰数】因以小石衰数二十两与二两四钱相减余十七两六钱【此亦减去二两四钱因小石移在五分之一边补足均平之数也】用四分为一率【即大石在四分之数】五分为二率【即小石在五分之数】十七两六钱为三率【即小石衰中减去二两四钱所余之数】得四率二十二两【此第二四率又以小石衰数转求大石衰数试其合否也】与所借大石衰数二十六两四钱相较则少四两四钱再加三十二两四钱为大石衰数与二两四钱相减余三十两用六分为一率五分为二率三十两为三率得四率二十五两为小石之衰数因以小石衰数二十五两与二两四钱相减余二十二两六钱用四分为一率五分为二率二十二两六钱为三率得四率二十八两二钱五分与所借大石衰数三十二两四钱相较则少四两一钱五分乃将前借数二十六两四钱少四两四钱书于右后借数三十二两四钱少四两一钱五分书于左用两不足法算之于是以两少数相减余二钱五分为一率两借数相减余六两为二率前借数与大石衰数相较之少四两四钱为三率得四率一百零五两六钱加前借数二十六两四钱共一百三十二两即大石之重数又于大石重数内减去二两四钱余一百二十九两

【用六分为一率五分为二率一百】【即前以大石衰数求小石衰数之法既有大石真数故仍以前法求小石真数】六钱二十九两六钱为三率得四率一百零八两为小石之重数也如以四分为一率五分为二率【即前以小石求大石之重法】于小石重数一百零八两内减去二两四钱余一百零五两六钱为三率得四率一百三十二两为大石之重数亦合前数也此法葢因铜条重十二两而分作十二分设如作一甲乙线为铜条分作十二分每分重一两提系在丙处甲丙与丙丁等则其重亦必等如以甲丁与甲乙相减则余丁乙即丙乙多于甲丙之二分也既多二分必重二两如以二两重物挂于乙丁中间之戊处则丙乙自重于甲丙也今欲以物趂之使其两平则以甲丙五分为一率丙戊六分为二率二两为三率得四率二两四钱是将二两四钱之物加于甲处始得两平其以丙戊六分为二率者何也葢丙丁与甲丙等而重者止在丁乙一段而戊为丁乙之中戊去丙逺甲去丙近惟近故加重而后可以胜逺之轻若于甲接长二分则于二分之中施二两之物即称平矣故以二两四钱加于甲处始能趂平丁乙之二分也此法数层加减几用比例颇觉繁琐而用方程算之防觉简明但系叠借本法故两收之收入叠借者所以存其理而收入方程者所以取其简也

御制数理精蕴下编卷九

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷十

线部八

方程【和数类　较数类　和较兼用类和较交变类　附法】

方程

方者比也程者式也因设数齐其分以比方之定为已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以齐其分使其首数皆同减尽而余一法一实以得一数也法虽有三色四色以至多色不过累乗累减亦归于一法一实而已其二色者设二行三色者设三行有几色者必设几行若三色设二行四色设三行即不可算若二色设三行三色设四行则其一行又可以不用是故解方程者又谓凡设数必成方而后可算也然其要总在于分和较和数相比者则互乗而相减较数相比者古人定为正负之名以辨加减异同之号正负异号则相加正负同号则相减其理与盈朒同葢正者为主之数负者虚比之数其始也任以首色为正互乗众色与首色同类者皆正也与首色异类者皆负也其继也以互乗所得之数视正负之同异而加减之然加减之余又有正变为负负变为正者总之因彼此而分正负由多少而成虚实互乗之后任以一层为主凡异号相加者悉依本层其号皆不变也若同号相减者本层多其号亦不变本层少反减者则正变为负负变为正葢此多则彼少彼少则此多也至于首色减尽则第二色即为首色故加减之后首色为负者悉变之以便互乗加减始不淆也今定为例和数者不用正负之号较数者则用正负之号和较兼用者和仍不用正负之号而较则用之和较交变者则随其法而辨别之以定其号焉或有非方程之本法而可以方程算者则又别为设问以附其后古人所谓以御错糅正负者庶乎尽于此矣

和数类

设如马四匹牛六头共价四十八两马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价几何

法以马四匹牛六头共价四十八两列于上马三匹牛五头共价三十八两列于下乃以上马四匹遍乗下马三匹牛五头价银三十八两得马十二匹牛二十头价银一百五十二两又以下马三匹遍乘上马四匹牛六头价银四十八两得马十二匹牛十八头价银一百四十四两两下相较则马各十二匹彼此减尽牛二十头内减十八头余二头价银一百五十二两内减一百四十四两余八两爰以余牛二头除余银八两得四两卽牛每头之价以牛五头乘之得二十两为牛五头之共价于马牛共价三十八两内减去二十两余十八两为马三匹之共价以马三匹除之得六两卽马每匹之价也此法葢以首色二数遍乘各数使其分数齐等卽互乘齐分之理故马四匹遍乘马三匹牛五头价银三十八两则为各増四倍马三匹遍乘马四匹牛六头价银四十八两则为各増三倍两下各色既俱各増倍分则其比例皆同是故马两下相平而减尽无余牛两下相减余二头价银两下相减余八两是为相当之数葢一百五十二两内减去一百四十四两卽减去马十二匹牛十八头之共价而所余之八两为牛二头之价也

又如以牛数列于前马数列于后则先得马价法以牛六头马四匹共价四十八两列于上牛五头马三匹共价三十八两列于下乃以下牛五头遍乘上牛六头马四匹价银四十八两得牛三十头马二十匹价银二百四十两又以上牛六头遍乘下牛五头马三匹价银三十八两得牛三十头马十八匹价银二百二十八两两下相较则牛各三十头彼此减尽马二十匹内减十八匹余二匹价银二百四十两内减二百二十八两余十二两爰以余马二匹除余银十二两得六两卽马每匹之价以马三匹乘之得十八两为马三匹之共价于牛马共价三十八两内减去十八两余二十两为牛五头之共价以牛五头除之得四两卽牛每头之价也此法用互乘后则牛两下相平而减尽无余马两下相减余二匹价银两下相减余十二两卽为相当之数葢二百四十两内减去二百二十八两卽减去牛三十头马十八匹之共价而所余之十二两为马二匹之价也大凡方程之法各色俱可以更互相求者皆如此类也

设如缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两缎一疋纱四疋防七疋共价六十两缎三疋纱五疋防九疋共价九十两问缎纱防各价几何

法先以缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两列于上缎一疋纱四疋防七疋共价六十两列于下乃以上缎二疋遍乘下缎一疋纱四疋防七疋价银六十两得缎二疋纱八疋防十四疋价银一百二十两又以下缎一疋遍乘上缎二疋纱六疋防八疋价银八十四两仍得原数两下相较则缎各二疋彼此减尽纱八疋内减六疋余二疋防十四疋内减八疋余六疋价银一百二十两内减八十四两余三十六两卽为纱二疋防六疋价银三十六两也【缎既两下相平而减尽无余则所余纱二疋防六疋价银三十六两即为相当之数葢一百二十两内减去八十四两即减去缎二疋纱六疋防八疋之共价而所余三十六两为纱二疋防六疋之共价也】次以缎一疋纱四疋防七疋价银六十两列于上缎三疋纱五疋防九疋价银九十两列于下乃以下缎三疋遍乘上缎一疋纱四疋防七疋价银六十两得缎三疋纱十二疋防二十一疋价银一百八十两又以上缎一疋遍乘下缎三疋纱五疋防九疋价银九十两仍得原数两下相较则缎各三疋彼此减尽纱十二疋内减五疋余七疋防二十一疋内减九疋余十二疋价银一百八十两内减九十两余九十两即为纱七疋防十二疋价银九十两也【缎既两下相平而减尽无余则所余纱七疋防十二疋价银九十两即为相当之数葢一百八十两内减九十两即减缎三疋纱五疋防九疋之共价而所余九十两为纱七疋防十二疋之共价也】于是将两次所得之余作二色方程算之其纱二疋防六疋价银三十六两列于上纱七疋防十二疋价银九十两列于下以下纱七疋遍乗上纱二疋防六疋价银三十六两得纱十四疋防四十二疋价银二百五十二两以上纱二疋遍乗下纱七疋防十二疋价银九十两得纱十四疋防二十四疋价银一百八十两两下相较则纱各十四疋彼此减尽防四十二疋内减二十四疋余十八疋价银二百五十二两内减一百八十两余七十二两爰以余防十八疋除余银七十二两得四两即防每疋之价以防六疋乗之得二十四两为防六疋之共价于纱防共价三十六两内减二十四两余十二两为纱二疋之共价以纱二疋除之得六两即纱每疋之价也以缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两计之则纱六疋共价三十六两防八疋共价三十二两纱防共价为六十八两于共价八十四两内减六十八两余十六两为缎二疋之共价以缎二疋除之得八两即缎每疋之价也

设如有上中下三等人户纳粮上等五户中等十二户下等三户共纳粮一石二斗六升又上等四户二等二户共纳粮五斗二升又中等二十户下等二十五户共纳粮一石五斗问上中下三等每户各纳粮几何

法先以上等五户中等十二户下等三

户　　　　　　　　　　　　　　　　　【上等四户下等二户纳】纳粮一石二斗【因无中等故作空位以存其分余仍对位列之】六升列于上粮五斗二升列于下乃以下层上等四户遍乗上层上等五户中等十二户下等三户纳粮一石二斗六升得上等二十户中等四十八户下等十二户纳粮五石零四升又以上层上等五户遍乗下层上等四户下等二户纳粮五斗二升得上等二十户下等十户纳粮二石六斗两下相较则上等各二十户彼此减尽中等四十八户无可减仍得四十八户下等十二户内减十户余二户纳粮五石零四升内减二石六斗余二石四斗四升即为中等四十八户下等二户共纳粮二石四斗四升也【上等既两下相平而减尽无余则所余中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升即为相当之数葢五石零四升内减二石六斗即减去上等二十户下等十户之共粮数而所余二石四斗四升为中等四十八户下等二户之共粮数也】既得中等四十八户下等二户之二色则中等二十户下等二十五户亦即为二色故即作二色方程算之其中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升列于上中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗列于下乃以上层中等四十八户遍乗下层中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗得中等九百六十户下等一千二百户纳粮七十二石又以下层中等二十户遍乘上层中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升得中等九百六十户下等四十户纳粮四十八石八斗两下相较则中等各九百六十户彼此减尽下等一千二百户内减四十户余一千一百六十户纳粮七十二石内减四十八石八斗余二十三石二斗爰以所余下等一千一百六十户除余粮二十三石二斗得二升即下等每户纳粮之数以下等二户乘之得四升为下等二户纳粮之共数于中等下等共纳粮二石四斗四升内减四升余二石四斗为中等四十八户纳粮之共数以中等四十八户除之得五升即中等每户纳粮之数以上等四户下等二户共纳粮五斗二升计之【因无中户故省一次】则下等二户共纳粮四升于五斗二升内减四升余四斗八升为上等四户纳粮之共数以上等四户除之得一斗二升即上等每户纳粮之数也

设如有银赏四等人各不知数只云一等一人二等二人三等三人四等四人共赏银三十两又一等二人二等三人三等四人四等五人共赏银四十四两又一等四人二等五人三等七人四等八人共赏银七十七两又一等六人二等五人三等四人四等二人共赏银六十六两问每等人各赏银几何

法先以一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两列于上一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两列于下乃以下一等二人遍乗上一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两得一等二人二等四人三等六人四等八人共银六十两又以上一等一人遍乗下一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两仍得原数两下相较则一等各二人彼此减尽二等两下相减余一人三等两下相减余二人四等两下相减余三人共银两下相减余一十六两即二等一人三等二人四等三人共银十六两也【葢六十两内减四十四两即减去一等二人二等三人三等四人四等五人之共银数故所余之十六两为二等一人三等二人四等三人之共银数也】次以一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两列于上一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两