御制数理精蕴

度尽之两数欲定勾股无零数问各得几何

法以四尺为首率六尺为中率将中率六尺自乗得三十六尺用首率四尺除之得九尺为末率乃以中率六尺为股首率四尺与末率九尺相减余五尺折半得二尺五寸为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺折半得六尺五寸为也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺今以中率六尺自乗用首率四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲乙首率乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线故以中率丙乙为股而首率甲乙与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾而首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁折半得甲戊戊丁与丙戊等为也

设如有四六九连比例三率以中率六倍之为股定勾无零数问各得几何

法以首率四尺与末率九尺相减余五尺为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺为也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺乙丁为末率九尺爰以甲乙首率与乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作一全圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线今将中率丙乙倍之即得丙庚为股故以首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减余乙己与庚辛等为勾又首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁全径与丙辛等为也葢前二法用中率为股故以首率末率相减折半为勾首率末率相加折半为此法则倍中率为股故以首率末率相减即为勾首率末率相加即为而皆不用折半也又图甲乙为首率四尺乙丙为末率九尺甲丙为首率与末率相加之十三尺丁丙为首率与末率相减所余之五尺如依甲丙线度作甲戊己丙正方形即为自乗之方如依丁丙线度作丁庚辛丙正方形即为勾自乗之方今以乙丙末率亦作一正方形将两边线引长至甲戊己丙正方形界则成甲癸丑乙与丑壬己子二长方形仍余癸戊壬丑一小正方形又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引长至乙丑子丙正方形之丑子界则又成乙丑寅丁一长方形与前一长方形等仍余庚寅子辛一小长方形合前癸戊壬丑一小正方形则亦与前一长方形等是此四长方形皆为首率与末率相乗之长方而与中率自乗之正方形相等矣【见算法原本二卷第三节】如以此四长方形共计之则为甲戊己辛庚丁一磬折形今甲戊己丙既为自乗之一正方而丁庚辛丙又为勾自乗之一正方则两方相减所余之甲戊己辛庚丁磬折形之积与股自乗之一正方等【见几何原本九卷第四节】甲戊己辛庚丁磬折形既为四长方之共积则四长方之共积亦必与股自乗之一正方等首率末率相乗之四长方既与股自乗之一正方等则中率自乗之四正方亦必与股自乗之一正方等是故中率自乗之四正方合之而为股自乗之一正方则其每边必比中率各大一倍【见几何原本七卷第五节】故倍中率而为股者必取首率末率之和而为首率末率之较而为勾葢首率末率相和自乗之一正方内减去首率末率相较自乗之一正方甫能得中率加倍自乗之一正方积也

勾股相求法【勾股求积附】

设如有股四尺勾三尺求几何

法以股四尺自乗得十六尺勾三尺自乗得九尺相加得二十五尺开方得五尺即为也如图甲乙丙勾股形其甲乙股所作丁戊乙甲正方形积乙丙勾所作乙己庚丙正方形积相并必与甲丙所作甲丙壬辛正方形积等试自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形而甲乙丙勾股形分为甲乙癸乙丙癸同式两勾股形矣其甲癸与甲乙之比同于甲乙与甲丙之比为连比例三率故甲乙中率所作丁戊乙甲正方形与甲癸首率甲丙末率相等之甲辛所作甲癸子辛长方形之积相等也又癸丙与乙丙之比同于乙丙与甲丙之比为连比例三率故乙丙中率所作乙己庚丙正方形与癸丙首率甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子长方形之积相等也一正方所分之二长方既与二正方之积相等则此二正方之积相合与彼一正方之积相等可知矣

设如有勾五尺十三尺求股几何

法以勾五尺自乗得二十五尺十三尺自乗得一百六十九尺相减余一百四十四尺开方得十二尺即为股也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等故甲丙所作甲丙壬辛正方形内减去与乙己庚丙正方形相等之癸丙壬子长方形余甲癸子辛长方形即与丁戊乙甲正方形之积相等故开方而得甲乙为股也

设如有股二十一尺二十九尺求勾几何

法以股二十一尺自乗得四百四十一尺二十九尺自乗得八百四十一尺相减余四百尺开方得二十尺即为勾也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等故甲丙所作甲丙壬辛正方形内减去与丁戊乙甲正方形相等之甲癸子辛长方形余癸丙壬子长方形即与乙己庚丙正方形之积相等故开方而得乙丙为勾也

设如有勾六尺股八尺求面积几何

法以勾六尺与股八尺相乗得四十八尺折半得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形其乙丙勾与甲乙股相乗则成甲乙丙丁长方形其积比甲乙丙勾股形正大一倍故折半得勾股积也若有勾求面积则用勾求股之法得股与勾相乗折半得面积或有股求面积则用股求勾之法得勾与股相乗折半得面积也

又法将勾六尺折半得三尺与股八尺相乗亦得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形将乙丙勾折半为乙丁与甲乙股相乗成甲乙丁戊长方形其甲戊己小勾股形与己丁丙小勾股形之积等如以甲戊己小勾股形移于己丁丙适合甲乙丙勾股形积故甲乙丁戊长方形积与甲乙丙勾股形积相等也

勾股形内求中垂线及容方圆等形

设如有勾六尺股八尺十尺欲自直角对界作垂线问得几何

法以十尺为一率勾六尺为二率股八尺为三率推得四率四尺八寸即为自直角对界所作垂线也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则将甲乙丙勾股形分为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙与甲乙勾之比同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙与甲丁勾之比而为相当比例四率也

设如有勾六尺股八尺十尺欲自直角对界作垂线分为二问所分二大小各几何法以勾六尺自乗得三十六尺以十尺除之得三尺六寸为垂线所分之小界以股八尺自乗得六十四尺以十尺除之得六尺四寸为垂线所分之大界也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙与甲乙勾之比同于今所分甲丁乙勾股形之甲乙与乙丁勾之比为连比例三率而原甲乙丙勾股形之乙丙与甲丙股之比又同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙与丙丁股之比亦为连比例三率是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾又为今所分甲丁乙勾股形之者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙为首率除之得末率乙丁为甲丁垂线所分之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又为今所分甲丁丙勾股形之者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙为首率除之得末率丁丙为甲丁垂线所分之大界也

设如有勾五尺股十二尺问内容方边几何

法以勾五尺与股十二尺相加得十七尺为一率勾五尺为二率股十二尺为三率推得四率三尺五寸二分九厘有余为内容方边也如图甲乙丙勾股形甲乙为股十二尺乙丙为勾五尺试依乙丙勾数将甲乙股引长作甲戊线为勾股和十七尺自戊与乙丙勾平行作戊丁线又将甲丙引长作甲丁线则成甲戊丁同式勾股形复自丙角与甲戊线平行作丙壬线则成丙壬戊乙正方即为甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股与乙丙方边之比同于甲乙丙勾股形之甲乙股与己辛方边之比也

设如有方城一座四正有门自南门直行八里有一塔自西门直行至二里切城角亦望见塔问城每面几何

法以西门外二里与南门外八里相乗得十六里开方得四里倍之得八里即为城每一面之数也如图甲乙丙勾股形乙己为西门外二里甲丁为南门外八里戊己与戊丁皆为城之每边之一半而甲丁戊勾股形与戊己乙勾股形为同式故乙己与己戊之比同于戊丁与丁甲之比为相当比例四率且己戊与戊丁皆为一体故又为相连比例三率是以乙己首率与甲丁末率相乗开方而得戊丁或戊己皆为中率为城之每边之一半也

设如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊长方形但知丁戊寛为戊丙长四分之一从甲至戊为四尺从乙至己为九尺问长方及勾股各几何

法以甲戊四尺与乙己九尺相乗得三十六尺为内容长方之积用四归之得九尺开方得三尺为己丙即长方之阔以四因之得十二尺为戊丙即长方之长以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六尺为股以己丙三尺加乙己九尺得十二尺为勾也葢丁己乙勾股形与甲戊丁勾股形皆与甲乙丙勾股形为同式故丁己乙勾股形之乙己勾与丁己股之比即同于甲戊丁勾股形之丁戊勾与甲戊股之比而乙己首率与甲戊四率相乗之数必与丁己二率与丁戊三率相乗之数相等是以乙己与甲戊相乗即为丁己丙戊长方形之积也丁戊既为戊丙之四分之一则以四归之即成丁戊线所作之正方形积故开方得丁戊之阔又四因之而得戊丙之长也既得丁戊而丁戊与己丙等故己丙与乙己相加得乙丙之勾而戊丙与甲戊相加得甲丙之股也

设如有勾八尺股十五尺十七尺问内容圆径几

何

法以勾八尺与股十五尺相乗得一百二十尺乃以勾八尺股十五尺十七尺三数相加共四十尺除之得三尺为容圆半径倍之得六尺为容圆全径也如图甲乙丙勾股形内容丁圜形试自圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁丙三线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙乙丁丙三三角形勾股三线皆为三角形之底边而丁戊半径皆为其垂线矣今勾股相乗所得之长方积原比甲乙丙勾股形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乗底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而阔则一故各以长除积而得阔者即如合勾股三边除勾股相乗之积而得半径也

又法以勾八尺与股十五尺相加得二十三尺内减十七尺余六尺即为内容圆之全径也如图甲乙丙勾股形自圜中心作丁甲丁乙丁丙三线又作丁戊丁己丁庚三垂线则丙戊与丙己等甲戊与甲庚等乙己与乙庚原等甲乙股与乙丙勾相并比甲丙所多者惟乙己乙庚二今于甲乙股乙丙勾相并度内减去甲丙即如甲乙股内减去与甲戊等之甲庚乙丙勾内减去与丙戊等之丙己所余者止乙庚与乙己皆为圆之半径二半径相合非全径耶

勾股和较相求法【上】

勾股和较相求之法错综变换共有六十旧算书所有者八按旧法可以变通者三十有四旧法所无今创立者一十有八依题比类列目于前按法循序设问于后以备人之观览焉

有勾有股较求股【第一旧有】

有勾有股和求股【第二旧有】

有股有勾较求勾【第三旧有】

有股有勾和求勾【第四旧有】

有有勾股较求勾股【第五旧有】

有有勾股和求勾股【第六旧有】

有勾和有股和求勾股【第七旧有】

有勾股和有股和求勾股【第八新立】

有勾股和有勾和求勾股【第九新立】

有勾较有股较求勾股【第十旧有】

有勾股较有勾较求勾股【第十一按旧法变通】有勾股较有股较求勾股【第十二按旧法变通】有勾股和有勾较求勾股【第十四新立】

有勾股和有股较求勾股【第十五新立】

有勾和有股较求勾股【并见第十五新立】有勾和有勾股较求勾股【第十三按旧法变通】有股和有勾较求勾股【并见第十四新立】有股和有勾股较求勾股【并见第十三按旧法变通】有勾有勾股总和求股【第十八按旧法变通】

有勾有与勾股和之较求股【第十六按旧法变通】有勾有与勾股较之和求股【第十九按旧法变通】有勾有与勾股较之较求股【第十七按旧法变通】有股有勾股总和求勾【第二十二按旧法变通】有股有与勾股和之较求勾【第二十按旧法变通】有股有与勾股较之和求勾【第二十三按旧法变通】有股有与勾股较之较求勾【第二十一按旧法变通】有有勾股总和求勾股【第二十六按旧法变通】有有与勾股和之较求勾股【第二十四按旧法变通】有有与勾股较之和求勾股【第二十七按旧法变通】有有与勾股较之较求勾股【第二十五按旧法变通】有勾股和有勾股总和求勾股【并见第二十六按旧法变通】

有勾股和有与勾股和之较求勾股【并见第二十四按旧法变通】

有勾股和有与勾股较之和求勾股【第三十八新立】

有勾股和有与勾股较之较求勾股【第三十七新立】

有勾和有勾股总和求勾股【并见第二十二按旧法变通】

有勾和有与勾股和之较求勾股【第三十九新立】

有勾和有与勾股较之和求勾股【第十四新立】

有勾和有与勾股较之较求勾股【并见第二十一按旧法变通】

有股和有勾股总和求勾股【并见第十八按旧法变通】

有股和有与勾股和之较求勾股【第四十一新立】

有股和有与勾股较之和求勾股【并见第十九按旧法变通】

有股和有与勾股较之较求勾股【第四十二新立】

有勾股较有勾股总和求勾股【第三十四新立】有勾股较有与勾股和之较求勾股【第四十三新立】

有勾股较有与勾股较之和求勾股【并见第二十七按旧法变通】

有勾股较有与勾股较之较求勾股【并见第二十五按旧法变通】

有勾较有勾股总和求勾股【第三十五新立】有勾较有与勾股和之较求勾股【并见第二十按旧法变通】

有勾较有与勾股较之和求勾股【并见第二十三按旧法变通】

有勾较有与勾股较之较求勾股【第四十四新立】

有股较有勾股总和求勾股【第三十六新立】有股较有与勾股和之较求勾股【并见第十六按旧法变通】

有股较有与勾股较之和求勾股【第四十五新立】

有股较有与勾股较之较求勾股【并见第十七按旧法变通】

有勾股总和有与勾股和之较求勾股【第三十三按旧法变通】

有勾股总和有与勾股较之和求勾股【第三十按旧法变通】

有勾股总和有与勾股较之较求勾股【第三十一按旧法变通】

有与勾股和之较有与勾股较之和求勾股【第二十九按旧法变通】

有与勾股和之较有与勾股较之较求勾股【第二十八按旧法变通】

有与勾股较之和有与勾股较之较求勾股【第三十二按旧法变通】

设如有勾十五尺股较五尺求股各几何【第一】法以勾十五尺自乗得二百二十五尺以股较五尺除之得四十五尺为股和与股较五尺相加得五十尺折半得二十五尺为于二十五尺内减股较五尺余二十尺为股也如图甲乙为勾十五尺丁乙为股较五尺试自甲至丁作甲丁线则成甲乙丁勾股形复以丁乙线引长而以甲为直角作甲丙线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则丁乙甲乙乙丙即为连比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率丁乙股较除之得末率乙丙为股和也乙丙与丁乙相加得丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为于丁戊半径内减丁乙股较余乙戊即为股也又图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即股和其庚乙阔即股较故将勾自乗之数以股较除之而得股和也

又法以勾十五尺自乗得二百二十五尺又以股较五尺自乗得二十五尺相减余二百尺折半得一百尺以股较五尺除之得二十尺为股加股较五尺得二十五尺为也如图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等而已壬丙辛即股较自乗之正方积也于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛股较自乗之正方积余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形折半即余戊己辛丁一长方形其戊己长即股其己辛阔即股较故以股较除折半之积而得股也

设如有勾二十八尺股和九十八尺求股各几何【第二】

法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺以股和九十八尺除之得八尺为股较与股和九十八尺相加得一百零六尺折半得五十三尺为于股和九十八尺内减五十三尺余四十五尺为股也如图甲乙为勾二十八尺乙丙为股和九十八尺试自甲至丙作甲丙线则成甲乙丙勾股形复以乙丙线引长而以甲为直角作甲丁线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心作丙甲丁半圜则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率乙丙股和除之得末率丁乙为股较也丁乙与乙丙相加得丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为于乙丙股和内减戊丙半径或于丁戊半径内减丁乙股较余乙戊即为股也又图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即股和其庚乙阔即股较故勾自乗之数以股和除之而得股较也

又法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺又以股和九十八尺自乗得九千六百零四尺两数相加得一万零三百八十八尺折半得五千一百九十四尺以股和九十八尺除之得五十三尺为于股和九十八尺内减五十三尺余四十五尺为股也如图甲乙丙丁为股和自乗之正方积内戊己丙庚为自乗之正方积甲辛戊壬为股自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为股相乗之二长方积勾自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑磬折形相等如加甲辛戊壬股自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一方之积相等今以勾自乗之磬折形之积加于股和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子夘乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即其长即股和故以股和除折半之积而得也

设如有股三十二尺勾较十六尺求勾各几何【第三】

法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺以勾较十六尺除之得六十四尺为勾和与勾较十六尺相加得八十尺折半得四十尺为于四十尺内减勾较十六尺余二十四尺为勾也如图甲乙为股三十二尺丁乙为勾较十六尺试自甲至丁作甲丁线则成甲乙丁勾股形复以丁乙线引长而以甲为直角作甲丙线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则丁乙甲乙乙丙即为连比例三率故以中率甲乙股自乗以首率丁乙勾较除之得末率乙丙为勾和也丁乙与乙丙相加为丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为于丁戊半径内减丁乙勾较余乙戊即为勾也又图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即勾和其庚乙阔即勾较故将股自乗之数以勾较除之而得勾和也又法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺又以勾较十六尺自乗得二百五十六尺相减余七百六十八尺折半得三百八十四尺以勾较十六尺除之得二十四尺为勾加勾较十六尺得四十尺为也如图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等而以壬丙辛即勾较自乗之正方积也于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛勾较自乗之正方积余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形折半即余戊己辛丁一长方形其戊己长即勾其己辛阔即勾较故以勾较除折半之积而得勾也

设如有股八尺勾和十六尺求勾各几何【第四】法以股八尺自乗得六十四尺以勾和十六尺除之得四尺为勾较与勾和十六尺相加得二十尺折半得十尺为于勾和十六尺内减十尺余六尺为勾也如图甲乙为股八尺乙丙为勾和十六尺试自甲至丙作甲丙线则成甲乙丙勾股形复以乙丙线引长而以甲为直角作甲丁线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率故将中率甲乙股自乗以首率乙丙勾和除之得末率丁乙为勾较也丁乙与乙丙相加为丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为于乙丙勾和内减戊丙半径或丁戊半径内减丁乙勾较余乙戊即为勾也又图甲乙丙丁为自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即勾和其庚乙阔即勾较故股自乗之数以勾和除之而得勾较也

又以法股八尺自乗得六十四尺又以勾和十六尺自乗得二百五十六尺相加得三百二十尺折半得一百六十尺以勾和十六尺除之得十尺为于勾和十六尺内减十尺余六尺为勾也如图甲乙丙丁为勾和自乗之正方积内戊己丙庚为自乗之正方积甲辛戊壬为勾自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为勾相乗之二长方积股自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑之磬折形相等如加甲辛戊壬勾自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一方之积相等今以股自乗之磬折形之积加于勾和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子卯乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即其长即勾和故以勾和除折半之积而得也