御制数理精蕴

与庚辛之比为相当比例四率又寅癸戊与乙己戊亦为同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角与丙庚寅勾股形之寅角为两尖相对角其度等癸角与庚角俱为直角其度又等则戊角必与丙角等如作庚壬线成丙壬庚勾股形则此形之丙角既与乙己戊勾股形之戊角等而壬角又为直角与乙己戊勾股形之己角等故亦为同式勾股形而乙戊与己戊之比同于丙庚与丙壬之比为相当比例四率也

设如八十四度之弧距六十度二十四度其正九万九千四百五十二【相加得九万小余一八】又有三十六度之弧距六十度亦二十四度其正五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】求距弧二十四度之正几何

法以八十四度之正九万九千四百五十二【五二二九二小余一八】内减三十六度之正五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】余四万零六百七十三【五二二九二小余六六】即距弧二十四度之正也如有距六十度前二十四度为三十六度其正五万八千七百七十八【四三○七六小余五二】距弧二十四度之正四万零六百七十三【五二二九二小余六六】求距六十度后二十四度为八十四度之正则以三十六度之正五万八千七百七十八【四三○七六小

余五二】与距弧　　　　　　　　　　　　　　　　　【五二二九二】二十四度之正四万零【小余六六四三○七六】六百七十三九千四百五十二【小余一八九五三六八】即八十四度之正也又如有距六十度后二十四度为八十四度其正九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】距弧二十四度之正四万零六百七十三【小余六六四三○七六】求距六十度前二十四度为三十六度之正则以八十四度之正九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】与距弧二十四度之正四万零六百七十三【小余六六四三○七六】相减余五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】即三十六度之正也如甲乙丙丁九十度之一象限其己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距己二十四度乙甲弧三十六度乙距己亦二十四度丙庚为八十四度之正乙辛为三十六度之正与壬庚等丙壬为两正之较试自巳至象限中心戊作己戊线又自丙至乙作丙乙线则丙癸癸乙皆为距弧二十四度之正与丙壬两正之较相等葢己戊甲角六十度则己戊丁角为三十度丙庚与丁戊平行则丙子己角与丁戊己角为二平行线上所成之内外角必相等皆为三十度丙癸子角为直角则子丙癸角必为六十度矣又自乙至子作乙子线则乙癸子与丙癸子为同形勾股形癸乙子角亦必为六十度癸子乙角亦必为三十度两勾股形合之共成一丙乙子三角形而丙子乙角亦必为六十度矣三角度既等则三边必相等今丙壬为丙子之半丙癸为丙乙之半丙子既与丙乙等故丙壬亦必与丙癸等也有此法凡有六十度以前各弧之正则以各距弧之正与之相加可得六十度以后三十度各弧之正若有六十度以后各弧之正则以各距弧之正与之相减可得六十度以前三十度各弧之正六十度前后三十度之正用加减而即得较之勾股比例诸法甚为简便也

八线相求

设如四十八度之正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求正矢正切正割各几何

法以半径十万内减四十八度之余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】余三万三千零八十六【小余九三九三六四二】为正矢以余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为二率半径十万为三率求得四率一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】为正切以余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十四万九千四百四十七【小余六五四九八六六】为正割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正甲丁为余与丙戊等乙丙为正矢故乙戊半径内减与甲丁余相等之丙戊余乙丙即为正矢己乙为正切巳戊为正割甲丙戊己乙戊两勾股形为同式形故丙戊余与甲丙正之比同于乙戊半径与己乙正切之比为相当比例四率又丙戊余与甲戊半径之比同于乙戊半径与己戊正割之比亦为相当比例四率也

又正切求正割捷法以余弧折半得二十一度乃以二十一度之正切三万八千三百八十六【小余四○三三五○三六】与本弧之正切一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】相加得一十四万九千四百四十七【小余六五四八三三三】即为本弧之正割也如图甲乙弧四十八度己乙为正切己戊为正割试将甲庚余弧四十二度折半得庚辛二十一度移于乙壬又作乙癸为乙壬弧二十一度之正切与己乙相加得己癸与己戊正割相等葢甲戊乙角四十八度己乙戊角为直角九十度二角并之为一百三十八度于一百八十度内减之余四十二度为戊己乙角今于甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度遂成己戊癸角为六十九度仍与戊己乙角四十二度相加于一百八十度内减之所余亦六十九度即为戊癸己角戊癸己角既与己戊癸角相等则己戊与己癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求割线可止用加法不用四率矣又凡有本弧之正切正割相减即得半余弧之正切若有本弧之正割及半余弧之正切相减即得本弧之正切也

设如四十八度之正弧七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求余矢余切余割各几何

法以半径十万内减四十八度之正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余二万五千六百八十五【小余五一七四五二三】为余矢以正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为二率半径十万为三率求得四率九万零四十【小余四○四四二九七】为余切以正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】为余割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正与丁戊等甲丁为余巳丁为余矢故已戊半径内减与甲丙正相等之丁戊余己丁即为余矢庚己为余切庚戊为余割甲丁戊庚己戊两勾股形为同式形故丁戊正与甲丁余之比同于己戊半径与庚己余切之比为相当比例四率又丁戊正与甲戊半径之比同于己戊半径与庚戊余割之比亦为相当比例四率也

又余切求余割捷法以本弧折半得二十四度乃以二十四度之正切四万四千五百二十二【小余六八六五三一○】与本弧之余切九万零四十【小余四○四四二九七】相加得一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】即为本弧之余割也如图甲乙弧四十八度庚己为其余切庚戊为其余割试将甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度移于壬己又作癸己为壬己弧二十四度之正切与庚己相加得庚癸与庚戊余割相等葢甲戊己角四十二度庚己戊角为直角九十度二角相并为一百三十二度于一百八十度内减之余四十八度为戊庚己角今于甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度遂成庚戊癸角为六十六度仍与戊庚己角四十八度相加于一百八十度内减之所余亦为六十六度即为戊癸庚角戊癸庚角既与庚戊癸角相等则庚戊与庚癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求余割亦可止用加法不用四率矣又凡有本弧之余切余割相减即得半本弧之正切若有本弧之余割及半本弧之正切相减即得本弧之余切矣

求象限内各线总法

六宗倂新增十八边形及九边形之每边各半之得八弧之正用要法之一各求其余次取十二度【十五边之半】用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正复用新增法求其三分之一得十五分之正复求其三分之一即得五分之正既得五分之正乃用简法之一求六十度以内之正每越五分而得一可得七百二十又用简法之二求六十度以外之正亦越五分而得一又得三百六十【如以一度之与五十九度之相加即六十一度之以二度之与五十八度之相加即六十二度之以至二十九度之与三十一度之相加即得八十九度之也】总而计之一象限中共得正一千零八十己居全表五分之一【象限中逐分计之共正五千四百故一千零八十为五分之一也】再以五分之用要法之三得二分三十秒之复用新增法求其三分之一得五十秒之乃以五十秒之弧为一率五十秒之为二率一分之弧化六十秒为三率得四率为一分之既得一分之即用简法之一简法之二错综加减之则一象限中每度每分之正悉得矣既得每度每分之正则用前八线相求之法即得每度每分之切割诸线矣如于一分之中欲析为六十秒则以比例四率求之即得每秒之八线也

御制数理精蕴下编卷十六

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷十七

面部

三角形边线角度相求

三角形边线角度相求

三角形有直角者为勾股无直角者作中垂线分为两直角形则亦成两勾股是皆有其二而得其一或有其三而分为二防以边线相求者也至于割圜之法则凡三角形有一角即有八线皆成勾股而可比例以相求故三角形不论角之直与锐钝要以角度为凖而三角之度必与两直角之度等角之大者所对之边亦大角之小者所对之边亦小凡三角三边但知其三而其余者悉可得若直角则惟知其二而其余者亦可得此三角之法所由立而测量之用所由广也如知两角一边求又一边者以对所知之角与对所求之角为比即如所知之边与所求之边为比也知两边一角求又一角者以对所知之边与对所求之边为比即如所知之角与所求之角为比也或所知之一角在所知两边之间而求又一角者则角无所对之边而边亦无所对之角必用两边之和较与所知角之外角半弧之切线为比而得所求两角与所知角之外角半弧之较既得较而角度亦得矣又如知三边而求三角者则以三角形求中垂线法分为两直角形而三角自随之而得或用三边之方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角而三角亦可得矣若止有三角则三边无所约束故不成法葢角度为虚率而边线为实数无实数而虚率可驭总以比例四率展转用之惟在分合有法相度得宜耳

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十七度丙乙边五丈求甲乙边几何

法以丙角五十七度与象限九十度相减余三十三度为甲角乃以甲角为对所知之角其正五万四千四百六十四为一率丙角为对所求之角其正八万三千八百六十七为二率丙乙边为所知之边其数五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘有余即甲乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正是故丙角五十七度之余弧为三十三度丙角五十七度之余为三十三度之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正丙庚【即辛己】与丙角正己庚之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也

又法以半径十万为一率丙角五十七度之正切一十五万三千九百八十六为二率丙乙边五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘即甲乙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚戊正切之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角二十三度三十五分甲乙边三十二丈求丙乙边几何

法以丙角二十三度三十五分与九十度相减余六十六度二十五分为甲角乃以丙角为对所知之角其正四万零八为一率以甲角为对所求之角其正九万一千六百四十八为二率甲乙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正故丙角二十三度三十五分之余弧为六十六度二十五分丙角二十三度三十五分之余为六十六度二十五分之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正己庚与甲角正丙庚之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率丙角二十三度三十五分之余切线二十二万九千零七十三为二率甲乙边三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙边也如丙丁戊一象限切丁己弧作丁庚线为丙角之余切即甲角之正切则丁丙为半径丙丁庚与甲乙丙两勾股形为同式形故丁丙半径与丁庚余切之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角四十三度三十七分丙乙边二十一尺求甲丙边几何

法以丙角四十三度三十七分与九十度相减余四十六度二十三分为甲角乃以甲角为对所知之角其正七万二千三百九十七为一率【甲角正即丙角余或直用丙角余亦可】以乙角为对所求之角其正即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正【与丙庚等】己丙线为半径即九十度之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正丙庚与半径己丙之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也

又法以半径十万为一率丙角四十三度三十七分之正割一十三万八千一百二十七为二率丙乙边二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚丙为正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚丙正割之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十一度五十一分甲丙边八十九丈零二寸二分求甲乙边丙乙边各几何

法以丙角五十一度五十一分与九十度相减余三十八度零九分为甲角求甲乙边则以乙角为对所知之角其正即半径十万为一率以丙角为对所求之角其正七万八千六百四十为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙为所求之边也求丙乙边亦以乙角为对所知之角其正即半径十万为一率而以甲角为对所求之角其正六万一千七百七十二为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故半径己丙与丙角正己庚之比同于甲丙边与甲乙边之比为相当比例四率又半径巳丙与甲角正丙庚之比同于甲丙边与丙乙边之比为相当比例四率也

又法求甲乙边以丙角五十一度五十一分之正割一十六万一千八百八十五为一率其正切一十二万七千三百零六为二率甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙边也求丙乙边则仍以丙角正割一十六万一千八百八十五为一率而以半径十万为二率仍以甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧庚戊线为丙角之正切庚丙线为丙角之正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正割庚丙与正切庚戊之比同于甲丙边与甲乙边之比又丙角正割庚丙与半径丙戊之比同于甲丙边与丙乙边之比皆为相当比例四率也

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边二十丈丙乙边三十四丈六尺四寸一分求甲角丙角各几何

法以甲乙边二十丈为一率丙乙边三十四丈六尺四寸一分为二率半径十万为三率求得四率一十七万三千二百零五为甲角之正切捡八线表得六十度即甲角之度与九十度相减余三十度即丙角之度也如先求丙角则以丙乙边三十四丈六尺四寸一分为一率甲乙边二十丈为二率半径十万为三率求得四率五万七千七百三十五为丙角之正切捡八线表得三十度即丙角之度与九十度相减余六十度即甲角之度也如图先求甲角则如甲丁戊一象限己戊弧为甲角六十度之弧庚戊为甲角之正切甲戊为半径甲戊庚与甲乙丙两勾股形为同式形故甲乙边与丙乙边之比同于甲戊半径与庚戊正切之比为相当比例四率先求丙角则如丙丁戊一象限己丁弧为丙角三十度之弧辛丁为丙角之正切丙丁为半径丙丁辛与丙乙甲两勾股形为同式形故丙乙边与甲乙边之比同于丙丁半径与辛丁正切之比为相当比例四率也

又法以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相加得五十四丈六尺四寸一分为两边之和为一率又以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相减余一十四丈六尺四寸一分为两边之较为二率以乙角之外角九十度折半得四十五度为半外角其正切十万为三率【四十五度之正切与半径十万等】求得四率二十六万七千九百四十八为半较角之正切捡八线表得十五度为半较角与半外角四十五度相减余三十度即丙角之度如以半较角十五度与半外角四十五度相加得六十度即甲角之度也如图甲乙丙直角三角形以乙直角为心甲乙小边为半径作一甲戊丁圜截丙乙大边于戊将丙乙引长至圜界丁则丁乙戊乙俱为半径与甲乙等自丁至丙即两边之和自戊至丙即两边之较甲乙丁角即乙角之外角试自甲至戊作一甲戊线则成甲乙戊直角三角形其乙甲戊与乙戊甲二角相并与甲乙丁外角度等今折半用其正切即如用甲戊乙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自甲至丁作一丁甲线即甲戊丁角之正切又戊甲丙角即甲角大于甲戊乙角之较又即丙角小于甲戊乙角之较故于圜界戊至甲丙边己作己戊线与甲丁线平行即戊甲己角之正切且丙丁甲三角形与丙戊己三角形为同式形故两边之和丙丁与甲戊丁半外角切线甲丁之比即同于两边之较丙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边六十尺丙乙边三十二尺求甲丙边几何法以甲乙边六十尺为一率丙乙边三十二尺为二率半径十万为三率求得四率五万三千三百三十三为甲角之正切捡八线表得二十八度零四分即甲角之度【如用丙乙边作一率甲乙边作二率即先得丙角度】乃以甲角为对所知之角其正四万七千零五十为一率乙角为对所求之角其正即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数三十二尺为三率求得四率六十八尺零一分二厘有余即甲丙为所求之边也又既得甲角之后用割线法则以半径为一率甲角之正割为二率甲乙边为三率求得四率即甲丙为所求之边也或得丙角则用丙角之正割为二率丙乙边为三率亦得甲丙边若得丙角仍用甲乙边为三率则用丙角余割【即甲角之正割】为二率而亦得甲丙边也

又法用勾股求以甲乙为股丙乙为勾求得即甲丙边也法已载于勾股集中

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲丙边一百零二丈二尺丙乙边四十八丈求甲角丙角各几何

法以甲丙边为对所知之边其数一百零二丈二尺为一率丙乙边为对所求之边其数四十八丈为二率乙角为所知之角其正即半径十万为三率求得四率四万六千九百六十六为甲角之正捡八线表得二十八度零一分即甲角之度也甲角之余即丙角之正如捡八线表余数得六十一度五十九分即丙角之度也如甲丁戊一象限己庚爲甲角正辛己与甲庚等为甲角之余即丙角之正甲庚己与甲乙丙両勾股形为同式形故甲丙边与丙乙边之比同于甲己半径与己庚正之比为相当比例四率也又法以丙乙边四十八丈为一率甲丙边一百零二丈二尺为二率半径十万为三率求得四率二十一万二千九百一十六为丙角之正割捡八线表得六十一度五十九分即丙角之度也其丙角之余割即甲角之正割如捡余割数得二十八度零一分即甲角之度也如丙丁戊一象限丙戊为半径己戊为丙角之正切己丙为丙角之正割甲乙丙与己戊丙两勾股形为同式形故丙乙边与甲丙边之比同与丙戊半径与己丙正割之比为相当比例四率也

设如甲乙丙锐角三角形知乙丙边三十二丈乙角六十度丙角四十六度求甲乙边甲丙边各几何法以乙角六十度与丙角四十六度相加得一百零六度与半圜一百八十度相减余七十四度为甲角求甲丙边则以甲角为对所知之角其正九万六千一百二十六为一率以乙角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙为所求之一边也求甲乙边则仍以甲角为对所知之角其正九万六千一百二十六为一率而以丙角为对所求之角其正七万一千九百三十四为二率仍以乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙为所求之又一边也如图甲乙丙三角形作含三角形之圜则每界角各对一弧试自圜心丁作三角形各边之垂线即将每角所对之弧平分一半各成两心角其每一心角与相当各界角之度等【见几何原本四卷第十三节】是以乙角所对甲丙弧原系一百二十度今为丁庚癸垂线所平分各为六十度一为甲丁癸一为癸丁丙皆与乙角原度等丙角所对甲乙弧原系九十二度今为丁戊辛垂线所平分各为四十六度一为甲丁辛一为辛丁乙皆与丙角原度等甲角所对乙丙弧原系一百