御制数理精蕴

度得丙丁小形之丙己横线长度为四倍甲乙大形之甲庚纵线寛度得丙丁小形之丙辛纵线寛度为三倍则大形与小形四倍者有三而大形比小形为十二分可知矣再或甲乙大形之甲戊横线比丙丁小形之丙己横线为十二倍丙丁小形之丙辛纵线反比甲乙大形之甲庚纵线为三倍则甲乙大形之甲戊横线之长虽比丙丁小形之丙己横线之长多十一倍而甲乙大形之甲庚纵线之寛又比丙丁小形之丙辛纵线之寛少二倍矣将此纵横二线之多少较之甲乙大形比丙丁小形为四倍而丙丁小形为甲乙大形之四分之一于是以二形之纵横多少互相较对以比例之始得知此形与彼形之比例焉故凡直角平方面形与他一形相比其比例有二以此形之长与他形之长比之为一比例以此形之寛与他形之寛比之为一比例两形相比之间而兼两比例者正以平面之积自二线之度生之之故也

第三

有两直角方面形若将此方面横界与他方面横界为比又将他方面纵界与此方面纵界为比其比例若同则此两方面必相等也如甲乙丙丁两方面形甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己横界大一倍而丙丁形之丙庚纵界比甲乙形之甲辛纵界亦大一倍则甲乙丙丁两形之分必相等是知两方面形纵横之分互相较对则两方面之积可知矣

第四

凡有相比例四率其二率与三率相乘一率与四率相乘则所得之分数俱相等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四率甲乙一率为二分丁戊二率为四分戊己三率为三分乙丙四率为六分将丁戊二率为纵线戊已三率为横线以之相乗又将甲乙一率为纵线乙丙四率为横线以之相乗其所得之丁己一方面形甲丙一方面形其分数俱是十二互相等矣然则丁已形之丁戊纵度虽比甲丙形之甲乙纵度大一半而丁已形之戊己横度复比甲丙形之乙丙横度少一半故其纵横互较之分相等而其积亦等也是故四率中凡有三率欲求其不知之一率将两率之分相乘所得之数以一率之分除之即得其一率矣设如甲乙三分为一率丁戊六分为二率戊己五分为三率乙丙十分为四率今只知一率二率三率之分欲推四率则以丁戊六分二率与戊巳五分三率相乘为丁己三十分乃以甲乙三分一率除之即得乙丙十分四率矣此以小分为首率者也或知乙丙戊己丁戊之三率而推甲乙之一率则以乙丙十分为一率戊巳五分为二率丁戊六分为三率二率与三率相乘一率除之即得甲乙之四率矣此以大分为首率者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而推戊己之一率则以丁戊为一率甲乙为二率乙丙为三率二率与三率相乘一率除之即得戊己之四率矣此即反推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙之三率而推丁戊之一率则以戊己为一率甲乙为二率乙丙为三率二率与三率相乘一率除之即得丁戊之四率矣此即递转比例之理也

第五

凡有两直角方面形此一方面之横界与他一方面横界为比此一方面之纵界与他一方面纵界为比其比例若等则此两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲戊横界为丙丁形丙己横界之二倍而甲乙形之甲庚纵界亦为丙丁形丙辛纵界之二倍则甲乙形面积与丙丁形面积之比比之甲乙形之一界与丙丁形之一界之比者即如连比例三率隔一位相加之比例矣葢甲乙方面之纵横界既为丙丁方面纵横界之二倍则甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有二二其二为四故甲乙方面积比丙丁方面积为四倍今甲乙方面积为一十六分与丙丁方面积之四分相比较之甲乙方界之四分与丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之四分之一而辛丁二得庚乙四之二分之一以四分比一分较之二分比一分不为二倍乎故欲求其比例相连之率则于甲乙形之界二倍之得八分与丙丁方界二分为比即如甲乙方面积十六与丙丁方面积四分之比矣夫八与十六四与八二与四皆二分之一之比例而十六隔八与四比八隔四与二比则皆成四分之一之比例故十六与四较之四与二为两界上连比例隔一位相加之比例也又如甲乙方面之纵横界为丙丁方面纵横界之三倍则甲乙方面内如丙丁方面之三倍者有三三其三为九故甲乙之面积比丙丁面积为九倍今甲乙之积为三十六分与丙丁方面积四分相比较之甲乙方界之六分与丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一而辛丁二得庚乙六之三分之一以九分比一分较之三分比一分不为三倍乎故欲求其比例相连之率则于甲乙形之界三倍之得十八与丙丁方界二分为比即如甲乙方面积三十六与丙丁方面积四之比例矣葢十八与六六与二皆三分之一之比例而三十六隔十二与四比十八隔六与二比则皆为九分之一之比例故三十六与四较之六与二亦为两界上连比例隔一位相加之比例也

第六

凡直角方面形有二种一为长方一为正方因其纵横界之比例各异故其所生之形不同而积不得互相为比也如欲比之必以长方与长方为比正方与正方为比其比例始行如甲乙丙丁两长方面形其甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙己横界为大一倍甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙辛纵界亦为大一倍其比例相同若以甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙辛纵界为比则大三倍而甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙己横界为比止大一分犹不得大一倍其比例则异故甲乙形所生之积为二十四而丙丁形所生之积为六俱为长方形焉又如子丑寅夘两正方形其子丑形之子辰横界与寅卯形之寅已横界之比子丑形之子午纵界与寅卯形之寅未纵界之比俱为大三倍而比例相同复以子丑形之子辰横界与寅卯形之寅未纵界为比子丑形之子午纵界与寅卯形之寅已横界为比亦各大三倍而比例相同故子丑形所生之积为三十六而寅夘形所生之积为四俱为正方形焉以此四形两两相比则甲乙长方形与丙丁长方形为比而子丑正方形与寅卯正方形为比各为相当比例之四方面也

第七

有两同式长方面于两形相当之二界各作两正方面互相为比即同原两长方面之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方面在甲戊丙己相当二横界各作甲庚丙辛两正方面则所作甲庚丙辛两正方面互相为比即同于原有之甲乙丙丁相同之两长方面之互相为比也夫甲乙丙丁同式之两长方面积既为隔一位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之正方面积亦必为隔一位相加之比例然则甲乙丙丁原有之两面互相为比与所作甲庚丙辛之正方面之互相为比其为同理之比例无疑矣

第八

大凡二平行线内所有直角方面互相为比同于其底之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有甲已庚丁两直角方面其甲已面与庚丁面之比即同于甲已面之丙己底线与庚丁面之辛丁底线之比也葢甲巳面之丙巳底线与庚丁面之辛丁底线为三倍而甲巳面之甲丙纵线与庚丁面之庚辛纵线因同在二平行线内其度固同今以二面纵线俱依庚丁面之庚辛分数分之皆为四倍则甲巳面为一十二分而庚丁面为四分矣以甲己面之十二分与庚丁面之四分为比即如甲己面之丙己底三分与庚丁面之辛丁底一分之比故其比例相同也

第九

凡二平行线内所有二界平行斜方面互相为比同于其底界度之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有甲戊乙丁两斜方面积互相为比即同于丙戊巳丁两底界之互相为比也试将甲戊乙丁两斜方面之丙戊己丁两底界上立庚戊辛丁两直角面则此两直角面因与两斜方面同底同髙其积必等【见三卷第八节】前节言凡二平行线内所有直角方面互相为比同于其底之互相为比此甲戊乙丁两斜方面既与同底所立庚戊辛丁两直角面相等则甲戊乙丁两斜方面互相为比必同于丙戊己丁两底界之互相为比可知矣故凡二平行线内所有面积相比之分数必与底界相比之分数同也

第十

凡二平行线内所有三角形面积互相为比亦同于其底界度之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有戊己庚辛壬癸两三角形其内所函面积互相为比即同于巳庚壬癸两底界之互相为比也何也凡二平行线内所有三角形得其同底所立四边形之一半今以甲乙丙丁二平行线内之戊己庚三角形同底立一戊巳庚子四边形辛壬癸三角形同底立一辛壬癸丑四边形则戊巳庚三角形为戊巳庚子四边形之一半而辛壬癸三角形为辛壬癸丑四边形之一半如以两三角形面积互相为比即同于两四边形面积之互相为比而为相当比例四率矣其面积既互相为比则其两三角形面积相比同于两三角形底之相比者亦如两四边形相比同于两四边形底之相比矣然则戊巳庚辛壬癸两三角形面积互相为比必同于巳庚壬癸两底界互相为比者可知也今壬癸底界既比己庚底界大一倍故辛壬癸三角形面积必比戊巳庚三角形面积亦大一倍也

防何原本八

第一

凡三角形内与其底线平行作一直线则所截三角形之两边线互相为比例线其两边线所分各二叚互相为比为相当比例四率而每边所截之一叚与本全线比之亦为相当比例四率也如甲乙丙三角形内与乙丙底线平行作一丁戊线则分甲乙一边为甲丁丁乙二叚分甲丙一边为甲戊戊丙二叚其甲乙一边之甲丁丁乙二叚互相为比甲丙一边之甲戊戊丙二叚互相为比其比例俱同为相当比例四率矣又如甲乙一边之甲丁一叚与本边甲乙全线为比甲丙一边之甲戊一叚与本边甲丙全线为比其比例亦俱同为相当比例四率矣今以三角形按所截分分为各式以各式面积互相比者考之自丁戊线之丁戊二端作丁丙戊乙二线则甲乙丙一三角形分为四三角形此四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊两三角形既在乙丙丁戊二平行线之间又共立于一丁戊之底其二形之积必等【见三卷第十节】于此二形各加一所截甲丁戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙两三角形其积亦必相等又如甲丁戊乙丁戊两三角形之底俱在甲乙一直线上而两三角形之戊角又共在一戊处其两形必在二平行线之间而甲丁戊丙丁戊两三角形之底俱在甲丙一直线上而两三角形之丁角又共在一丁处其两形亦在二平行线之间【见三卷第十二节】因各三角形两两俱为二平行线所限故其面积互相为比必同于其底界之互相为比也【见七卷第十节】此所以甲丁戊丙丁戊两三角形积互相为比与其甲戊戊丙两底线之互相为比同其甲丁戊乙丁戊两三角形积互相为比与其甲丁丁乙两底线之互相为比亦同也甲乙戊三角形之积既与甲丙丁三角形之积相等则以甲乙丙之全形与所分之甲乙戊三角形或与所分之甲丙丁三角形相比其比例必俱相同而甲丙丁三角形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相为比甲乙戊三角形之甲戊底与甲乙丙全形之甲丙底互相为比亦必俱相同矣因其各三角形得互相为比例故其所截两边线两两为相当比例率也

第二

凡三角形内与底平行作一直线其所截两边线之每一叚与各边全线之比即同于所作线与底线之比也如甲乙丙三角形内与乙丙底平行作一丁戊线此丁戊线所截甲丁一叚与甲乙全线之比甲戊一叚与甲丙全线之比皆如丁戊线与乙丙底线之相比也假若将甲乙丙三角形之甲乙边线为底而与甲乙底线平行作一戊己线即成戊巳乙丁四边长方形其两两平行线之度俱各相等然三角形之两边与所截之每叚既互相为比【如前节所云】则此乙丙边之乙己一叚与乙丙边全线之比即同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比而丁戊之平行线既与乙已平行线度相等则此丁戊平行线与原底乙丙线之比亦必同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比矣故甲戊叚为一率甲丙边全线为二率丁戊平行线为三率乙丙底线为四率为相当比例四率也又如甲乙边之甲丁一叚与甲乙边全线之比既同于丁戊平行线与乙丙底线之比则甲丁叚为一率甲乙边全线为二率丁戊平行线为三率乙丙底线为四率亦为相当比例四率也苟甲乙边全线为六分则甲丁叚得其六分之二分乙丙边全线为六分则丁戊叚亦得其六分之二分所以成两两相当比例之率也

第三

凡大小两三角形其相当之二角度若两两相等则其余一角亦必相等如此类两三角形谓之同式三角形也虽其内容积分不同而其相当各界互相为比俱为相当比例之率焉如甲乙丙丁戊己大小两三角形其甲角与丁角等乙角与戊角等则所余丙角必与己角等而为同式三角形也【二卷第三节言凡三角形之三角相并与二直角等则此大小两三角形之各三角相并亦俱为二直角于二直角中减去大形之甲角乙角余为丙角减去小形之丁角戊角余为己角其所减之数既等则所余之数亦必等矣】若于大形内与乙丙平行作庚辛线与甲乙平行作辛壬线则成甲庚辛辛壬丙两小三角形此两小形之相当角度与大形之相当角度亦必俱等故皆谓之同式形也凡同式之形其容积虽不一而其各界互相为比皆为相当比例之四率是故以大三角形之甲乙全线与所截甲庚一叚之比即如大三角形之甲乙一边与小三角形之相当丁戊一边之比也大三角形之甲丙全线与所截甲辛一叚之比即如大三角形之甲丙一边与小三角形之相当丁巳一边之比也大三角形之乙丙底线与所截庚辛底线之比即如大三角形之乙丙底线与小三角形之戊已底线之比也至于甲乙丙大三角形与所截辛壬丙小三角形相当各界之比亦如甲乙丙大三角形与丁戊已小三角形相当各界之比也由此推之凡同式之形其相当各界互相为比皆为相当比例之率可知矣

第四

同式直角三角形面积互相为比同于三角形各相当界所作方形之互相为比而同式三角形面积互相为比者比之各相当界互相为比则为连比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊巳两同式直角三角形其面积互相为比即同于此两三角形之乙丙戊巳相当二界所作庚乙辛戊两方形互相为比之比例而此两三角形之面积互相为比比之乙丙戊已相当二界互相为比之比例则为连比例内隔一位相加之比例矣葢两三角形之乙戊二角俱为直角若与乙丙戊巳二线平行作甲壬丁癸二线又与甲乙丁戊二线平行作壬丙癸己二线即成壬乙癸戊两直角长方形此甲乙丙丁戊己两三角形因与所作壬乙癸戊两直角长方形在二平行线内同为一底其积为一半将半与半相比者即同于全与全之相比故甲乙丙丁戊己两三角形互相为比必同于壬乙癸戊两直角长方形互相为比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁戊各相当二界所作壬乙癸戊两长方形互相为比之比例既与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同则依乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方形互相为比之比例亦与壬乙癸戊两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同矣又凡直角两方形其两界互相为比之比例若俱同则两形面积互相为比之比例较之两界互相为比之比例为隔一位相加之比例【见七卷第五节】今甲乙丙丁戊己两三角形之各依底线所作正方形互相为比较之二底线互相为比之比例即为隔一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己两三角形之面积互相为比者既与所作庚乙辛戊两正方形面积互相为比之比例同则此所作两正方形面积相比较之两底相比为隔一位相加之比例而甲乙丙丁戊己两三角形面积互相为比较之乙丙戊己相当二界互相为比之比例亦为隔一位相加之比例可知矣

第五

同式无直角三角形面积互相为比同于三角形各相当界所作方形之互相为比而三角形面积互相为比者比之各相当界互相为比则为连比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己两同式三角形虽无直角然其相当各角俱等则此两形面积互相为比同于在此两形之甲乙丁戊相当二界所作方形互相为比之比例而两形之面积互相为比者比之甲乙丁戊相当二界互相为比之比例则为连比例内隔一位相加之比例矣试自两形之丙己二角与甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛各一线又自甲丁二角至庚辛二线之末作甲庚丁辛二线又与此二线平行自乙戊二角至壬癸二处作乙壬戊癸二线成庚乙辛戊两直角长方形此两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形俱在两平行线内又同为一底则此两三角形面积为彼庚乙辛戊两长方形之一半将半与半相比者同于全与全之相比故甲乙丙丁戊己两三角形面积之比例必同于庚乙辛戊两长方形之比例矣夫同式两长方形之比例同于相当界所立正方形之比例而同式正方形之比例比之各相当界之比例为连比例隔一位相加之比例今此两三角形面积之比例既同于庚乙辛戊两长方之比例亦必同于两正方之比例则两三角形面积之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例可知矣

第六

有众多边形其边数同相当各角俱等而相当界之比例又同则谓之同式形也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小两多边形其边数俱为五其相当甲己二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊癸二角各度俱等而甲乙边与己庚边之比即同于乙丙边与庚辛边之比其相当边互相比之俱同者即谓之同式多边形也又如众曲线形于其内外作各种直界形其式若同则谓之同式曲线形也假如有甲乙大小两曲线形在甲大形内作一丙丁戊己庚五边形在乙小形内作一辛壬癸子丑五边形此所作两五边形之式若同则曲线形之式必同又如甲乙大小两曲线形在甲大形外作一丙丁戊己四边形在乙小形外作一庚辛壬癸四边形此所作两四边形之式若同其曲线形之式亦必同故皆谓之同式曲线形也或如甲乙丙丁大小两圜分于大圜分内作一戊甲乙三角形于小圜分内作一己丙丁三角形此所作两三角形之式若同则圜分之式亦必同故谓之同式圜分也第七

大小各圜分之式若同则其相对之圜心角度必俱等也如甲乙丙丁大小两圜之戊甲己庚丙辛两分之式相同其弧虽随圜之大小各殊而自圜所分之度必同其各叚所对二圜之壬癸心角度亦等矣夫戊甲己与庚丙辛两叚式既同则此内所函甲戊己丙庚辛两三角形之甲丙相当两界角之度必等若自甲丙二角过二圜心壬癸至对界乙丁作甲壬乙丙癸丁二线则成两界角与两心角葢心角大于界角一倍故甲乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大一倍今将戊壬乙乙壬己两心角并之戊甲乙乙甲己两界角并之则所并之心角亦必比所并之界角大一倍矣而丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛两心角并之亦必比庚丙丁丁丙辛所并之两界角大一倍夫两圜之两界角度既等而两圜之所并之心角度又等则两界角相对之戊乙己庚丁辛两弧叚之分数亦必相等界角所对之弧分既等则心角所对之弧分亦必相等心角所对之弧分即为甲丙二界角相对之壬癸二心角之度也

第八

凡大小同式多边形分为众三角形其相当三角形之式俱相同也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形自大形甲角至丙丁二角自小形己角至辛壬二角各作二线则大形分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形小形分为己庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙丙之形与相当己庚辛之形同式甲丙丁之形与相当己辛壬之形同式甲丁戊之形与相当己壬癸之形同式因其所分各三角形俱为同式故相当各角度必等相当各角度既等则其相当各界之比例亦必俱同自五边形所分之各三角形之相当界互相为比之比例既同则五边形之相当各界互相为比之比例亦必同相当各界之比例相同则两形之式相同可知矣

第九

凡大小同式多边形互相为比同于各形相当界所作方形之互相为比而比之各面相当界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形于大形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙丑辛大小两方形其大小五边形互相为比必同于所作子丙丑辛大小二方形之互相为比大小五边形既同于大小两方形之互相为比则比之丙丁辛壬相当二界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例矣若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两形分为众三角形则相当各三角形之式必同相当各三角形之式既同则相当各三角形互相为比即同于在三角形各相当界所作方形之互相为比而各三角形面积之互相为比较之各相当界互相为比之比例亦为连比例隔一位相加之比例夫所分众三角形互相为比既同于所作方形之互相为比则众三角形所合甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五边形互相为比亦必同于丙丁辛壬相当界所作子丙丑辛大小两方形之互相为比而比之丙丁辛壬相当界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例可知矣

第十

凡大小同式直界形互相为比同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小两直界形于此二形内所函之甲丙丁己庚壬癸丑二同式四边形之甲丙庚壬相当二界作寅丙卯壬正方形则两直界形互相为比即同于两正方形之互相为比也若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两六边形俱分为三角形则其相当各三角形之式俱相同而相当各三角形互相为比必同于甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比矣此所分三角形之比例既同于所作正方形之比例则大小两形内各三角形之甲丙庚壬界又为两四边形之共界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两同式形互相为比亦必同于其所函之甲丙丁己庚壬癸丑两四边形之甲丙庚壬两相当界所作寅丙卯壬两正方形之互相为比可知矣

第十一

凡大小同式曲界形互相为比同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此二圜之中虽各函一同式六边形各函一同式四边形又各函众同式三角形此大小二圜之积互相为比必同于在圜内所函同式形之甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比也大凡众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近而圜界分为千万叚即成千万直界形【见四卷第十九二十等节】则大小两圜之比例固与内函相当直界形之比例等矣夫相当直界形之比例原同于两形之相当界所作方形之比例而圜界形之比例又同于相当直界形之比例则此大小二圜互相为比之比例同于此二圜之辐线或径线所作正方形互相为比之比例可知矣第十二

凡圆面径与撱圆面