御制数理精蕴

面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也此法葢因二十面体之每边与正方体之毎边相等二十面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也

又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分八百七十八厘开立方得一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为三率求得四率一尺二寸即二十面体之每一邉也此法葢因二十面体积与正方体积相等二十面体之毎邉与正方体之每邉不同故以二十面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也

御制数理精蕴下编二十七

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十八

体部六

【面】球内容各等面

【体】体球外切各等

【庚】球内容各等面

体设如　　　　　　【俱】圆球径一尺二寸求内容四面体之每一边及体积

几何法　　　　　　　　　　　【为】以圆球径一尺二寸三归二

因得八　　　　　　　　　　　【自】寸为圆球内容四面体自尖至每面中心之立垂线自乘得六十四寸二归三因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八防有余即圆球内容四面体之每一边也乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积四十一寸五十六分九十二厘一十九豪有余与自尖至每面中心之立垂线八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十厘有余三归之得一百一十寸八百五十

一分二百五十厘　　　　　　　　　　　　　　　【尖】有余即圆球内容四面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊四面体甲己与丙至每面中心之立垂线相交于辛为四

面体之中心亦即圆　　　　　　　　　　　　　　　　【故】球之中心甲辛与丙辛俱为圆球半径甲己壬勾股形与甲庚辛勾股形为同式【以甲乙圆甲己壬勾股形以甲己自尖至底中心立垂线为股己壬一面中垂线之三分之一为勾甲壬一面中垂线为甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂线之三分之二为股庚辛四面体中心至每面中心之垂线为勾甲辛四面体自尖至中心立垂线为故两勾股形同用一甲角而己角庚角同为直角其壬角与辛角亦必相等所以为】形己壬为丙壬一面中垂线之三分之一亦为甲壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为甲辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一而甲辛即【同】

圆球之半径故庚辛亦　　　　　　　　　　　　　　　　　【式】为圆球半径

之三分之一庚辛与辛已等今命　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【形】甲

辛圆球半径为三分　　　　　　　　　　　　　　　　【也】则甲乙圆球全径为六分以辛己一分与甲辛三分相加则得甲巳四分是甲巳立垂线为甲乙圆球全径之六分之四即三分之二

【六】球径三归二因即得甲己为四面体

自尖至每面中心之立垂线也又四面体之立垂线自乘方为每边自乘方之三分之【分之见前四面体求】二故以甲己立垂线自乘二归三因即得每一边自乘方积开平方得甲丙为四面体之每一边也既得一边则用等边三角形求面积法求得丙丁戊三角形面积与甲巳立垂线相乘三归之即得甲丙丁戊四面体之积

也又求边捷法以　　　　　　　　　　　　　　　【积】圆球径一尺二寸自乘三归二因得九十六寸开平方亦得九寸七分九厘七豪九丝五忽八防有余为内容四面体之每一边也盖四

面体之甲巳立垂线既为甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】乙圆球径之三分之二则甲己自乘方必为甲乙自乘方之九分之四而甲己自乘方又为甲丙每边自乘方之三分之二即四则甲丙每一边自乘方必为甲乙圆

【○】球径自乘方之九分之六即三分之

二故以圆球径自乘三归二因开平方亦得四面体之每一边也如有四面体

之一边求外切　　　　　　　　　　　　　　【○】圆球径则先求得自尖至每面中心之立垂线二归三因【○】即圆球径或以一边自乘二归三因开平方亦即得圆

球径也　　　　　　　　　　　【○】又用求球内各形之一边之

定率比例以　　　　　　　　　　　　　【○】定率之圆球径一○○

○○○○○　　　　　　　　　　　　　【为】○为一率圆球内容四面体之一边八一六四九六五八为二

【一】率今所设之圆球径一尺二寸为三

率求得四率九寸七分九厘七豪九丝

五　　　　　　　　　【率】忽八防有余即圆球内

容四面　　　　　　　　　　　【圆】体之一边也又用求球内各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○

【尺】球内容四面体积六四一五○○二

九为二率今所设之　　　　　　　　　　　　　　　　【二】圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率一百一十寸八百五十

一分二百五十厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】即圆球内容四面体

之积也　　　　　　　　　　　【自】又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○

○　　　　　　　　　【乘】为一率圆球内容四面体积一二

二五一七五三○为二率　　　　　　　　　　　　　　　　　　【得】今所设之

圆球径一　　　　　　　　　　　　【一】尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一百一十寸八

百五十一分二百四　　　　　　　　　　　　　　　　【百】十九厘有余即圆球

内容四　　　　　　【四】面体之积也设如圆球径一尺二寸求内容正方体

之每一边及体积几何法以圆球径一十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余即圆球内容正方体之每一边以一边自乘再乘得三百三十二寸五百五十

三分七百四十四厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】球内

容正方体之积也如图甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】圆球径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方体试以丙丁一边为股丁乙一边为勾求得丙乙即每一面之对角斜线勾与股既相等则丙乙每一面对角斜线自乘方为丙丁或丁乙每边自乘方之二倍矣又试以丙乙对角斜线为股甲

丙一边为勾求得甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　【如】即圆球径

则　　　　　　　　　【有】甲乙圆球径自乘方又为甲丙类

每边自乘方之三倍　　　　　　　　　　　　　　　　【正】矣故以圆球径

自乘三归即得每边自乘之积开　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】平方即得圆球内容正方体之一边以一边自乘再乘即得圆球内容正方体之

体之一边求外切圆　　　　　　　　　　　　　　　　【圆】球径则以一边

自乘三因之开平方即得　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】圆球径也又用求球内各形之一边之定率

比例以定率　　　　　　　　　　　　　【内】之圆球径一○○○○

○○○○为　　　　　　　　　　　　　【容】一率圆球内容正方体之一边五七七三五○二六为二率今

【正】所设之圆球径一尺二寸为三率求

得四率六寸九分二厘八豪二丝零三

【方】防有余即圆球内容正

方体之　　　　　　　　　　　【体】一边也又用求球内各形之

体积之定率　　　　　　　　　　　　　【之】比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○

【积】○○○○为一率圆球内容正方体

积一九二四五○○八　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余即

又用圆　　　　　　　　　　　【八】球积之定率比例以定率之

【寸】圆球积一○○○○○○○○○为

一率圆球内容正方体积三六七五五

二五九○为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　　【即】之圆球径

一尺二寸　　　　　　　　　　　　【圆】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余即圆球内容正方

体之积　　　　　　【球】也设如圆球径一尺二寸求内容八面体之每一边

及体积　　　　　　　　　　　【内】几何法以圆球径一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝

八忽　　　　　　　　　　【容】一防有余即圆球内容八面体之每一边也乃以八面体之每一边自乘得七十二寸以球径一尺二寸再乘得八百六十四寸三归之得二百八十

八面体之积也如图甲乙圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】球径一尺二寸内容甲丙乙丁戊己八面体自正中对四角平分截之则成甲丙己丁

戊乙丁戊丙己二尖方体甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】圆球径为二尖方体之共髙即甲丙乙丁正方面之对角斜线试以甲丙一边为股

乙丙一边为勾则　　　　　　　　　　　　　　　【○】甲乙球径为勾与股既相等则甲乙自乘方为甲丙自

乘方之二倍故　　　　　　　　　　　　　　【○】以甲乙球径自乘折半开方即得甲丙为内容八面体之一边以戊丙一边自乘得戊丙己丁二尖方体之共底面积以甲乙共髙再乘三归之得二尖方体积即八面体之总积

也如有八面体之一边　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】求外切圆球径则以一边自乘加倍开平方得对【○】角斜

线即圆球径也又用求球内各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○

○为一率圆　　　　　　　　　　　　　【二】球内容八面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】体之一边七○七一○六七八为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得

四率八寸四分八厘五豪二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【求】丝八

忽　　　　　　　　　【得】一防有余即圆球内容八面体

之一边　　　　　　　　　　　【圆】也又用求球内各形之体积

之定率比例　　　　　　　　　　　　　【球】以　　　　　　　　　　　　　　　【积】定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○

【九】○○○○为　　　　　　　　　　　　　　【百】一率圆球内容八面

体积一六六六六六六　　　　　　　　　　　　　　　　　【零】六六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再

乘得一千七百二十八寸为三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】率求得四率二百八十八寸即圆球内

容八面　　　　　　　　　　　【寸】体之积也又　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】用圆球积之

【百】定率比例以定率之圆球积一【七】

○　　　　　　　　　【十】○○○○○○○○为一率圆球内容八面体积三一八三○九八八五为二率今所设之圆球径一尺二八分六百八十四厘有余为三率求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八厘有余即圆球内容八面体之积也

设如圆　　　　　　【豪】球径一尺二寸求内容十二面体之每一边及体积几

何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一为

二率今所设之　　　　　　　　　　　　　　【三】圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八

丝六忽五防有余　　　　　　　　　　　　　　　【丝】即圆球内容十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边用五等边形求面积法求得每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪有余又用五等边形求外切圜径法求【即分角线】得半径三寸六分四厘二

七忽一防有余为勾圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【圜】球半径六寸为求得股四寸七分六厘七豪九丝二忽七防有余为自圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪相乘得一百五十寸三百九十八分八百零七厘有余三归之得五十寸一百三十二分九百三十五厘为一五角尖体积十二因之得六百零一寸五百九十五

分二百二十厘有余即　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】圆球内容十

二面体之总积也如图甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　【半】乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙两角相对斜线之一半而为十等边形之一边试自十二面体之甲卯一边正中至中心辰作庚辰垂线即为所截十等边形外切

径与甲庚每边之半甲辰圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【既】球半径共成甲庚辰勾股形庚辰为股甲庚为勾甲辰为庚辰即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之小分何以知之盖十二面体每面之壬子两角相对斜【得与甲丙】线为全分则子丑一【等与甲卯】边为大分若以壬子两角相对斜线为大分则子丑一边为小分两角相对斜线之一半庚辛为大分则每边之半甲庚即为小分矣又庚辰中心至每边正中之垂线既为十等边形外切圜之半径而庚辛为十等边形之一边则庚辛为大分而庚辰必为全分矣因庚辰全

分为股甲庚小分为勾而甲辰　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【等】圆球半径为故以理分中末线之全分为股小分为勾求得与小分之比同于甲辰半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙全径与甲卯全边之比也一边则用五等边形求面积法求得壬癸子丑寅五等边形面积又求得巳癸五等边形外切圜半径【面体每一】乃以辰癸

圆　　　　　　　　　【面】球半径为【两角即分】已癸分角线为

勾求得辰巳股即　　　　　　　　　　　　　　　【角】圆球中心至内容十二面体每面中心之立垂线与壬癸子丑寅五等边形面积相乘三归之得辰壬癸子丑寅一五角尖体积十二因

之即　　　　　　　　　　【线】得圆球内容十二面体之总积

也如有十二面体之每一边求　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【与】外切圆球径则先求得自中心至每边正中

之垂线为股半边为勾求得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【辰】倍之即

圆球全径也又求　　　　　　　　　　　　　　　【甲】边法用求圆球内

容正方体　　　　　　　　　　　　【等】之一边法以圆球径一尺二寸自乘得一百四十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余为圆球内容十二相对斜线乃以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率每一面两角相对斜线六寸九分二厘八豪二丝零三防为三率求得四率四寸二分八厘一

豪八丝六忽四防有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【有】球内容

十二面体之每一边也如图甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体试于每一面各作一斜线相连则十二斜线之二十四端合为八角遂成正方体形其十二面之十二斜线即正方体之十二边其八角即正方体之八

角皆切　　　　　　　　　　　【二】于圆球之面　　　　　　　　　　　　　　　　　【面】故用求球内容正方体法求得正方体之一边即十二面体每一面两角相对之斜线既得斜线则以理分中末线之全分与大分之比即同于两角相对之斜线与每一边之比而得十二面体之每一边也如

体之每一边求外切圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】球径则先求得每面两角相对斜线为正方体之一边用正方体求外切圆球径之法亦即

得　　　　　　　　　【率】圆球

径矣又　　　　　　　　　　　【六】用求球内各形之一边之定

率比例以定　　　　　　　　　　　　　【百】率之圆球径一○○○

○○○○○　　　　　　　　　　　　　【零】为一率圆球内容十二面体之一边三五六八二二○九为二

率　　　　　　　　　【一】今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八丝

六忽　　　　　　　　　　【寸】五防有余即圆球内容十

二面体　　　　　　　　　　　【五】之一边也又用求球内各形

之体积之定　　　　　　　　　　　　　【百】率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○

【九】○○○○○为一率圆球内容十二

面体积三四八一四五四　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】八二为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得

五分三百九十二厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】球内容十二面体之积

也又用圆球积之定率比例以定率之

【尺】圆球积一○○○○○○○○○为

一　　　　　　　　　【二】率圆球内容十二面体积六六四

九○八八九一为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】设之圆

球径一尺二　　　　　　　　　　　　　【为】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率六百零一寸五百

九十五分三百九十一　　　　　　　　　　　　　　　　　【三】厘有余即圆球内容十

二面体　　　　　　【率】之积也设如圆球径一尺二寸求内容二十面体之每

一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之圆球径求得四率六寸三分零八豪七丝七忽

三防有余即圆　　　　　　　　　　　　　　【径】球内容二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余又用三等边形求外切圜径法求得半【一即分角】径三寸六分四厘二豪三丝七忽一防有余为勾圆球半径六寸为求得股四寸七分六厘七豪九丝二

忽七防有余为自　　　　　　　　　　　　　　　【线】圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四厘有余三归之得二十七寸三百九十分四百二十一厘有余为一三角尖体积二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十厘有余即圆球内容二十面体之总积也如图甲乙圆球尺二寸内容甲丙丁戊己二十面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙每边之一半而为十等边形之一边试自二十面体之甲癸一边正中至中心壬作庚壬垂线即为所截十等边形外切圜之半径与甲庚每边之半甲壬圆球半径共成甲庚壬勾股形庚壬为股甲庚为勾甲壬为庚壬即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之大分何以知之盖庚壬中心至每边正中之斜线既为十等边形外切圜之半径庚辛既为十等边形之一边则庚辛为大分庚壬必为全分庚辛为每边之半甲庚亦为每边之半则甲庚亦即为大分矣因庚壬全分为股甲庚大分为勾甲壬圆球半径为故以理分中末线之全分为股大分为勾求得与大分之比同于甲壬半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙圆球全径与甲癸全边之比

也又图子丑圆　　　　　　　　　　　　　　【得】球内容子丙寅丑卯已二十面体自丙已二处横截之则所截之面成圆内容甲丙丁戊己五等边面形试自二十面体之巳角至寅角作已寅全径线则成巳丙寅勾股形巳丙为股丙寅为勾已寅为以甲丙丁戊己五等边面形言之则巳丙股为两角相对斜线即如理分中末线之全分丙寅勾与丙丁一边同即如理分中末线之大分今己丙全分既为股丙寅大分

既为勾巳寅与子丑同为　　　　　　　　　　　　　　　　　　【辰】圆球径既为故以理分中末线之全分为股大分为勾求得与大分之比即同于今所设之子丑全径与丙寅一边之比也既得一边则用三等边形求面积法求已午三等边形面积又求得未巳三等边形外切圜半径即分角线乃以壬巳圆球半径【二十面体】为未巳分角线为勾

求得壬未股即圆　　　　　　　　　　　　　　　【之】球中心至内容二十面体每面中心之立垂线与辰巳午三等边形面积相乘三归之得壬辰巳

午一三角尖体积二十因之即得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】圆球内容二十面体之积也如有二十面

体之一边求外　　　　　　　　　　　　　　【边】切圆球径则先求得自中心至每边正中之垂线为股半边

为勾求得倍　　　　　　　　　　　　　　【也】之即圆

球全径　　　　　　　　　　　【与】也又用求球内各形之一边