御制数理精蕴

乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次两数相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次两数相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次与初商相乘八因之爲八长廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘七次即得应减之积也

又法用开平方法三次开之初以原积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开平方得二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺次以二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺复开平方得五十万二千六百八十一尺又以五十万二千六百八十一尺复开平方得七百零九尺即七乘方每一根之数也

又用表开法列积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算隔七位作记定位同前乃截方根第二位以前积六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲五七六四八○一○○○○○○○○【即初商次商乘七次之数】其所对初商根爲七次商根爲○即将七○书于初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○书于初商次商积之下相减余六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除余积六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九书于三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽即定七乘方根爲七百零九尺也

八乘方

设如有八乘方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开八乘方问每一根之数几何

法列方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算每方积九位定方根一位故隔八位作记乃于二尺上定单位四十亿尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商积与四百乘八次之数相准即定初商爲四百尺书于方积五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺书于初商积之下相减余一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位积八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺续书于后共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积四十亿尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十亿尺与原积相减余一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十亿尺爰以方根第三位积九亿五千二百八十二万七千二百九十二尺续书于后共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六亿尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽是开得四百二十二尺爲八乘方每一根之数也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除余积得次商以初商乘六次与次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘两数相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次两数相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次两数相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次与初商相乘九因之爲九长廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘八次即得应减之积也又法用开立方法两次开之初以原积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开立方得七千五百一十五万一千四百四十八尺次以七千五百一十五万一千四百四十八尺复开立方得四百二十二尺即八乘方每一根之数也

又用表开法列积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算隔八位作记定位同前乃截方根第二位以前积四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲四○六六七一三八三八四九四七二【即初商次商乘八次之数】其所对初商根爲四次商根爲二即将四二书于初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二书于初商次商积之下相减余一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除余积一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽即定八乘方根爲四百二十二尺也

九乘方

设如有九乘方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开九乘方问每一根之数几何

法列方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算每方积十位定方根一位故隔九位作记乃于四尺上定单位二百亿尺上定十位六垓尺上定百位其八穰七千四百零六垓尺爲初商积与三百乘九次之数相准即定初商爲三百尺书于方积六垓尺之上而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺书于初商积之下相减余二穰八千三百五十七垓尺爰以方根第二位积九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺续书于后共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺爲次商廉法以除次商积足十倍即定次商爲一十尺书于方积二百亿尺之上合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百亿尺与原积相减余五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百亿尺爰以方根第三位积九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺续书于后共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十亿尺十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积四尺之上合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽是开得三百一十二尺爲九乘方每一根之数也葢九乘方之本法有十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅既得初商乃以初商乘八次十因之得十八乘廉爲法除余积得次商以初商乘七次与次商相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以初商乘六次次商自乘两数相乘一百二十乘之爲一百二十六乘廉以初商乘五次次商自乘再乘两数相乘二百一十乘之爲二百一十五乘廉以初商乘四次次商乘三次两数相乘二百五十二乘之爲二百五十二四乘廉以初商乘三次次商乘四次两数相乘二百一十乘之爲二百一十三乘廉以初商自乘再乘次商乗五次两数相乘一百二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以初商自乘次商乘六次两数相乘四十五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七次与初商相乘十因之爲十长廉以次商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘九次即得应减之积也又法用开平方开四乘方法开之初以原积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开平方得二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺又以二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺开四乘方得三百一十二尺即九乘方每一根之数也

又用表开法列积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算隔九位作记定位同前乃截方根第二位以前积八七四○六九四四七八○一四三二爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲八一九六二八二八六九八○八○一【即初商次商乘九次之数】其所对初商根爲三次商根爲一即将三一书于初商次商之位而以八一九六二八二八六九八○八○一书于初商次商积之下相减余五四四四一一六○八二○六三一乃以八一九六二八二八六九八○八○一格内三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除余积五四四四一一六○八二○六三一足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽即定九乘方根爲三百一十二尺也

诸乘方表

凡表上横行所列自一至九之数为初商根右直行所列自○至九之数为次商根其中每格所列细数二层上层为初商次商积【如立方表第一行第三格上层一七二八即方根一二自乘再乘之数余仿此】下层为三商亷法【如立方表第一行第三格下层四三即三商亷法乃以初商次商两根一二自乘三因截去末一位之数葢方根既有三位则初商为百次商为十以一百二十自乘三因得四三二○○为亷法除实至三商本位止今防法止用次商余积求三商不加三商本位之积其初商仍作十用以十二自乘三因得四三二仍比次商余积多一位故截去末一位止用四三为亷法除实则法实尾位均齐定位始无误余仿此】用表之法具见设如立方表

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十二>

御制数理精蕴下编卷三十二

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十三

末部三

借根方比例【带纵平方　　带纵立方三乘方四乘方五乘方附】

带纵平方

借根方比例开带纵平方其以长方之积用长阔之较或和而求长阔之数皆与常法同但不立和纵较纵之名惟有多根少根之号而毎根之数或爲长方之阔或爲长方之长错综其名有十二种推究其实总不出和较之两端如云一平方多防根与几真数等或几根多一平方与几真数等或一平方与几真数少几根等或几根与几真数少一平方等此四者根皆较纵而其毎根之数皆长方之阔也如云一平方少几根与几真数等或一平方少几眞数与几根等或一平方与几真数多几根等或一平方与几根多几眞数等此四者根亦皆较纵而其每根之数则皆长方之长也如云一平方多几真数与几根等或几眞数多一平方与几根等或几真数与几根少一平方等或一平方与几根少几眞数等此四者根皆和纵而其毎根之数或爲长方之长或爲长方之阔也要之所谓一平方者即一正方而多几根少几根即变正方而爲长方其眞数比平方多根者其毎根爲阔眞数比平方少根者其每根爲长二者皆较纵惟眞数比根少平方者则爲和纵也至于开之之法皆以眞数爲长方积以根数爲纵【即以根数作眞数用如三根即作三眞数五根即作五真数之类解见设如】依面部带纵平方法开之有较纵者先求和有和纵者先求较其根爲长方之阔者以和较相减折半而得每根之数【用半和半较立法者则相减即得根数不用折半】其根爲长方之长者以和较相加折半而得每根之数也【用半和半较立法者则相加即得根数不用折半】俱详设如设如有一平方多二根与二十四尺相等问每一根之数几何

法以二十四尺爲长方积二根爲纵多二尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百尺开平方得十尺爲和减较二尺余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较二尺得六尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积二十四尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁六尺爲长戊丁二尺爲纵多甲乙己戊爲一平方戊己丙丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故云一平方多二根与二十四尺相等也若以积计之则积之多于平方者爲戊己丙丁之二根若以边计之则长多于阔者爲戊丁之二尺故以二根即作二尺爲纵多也此法错综其名则爲四种一平方多二根与二十四尺相等一也如二根多一平方亦必与二十四尺相等又一也若于一平方多二根与二十四尺各减去二根则爲一平方与二十四尺少二根相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根余甲乙己戊一平方故爲一平方与二十四尺少二根相等也】又如一平方多二根与二十四尺各减去一平方则爲二根与二十四尺少一平方相等此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去甲乙己戊一平方余戊己丙丁二根故爲二根与二十四尺少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比一正方多根数故知其爲较纵而每根之数爲阔也

设如有一平方少四根与四十五尺相等问每一根之数几何

法以四十五尺爲长方积四根爲纵多四尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百九十六尺开平方得十四尺爲和加较四尺得十八尺折半得九尺爲一根之数即长方之长减较四尺得五尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积四十五尺甲乙九尺爲一根爲长甲丁五尺爲阔甲戊与甲乙等丁戊四尺爲纵甲乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根于甲乙己戊平方内减去丁丙己戊之四根则余甲乙丙丁四十五尺故云一平方少四根与四十五尺相等也若以积计之则积之少于平方者爲丁丙己戊之四根若以边计之则阔少于长者爲丁戊之四尺故以四根作四尺爲纵多也此法错综其名亦爲四种一平方少四根与四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必与四根相等又一也若于一平方少四根与四十五尺各加四根则爲一平方与四十五尺多四根相等此又其一也【甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成甲乙己戊一平方故爲一平方与四十五尺多四根相等也】如一平方亦必与四根多四十五尺相等此又其一也此四者名虽不同合而观之总爲真数比一正方少根数故知其爲较纵而其每根之数爲长也

设如有一平方多三十六尺与十三根相等问每一根之数几何

法以三十六尺爲长方积十三根爲和十三尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余二十五尺开平方得五尺爲较与和十三尺相减余八尺折半得四尺爲一根之数即长方之阔加较五尺得九尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积三十六尺甲乙四尺爲一根爲阔甲丁九尺爲长甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十六尺与十三根相等也若以积计之则积三十六尺与一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以边计之则长九尺与阔四尺相加得甲戊之十三尺故将十三根作十三尺爲和也此法错综其名亦爲四种一平方多三十六尺与十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必与十三根相等又一也若于一平方多三十六尺与十三根各减去三十六尺则爲一平方与十三根少三十六尺相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁三十六尺余丁丙己戊一平方故云一平方与十三根少三十六尺相等也】又如一平方多三十六尺与十三根各减去一平方则爲三十六尺与十三根少一平方相等此又其一也【甲乙己戊十三根内减去丁丙己戊一平方余甲乙丙丁三十六尺故爲三十六尺与十三根少一平方相等也】此四者名虽不同合而观之总爲眞数比根数少一正方故知其爲和而其毎根之数爲阔也

设如有一平方多三十二尺与十二根相等问每一根之数几何

法以三十二尺爲长方积十二根爲和十二尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余十六尺开平方得四尺爲较加和十二尺得十六尺折半得八尺爲一根之数即长方之长减较四尺余四尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积三十二尺甲乙八尺爲一根爲长甲丁四尺爲阔甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十二尺与十二根相等也若以积计之则积三十二尺与一平方相加共得甲乙己戊十二根若以边计之则长八尺与阔四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺爲和也此法亦眞数比根数少一正方故知其爲和而其每根之数爲长也

带纵立方　【三乘方　四乘方　五乘方附】

借根方比例开带纵立方与常法不同常法先知各边之和或较既开得一边之数以和较加减之即得各边之数此法止有根方多少之号而无和纵较纵之名惟求每根之数而不问余边其立法之本意葢欲借根方以求他数既得一根之数则所求之数已得而方之形体有所不计且其与根方相等之积数或爲长方体扁方体形或非长方体扁方体形【或于长方扁方之内少几数或于长方扁方之外多几数则不能成长方扁方体形也】皆不可知故不可以带纵之常法求也【其积数或原爲几根几方之总数而非一长方或一扁方之全数则止可以逐方逐根计之若作一长方或一扁方算则其各边必有奇零不尽而转与所设之根数不合矣】今类其法分爲九种如一立方多几根与几真数等一也一立方少几根与几眞数等二也一立方多几平方与几真数等三也一立方少几平方与几眞数等四也一立方多几平方多几根与几眞数等五也一立方少几平方少几根与几真数等六也一立方多几平方少几根与几眞数等七也一立方少几平方多几根与几真数等八也又几平方少一立方与几眞数等九也其开之之法除第九种外余俱依立方法定初商复视所带根方爲多号者其商数须取略小于应得之数所带根方数爲少号者其商数须取略大于应得之数俱以初商数自乘再乘爲立方积以初商自乘数与几平方相乘爲所带平方之共积以初商数与几根相乘爲所带根数之共积多号者与立方积相加少号者与立方积相减然后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商自乘数三因之爲立方廉以初商数倍之与几平方相乘爲所带平方之共廉多号者与立方廉相加少号者与立方廉相减又加减所带之根数【多根者加少根者减】爲次商廉法以廉法除次商积得次商即合初商自乘再乘爲立方积仍如所带几根几平方加减之而后减原积并与初商同至于第九种之法则将立方与真数俱用平方数除之得一平方少几分立方之一与几眞数等依平方法定初商其商数须取略大于应得之数乃以初商数自乘爲平方积又以初商数再乘爲立方积以平方数除之得数爲少几分立方之一以减平方积而后与原积相减不尽者爲次商积次商之法以初商数倍之爲平方廉又以初商自乘数三因之爲立方廉以平方数除之得数以减平方廉余爲次商廉法以廉法除次商积得次商其减积之法与初商同以上九种如法开之即得每根之数也要之所谓一立方者即一正方体而多平方多根少平方少根即变正方体而爲长方体扁方体或爲磬折长方体扁方体其积数中有立方则用再乘有平方则用自乘有根则用商数多则相加少则相减九种之中无异术也即推之多乘方莫不皆然总以其累乘之数爲主而以所带根方之积数加减之与立方无二理也爰将立方九种之法各设一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各设二例以附其后焉

设如有一立方多八根与一千八百二十四尺相等问毎一根之数几何