御制数理精蕴

径也设如一大球体内容八小球体大球径一尺二

寸　　　　　【径】求小球

径几何　　　　　　　　　　　【乘】法以大球径一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸为

长　　　　　　　　　【正】方积以大球径一尺二寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔

四寸三分九厘二豪　　　　　　　　　　　　　　　　【方】即内容八小球

之径数　　　　　　　　　　　【体】也如图甲乙大球体内容丙

丁戊　　　　　　　　　　【对】己庚辛壬癸　　　　　　　　　　　　　　　　【角】八小球体试自八小球之中心俱各作线聮之则成一

正方体　　　　　　　　　　　【斜】其正方体之一边即小球径

以正方体　　　　　　　　　　　　【线】之丙壬　　　　　　　　　　　　　　　　【二】对角斜线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】加一小球径即大球径故以大球径自乘

得甲　　　　　　　　　　【方】乙子丑正方形内甲寅卯辰为小球径自乘方卯巳子午为正方体对角斜线自乘方寅乙巳卯辰卯午丑为凡正方对角斜线自乘方为每边自乘方之三倍【尺自乘得见第二十八卷球内容】故卯巳子午正方形为甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一长方共成未乙巳申一长

方甲乙　　　　　　　　　　　【正】球径即长阔之较故用带纵

较数开平方法算之得阔即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】小球径也如先有小球径求大球径则以小球径为正方体之一边自乘三因之开平

方得正方体对角斜线再加　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】一小球

【法】径即

大球径也设如有三角形底十四尺中埀线十二尺大腰与小腰之较二尺求両

腰各几何法借一根为小腰则大腰为一根多二尺以一根自乗得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乗之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以一根多二一平方多四根多四尺为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方多四根少一百四十尺为大分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方多四根少二百八十四尺余四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之积为末率也乃以首率大分底之面积一平方多四根少一百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二万零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五万七千六百尺此二数为相等両边各减一三乘方四立方二万零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根与三万七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既与三万七千四百四十尺相等则一平方多二根必与一百九十五尺相等乃以一百九十五尺为长方积以多二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十三尺为一根之数即小腰加二尺得十五尺即大腰也

设如有三角形底十四尺中垂线十二尺大腰与小腰之和二十八尺求大小腰各几何

法借一根为小腰则二十八尺少一根为大腰以一根自乘得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少五十六根多六百四十尺为大分底之而积又以底四十尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方少五十六根多四百九十六尺余五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而大分底乗小分底之而积为中率小分底之而积为末率也乃以首率大分底之面积一平方少五十六根多六百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺此二数为相等両边各减一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺与一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺相等両边各减四百九十六平方各加八千四百根又各加九万二千一百六十尺得一万六千四百六十四根与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等一万六千四百六十四根既与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等则二十八根必与一平方多一百九十五尺相等故以一百九十五尺为长方积以二十八根作二十八尺为长阔和求得阔十三尺为一根之数即小腰也

御制数理精蕴下编巻三十七

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十八

末部八

对数比例

对数比例

对数比例乃西士若往讷白尔所作以借数与眞数对列成表故名对数表又有恩利格巴理知斯者复加增修行之数十年始至中国其法以加代乘以减代除以加倍代自乘故折半即开平方以三因代再乘故三归即开立方推之至于诸乘方莫不皆以假数相求而得眞数葢为乘除之数甚繁而以假数代之甚易也其立数之原起于连比例葢比例四率二率与三率相乘一率除之得四率而递加递减之四数第二数第三数相加减第一数则得第四数作者有见于此故设假数以加减代乘除之用此表之所以立也然连比例之大者莫如十百千万葢一与十十与百百与千千与万万与十万其数皆为一而递进一位取其整齐而无竒零也一为数之始以之乘除数皆不变故一之假数定为○而十之假数定为一百之假数定为二千之假数定为三万之假数定为四十万之假数定为五推之百千万亿皆递加一数此对数之大纲也其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两眞数相乘开方即得中率之眞数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数又法用递乘而得以眞数递次相乘其乘得之位数即所得之假数此二法者理虽易明而数则甚繁也又有递次开方一法以眞数递次开方假数递次折半至于数十次使彼此皆可为比例而假数由之而生又有相较之一法省开方之多次尤为甚防至于他数之可以乘除得者如二与三相乘而得六则以二之假数与三之假数相加即为六之假数又以二除十而得五则以二之假数与十之假数相减即为五之假数之类其不由乘除而得者则又以累乘累除之法求之此对数之细目也今为推其理考其数先详作表之原次明用表之法使学者知作者之难而用之甚易甚勿以易而忘其难也

明对数之原之一

凡眞数连比例四率任对设递加递减之较相等之四假数其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数即得第四率相对之假数若减第四率相对之假数即得第一率相对之假数

如二四八十六连比例四率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四其递加递减之数皆为一以二率四相对之假数二与三率八相对之假数三相加得五内减一率二相对之假数一即得四率十六相对之假数四若减四率十六相对之假数四即得一率二相对之假数一或以二之假数为三四之假数为五八之假数为七十六之假数为九其递加递减之数皆为二以二率四相对之假数五与三率八相对之假数七相加内减一率二相对之假数三即得四率十六相对之假数九若减四率十六相对之假数九即得一率二相对之假数三

明对数之原之二

凡眞数连比例三率任对设递加递减之较相等之三假数其中率相对之假数倍之内减首率相对之假数即得末率相对之假数若减末率相对之假数即得首率相对之假数

如一三九连比例三率任对设一之假数为四三之假数为五九之假数为六其递加递减之数皆为一以中率三相对之假数五倍之得十内减首率一相对之假数四即得末率九相对之假数六若减末率九相对之假数六即得首率一相对之假数四或以一之假数为八三之假数为五九之假数为二其递加递减之数皆为三以中率三相对之假数五倍之内减首率一相对之假数八即得末率九相对之假数二若减末率九相对之假数二即得首率一相对之假数八

明对数之原之三

凡眞数连比例几率任对设递加递减之较相等之假数其中隔位取比例四率其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数亦得第四率相对之假数若减第四率相对之假数亦得第一率相对之假数

如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六连比例几率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四三十二之假数为五六十四之假数为六一百二十八之假数为七二百五十六之假数为八其递加递减之数皆为一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相对之假数三与三率六十四相对之假数六相加得九内减一率四相对之假数二即得四率一百二十八相对之假数七若减四率一百二十八相对之假数七即得一率四相对之假数二

明对数之纲之一

凡假数皆可随意而定然一之假数必定为○方与眞数相应而眞数连比例率十百千万皆为一但递进一位则其假数亦皆递加一数

葢乘除之数始于一故一不用乘亦不用除而加减之数始于○故○无可加亦无可减也假数旣以加减代乘除故一之假数必定为○而一与十十与百百与千千与万万与十万皆为加十倍之相连比例率然其数皆为一但递进一位故一之假数定为○者十之假数即定为一百之假数即定为二千之假数即定为三万之假数即定为四十万之假数即定为五百万之假数即定为六千万之假数即定为七亿之假数即定为八亦皆递加一数而假数即与位数相同试以一百与一千相乘得十万为进二位以一百相对之假数二与一千相对之假数三相加即得十万相对之假数五亦为加二数也以一十除一千得一百为退一位以一十相对之假数一与一千相对之假数三相减即得一百相对之假数二亦为减一数也如或以十之假数定为二百之假数定为四千之假数定为六是为递加二数未甞不可然眞数进一位者假数则加二数即不得与位数相同矣

明对数之纲之二

凡眞数不同而位数同者其假数虽不同而首位必同眞数相同而递进几位者其假数首位必递加几数而次位以后却相同

如自一至九眞数皆为单位则假数首位皆为○故二之假数为○三○一○二九九九五七三之假数为○四七七一二一二五四七四之假数为○六○二○五九九九一三五之假数为○六九八九七○○○四三六之假数为○七七八一五一二五○四首位以后零数递增至十则首位皆为一至百则首位皆为二至千则首位皆为三至万则首位皆为四至十万则首位皆为五如一十一一百一十一千一百一万一千一十一万虽递进一位而其数皆为一一故其假数首位虽递加一数而次位以后皆同为○四一三九二六八五二

明对数之目用中比例求假数法之一

凡连比例率以首率末率两眞数相乘开方即得中率之眞数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数

如一十为首率一百为中率一千为末率以首率一十与末率一千相乘开平方得一百为中率以首率一十之假数一○○○○○○○○○○与末率一千之假数三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假数葢首率末率相乘与中率自乘之数等以首率末率两假数相加即与中率之假数加倍之数等故折半为中率之假数也

明对数之目用中比例求假数法之二

凡十百千万之假数既定而欲求其间零数之假数则以前后相近之两数一为首率一为末率求得中率之眞数并求得中率之假数累次比例使中率恰得所求之眞数其假数即为所求之假数如求九之假数因九在一与十之间则以一为首率十为末率相乘开方得三一六二二七七七为第一次之中率即以首率一之假数○○○○○○○○○○○与末率十之假数一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○为第一次中率之假数此所得之中率较之首率去九为近故以所得之中率复为首率十为末率相乘开方得五六二三四一三二为第二次之中率即以第二次之首率末率两假数相加折半得○七五○○○○○○○○为第二次中率之假数又以第二次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得七四九八九四二一为第三次之中率即以第三次之首率末率两假数相加折半得○八七五○○○○○○○为第三次中率之假数又以第三次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得八六五九六四三二为第四次之中率即以第四次之首率末率两假数相加折半得○九三七五○○○○○○为第四次中率之假数又以第四次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得九三○五七二○四为第五次之中率即以第五次之首率末率两假数相加折半得○九六八七五○○○○○为第五次中率之假数此所得之中率较之末率去九为近故以第五次所得之中率复为末率仍以第五次之首率为首率相乘开方得八九七六八七一三为第六次之中率即以第六次首率末率两假数相加折半得○九五三一二五○○○○为第六次中率之假数由此递推去九渐近而即以相近之两率比例相求得第七次之中率为九一三九八一七○其假数为○九六○九三七五○○○第八次之中率为九○一七九七七七其假数为○九五七○三一二五○○第九次之中率为九○一七三三三三其假数为○九五五○七八一二五○第十次之中率为八九九七○七九六其假数为○九五四一○一五六二五第十一次之中率为九○○七二○○八其假数为○九五四五八九八四三七第十二次之中率为九○○二一三八八其假数为○九五四三四五七○三一第十三次之中率为八九九九六○八八其假数为○九五四二二三六三二八第十四次之中率为九○○○八七三七其假数为○九五四二八四六六七九第十五次之中率为九○○○二四一二其假数为○九五四二五四一五○三第十六次之中率为八九九九九二五○其假数为○九五四二三八八九一五第十六次之中率为九○○○○八二一其假数为○九五四二四六五二○九第十八次之中率为九○○○○○四一其假数为○九五四二四二七○六二第十九次之中率为八九九九九六五○其假数为○九五四二四○七九八九第二十次之中率为八九九九九八四五其假数为○九五四二四一七五二六第二十一次之中率为八九九九九九四三其假数为○九五四二四二二二九四第二十二次之中率为八九九九九九九二其假数为○九五四二四二四六七八第二十三次之中率为九○○○○○一六其假数为○九五四二四二五八七○第二十四次之中率为九○○○○○○四其假数为○九五四二四二五二七四第二十五次之中率为八九九九九九九八其假数为○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率则恰得九○○○○○○○其假数为○九五四二四二五一二五即所求之假数也然所得中率虽爲九而七空位之后尚有竒零故所得之假数犹为稍大故开方之位数愈多则所得之假数愈密也

明对数之目用递次自乘求假数法之一

凡连比例率之自小而大者以第一率之眞数递次自乘即得加倍各率之眞数以第一率之假数递次加倍即得加倍各率之假数而以各率之假数按率除之即得第一率之假数

如以二为连比例第一率其假数为○三○一○二九九九五七以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数以第一率之假数○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三为第二率之假数而以第二率之假数用二除之即得第一率之假数又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数以第二率之假数○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六为第四率之假数而以第四率之假数用四除之即得第一率之假数也

明对数之目用递次自乘求假数法之二

凡连比例率自小而大者其假数之首位旣因眞数之位数而递加故求假数者以所求之眞数为连比例第一率递次自乘即得加倍各率之眞数以第一率假数之首位递次加倍即得加倍各率之假数而眞数自乘又进一位者则假数加倍后又加一数而以各率之假数按次除之即得所求第一率之假数

如求二之假数则以二为连比例第一率是为单位故傍纪○即第二率之假数首位为○也又以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数仍为单位故傍亦纪○卽第二率之假数首位亦为○也又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数是为进前一位故傍纪一即第四率之假数首位为一也又以第四率之眞数十六自乘得二百五十六为第八率之眞数以第四率之假数一倍之得二是为进前二位故傍纪二即第八率之假数首位为二也又以第八率之眞数二百五十六自乘得六万五千五百三十六为第十六率之眞数以第八率之假数二倍之得四是为进前四位故傍纪四即第十六率之假数首位为四也又以第十六率之眞数六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六为第三十二率之眞数以第十六率之假数四倍之得八又因第十六率眞数自乘所得首位乃逢十又进一位之数故将假数加倍所得之八又加一得九是为进前九位故傍纪九即第三十二率之假数首位为九也由此递乘至第一万六千三百八十四率之眞数则自单位以前共得四千九百三十二位故傍纪四九三二为第一万六千三百八十四率之假数以一万六千三百八十四除之得○三○一○即为第一率二之假数葢以一万除四千为实不足法一倍则其首位必为○也然其位数尚少故仅得五位若再递乘至第一千三百七十四亿四千六百九十五万三千四百七十二率之眞数则自单位以前共得四百一十三亿七千五百六十五万五千三百零七位即其假数为四一三七五六五五三○七以率数除之得○三○一○二九九九五六六即为第一率二之假数也此法葢因眞数进一位则假数首位加一数今递乘所得之眞数既得若干位则其假数首位必加若干数乃以首位为单位递进向前者也而连比例各率之假数以率数除之即得第一率之假数故以率数除之所得第一率之假数为首位以后之零数也

明对数之目用递次开方求假数法之一

凡连比例率之自大而小者以第一率之眞数递次开方即得加倍各率之眞数以第一率之假数递次折半即得加倍各率之假数而以各率之假数按率乘之即得第一率之假数

如以二百五十六为连比例第一率其假数为二四○八二三九九六五三以第一率之眞数二百五十六开方得十六为第二率之眞数以第一率之假数二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六为第二率之假数而以第二率之假数用二乘之即得第一率之假数又以第二率之眞数十六开方得四为第四率之眞数以第二率之假数一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三为第四率之假数而以第四率之假数用四乘之即得第一率之假数

明对数之目用递次开方求假数法之二

凡递次开方率皆用二倍葢眞数开方假数折半而折半即二归故递次折半之假数以递次加倍之率数乘之即得第一率之假数

如原数为第一率加倍得二为第一次开方之率数【葢折半即二归以二归者复用二乘必仍得原数也】又加倍得四为第二次开方之率数【葢折半二次即四归以四归者复用四乘必亦得原数也】递次加倍则第三次之率为八第四次之率为十六第五次之率为三十二第六次之率为六十四第七次之率为一百二十八第八次之率为二百五十六第九次之率为五百一十二第十次之率为一千零二十四第二十次之率为一百零四万八千五百七十六第三十次之率为十亿七千三百七十四万一千八百二十四第四十次之率为一兆零九百九十五亿一千一百六十二万七千七百七十六第五十次之率为一千一百二十五兆八千九百九十九亿零六百八十四万二千六百二十四凡有眞数求假数皆以所求之数为第一率眞数开方几次则假数必折半几次今虽无第一率之假数而苟得其折半第几次之假数则加倍几次必得第一率之假数故以加倍第几次之率数与折半第几次之假数相乘即得第一率之假数也

明对数之目用递次开方求假数法之三

凡眞数不可与假数为比例者因眞数开方假数折半其相比之分数不同若开方至于数十次则开方之数即与折半之数相同故假数即可用眞数比例而得是以凡求假数者皆以其眞数开方至几十次与此所得之假数相比即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得所求之假数如眞数为一十假数为一○以眞数一十开方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次开方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次开方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次开方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次开方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三