御制数理精蕴

度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同若尺小止用一百分则截去自八十五度至八十九度之数从○度起至八十四度止葢○度之割线即半径其假数为一○今从○度起即减去半径之数至八十四度以后则假数甚大一尺之内不能容故止八十四度止也

设如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙边四十二尺九寸问甲乙边几何

法以割线假数尺之四十五度三十分与假数尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘即六十一尺一寸为甲乙边也葢半径与甲角割线之比同于甲丙边与甲乙边之比故以半径为一率四十五度三十分之割线为二率四十二分九厘当甲丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率因割线先巳减去半径之数故二率与三率相加即得四率不必更减半径也

设如甲乙丙直角三角形甲丙边四十二尺九寸甲乙边五十三尺七寸问甲角几何

法以假数尺之四十二分九厘与五十三分七厘相减用其余度自割线假数尺○度以上量之得三十七度为甲角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于半径与甲角割线之比故以四十二分九厘当甲丙边为一率五十三分七厘当甲乙边为二率半径为三率得三十七度当甲角为四率因○度之割线即半径故以一率二率相减之余度自○度以上量之即如与半径相加也

御制数理精蕴下编卷四十

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴表卷一上

八线表

八线表説

八线之用关于数理者甚大立表愈宻则为用愈精西洋旧表设半径为十万用以推测步算秒微或有不合既而又有新表设半径为一千万取数较精但逐分列表用中比例以求秒数止可用于正余若切线割线至六十度以后其递増之数不均用中比例尚不能宻合兹又用本法细推【法见割圜】每十秒递折求零秒则用比例所差无多检用亦便用表之法并列如左列表之法○度至四十四度列于右方之上其分秒顺列右行自上而下检得某度某分秒对上层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对上层各线行内检得某数横对至右行即得某度分秒　四十五度至八十九度列于左方之下其分秒逆列左行自下而上

检得某度某分秒对下层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对下层各线行内检得某数横对至左行即得某度分秒

凡查零秒用中比例如检一度三分十三秒之正则以一度三分十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率一度三分十秒之正一八三七三四与一度三分二十秒之正一八四二一九相减余四八五为二率三秒为三率求得四率一四五与一度三分十秒之正相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正盖多十秒则正多四八五今多三秒则正应多一四五为比例四率也如检一度三分十三秒之余则仍以十秒为一率一度三分十秒之余九九九八三一二内减一度三分二十秒之余九九九八三○三余九为二率三秒为三率求得四率三与一度三分十秒之余相减余九九九八三○九即一度三分十三秒之余盖多十秒则余少九今多三秒则余应少三为比例四率也　如有正一八三八七九求度分秒与一度三分十秒之正相较则多与一度三分二十秒之正相较则少即知在十秒二十秒之间乃以一度三分十秒与一度三分二十秒之正相减余四八五为一率十秒为二率今有之正内减一度三分十秒之正余一四五为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖多四八五则多十秒今多一四五则应多三秒为比例四率也如有余九九九八三○九求度分秒则以一度三分十秒之余内减一度三分二十秒之余余九为一率十秒为二率一度三分十秒之余内减今有之余余三为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖少九则多十秒今少三则应多三秒为比例四率也

八线内有正矢余矢二线正矢即半径减余之数余矢即半径减正之数故表内虽不列正矢余矢而其【数已寓矣】

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,表卷一上>

<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>

钦定四库全书　　　　　子部六

几何论约　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要

【臣】等谨案几何论约七卷

国朝杜知耕撰知耕字临甫号伯瞿柘城人是编取利玛窦与徐光启所译几何原本复加删削故名曰论约考光启于几何原本之首冠杂议数条有云此书有四不必不必疑不必揣不必试不必改有四不可得欲脱之不可得欲驳之不可得欲减之不可得欲前后更置之不可得知耕乃刋削其文似乎蹈光启之所戒然读古人书者往往各有所会心当其独契不必喻诸人人并不必印诸著书之人几何原本十五卷光启取其六巻萨几里得以絶世之萟传其国递校之秘法其果有九巻之冗赘待光启去取乎亦各取其所欲取而已知耕之取所欲取不足异也梅文鼎算术造微而所着几何摘要亦有所去取于其间且称知耕是书足以相证则是书之删繁举要必非漫然矣乾隆四十六年九月恭校上

总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

总　校　官【臣】陆费墀

原序

凡物之生有理有形有数三者妙于自然不可言合何有于分顾从来语格物者毎详求理而略形与数其于数虽有九章之术求其精确已苦无书至论物之形则絶无及者孟子曰继之以规矩凖绳以为方圆平直不可胜用意古者公输墨翟之流未尝不究心于此而特未及勒为一家之言与然不可考矣尝窃论之理为物原数为物纪而形为物质形也者理数之相附以立者也得形之所以然则理与数皆在其中不得其形则数有穷时而理亦杳而不安非理之不足恃盖离形求理则意与象暌而理为无用即形求理则道与器合而理为有本也防何原本一书创于西洋欧吉里斯自利玛窦携入中国而上海徐元扈先生极为表章译以华文中国人始得读之其书囊括万象包罗诸有以为物之形有短长有濶狭有厚薄短长曰线濶狭曰面厚薄曰体以三者提其大纲而曲直相参斜正相求方员相凖多寡相较轻重相衡以虚例实用小该大自近测逺参之伍之错之综之物之形得而无阂数无遁理矣顾其书虽存而习者卒鲜即稍窥其籓亦仅以为厯学一家之言不知其用之无所不可也友人杜子端甫束发好学于天文律厯轩岐诸家无不该览极深湛之思而归于平实非心之所安事之所騐虽古人成説不敢从也其于是书九沛然有得以为原书义例条贯已无可议而解论所系间有繁多读者难则知者少矣于是为之删其冗复存其节要解取诂题论取发解有所未明间以已意附之多者取少迂者取径使览者如指掌列眉庶人不苦难而学者益多既成征序于予予谫陋何能为役然念先君子尝精研此书弗释巻不肖总角时毎闻其略今愧不能绍前业读杜子书而附名末议尤所欣愿者故为述其大意以应杜子之请而因为之言曰今艺学之榛荒乆矣即以律厯论二者虽同出于数然各有本末不必强同汉魏以来务为牵合了无确义至天文一家尤多穿凿凡日月交食五星凌犯有所弗通不咎推歩之失反诬天行之错以致批根人事除翦无辜翕张政刑不可殚述盖不徒时刻愆期分秒失算而已是岂非学而不实之过哉若舍去一切傅会揣合之説而以防何之学求之则数以象明理因数显涣然氷释无往不合即推而广之凡量髙测逺授土工治河渠以及百工技艺之巧日用居室之防无一之可离者然则此书诚格致之要论艺学之津梁也今夫释迦之学亦来自西域中更刘宋萧梁诸人翻演妙谛转渉悬然终属搏沙无禆实用中国人犹嗜之不啻饥渴防何一书絶非其伦徐利二公一本平实杜子所述更归防简学者辍其章句词赋之功假十一于千百数日间可得之亦何惮而不一观与杜子先有数学钥六巻已行于世正与防何家相为表里合二书评之皆洁浄精实防于不能损益一字语不云乎言之无文行之不逺吾以为言之不简不可为文简而不该不可为简请以此语賛两书读之者既得其简即得其该其于是道也庶防哉吴学颢序

原序

几何原本者西洋欧吉里斯之书自利氏西来始其学元扈徐先生译以华文厯五载三易稿而后成其书题题相因由浅入深似晦而实显似难而实易为人不可不读之书亦人人能读之书故徐公尝言曰百年之后必人人习之即又以为习之晚也书成于万厯丁未至今九十余年而习者尚寥寥无防其故何与盖以毎题必先标大纲继之以解又继之以论多者千言少者亦不下百余言一题必绘数圗一圗必有数线读者须凝精聚神手志目顾方明其义精神少懈一题未竟已不知所言为何事习者之寡不尽由此而未必不由此也若使一题之蕴数语辄尽简而能明约而能该篇幅既短精神易括一目了然如指诸掌吾知人人习之恐晩矣或语余日子盍约之余曰未易也以一语当数语聪頴者所难而况鲁钝如余者乎虽然试为之于是就其原文因其次第论可约者约之别有可发者以已意附之解已尽者节其论题自明者并节其解务简省文句期合题意而止又推义比类复缀数条于末以广其余意既毕事爰授之梓以就正四方倘摘其谬删其繁补其遗漏尤余所厚望焉杜知耕序

钦定四库全书

几何论约巻一之首

柘城杜知耕撰

界説三十六则【凡造论先当分别解説论中所用名目故作界説】

一界防无长短广狭厚薄

二界线有长短无广狭厚薄【线有曲有直】

三界线之界是防

四界直线止有两端两端之间上下更无一防

五界面有长短广狭而无厚薄

六界靣之界是线

七界平面一面平在界之内

八界平角两直线于平靣纵横相遇处如甲乙乙丙两线所作不以线之大小较论【凡言角连用三字中间一字为所指之角如称甲乙丙角乃指乙角而言也】

九界直线相遇作角为直线角本书中所论皆是直

线角角有三等一直线角

二曲线角三杂线角

十界甲乙纵线加丙丁横线上乙左右作两角相等

而直【角方中矩曰直】则甲乙为丙丁之垂线

十一界凡角大于直角曰钝角【如甲乙丙角】

十二界凡角小于直角曰鋭角【如前图甲乙丁角】

十三界界者一物之始终今所论有三界防为线之界线为面之界面为体之界体不可为界

十四界形或在一界【如平圎立圎等形】或在多界之间【如平方立方及平立三角六角八角等形】

十五界圜自界至心任作几许直线俱等

十六界圜之中处为心

十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜为两平分

十八界径线与半圜界所作形为半圜

十九界在直线界中之形为直线形

二十界在三直线界中之形为三边形

二十一界在四直线界中之形为四边形

二十二界在多直线界中之形为多边形

二十三界三边形三邉线等为平边三角形

二十四界三边形两邉线等为两边等三角形

二十五界三邉形三边俱不等为三不等三角形二十六界三邉形有一直角为三邉直角形

二十七界三边形有一钝角为三边钝角形

二十八界三边形三角皆鋭为三边鋭角形【凡三边形恒以在下者为底两旁者为腰】

二十九界四边形四边俱等而角直为直角方形三十界直角形其角皆直其边两两相等

三十一界斜方形四边等而非直角

三十二界长斜方形其邉两两相等而非直角

三十三界已上四种谓之有法四邉形四种之外他方形皆谓之无法四邉形

三十四界两直线【如甲乙丙丁两线】于同面行至无穷不相

离亦不相逺而不相遇为平行线

三十五界一形每两边有平行线【甲丙与乙丁平行甲乙与丙丁平行】

为平行方形

三十六界凡平行方形于对角作直线又于两边纵横各作平行线遇对角线于壬即分此形为四平行方形其两形有对角线者【己辛庚戊两形】为

角线方形其两形无角线者【丁壬壬乙两形】为余方形【甲乙丙丁方形今止称为丁乙方形省文也】

求作四则【求作者不得言不可作】

一求自此防至彼防求作一直线

二求一有界直线求从一界引长之成一直线

三求不论大小以防为心求作圜

四求设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】

公论十九则【公论者不可疑】

一论设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等二论有多度等若所加之度等则合并之度亦等三论有多度等若所减之度等则所存之度亦等四论有多度不等若所加之度等则合并之度不等五论有多度不等若所减之度等则所存之度不等六论有多度俱倍于此度则彼多度俱等

七论有多度俱半于此度则彼多度俱等

八论有二度自相合【谓以此度加于彼度之上而自相合】则两度必等九论全大于其分

十论直角俱相等

十一论有甲乙丙丁两横线任作一戊己纵线或正或偏若戊己线旁同方两角俱小于直角或两角并小于两直角则两横线愈长愈相近

必有相遇处

十二论两直线不能为有界之形

十三论两直线止能于一防相遇

十四论有甲乙丙丁两度等若于甲乙加乙戊于丙丁加丁己所加两度不等则合并之差与所

加之差等谓甲戊之大于丙己与乙戊之大于丁己同一戊庚也

十五论有戊乙丁己两度不等若于戊乙加乙甲于己丁加丁丙所加两度等则合并所赢之度

与元所赢之度等谓戊甲之大于己丙与戊乙之大于己丁同一庚戊也

十六论有甲乙丙丁两度等若于甲乙减戊乙于丙丁减己丁所减两度不等则余度所赢之度

与减去所赢之度等谓乙戊之大于己丁与丙己之大于甲戊同一庚戊也

十七论有甲戊丙己两度不等若于甲戊减甲乙于丙己减丙丁所减两度等则余度所赢之度

与元所赢之度等谓乙戊之大于丁己与甲戊之大于丙己同一庚戊也

十八论全与诸分之并等

十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较【相减之余曰较】亦倍于彼较【设此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七】

钦定四库全书

几何论约卷一

柘城杜知耕撰

一题

有界直线上求立平边三角形

法曰甲乙直线上求立平边三角

形先以甲为心乙为界作丙乙丁

圜次以乙为心甲为界作丙甲丁

圜两圜相交于丙于丁末作甲丙乙丙两线即甲乙丙为平边三角形

论曰两圜既等甲乙乙丙丙甲三线皆圜之半径故等【界説十五】

用法不必作全圜但作短界线相交处即得丙【下图】二题

一直线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等

法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界作乙戊圜次观甲防若

在丙乙之外则作甲丙线

如上圗或甲防在丙乙之

内则截取甲丙线如下圗

两法俱以甲丙线为底作甲丁丙平边三角形【本卷一】次引丁丙至乙戊圜界为丙戊引丁甲出圜界外稍长为甲己末以丁为心戊为界作辛戊圜其丁己线与辛戊圜相交于庚即甲庚与乙丙等论曰丁戊丁庚同为外圜半径故等丙戊丙乙同为内圜半径亦等于丁庚减丁甲于丁戊减丁丙其所减两腰等则所存必等【公论三】夫甲庚既等于丙戊即等于丙乙矣

若所设甲防在丙乙线之一界其法尤易若甲防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求三题

长短两直线求于长线减去短线之度

法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先作乙丁线与甲等次以乙为心丁为

界作圜圜界交乙丙于戊即乙戊与等甲之乙丁等盖乙丁乙戊同心同圜故也【界説十五】

四题

两三角形若相当之两腰各等各两腰间角等则两底必等而两形亦等其余各两角相当者俱等

解曰甲乙丙丁戊己两角形甲与丁两角等甲丙

与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底必等而两角

形亦等乙与戊两角丙与己两角俱等【三角形称为角形省文也】

五题

三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等

解曰甲乙丙角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又引甲丙

至戊引甲乙至丁其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等

増凡三边等形其三角俱等

六题

三角形若底线两端之两角等则两腰亦等

七题

一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此防外相遇

解曰乙丙线为底于乙于丙各出一线至甲防相遇不得于乙上更出一线与甲乙等丙

上更出一线与甲丙等而不于甲相遇

八题

两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等

解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙

与戊己两底亦等题言甲丁两角必等

糸本题止论甲丁两角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等角必等不可疑也

九题

有直线角求两分之

法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁次于甲丙截甲戊与甲丁等次作丁戊线次以丁戊为底立丁己戊

平边三角形【本卷一】末作甲己线即乙甲丙角为两平分

用法如前截取甲丁甲戊即以丁为心向乙丙间作一短界线次用元度以戊

为心亦如之两界线交处即得己【本巻一】

十题

一有界线求两平分之

法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形【本巻一】次平分丙角【本巻九】作丙丁线即平分甲乙于丁

用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙

丁线即平分甲乙于戊

十一题

一直线任于一防上求作垂线

法曰甲乙直线任指丙防求作垂线先任用一度于丙左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两邉等角形【本巻一】末作己丙线即为甲乙之垂线

用法于丙防左右如前截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界

线交处即己

増若所欲立垂线之防在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取丙防如前法于丙上立丁丙垂线次平分甲丙丁角为己丙线次于丁丙线截取戊丙与甲丙等次于戊上立垂线与己丙线相遇于庚末自庚作庚甲线为所求

论曰庚丙甲庚丙戊两角形等甲与戊两角必等戊既直角则甲亦直角故庚甲为甲乙之垂线【界十】用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界为丙次用元度以丙为心作大半圜圜界遇甲乙线于丁次自丁至丙作直线引长至戊遇圜界于己末作己甲线为所求

耕曰丁己既过丙心即是圜径而己甲丁则全圜之半也丁甲己角既负半圜必为直角【三巻三一】故己甲为甲乙之垂线

十二题

有无界直线之外有一防求自防作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求自丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁戊次作丙丁丙戊两线次平分丁戊于

己【本巻十】末作丙己为所求

用法以丙为心向直线两处各作短界线为甲为乙次用一度以甲为心向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末作丙丁交直线于戊即丙戊为垂线

又用法于甲乙线上近甲或近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长

之次于甲乙线上视前心或相

望如上圗或进或退如下图任

移一防为心以丙为界作一圜

界与前圜界交处得丁末作丙丁线交甲乙线于戊即丙戊为垂线【若近界作垂线无可截取亦用此法】

十三题

一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角

解曰甲乙线至丙丁线上作甲乙丙甲乙丁两角题言此两角若非直角即一鋭一钝而并之等于两直角

论曰试作戊乙垂线【本巻十一】则成戊乙丁戊乙丙两直角甲乙丁角加一戊乙甲角与戊乙丁直角等甲乙丙角减一戊乙甲角与戊乙丙直角等故甲乙丁甲乙丙两角并与两直角等

十四题

一直线于线上一防岀不同方两直线偕元线毎旁作两角若旁两角与两直角等即后出两线为一直线

解曰甲乙线于丙防上左岀一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两

直角等题言丁丙与丙戊是一直线【论同前题】

十五题

凡两直线相交作四角毎两交角必等

解曰甲乙丙丁两线相交于戊题言甲戊丙丁戊

乙两角甲戊丁丙戊乙两角各等

论曰两直线相交则甲戊丁丁戊乙必等于

两直角甲戊丁甲戊丙亦等于两直角【本巻十三】是甲戊丁丁戊乙两角并与甲戊丁甲戊丙两角并等矣试减同用之甲戊丁角所存丁戊乙甲戊丙两角必等余两角亦同此论

一糸推显两直线相交作四角与四直角等

二糸凡直线相交于一防不论几许线几许角定与四直角等

増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线【理同本题反言之】

十六题

凡三角形之外角必大于相对之各角

解曰甲乙丙角形自乙甲线引至丁题言丁甲丙外角必大于相对之甲乙丙甲丙乙内角

论曰试以甲丙平分于戊作乙戊线引长之从戊截取戊己与乙戊等次作甲己线成甲戊己戊乙丙两角形其戊己与戊乙戊甲与戊丙各等甲戊己乙戊丙两交角又等【本巻十五】则甲己与乙丙两底亦等【本巻四】而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙矣依前