御制数理精蕴

钱】次以左负黍十石遍乗右行【稷得三十石价得六十四两四钱】两价得数同名相加【共一百三十八两七钱】为实两稷得数同名相加【共一百九十石】为法除之得七两三钱为稷价【求麦价黍价同二则】

解曰后法同四则

七则

正负同异加减四法

设麦四石黍五石价银一十一两四钱五分又麦五石稷二石价银一十两零四钱六分又黍四石稷七

石价银八

两五钱一

分求三色

价前法曰

列麦四石

黍五石稷空价一十一两四钱五分于右列麦五石黍空稷二石价一十两零四钱六分于左先以右麦四石遍乗左行【稷得八石价得四十一两八钱四分】次以左麦五石遍乗右行【黍得二十五石价得五十七两二钱五分】两行对减左行黍空右黍无减仍得二十五石右行稷空取左稷八石为本位负数价余一十五两四钱一分

解曰右价得五十七两二钱五分为麦二十石黍二十五石之共价左价得四十一两八钱四分为麦二十石稷八石之共价两价对减余一十五两四钱一分即二十五石黍价多于八石稷价之数是以余银并八石稷价方足黍二十五石之价故立负稷八石也余同前则

后法曰列正黍四石正稷七石正价八两五钱一分

于右列余正黍二

十五石余负稷八

石余正价一十五

两四钱一分于左

先以右正黍四石

遍乗左行【稷得三十二石价得六十一两六钱四分】次以左正黍二十五石遍乗右行【稷得一百七十五石价得二百一十二两七钱五分】两价得数同名相减【余一百五十一两一钱一分】为实两稷得数异名相加【共二百零七石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍价麦价同二则】解曰后法同五则

八则

正负同异加减五法

设以稷七石増银四两零七分换麦二石粟九石又以麦三石换稷四石粟四石适平又以麦一石稷一石増银四两九钱一分换粟一十二石求三色价前法曰列正麦二石负稷七石正粟九石正价四两零七分于右列负麦三石正稷四石正粟四石价空于中列负麦一石负稷一石正粟一十二石正价四两

九钱一分

于左先以

右正麦二

石遍乗中

行【稷得八石粟得

八石价空】以中

负麦三石

遍乗右行【稷得二十一石粟得二十七石价得一十二两二钱一分】两稷得数异名相减余一十三石两粟得数同名相加共三十五石中价空无加仍得一十二两二钱一分

解曰右价得一十二两二钱一分是尚欠稷二十一石价不足麦六石粟二十七石之价中价空是稷八石粟八石适等于麦六石之价若减右麦六石即以稷粟各八石补之其价不须増减必相均平矣然右稷乃倒欠之数不可相加故减之减倒欠犹之加正数也

次以左负麦一石遍乗中行【稷仍得四石粟仍得四石价空】以中负麦三石遍乗左行【稷得三石粟得三十六石价得一十四两七钱三分】两稷得数异名相加共七石两粟得数同名相减余三十二石中价空无减仍得一十四两七钱三分

解曰左价得一十四两七钱三分是尚欠麦稷各三石价不足粟三十六石之价中价空是麦三石适等于稷粟各四石之价若减左负麦三石复减正稷正粟各四石其价不须増减必相均平然左非正稷乃倒欠之数不可相减故加之加倒欠犹之减正数也后法曰列余负稷一十三石余正粟三十五石余正价一十二两二钱一分于右列余负稷七石余正粟

三十二石余正价

一十四两七钱三

分于左先以右负

稷一十三石遍乗

左行【粟得四百一十六石价得】

【一百九十一两四钱九分】次以左负稷七石遍乗右行【粟得二百四十五石价得八十五两四钱七分】两价得数同名相减【余一百零六而零二分】为实两粟得数同名相减【余一百七十一石】为法除之得六钱二分为粟价【求麦价稷价同二则】

解曰两稷皆负两粟两价皆正左右相等故法同二色方程

九则

四色方程

设稻一石麦五石黍三石稷七石共价银一十九两零六分又稻八石麦四石黍七石稷六石共价银三十六两七钱三分又稻三石麦二石黍五石稷七石共价银二十两零一钱六分又稻四石麦二石黍六石稷四石共价银二十一两二钱二分求四色价前

法曰列稻一石麦五石黍三石稷七石价一十九两零六分于右列稻八石麦四石黍七石稷六石价三十六两七钱三分于次右列稻三石麦二石黍五石稷七石价二十两零一钱六分于次左列稻四石麦二石黍六石稷四石价二十一两二钱二分于左先以右稻一石遍乗次右行【仍得元数】以次右稻八石遍乗右行【麦得四十石黍得二十四石稷得五十六石价得一百五十二两四钱八分】两行对减麦余三十六石黍余一十七石稷余五十石价余一百一十五两七钱五分次以次右稻八石遍乗次左行【麦得十六石黍得四十石稷得五十六石价得一百六十一两二钱八分】以次左稻三石遍乗次右行【麦得十二石黍得二十一石稷得十八石价得一百一十两零一钱九分】两行对减麦余四石黍余一十九石稷余三十八石价余五十一两零九分末以次左稻三石遍乗左行【麦得六石黍得一十八石稷得一十二石价得六十三两六钱六分】以左稻四石遍乗次左行【麦得八石黍得二十石稷得二十八石价得八十两零六钱四分】两行对减麦余二石黍余二石稷余一十六石价余一十六两九钱八分

解曰前法减稻一色余麦黍稷三色

次法曰列余麦三十六石余黍一十七石余稷五十石余价一百一十五两七钱五分于右列余麦四石余黍一十九石余稷三十八石余价五十一两零九分于中列余麦二石余黍二石余稷一十六石余价一十六两九钱八分于左先以右麦三十六石遍乗中行【黍得六百八十四石稷得一千三百六十八石价得一千八百三十九两二钱四分】以中麦四石遍乗右行【黍得六十八石稷得二百石价得四百六十三两】两行对减黍余六百一十六石稷余一千一百六十八石价余一千三百七十六两二钱四分次以中麦四石遍

乗左行【黍得

八石稷得六十四石

价得六十七两九钱

二分】以左麦

二石遍乗

中行【黍得三十

八石稷得七十六石】

【价得一百零二两一钱八分】两行对减黍余三十石稷余一十二石价余三十四两二钱六分

觧曰次法减麦一色余黍稷二色

后法曰列余黍六百一十六石余稷一千一百六十八石余价一千三百七十六两二钱四分于右列余黍三十石余稷一十二石余价三十四两二

钱六分于左以右

黍六百一十六石

遍乗左行【稷得七千三百

九十二石价得二万一千一百零四

两一钱六分】以左黍三

十石遍乗右行【稷得三万五千零四十石价得四万一千二百八十七两二钱】两价得数对减【余二万零一百八十三两零四分】为实两稷得数对减【余二万七千六百四十八石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍麦稻价同二则】

解曰后法同二色方程五色六色以上仿此○按方程之要在加减加减之闗键在首位【谓第一横行】首位同名则异名相加同名相减首位异名则同名相加异名相减然大略如是亦有不尽然者有应减者无可减而反加之有应加者无可加而反减之变化无穷【数学钥卷五下之下】

亦存乎人之自悟耳

<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>

钦定四库全书

数学钥卷六凡例

柘城杜知耕撰

凡例

一则

纵曰股衡曰勾斜曰

二则

股大于勾者曰勾股较大于勾者曰勾较大于股者曰股较勾股并大于者曰和较

三则

勾股并曰勾股和勾并曰勾和股并曰股和勾股并曰勾股和亦曰和和

四则

勾股较加股较即勾较勾较减股较即勾股较和较加勾较即股和较加股较即勾和较加勾较股较即勾股较减股和即勾和勾股和加股较即勾和股和减勾和即勾股较股和减勾股和即勾较勾股较加勾股和半之为股勾股和减勾股较半之为勾股较加股和半之为股和减股较半之为股勾较加勾和半之为勾和减勾较半之为勾【用乗除开方相求者不在此例】

五则

或方形或直形有对角斜线者曰角线形

数学钥卷六凡例

钦定四库全书

数学钥卷六目録

柘城杜知耕撰

勾股

一则勾股求

二则勾求股

三则股求勾

四则勾股积及勾股较求

五则及勾股较求勾股积

六则及勾股积求勾股较

七则及勾股和求勾股较

八则勾股和及勾股积求

九则勾股和及勾股积求勾股较

十则及勾股较求勾股和

十一则勾股积及勾股较求勾股和

十二则及勾股积求勾股和

十三则勾和股和求勾股

十四则股及勾较求勾与

十五则勾及股较求股与

十六则股羃及勾较求勾和

十七则勾羃及股较求股和

十八则股羃及勾和求勾较

十九则勾羃及股和求股较

二十则勾较股较求勾股

二十一则相连之勾股求

二十二则相连之股求勾

二十三则相连之勾求股

【増】二十四则勾股形求对角之垂线

二十五则勾股形于上求自两角至垂线之度二十六则勾股形求容方一法

【西法】二十七则勾股形求容方二法

二十八则勾股形求容圆

【西法】二十九则勾股形求外切圆

三十则容方之勾股形以余勾余股求方边及全勾全股

三十一则容方之勾股形以余股及方边求余勾三十二则容方之勾股形以余勾及方边求余股三十三则日晷测髙

三十四则一表测髙

三十五则一表测逺

三十六则一表测广

三十七则一表测深

三十八则重表测髙逺

三十九则重表测广深

四十则测逺之逺

数学钥巻六目録

钦定四库全书

数学钥卷六

柘城杜知耕撰

勾股

一则

勾股求

设勾六尺股八尺求法曰置勾股各自乗【勾得三十六尺股得六十四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求解曰不论勾股相等与否勾上方形及股上方形并

必与上方形等如甲乙丙

勾股形甲乙勾与丙乙股等

试作乙丁等髙同底方形其

边与甲乙等必为勾上方又

与丙乙等亦必为股上方再

作戊巳外切方形其边与甲丙等即为上方若于形内减去乙丁方形余甲乙戊等四三角形并之复等一乙丁方形【一卷十一则】以乙丁为勾方以等乙丁之四三角形为股方并之不等于戊巳方乎又如庚

辛壬勾股形庚辛短辛壬长

勾与股不相等者于庚辛勾

辛壬股庚壬上各作方形

为庚癸辛子辛丑次作辛寅

辛癸辛辰壬丑庚子五线几

何原本云庚辛壬与庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直线依显庚辛辛巳亦一直线又壬庚辰与辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰与壬庚丑两角亦等依显辛壬癸庚壬子两角亦等又庚

辛辰三角形之辛庚庚

辰两边与庚壬丑三角

形之丑庚庚壬两边等

辛庚辰与壬庚丑两角

复等则对等角之辛辰

与壬丑两边亦等而此

两三角形亦等矣夫辛

丑方形倍大于同庚丑底同在平行线内之庚壬丑三角形【一卷八则既谓直形等于平行线内同底之象目形则必能倍大于平行线内同底之三角形】而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行线内之庚辛辰三角形则辛丑方形不与辰卯直形等乎依显辛子方形与癸卯直形等则癸庚一形与辛子辛丑两形并等矣法以勾股各自乗求勾股上两方形也两形并则为上之方积故平方开之得也二则

勾求股

设勾六尺十尺求股法曰置勾各自乗【勾得三十六尺得一百尺】两数相减【余六十四尺】平方开之得八尺即所求解曰上方积当一勾一股上方积于积内减去勾积所余非股积而何故平方开之得股

三则

股求勾

设股八尺十尺求勾法曰置股各自乗【股得六十四尺得一百尺】两数相减【余三十六尺】平方开之得六尺即所求解曰积内减去股积所余必勾积故平方开之得勾

四则

勾股积及勾股较求

设勾股积二十四尺勾股较二尺求法曰置勾股积四因之【得九十六尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求

解曰甲乙丙

勾股形与戊

巳甲丁庚戊

乙辛丁三勾

股形等甲丙

为甲乙丙形之股甲巳为戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳余己丙则勾股较也丙辛辛庚庚巳各与己丙等是己辛为勾股较上方形又甲乙为甲乙丙形之而丁乙戊丁甲戊各与甲乙等是甲丁为上方形今并五形成一甲丁方形则是一上方形与四

勾股积一勾股较上方积并等矣

故四因勾股积并入勾股较自乗

之积平方开之得也又如壬子

癸勾股形壬子勾与子癸股等四

形并即成一壬丑上方形而无余凡遇勾股相等之勾股形四因积平方开之即得度

五则

及勾股较求勾股积

设十尺勾股较二尺求勾股积法曰置与勾股较各自乗【得一百尺勾股较得四尺】两数相减【余九十六尺】以四归之得二十四尺即所求

解曰上方积减去勾股较上方积必余四勾股积故四归之得一勾股积

六则

及勾股积求勾股较

设十尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求

解曰上方积减去四勾股积所余必勾股较上方积故平方开之得勾股较

七则

及勾股和求勾股较

设十尺勾股和一十四尺求勾股较法曰置自乗

【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和

自乗【得一百九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求

解曰甲巳方形内凡八勾股

形而皆等乙戊为戊丁乙形

之股甲乙为乙丙甲形之勾甲乙乙戊并得甲戊乃勾股和也余三边皆等于甲戊是甲己为勾股和上方形又丙丁为上方形辛壬为勾股较上方形【本卷

四则】夫上方形内得勾股形

四及勾股较上方形一勾股

和上方形内得勾股形八及

勾股较上方形一是一勾股

和上方形当上方形二而

少一勾股较上方形也故倍

羃减勾股和自乗之积平方开之得勾股较八则

勾股和及勾股积求

设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余一百尺】平方开之得十尺即所求

解曰勾股和上方大于上方者四勾股积也故相减开方得

九则

勾股和及勾股积求勾股较

设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积八因之【得一百九十二尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求解曰勾股和上方大于勾股较上方者八勾股积也故相减开方得勾股较

十则

及勾股较求勾股和

设十尺勾股较二尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数相减【余一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求

解曰倍上方积大于勾股和上方积者勾股较上方积也故相减开方得勾股和

十一则

勾股积及勾股较求勾股和

设勾股积二十四尺勾股较二尺求勾股和法曰置勾股积八因之【得一百九十二尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求解曰即九则法反用之

十二则

及勾股积求勾股和

设十尺勾股积二十四尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求

解曰即八则法反用之

十三则

勾和股和求勾股

设勾和一十六尺股和一十八尺求勾股法曰置勾和股和相乗【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方开之得二十四尺为勾股和与勾和相减

余八尺即股与股和相减

余六尺即勾与二勾一股相

减余十尺即

解曰甲乙直形为勾和股

和矩内形乙丁乙丙皆与

等丁戊与勾等丙庚与股等则己乙必为方巳戊必勾矩内形己庚必股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形为勾股和上方形壬癸壬子皆与等癸丑子寅皆与股等丑卯寅辰皆与勾等则

巳壬必为

方午巳必为

股方辛午必

为勾方未癸

申子必皆股

矩内形酉

丑戌寅必皆勾矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形与甲乙直形较则未癸申子并倍于己庚酉丑戌寅并倍于巳戊午酉午戌并倍于甲巳又午巳股方与辛午勾方并与己壬方等是己壬午巳辛午三形并复倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股和上方形一与勾和股和矩内形二并等矣故以勾和乗股和倍而开方得勾股和也于勾股和内减去一一股所余必勾减去一一勾所余必股减去一勾一股所余必也

十四则

股及勾较求勾与

设股八尺勾较四尺求勾法曰置股自乗【得六十四

尺】另置勾

较自乗【得一十六

尺】两数相减

【余四十八尺】折半

【得二十四尺】以勾

较除之得

六尺即勾加勾较得十尺即

解曰甲乙为上方形丙丁为勾上方形戊巳为勾较上方形于甲乙方内减去丙丁勾方所余必股上方积成一辛壬癸磬折形再减去勾较上方形所余必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁为濶丙庚庚丁为长甲丙乙丁即勾较也丙庚庚丁为勾上方形之边即勾也法以两数相减所余者即二直形也折半者取二直形之一也以勾较除之得勾者即以濶除积得长也○或以两数相减之四十八尺为实倍勾较除之亦得勾○或以股自乗为实以勾较除之得数减勾较折半亦得勾

十五则

勾及股较求股与

设勾六尺股较二尺求股法曰置勾自乗【得三十六

尺】另置股较自乗【得四尺】两

数相减【余三十二尺】折半【得一十六尺】以股较除之得八尺即股

加股较共十尺即

解曰甲乙方内减去丙丁

股方戊巳股较方所余必甲

庚庚乙两直形折半则得一直形故以股较除之得股十六则

股羃及勾较求勾和

设股羃六十四尺勾较四尺求勾和法曰置股

羃为实以勾较除之

得一十六尺即所求

解曰十四则辛壬癸磬

折形其甲乙元与等

丙丁元与勾等若移癸

于戊则成辛壬戊直形以勾较为濶勾和为长矣故以勾较除股羃得勾和

十七则

勾羃及股较求股和

设勾羃三十六尺股

较二尺求股和法曰

置勾羃为实以股较

除之得一十八尺即所

求

解曰十五则辛壬癸磬折形其甲乙元与等丁丙元与股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股较为濶股和为长矣故以股较除勾羃得股和十八则

股羃及勾和求勾较

设股羃六十四尺勾和一十六尺求勾较法曰置股羃为实以勾和除之得四尺即所求

解曰即十六则法反用之

十九则

勾羃及股和求股较

设勾羃三十六尺股和一十八尺求股较法曰置勾羃为实以股和除之得二尺即所求

解曰即十七则法反用之

二十则

勾较股较求勾股

设勾较四尺股较二尺求勾股法曰置勾较股较相乗【得八尺】倍之【得一十六尺】平方开之【得四尺】加股较得六尺即勾加勾较得八尺即股加勾

较股较得十尺即

解曰甲乙为方丁乙为勾

方甲丙为股方以丁乙勾方

甲丙股方错综加于甲乙

方之上必缺戊巳庚辛二直

形而重一丁丙方形然丁丙

方形必能补二直形之缺而与之等何也丁乙勾方甲丙股方并等于甲乙方若丁丙方形或大或小于二直形则是勾方股方并不与方等矣夫勾方股方并既与方等则二直形并亦必与丁丙方形等法以两较相乗而倍之者求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾较为长以壬巳癸庚股较为濶】平方开之者求丁丙方形之一边也以一边加股较之癸庚得癸丁即勾加勾较之戊壬得丙壬即股加一勾较之戊壬一股较之癸庚得癸丁及戊壬即

二十一则

相连之勾股求

设圆柱髙二十尺周三尺以索绕柱七周与柱适齐

求索长法曰置柱周

三尺以索绕七周因

之【得二十一尺】自乗【得四百四

十一尺】另置柱髙自乗

【得四百尺】两数并【共八百四十一

尺】平方开之得二十

九尺即所求

解曰索绕柱七周即

七叚勾股也柱髙二十尺为七股七周二十一尺为七勾索长为七也此条元当七归柱髙取七股之一用勾股求法得数七因之为长然七归二十尺乃畸零不尽之数不得不七因勾以就股也以柱髙为股即并丁戊等七小股成一丙乙大股以七周为勾即并甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股并既同于大勾大股而总求一甲丙大有不同于甲丁等七小并乎故求甲丙大为索长也二十二则