数学

【半径与己角余若甲己正切与丁己正切】戊丁【半径与戊角正切若甲戊正与戊丁正切】并得己戊即丙乙因以求甲角若欲先知甲角即于丁戊甲分形求之【半径与戊角正切若甲戊余与甲角余切】因以求乙丙边【丙角正与乙甲正若甲角正与乙丙正】

垂弧又法第五支【乙甲丙形有三边内有乙甲丙甲二边相同而皆为过弧求三角】

本法用次形作垂弧求之今按此亦

可用加减防法用甲角角旁两弧同

度则加减有变例检环中黍尺五卷

补遗用

垂弧又法第六支【乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间】

本法引乙丙乙甲满半周防于戊成

甲戊丙次形作垂弧于次形外以求

之今按此亦可易角为边易边为角

依加减防法求之径得乙角【因以求二边】

垂弧又法第七支【乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对】

法引设边成丙戊甲次形【戊为乙对角与乙角等】作垂弧于次形外此或先求乙丙【乙角正与甲丙正若甲角正与乙丙正】减半周得

丙戊或先求丙戊【戊角正与丙甲正若甲外角正

与丙戊正】减半周得乙丙次求丁甲【甲外

角余与半径若甲丙正切与甲丁正切】丁戊【戊外角正割与半径

若丙戊正切与丁戊正切】以丁戊减丁甲余为

戊甲以戊甲减半周余为乙甲因以求丙角【若欲先知丙角先求甲丁对边即可求得丙角】

垂弧又法第八支【乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边丙乙丙甲】

本法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引

丙戊防于丁可求乙甲边及甲乙二

角今按此亦可用加减防法径求乙

甲对边以求二角

垂弧又法第九支【乙甲丙形有甲钝角有乙丙边与角对丙甲边与角连】

法用丙戊甲次形自丙角作垂弧与

甲戊引长边防于丁此当先求乙角

【本形有甲丙对边比例】即戊角【对角等】次求丁甲

与丁戊【与第七支求法同】于丁甲内减丁戊

为甲戊即得乙甲【法同七支】因以求丙角

次形

斜弧三角求边必弧角互易用次形求之图与算例皆详明矣然易角为边有用本角度有用外角度恐易混淆今为厘定开例如左庶用之无误

凡三角俱鋭者在圆周之两角用本角度其交角用外角度【凡三边必有一边就圆周凡三角必有两角在圆周余一角为交角】

凡三角俱钝者皆用外角度

凡两钝一鋭钝在圆周鋭在交角者亦犹三角俱钝皆用外角度

凡两钝一鋭鋭在圆周者用本角度其两钝一在圆周者用外角度一在交角者用本角度

凡两鋭一钝鋭在圆周者用本角度钝在交角者用外角度

凡两鋭一钝鋭在圆周者用本角度在交角者用外角度钝在圆周者亦用外角度

方圆幂积比例补

勿庵先生有方圆幂积一卷凡方圆周径面体比例详矣愚思之尚有方分圆分比例一法从来算家只言幂积不言圆分而范蜀公论律云古者以竹为律竹形本圆今以方分置算此律非是算法圆分谓之径围方分谓之方斜今圆分而以方法算之此算数非是圆分始见于此圆体用圆分置算亦有至理平圆有平圆分立圆有立圆分得其方分圆分之比例则有大小不等之浑圆欲得倍数之差但借立方算之其得数甚真亦甚防故为补此一法

先论圆方

算家命平方如棋局之罫者谓之幂合计之谓之积夫有平幂亦当有平员之分合众小员之分亦可谓平员之积由是而为立员亦可谓立员分立员积矣夫所谓员分者非若句股容员虚其四隅也非若方体圆体中容得几个圆球球间尚有空隙也大小相容全无隙罅但有圆之数而无圆之形是所谓员分员积也【如以分作九复碎丸成粉入大圆中谓此大员能容几个粉丸】

平方平员

方径一十　　幂积一百

员径一十　　幂积七十八又五三九八一六

员积一百

方员有相应之理方员同径员者刓其四角故幂积七十八有竒若员中复容员必与同径之方等积大员与小员犹之大方与小方也此为浑员立方比例之根

立方立员

立方径一十　　立方面幂六百

立员径一十　　立员面幂三百一十四又一五九二

六五

立员面员分六百

立员即浑员浑圆面幂与员径上平幂若四与一故四倍平员面幂【七八五三九八一六】而得三一四一五九二六五立方有六面则有六百与浑员面幂若六与三一四一五九二六五而浑员面上之员分则又与立方面幂等

立方径一十　　立方积一千

立员径一十　　立员积五百二十三又五九八七七五

立员员分积一千

立方立员同径又刓去立方之八角则其积之比例若六与三一四一五九二六五故立方积一立员积五二三五九八七七五犹之立方面幂六而立员面幂三一四一五九二六五也积与幂既同比例矣则立员员分积亦必与立方积等犹之立员面员分与立方面幂等也然则平幂面幂体积方与方员与员其数皆等借立方可算立员而大小员球之差数睹矣

借立方算立员

立方径自乘又以径乘之得积○立员亦径自乘又以径乘之得立员员分积

求大小员差几倍数

大小员各算得积以积相较得差数若干倍

假如

今有大员径三十六小员径六径之差六倍实体差若干倍

答曰大员比小员差二百一十六倍

法以大员径自乘再乘得积四万六千六百五十六小员径自乘再乘得积二百一十六其差亦二百一十六倍【小员径自乘即大员径故差数与积数等二百一十六自乘亦即四万六千六百五十六】

又法以两径差倍数自乘又以倍数乘之所得亦同

今有大员径一十五万小员径八千径之差十九倍弱实体差若干倍

答曰大员比小员差六千五百九十倍竒

法以十五万自乘再乘大数三三七五以八千自乘再乘小数五一二大数为实小数为法除实得六千五百九十余实三三七四○八几尽故差六千五百九十倍竒【大小数相差甚逺借十九倍数自乘再乘得六千有竒故知首位是六千不用十九倍数算者不正得十九倍也】

此日月实体约畧差数也利西泰云日大于月六千五百三十八倍竒亦相近

今有大员径十五万小员径二万八千二百七十四径之差五倍有竒实体差若干倍

答曰大员比小员差一百四十九倍竒

法以小员自乘再乘得二二六○二七七五为小数大员大数如前以大数为实小数为法除实得一百四十九几尽故差一百四十九倍有竒

此日与地实体约畧差数也利西泰云日大于地球一百六十五倍竒盖利算日径不啻十五万里

今有大员径二万八千二百七十四小员径八千径之差三倍半有竒实体差若干倍

答曰大员比小员差四十四倍竒

法以大员积二二六○二七七五为实小员积五一二为法除之得四十四除实二二五二八不尽故差四十四倍竒

此地与月实体约畧差数也利西泰云地大于月三十八倍竒盖利算月径不啻八千里

右法算浑圆大小相较之差径防如此是亦少广之一法不可缺也西人言日大于地五倍有竒又云一百六十五倍有竒两数甚相悬今为补此一法则日大于地实体与圆径迥殊不足诧异矣

授时弧矢割员论

勿庵先生员容方直简法附授时厯弧矢割员图又附求黄赤内外度及黄赤道差法论之云割员之算始于魏刘徽至刘宋祖冲之父子尤精其术唐宋以算学设科古书犹未尽亡邢台盖有所本又云郭法用员容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乘方以先得矢西用八线故先得又西专用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用种种各别而不害其同有所以同者在耳且夫数者所以合理也厯者所以顺天也法有可采何论中西理所当明何分新旧在善学者知其所以异又知其所以同去中西之见以平心观理则弧三角之详明郭图之简括皆足以资探索而启深思务集众长以观其防通母拘名相而取其精粹

永按员者径一围三古人之恒言算家之麤率精于算者觉其未密因有割员之术刘祖二家各有其率盖欲细求周径之数以究平员之理未甞剖之为度析之为分一一纪其纵横之线以为测天之用也而算家相承仍用粗疎之率立弧矢之法或欲以曲承直则用三乘方法求矢或欲以直求曲则因矢以求半背差夫弧背为曲线矢为直线亘古无相通之率不相通而强求之其所求得之数必非真数也甞读唐荆川先生弧矢论攷其求背差之法所得者犹是径一围三六边之周耳【古法求背差以矢自乘为实以径为法除实得半背差倍之得全背差假令半径五自乘二十五径十除之得二五倍之得五加于径则半周十五又如径十而矢一者通六余通八余矢二以矢一自乘以径除之得小数一倍之得二为背差又以余矢二自乘以径除之得小数四倍之得八为背差合两通十四加两差一半周亦得十五皆径一围三之半周】又攷邢氏律厯考衍三乘方求矢法迂曲烦难究其所得仍是围三径一耳此繇八线表未传不得不如此立算其得数之非真虽前人亦未甞觉也郭太史之求黄赤内外度也先用带从三乘方求各度矢则得矢不真矣其既得黄赤内外半弧也又以矢度求半背差加入半弧得内外半弧背则弧度亦非真其求黄赤差法以黄道矢求半背差减黄道度得黄道半弧则得不真矣其既得赤道半弧也又求半背差以加半弧得赤道则赤道度亦非真夫表端者景正源洁者流清径一围三其本先失而欲数之不谬也得乎八线之法至矣剖析大员细至分秒无非真数以此测天丝毫莫能遁勿庵先生与郭法相提而论谓种种各别不害其同有所以同者在愚谓郭图之矢犹八线之矢也其句股皆八线所有之句股也究之郭法西法终莫能同有所以不同者在耳先生谓当去中西之见平心以观理夫理有真亦有似使其似是而未真则与真者相提而论虽欲比而同之不可得矣

先生于郭法各添注求黄道矢与则注云本法如此原法如此【见前】求内外半弧背及赤道则注云原法如此【见前】今省夫存其本法而不论其法之是与非岂不欲苛求古人与原法所有而今省岂微觉其法之未善与愚岂敢苛论古人哉亦谓理数精微不能两是宁割爱于古人耳

授时平立定三差辩

勿庵先生云授时厯于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垜积【一作叠】招差立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶载攷厯草并以盈缩日数离为六段并以段目除其段之积度得数乃相减为一差一差又相减为二差则其数齐同乃縁此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为每日之定差矣若其布立成法则直以立差六因之以为每日平立合差之差此两法者若不相而其术巧防从未有能言其故者余因李世德孝亷之疑而试为思之其中原委亦自厯然爰命孙防成衍为垜积之图得书一卷

又云平立定差之法古无其术乃郭太史所创为以求七政盈缩之度所以造立成之根本也据云依立招差又云依垜叠立招差则似古算术中原有其法而今采用之然不可攷矣愚因李问为之衍算颇觉其用法之巧焉

永按郭太史时八线表未传中土以三差法求七政盈缩固巧矣愚窃谓其数之不真凡圆体参差截为数段前后相较其畸零之数无时而尽今以段目除积度相较至再而即齐同无是理也凡相差之尾数前后疎密必不均用时有収有弃未有能截然齐一者今恒六因立差以为每日平立合差之差则其差有常尾数不变【如太阳盈初缩未限平立合差之尾数恒为八四○六二其较以六缩初盈末限平立合差之尾数恒为二四六八○其较以二则盈缩加分盈缩积度之尾数皆有定率太阳如此其他可知】平圆中亦必无此差率也以至圆之体而欲以平方立方之差求之圆凿方枘岂能相入哉或曰郭氏于七政各分段目测之其数盖得之积候未可谓其无凭也曰凡以仪器测天虽极精密亦及度分而止必不能得其秒微各段相较至二差而齐同皆秒微之数则其积度畸零之小数必有迁就于其间者矣观太隂迟疾立成其损益积度至于五度四二九三有竒较西法加减均数为赢而又不知有二三均加减则其日逐测到之度岂尽与天密合哉平圆中自然之差数八线表尽之矣使平立定三差之法果符天运则八线亦可不立既有八线之精算为一切测圆之凖绳则此外更无岐途别径亦无取乎三差之巧矣于古人之法深究其根存而勿用可也

数学卷八

钦定四库全书

续数学卷一

婺源江永撰

正弧三角疏义

目録

【分支列目随其所欲求者因目以检后题】

第一支

有正角有余角有对正角之边而求两边一角

【凡正弧三角钤记甲为正角乙为余角丙为交角乙丙为对正角之边丙甲为对余角之边乙甲为对交角之边】

求对余角之边【第一题】

求对交角之边【第二题】

求交角【第三题】

第二支

有正角有余角有对余角之边而求两边一角

求对正角之边【第四题】

求对交角之邉【第五题】

求交角【第六题】

第三支

有正角有交角有对正角之边而求两邉一角

求对交角之邉【第七题】

求对余角之邉【第八题】

求余角【第九题】

第四支

有正角有交角有对交角之邉而求两邉一角

求对正角之邉【第十题】

求对余角之邉【第十一题】

求余角【第十二题】

第五支

有正角有角旁相连之两邉而求一邉两角

求对正角之邉【第十三题】

求余角【第十四题】

求交角【第十五题】

第六支

有正角余角夹一边而求两边一角

求对正角之边【第十六题】

求对余角之邉【第十七题】

求交角【第十八题】

第七支

有正角交角夹一邉而求两邉一角

求对正角之邉【第十九题】

求对交角之邉【第二十题】

求余角【第二十一题】

第八支

有正角有对正角交角之邉而求一邉两角

求对余角之邉【第二十二题】

求交角【第二十三题】

求余角【第二十四题】

第九支

有正角有对正角余角之邉而求一邉两角

求对交角之邉【第二十五题】

求余角【第二十六题】

求交角【第二十七题】

第十支

有三角求三邉

求对正角之邉【第二十八题】

求对余角之邉【第二十九题】

求对交角之邉【第三十题】

已上正法已具

第十一支

不用正角以余角交角二邉相对相求

余角交角偕对余角之邉求对交角之邉【第三十一题】交角余角偕对交角之邉求对余角之邉【第三十二题】对余角交角之邉偕余角求交角【第三十三题】

对交角余角之邉偕交角求余角【第三十四题】

正弧三角形

甲为正角　乙为余角　丙为交角

圆内全形图及解义详后

分题举法

第一支【有正角有余角有对正角之边求两边一角】

第一题

有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求对乙角丙甲邉法曰半径【即甲角正后仿此】与乙角正若乙丙正与丙甲正【凡首举者为一率言与者为二率言若者为三率后言与者为四率凡数以二率三率相乘为实以一率为法除之而得第四率为所求之数凡二率可易为三三率可易为二凡半径为全数在首率者升位可省除在中间者升位可者乘后仿此】

第二题

有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求对丙角乙甲边法曰半径与乙角余若乙丙正切与乙甲正切

第三题

有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求丙角

法曰半径与乙角正切若乙丙余与丙角余切第二支【有正角有余角有对余角之邉而求两邉一角】

第四题

有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求对甲角乙丙邉法曰乙角正与半径若丙甲正与乙丙正若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余割若丙甲正与乙丙正

第五题

有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求对丙角乙甲邉法曰乙角正切与半径若丙甲正切与乙甲正若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余切若丙甲正切与乙甲正

第六题

有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求丙角

法曰丙甲余与半径若乙角余与丙角正第三支【有正角有交角有对正角之邉而求两邉一角】

第七题

有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求对丙角乙甲邉法曰半径与丙角正若乙丙正与乙甲正

第八题

有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求对乙角丙甲邉法曰半径与丙角余若乙丙正切与丙甲正切

第九题

有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求乙角

法曰乙丙余与半径若丙角余切与乙角正切【首率易半径则次率易乙丙正割】

第四支【有正角有交角有对交角之邉而求两邉一角】

第十题

有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对甲角乙丙邉法曰丙角正与半径若乙甲正与乙丙正若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余割若乙甲正与乙丙正

第十一题

有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对乙角丙甲邉法曰丙角正切与半径若乙甲正切与丙甲正若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余切若乙甲正切与丙甲正

第十二题

有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对乙角

法曰乙甲余与半径若丙角余与乙角正【首率易半径则次率易乙甲正割】

第五支【有正角有角旁相连之两邉而求一邉两角】

第十三题

有甲角有乙甲邉丙甲邉求对甲角乙丙邉

法曰半径与丙甲余若乙甲余与乙丙余

第十四题

有甲角有乙甲邉丙甲邉求乙角

法曰乙甲正与半径若丙甲正切与乙角正切若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲余割若丙甲正切与乙角正切

第十五题

有甲角有乙甲邉丙甲邉求丙角

法曰丙甲正与半径若乙甲正切与丙角正切若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲余割若乙甲正切与丙角正切

第六支【有正角余角夹一邉而求两邉一角】

第十六题

有甲角有乙角有乙甲邉求对甲角乙丙邉

法曰乙角余与半径若乙甲正切与乙丙正切若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角正割若乙甲正切与乙丙正切

第十七题

有甲角有乙角有乙甲邉求对乙角丙甲邉

法曰半径与乙角正切若乙甲正与丙甲正切

第十八题

有甲角有乙角有乙甲邉求丙角

法曰半径与乙角正若乙甲余与丙角余第七支【有正角交角夹一邉而求两邉一角】

第十九题

有甲角有丙角有丙甲邉求对甲角乙丙邉

法曰丙角余与半径若丙甲正切与乙丙正切若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角正割若丙甲正切与乙丙正切

第二十题

有甲角有丙角有丙甲邉求对丙角乙甲邉

法曰半径与丙角正切若丙甲正与乙甲正切

第二十一题

有甲角有丙角有丙甲邉求乙角

法曰半径与丙角正若丙甲余与乙角余第八支【有正角有对正角交角之邉而求一邉两角】

第二十二题

有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙甲邉

法曰乙甲余与半径若乙丙余与丙甲余若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲正割若乙丙余与丙甲余

第二十三题

有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙角

法曰乙丙正与半径若乙甲正与丙角正若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若乙甲正与丙角正

第二十四题

有甲角有乙丙邉乙甲邉求乙角

法曰乙丙正切与半径若乙甲正切与乙角余若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若乙甲正切与乙角余

第九支【有正角有对正角余角之邉而求一邉两角】

第二十五题

有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙甲邉

法曰丙甲余与半径若乙丙余与乙甲余若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲正割若乙丙余与乙甲余

第二十六题

有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙角

法曰乙丙正与半径若丙甲正与乙角正若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若丙甲正与乙角正

第二十七题

有甲角有乙丙邉丙甲邉丙甲邉求丙角

法曰乙丙正切与半径若丙甲正切与丙角余若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若丙甲正切与丙角余

第十支【有三角求三邉】

第二十八题

有甲角乙角丙角求乙丙邉

法曰乙角正切与半径若丙角余切与乙丙余【首率易半径则次率易乙角余切】

第二十九题

有甲角乙角丙角求丙甲角

法曰丙角正与半径若乙角余与丙甲余【首率易半径则次率易丙角余割】

第三十题

有甲角乙角丙角求乙甲邉

法曰乙角正与半径若丙角余与乙甲余【首率易半径则次率易乙角余割】

已上皆有甲角半径者正法已具其不用甲角者别为一支四题如左

第十一支【不用正角以余角交角二邉相对相求】

第三十一题

有乙角丙角丙甲邉求乙甲邉

法曰乙角正与丙甲正若丙角正与乙甲正

第三十二题

有丙角乙角乙甲邉求丙甲邉

法曰丙角正与乙甲正若乙角正与丙甲正

第三十三题

有乙角有丙甲乙甲邉求丙角

法曰丙甲正与乙角正若乙甲正与丙角正

第三十四题

有丙角有乙甲丙甲邉求乙角

法曰乙甲正与丙角正若丙甲正与乙角正平圆正三角图

天上随处皆可作弧三角此姑

以黄赤道图之己辛癸丁圆为

极至交圈己为北极辛乙丁为

赤道庚为黄极壬乙戊为黄道

壬为冬至乙为春秋分戊为夏