数学

又互有同异视之若无测之实有纷纶交错条贯秩然虽有大巧莫能摹肖是大圜中之至巧

论日差

问厯书日躔有日差表月离又有日差表交食有加减时表月离之日差表与加减时同但加减倒用【加减用时为平时】若日躔日差其数絶异何也曰梅先生尝疑日躔表説支离混此事当究其源而论之凡云时者有二一为十二时之数太阳一日东升西没徧厯太虚常静之天均剖之为十二段所以纪出没永短节气朔望之节度者也一为十二时之位人所居之方必有正南正北之子午圏视太阳正当午位为午正其对冲为子正从此分十二宫者所以为测候七政之用者也此二者皆以赤道为宗平剖赤道一宫得三十度一时应之数与位其根本同所以有日差者一由太阳有平行视行而有均度之差一由赤道黄道正升斜升而又有升度之差是以厯家所算之时刻与太阳所到之方位略有不同所算者实时平时所到者视时用时也日躔日差表説亦明言日差之故有二一由太阳平视两行差一由两道正球升度差及其解説作表之法却不分明而所定各节气加减分数亦絶不可解【后详言之】宜勿庵先生讥之然月离交食二表只説黄赤升度差立算而不论太阳之加减差疑其法之未确先生始疑日差有二根当立二表后又自谓不确而别为之説谓西厯之传各有师授不同日躔表之兼用二根或是初説其平时定时乃测騐之实用必是后来之説宜只用月离交食二表为是愚向者亦未敢断其是非后考之厯象考成所以求用时者兼用均度升度二差而日躔日差表弃而不用则二根兼用者为是先生始谓当立二表者亦是而日躔之日差表立算未真解説支离洵不可承用也太阳平视两行差当从最卑最高起算至春分则积二度有竒减时当八分有竒而表以春分起算谓春分平视两行略等此时无加减分夫春分既无加减则秋分宜亦无加减表于秋分则加十六分时差十六分当天之四度此四度之差从何得之其不可解一也高卑加减之极在三宫九宫升度加减之极在四立节四立节之加减最大者不过九分五十六秒谓升度差最大者二度半稍弱也以此为限再以平视两行差加减之相去不甚逺表于立春减八分立夏加十一分立秋加三分立冬加二十四分何若是不均其不可解二也二根加减其数常均合之当亦必均表于初宫十九度后始有减分减至春分而极春分后则恒用加计一岁加减之数减者一而加者四其不可解三也合二根加减不过十八分有竒两大之限不同时又不能及此数而表之加分大者二十四分当天六度此数又从何得之其不可解四也升度差有定时而太阳髙卑有行度其两行之差不恒系于节气表乃合之为一若可恒用者然其不可解五也此表监中承用数十年近始遵用厯象考成岂久之始觉其未确乎

厯象考成求用时之法云以本日太阳均数变时得均数时差【本注云均数为加者时差为减均数减者时差为加】又以本日太阳黄赤经度相减余数变时得升度时差【注云二分后为加二至后为减】乃以两时差相加减为时差总【注云两时差同为加者则相并为总其号仍为加同为减者亦相并为总其号为减两时差一加一减者则相减为总加数大为加号减数大为减号】若算太阴平行则以时差总化秒与一小时太阴平行相乗为实以一小时化秒为法除之得数为秒以分收之得时差行以加减太阴平行【时差总为加者则减为减者则加】为用时太阴平行若算交食求实朔实望用时则以时差总加减实朔实望为实朔实望用时按此求时差之法甚分明观此可知日躔表之误而月离交食二表仅得其半于理亦未尽矣究之亦不必立两表惟以交食加减时表为主而以均度变时差加减之盖变时之法甚易一度变时之四分十五分变时之一分一分变时之四秒可约而知不必须表也【加减时表当正其名曰黄赤升度时差表】

黄赤升度之时差易见太阳均度之时差难知均度所以有时差者何也太阳在天终古平行厯家步算一切以平行为本一年之根起于冬至次日子正时此平时之平度也而有髙卑之轮太阳行其上则黄道上有视行加减之度而平行之度在本轮之心与人目所见太阳异处则时差生于此矣夫常静天之析为十二宫均剖者也一日之分为十二宫亦均剖者也以均剖者算行度则时刻之能应天者太阳本轮心所到之平度耳若本轮上有加减之度逐日所算太阳加时必与太阳所加之时位有微差【一度为时之四分】何也轮心与轮边所当不同也设平春分在丙寅日午正而定春分在甲子日午正相差约两度则甲子日欲测太阳正交赤道必于所算午正时减八分为午初三刻七分于正南之位偏东二度测之此时正当交防则所算甲子日午正初刻春分者真矣何也甲子日本为平行二宫二十八度之日距三宫初度有二度当未至午正二度之时而入交则本轮心岂不正当午位乎若再加时八分太阳正当午位则本轮心又移过午正西二度矣此均度所以有时差之理也论太阳右旋一昼夜行一度弱论太阳左旋一昼夜行三百六十度太阳既有加减差则右旋者差在日其极差二日有奇左旋者差在时其极差八分有奇本轮上九宫至三宫太阳行下半周右旋盈则左旋缩十二时行三百六十度而不足不足则时差当减矣三宫至九宫太阳行上半周右旋缩则左旋盈十二时行三百六十度而有余有余则时差当加矣然加时之始不于三宫而于六宫减时之始不于九宫而于初宫葢三九宫为缩与盈之极三宫至六宫盈其所缩九宫至初宫缩其所盈也总之轮心所到为平时太阳所到为视时故以本日均数变时而反其加减于理为尽【梅先生有日差原理一卷未刻愚以意推测如此】

唯四正日但有均度时差过此则兼有升度时差故当合两时差相并相减以为时差总其法至今日始定

论太阳倍离

天以太阳为尊能摄月与五星西史第谷谓如磁石之引鍼确喻也月五星离日有逺近而生次轮之行五星次轮一度即为一度独太阴离日一度次轮上即有两度五星合伏至合伏次轮一周太阴朔至望望至朔次轮再周回厯谓之倍离其故何与此由月次轮与五星不同故也五星次轮心在均轮上而月次轮心在负圏上次轮与均轮以边相切其相切之防即初均割线所到谓之次轮最近防最近者最近于均轮之心也定朔定望起于此防由此左旋至上而最逺至望复于起防又至下而最逺至朔再复于起防防在轮周则度亦起于轮周凡割圆之理从轮心出线论度者一度为一度从轮周出线论度者两度为一度此月所以倍离也试从次轮最近防出一直线分次轮为两半又从防出一横线与直线十字相交夹次轮半周于中间夫十字相交者直角也直角所夹之度必九十度而次轮则已半周岂不两度当一度乎

论太阴迟疾

问授时分太阴为一百六十八限算其迟疾似密于古以今法较之授时犹未能与天密合也按月离加减表三宫九宫初度减均加均积度四度五十八分二十秒变为日度五度○四四五有奇耳而迟疾立成八十四限所益所损之积度五度四二九有奇则其数大于加减均度矣朔望后行次轮更有二三均加减大者二度四十八分并初均加减七度有奇而授时无此损益分则其积差有至二度有奇者矣安能与天密合曰授时之分限算迟疾葢由积而得岂积差至一度有奇犹不之觉者乎曰月行最难测算者也三均之数甚纠纷地面地心视差又最大人所见在天之度往往非真度当时虽屡测亦只得其大防既不知有次轮之行又未得视差之真率是以不得不以近似者立法然则西法算太阴有二三均加减实胜中法之一大端也

凡月近入转则疾近月孛则迟此本轮均轮上之迟疾也近朔望则疾近两则迟此次轮次均轮上之迟疾也朔望又近入转两又近月孛则疾者愈疾一日不啻十五度迟者愈迟一日行十一度有奇

然则授时之迟疾法算定朔定望交食何以不甚差曰朔望无次均加减故也

授时分太阴一转三百三十六限之表今载之明史其实为无用之法也

论交食

梅先生交食求交防管见二书备论算交食之理无余蕴其以黄道交角变白道交角为定交角以定交角算日月光体之上下左右指其初亏复圆而不以东西南北为方位尤发前人所未发

交食求注云若用弧三角法求白道限度所在及其距地之高并可得交角细数然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前交后故也按用弧三角求白道限即交防管见新立算白道九十度限髙法是也窃疑交前交后白道斜穿黄道而过不能与黄道平行则变黄道交角为白道交角似有微差然甚微可不论故今法径借黄道交角以朔望黄白交角加减之而白道交角不必立表旧法定日食限阴厯初宫十七度四十分以内五宫十二度二十分以外阳厯六宫八度二十分以内十一宫二十一度四十分以外实交周入此限者并有食今法定食限阴厯稍寛阳厯稍狭实交周自五宫十一度四十五分至六宫六度十四分又自十一宫二十三度四十六分至初宫十八度十五分为的食不入限者不必算亦有入限而不食者则因三差故【西法罗防为正交交道自外而入内计都为中交交道自内而出外中厯反之名易而实不易】

康熈四十三年五月十七日乙夘望月食监颁图梅先生谓图中所注食既至食甚时刻多食甚至生光时刻少相差十分谓其不应改法愚疑此颁图时字有脱误也【葢生光丑正二刻十一分脱十字误作一分】否则诚难解

论中西法异者多端

问梅先生谓中西二法本同新厯但兼用其长以补旧法之未备惟五星有交防有纬行是中厯缺陷之大端然则西法之异于中法止此一事与曰先生举其大者耳其他若中厯太阳盈缩常定于冬夏二至西法则最高最卑有行度中厯太阴迟疾但知有转终而不知更有二三均加减中厯交食时差但知以午正为加减之限而不知有黄平象限中厯太阳太阴之径闇虚之径恒为一定而不知有髙下大小之差法之异者固多端若三角立算中法只知有直角句股而不知有钝角鋭角与弧三角弧矢割圆中法未尽其用而西法则有八线表预定无数句股以为一切测算之凖防此皆有补于中厯者也

补论十二宫

问梅先生论周天十二宫有直有衡有斜有百游不甚纷纭错杂欤曰是皆各有所宗各有所取用非杂也愚谓在天犹有不变之十二宫葢列宿之天分为四维析为十二次星纪鹑首等名西国则有磨羯巨蟹等名皆以星象定之古今不变者也此与黄道之十二宫同归而殊涂恒星天亦宗黄极是同归也列宿自布十二宫恒以虚六度为元枵之半斗四度为磨羯之初岁岁推移不与中气节气相直是殊涂也梅先生厯学疑问补中极论此理但未言其不变之十二宫耳

又按七政小轮无论大小皆分十二宫此自厯家虚立之以便算故梅先生不数

论西法六十分为度

问囘囘厯虽以三百六十度为周天而一度用百分或万分与授时同【见袁氏厯法新书】欧逻巴独以六十分为度秒微以下皆用六十递析八线表亦分一度为六十何也曰其源葢由于时刻也中法一日百刻不便于分布西法以九十六刻齐之一时均得八刻又分一时为二时谓之小时分一刻为十五分凡加时与日出入皆有分数可纪【中法万分日虽甚细而发敛加时及日出入皆纪刻不纪分犹为粗疎西法则纪刻分分下之秒未过半弃之已过半收之】今四刻六十分为一小时此六十分所由来也而秒微以下皆用六十则作表甚便【第一格为时第二格为分第三格为秒第四格为微所列之数皆同】又如以度变时以时变度则以四分当一度一小时当半宫亦甚便日法如此度法亦因之八线表亦因之则各率通为一法此欧逻巴立法斟酌尽善者也彼百刻不便分布刻下不能纪分似不可谓无薛仪甫着天学防通改六十分为百分则当先改八线表而余诸表皆不可用亦觉更张多事谨案

圣祖仁皇帝御制厯象考成度法用六十日法一千四百四十别以一万为日周通法其布算也以万分计余分而仍以日法通之如法收为时刻兼用授时而不用百刻之法此则万世可遵行者也

论授时厯周天岁周

自大衍厯分天自为天岁自为岁以着岁差之理厯代遵用至郭氏别出新意以万分为度即以万分为日周天三百六十五万二千五百七十五分岁周三百六十五万二千四百二十五分自当时观之立法若尽善矣由今日论之二者皆非至极之理也夫黄道与列宿天同为大圜虽髙下悬殊度之广狭迥异而度数则同非周天之度分多于周岁之度分也岁已周则黄道周矣而不能踵其星之故处非岁有不满之度分也星自移而东耳譬之太阴二十七日有奇即周天其不能逐及于日者日自行二十余度耳乃以三百六十五度二千五百七十五分为周天是并其移动之一百五十分亦算在周天之内则二十八宿之度不溢出一百五十分乎又岁实有平有泛论平岁实只有三百六十五万二千四百二十一分八十七秒五十微而当时以泛岁实定为岁周则又多出三分一十二秒五十微矣论正法当即以岁周为周天以三百六十五度二千四百二十一分八十七秒五十微分隶之于二十八宿别以今率恒星每歳东行五十一秒变为日度之分秒微以为岁差始尽善无当时最卑行与恒星行两窍未啓是以立法甚难此不可不原其情亦不可不知其有未当处也

论厯法随时修改

厯取象于革久之不能不改非久亦不能改各平行率有积之数十年微觉其差而即改者【如最卑行】有通前后数百年或千余年测准之度分用以相距定为平行其尾数或有未真必甚久而后可改者【如七政平行】有前人立法未精改之而加密者【如日食加时东西差昔以午正为限后改用黄平象限近又以白道算定交角】有前人用法稍烦改之而径防者【如六曜求初均昔用平三角今直角算】若夫黄赤相距之纬古阔而今渐狭太阳本轮均轮之半径古大而今渐小此二差出于常理之外前不知若何而始后不知若何而极非法之所能驭惟随时密测改表以合天行耳

黄赤相距西史第谷测得二十三度三十一分半今测得二十三度二十九分三十秒【康熈五十三年台官密测立表今又当稍减矣】太阳本轮均轮两半径并昔用十万分之三千五百八十四或以一千万为本天半径则为三十五万八千四百一十六日躔加减差表三宫九宫初度其均度二度三分一十秒平春分与定春分相距二日一小时有竒而今平春分与定春分相距一日二十二小时弱则最大之均度一度五十五分【比旧约少八分】本轮均轮两半径合得三十三万五千四百有竒耳

黄道为诸道之宗太阳为众曜之君有此二差则六曜之出入于黄道离合于太阳者亦因之而小有改变

两半径虽改算太阳均度旧表亦可借用【以三五八四为一率旧表均数化秒为二率今改三三五四有竒为三率求得四率为秒以度分收之为今时加减均数】

数学卷一

钦定四库全书

数学卷二

婺源江永撰

嵗实消长辨

【嵗实消长前人多论之者勿庵先生大约主授时而亦疑其百年消长一分以乘距算其数骤变殊觉不伦又谓今现行之嵗实稍大于授时其为复长亦似有据因为高冲近冬至而嵗余渐消过冬至而复渐长之说葢存此以俟后学之深思永别为之说谓平嵗实本无消长而消长之故在高冲之行与小轮之改两嵗节气相距近高冲者嵗实稍嬴近最高者稍朒犹定朔定望定之不能均惟逐节气算其时刻分秒而消长可勿论也管见如斯遂不能强同爰引先生之言逐节疏论于下】

勿庵先生曰【厯学答问】授时以万分为日故其嵗实三百六十五万二千四百二十五分其数自至元辛巳嵗前天正冬至积至次年壬午嵗前天正冬至共得三百六十五日二十四刻二十五分若逆推前一年亦是如此【如自庚辰年十一月冬至逆推至己夘年十一月冬至亦是三百六十五日二十四刻二十五分】此嵗实之数大统与授时并同

永按嵗实为厯法大纲领得其真确之数为难四分厯以前无论已魏晋以后渐知一嵗小余不及四分日之一随时测验一厯必更一斗分不久即有差此何以故葢步厯者泥履端于始之义但以嵗前冬至距今年冬至计其小余时刻并入大余以为嵗实不知冬至距冬至所得者活泛之嵗实而非经恒之嵗实也欲得经恒嵗实宜于近春分时测之【元至元时当测定气春分】今嵗春分距来嵗春分苟得真时刻则得真嵗实又以前后逺年测凖之春分计其日时分秒均之各嵗则嵗实之恒率确矣此何也太阳因有高卑而生盈缩近数百年间春分则平行【当郭氏作厯时定气春分之日正当平行之处此以前以后虽有此亦甚微】故所得嵗实为恒率得其恒乃可以求其定犹之月必有平朔之防而后可求定朔也郭太史改厯自言创造简仪高表凭所测实数考正者七事一曰冬至二曰嵗余其于嵗实考之详矣其求冬至也自丙子年立冬后依毎日测到晷景逐日取对冬至前后日差同者为凖得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定戊寅冬至在癸夘日夜半后三十三刻己夘冬至在戊申日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻辛巳冬至在己未日夜半后六刻【从甲子日始五十五日零六刻气应五十五万零六百分为厯元】其求嵗余也自刘宋大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距各得其时合用嵗余考验四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年毎嵗各得三百六十五日二十四刻二十五分减大明厯一十一秒其二十五分为今厯嵗余合用之数愚以此二条考之即郭氏当年所定之嵗实已有微差稽之于史又多抵牾其可以是为消长之凖乎夫一嵗小余二十四刻二十五分积之四嵗正得九十七刻无余无欠丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半则辛巳年冬至宜在己未夜半后五刻半不应有六刻如以辛巳之六刻为确也则丁丑年宜在九刻不应只有八刻半此四年既皆实测所得则己亥半刻矣而云相符不差何也【丁丑年之八刻半虽约取整数未必正是半刻然已有数十分矣其本法上考已往百年而长一刻四年所长甚微不应有半刻以下然则当时冬至嵗实刻下之小余不止二十五分矣】又考刘宋孝武帝大明五年辛丑祖冲之所测十月十日壬戌景长一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相较余二分二厘半为实以丁未戊申景相较余六分五厘为法以法除实得三十四刻六十分以减距日四千六百刻余四千五百六十五刻四十分折取其日【二千二百八十二刻七十分】加半日刻【午正测景故加半日】得二千三百三十二刻七十分命壬戌算外得十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分【刘宋都建康比元大都里差应后五十七分则大都此日冬至三十二刻一十三分○按刘宋时太阳最高冲在冬至前几半宫则取冬至前后二十余日之景折取中数以求冬至仍有差详见冬至权度条】辰初三刻冬至【大都减半刻竒】大明壬寅【辛丑年之十一月即壬寅嵗之始】下距至元辛巳八百一十九年以授时嵗实积之凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分以乙酉辰初三刻距己未丑初一刻凡二十九万九千一百三十三日九十二刻较多三十三刻而云自大明壬寅距今毎嵗合得此数何也【如郭氏百年长一之法以八百一十九总乗所长之数则壬寅冬至甲申日七十九刻太较当时所测算者又先五十余刻则失之愈逹矣○详冬至权度】又云减大明厯一十一秒考祖冲之大明厯纪法与周天一嵗小余二十四刻二十八分一十四秒授时减去三分一十四秒亦非一十一秒也【邢士登律厯考谓金时赵知微重修大明厯小余二十四分三十六秒实多授时一十一秒郭所减者赵厯非祖厯也其説是】然则授时

所定嵗实犹是近似活泛之数而不可

以为恒欲定经恒之嵗实则西厯恒年表之恒率是矣按表一嵗小余五小时三刻三分四十五秒【一日二十四小时一小时四刻一刻十五分一分六十秒】以分通之三百四十八分有竒以秒通之二万○九百二十五秒【一日八万六千四百秒】考其实则回回厯已如此回回厯法一嵗三百六十五日嵗有十二宫宫有闰日一百二十八年闰三十一日然则一嵗闰一百二十八分日之三十一正西法之嵗余也【以一百二十八乘二万○九百二十五得二百六十七万八千四百以八万六千四百除之得三十一是也】回回厯以春分为嵗首其嵗余由累测春分得之欧逻巴厯遂用之至今因之虽分下之四十五秒未必无脁朒当亦甚微矣以此平率为凖随其时之最高冲与最高之行而进退焉冬至近高冲则两嵗冬至之距必多于平率【今时多一分弱】夏至近最高则两嵗夏至之距必少于平率【今时少一分弱犹之太阴当朔时入转两朔相距之日时必多当望时近月孛两望相距之日时必少若朔时近月孛望时近入转两朔两望相距反是】又古时太阳本轮均轮半径之差大于今日则加减均数亦大而冬至嵗实当更增至元辛巳间高冲约与冬至同度则嵗实尤大其小余刻下之分约有三十分而授时定为二十五分宜其自丁丑至辛巳四年之间即有半刻之差而郭氏未之觉也【一年少五分四年少二十分几于半刻之半矣丁丑年之八刻半本为约畧之数半刻以下固难测算真的也○以西法嵗余依授时万分日较之只有二十四刻二十一分八十七秒半少授时嵗余三分一十二秒半当时冬至为盈初小轮半径差又大其多于平率必不止三分有竒者也】

然授时原有消长之法是其新意其法自辛巳元顺推至一百年则嵗实当消一分【依法推至洪武十四年辛巳满一百年其歳实消一分为三百六十五日二十四刻二十四分】若自辛巳元逆推至一百年则嵗实当长一分【依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑满一百年嵗实长一分为三百六十五日二十四刻二十六分】毎相距增一百年则嵗实消长各增一分以是为上考下求之凖大统诸法悉遵授时独不用消长之法上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分此其异也

永按冬至相距之嵗实大于平率最高冲有行度而小轮均数又有大小宜其嵗实有消长分数然必当时测定之嵗实已真确又知其无可复加而后知将来之渐消若授时嵗余刻下之二十五分尚非确数其差分已见端于丁丑辛巳四年之间则辛巳以后能必其果消乎郭太史厯考正者七事创法者五事皆不数嵗实消长葢未能真知所以消长之故但暗用杨忠辅统天厯为活法以推往古意谓下考将来亦如是耳明大统厯悉遵授时独不用消长之法当时厯官元统非有确见实测知其不当用消分也以今观之犹幸大统不用消分冬至纵有先天尚未甚逺倘遽改二十五分为二十四分其先天不愈多乎【当至元时刻下小余约有三十分授时一嵗少五分百年约先天五刻】