数学九章

于身得一千二百七十六步又以载输二十步乗定母六得一百二十步义加次共得一千三百九十六歩为统数以定母六除之得二百三十二步又三分步之二为定一返步乃复通分内子得六百九十八为到法乃置程里六十以三百六十步通之得二万一千六百步乗上一尺三寸得二万八千零八十尺以到法分母三乗之得八万四千二百四十尺为到实以到法除之得一百二十尺不尽四百八十约之为三百四十九分尺之二百四十旧名到土复到土复者一工每日所担之坚土数也通分内子得四万二千一百二十以壤母三因之得一十二万六千　百六十尺为壤法次以到土复母乗壤积七百七十万尺得二十六亿八千七百三十万尺为壤实实如法而一得二万一千二百六十七工不尽一千八百八十约之得三千一百五十九分工之四十七为担土工次列筑工穿工担工三数及分母分子互乗以齐之

列三工数各通分内子得筑率一十五万四千穿率三万零八百担率六千七百一十八万二千五百验担母数筑穿二母数皆可度尽用就母法以筑母除担母得三百五十一为筑东率以穿母除担母得一千零五十三为穿乗率各以乗率乗本率得筑分五千四百零五万四千穿分三千二百四十三万二千四百担率六千七百一十万二千五百即为担分同以担分母为总分母乃并三分数得一亿五千三百六十六万八千九百分为实以总分母为法除之得四万八千六百四十四工不尽二千五百零四约之不变即命为三千一百五十九分二之二千五百零四为总用工数次置三县力役以里数远近通之先以乙丙二里数求等得六十各约之乙得二丙得三以乙二徧乗甲丙以丙三徧乗甲乙得甲率八十万零三千一百六十九乙率七十一万三千九百五十二丙率六十二万四千七百零八三率求等得八万九千二百四十四徧约之甲得乙得八丙得七各为率并率得二十四乃以工总分一亿五千三百六十六万八千九百分乗三县各率得甲实一十三亿八千三百零二万零一百乙实一十二亿二千九百三十五万一千二百丙实一十亿零七千五百六十八万二千三百以就母三千一百五十九乗并率二十四得七万五千八百一十六为科法除各实不尽者各进一工得甲县合科一万八千二百四十二工乙县合科一万六千二百一十五工丙县合科一万四千一百八十九工

求甎者倍转道并濶六尺得一丈二尺遍加台上下广袤变各为上下濶长以甎厚六寸加台高

先以甎长一尺二寸濶六寸厚二寸五分相乗之得一百八十寸为甎积法次列石版长五尺濶二尺厚五寸相乗得五千寸为石积法具图如后

騐得诸法皆寸乃以变各图上下长濶直按术求率倍上长八百二十寸得一千六百四十寸加下长一千八百二十寸得三千四百六十乗上濶六百二十得二百一十四万五千二百为寄次倍下长一千八百二十得三千六百四十加上长八百二十得四千四百六十乗下濶一千六百二十得七百二十二万五千二百并寄得九百三十七万四百乗台直一千二百六寸得一百一十三亿七十万二千四百寸仍为寄乃騐土积图土率九千二百四十丈以一百万寸通之得九十二亿四千万寸以减寄余二十亿六千七十万二千四百寸如六而一得三亿四千三百四十五万四百寸为泛

次置南道高五分之二北道高强半系四分之三及台原高一千二百寸具图如后

乃以南道高子二乗原台高得二千四百寸为南寔以南道高子三乗原台高得三千六百寸为北寔各如本母而一得四百八十寸约为四丈八尺为南道两隅又为东外道巽隅高又为西道坤隅高所得九百寸约为九丈为北道两隅高又为西道干隅高又为东里道艮隅高具图如后

以北道高九丈减台高一十二丈余三丈为上停高以南道高四丈八尺减北道高九丈余四丈二尺为中停髙命南道高四丈八尺为下停高

三停高皆如履级寸而一得五十为东里道级数得七十为西道级数得八十为东外道级数次以上长八百二十寸减下长一千八百二十寸余一千寸以半之得五百寸为勾以乗南道高四百八十寸得二十四万寸为实如台高一千二百寸而一半之【按上下长较已半得数又半之误】得一百寸为底率以率减下长一千八百二十余一千七百二十寸为底股以外道级八十约之得二尺一寸五分为外道踏踪又以底率一百寸减底股一千七百二十寸余一千六百二十寸为中股乃以勾五百寸乗中停高四丈二尺得二十一万寸为实如台高一千二百寸而一得一百七十五寸为中率以中率减中股一千六百二十寸余一千四百四十五寸为上股以西道级七十除上股一千四百四十五寸得二尺一寸四分寸之九为西道踏踪又以勾五百寸乗上停高三百寸得一十五万寸为实如台高一千二百寸而一得一百二十五寸为上率并中率一百七十五寸得三百减上股一千四百四十五寸余一千一百四十五寸为实如里道级五十而一得二尺二寸九分为里道踏踪各得具图以见如后

次以道濶六尺并下长一千八百二十寸得一千八百八十寸为补以南北道高并台高共得二千五百八十寸乗补得四百八十五万四百寸为需【按此二数不合其法太疎故也】次以上广五百寸减下广一千五百寸余一千寸为址乗南道高四百八十寸得四十八万寸为实以台高一千二百寸除之得四百寸为减率以减下广一千五百寸余一千一百寸为南道长并下广一千五百寸得二千六百乗南道高四百八十寸得一百二十四万八千寸加需又以址一千寸乗北道高九百寸得九十万寸为实亦如台高一千二百而一得七百五十以减下广一千五百寸余七百五十寸为北道长并下广一千五百得二千二百五十寸乗北道九百寸得二百二万五千寸又加需共得八百一十二万三千四百以半道濶三尺乗之得二亿四千三百七十万二千寸并泛三亿四千三百四十五万四百得五亿八千七百一十五万二千四百寸为共率次以基脚七层乗石版厚五寸得三十五寸为基高次倍道濶得一百二十并下濶一千六百二十寸得一千七百四十乗下长一千八百二十得二百一十六万六千八百为基率次以下广一千五百寸乗下袤一千七百寸得二百五十五万减基率余六十一万六千八百寸乗基高三十五寸得二千一百五十八万八千寸为石率以石率减共率余五亿六千五百五十六万四千四百寸为甎率以甎积法一百八十寸除之得一【按三讹一】百一十四万二千二十四片九分片之四乃以石积法五千寸除石率二千一百五十八万八千寸得四千三百一十七片为石版不尽三十寸弃之不辈合问

按右草自求甎砌台身积至级数皆无误求踏踪数有误至求补数需数其法更多未合如题内云先用甎砌台身次用甎砌转道周围五带并濶六尺南北二平道东西三峻道如自台下艮隅南升至巽西折行至坤北升至干东折行至艮复南升至巽乃登台顶是南北二平道至台址皆如一面平堆形西峻道至台址东里峻道至台址皆上如一面三角斜堆下如一面平堆形东外峻道至台址如一面三角斜堆形法当按各形取积草中取二平道皆如法至取峻道乃以道濶并下长为补以南北道高台高三数并乗之为需然后以半道濶乗之为积其意殊不可解然以数考之有差至三之一者又台身外四面甎砌各加六尺转道东面加二层三面各加一层是台基长一十九丈四尺濶一十八丈草中以下濶为一千七百四十寸差少六尺下长仍用一千八百二十寸差少一丈二尺皆疎漏之误今自求踏踪至末皆另步之法以台上长减下长余一千寸半之得五百寸为勾率以乗南道高四百八十寸得二十四万寸为实如台高一千二百寸而一得二百寸为底率以减下长得一千六百二十寸为底股以外道级八十约之得二尺零二分半为东外道踏踪又以底率减底股余一千四百二十寸为中底以勾率五百乗中停高四百二十寸得二十一万寸如台高寸而一得一百七十五寸为中率以减中底余一千二百四十五寸为中股以西道级七十约之得一尺七寸七分又七分分之六为西道踏踪以中率减中股余一千零七十寸为上底以勾率五百乗上停高三百寸得一十五万寸如台高而一得一百二十五寸为上率以减上底余九百四十五寸为上股以里道五十约之得一尺八寸九分为里道踏踪次以道濶加下长与下停高相乗得九十万二千四百寸为倍东外峻道三角形立面中底与中停高相乗得五十九万六千四百寸为倍上下外濶相减余一千寸以北道高乗之得九十万以台高寸数除之得七百五十寸以减北下外濶得九百九十寸为北道上濶与北下外濶相加以北道乗之得二百四十五万七千寸为倍北道至台址平堆形立面并倍二面数得三百九十九万三千寸又并前五数之共数得九百九十六万九千寸以半道濶三十寸乗之得二亿九千九百零七万寸为共道峻道积又并前砌台身积三亿四千三百四十五万零四百寸得总积六亿四千二百五十二万零四百寸为共率次二因道濶与下长相加得一千九百四十寸与南道下外濶一千八百寸相乗得三百四十九万二千寸又以原下广一千五百寸下袤一千七百寸相乗得二百五十五万寸以减外长濶相乗余九十四万二千寸以石基三十五寸乗之得三千二百九十七万寸为西峻道上三角形立面中底下底并与下停高相乗得一百五十五万五千二百寸为倍西峻道下平堆形立面上底上停高相乗得三十二万一千寸为倍东里道上三角形立面上底下底并与中停高下停高并相乗得二百六十万零一千寸为倍东里道下平堆形立面倂五数共得五百九十七万六千寸比旧草所用需数大一百一十二万五千六百寸次求南北平道立面先以上下濶俱加三道濶得上外濶八百寸下外濶一千八百寸上下外濶相减余一千寸以南道高乗之得四十八万寸以台高寸除之得四百寸为减率以减下外濶得一千四百寸为南道上濶与下外濶相并以南道高乗之得一百五十三万六千寸为倍南道至台址平堆形立面又以上下濶各加倍道濶得北上外濶七百四十寸北下外濶一千七百四十寸北石率以石率减共率余六亿零九百五十五万零四百寸为甎率以甎长濶厚连乗得一百八十寸为甎法以石长濶厚连乗得五千寸为石法以甎法除甎率得三百三十八万六千三百九十一片九分片之一为共用甎数以石法除石率得六千五百九十四片为共用石数

堂隍程筑

问有营造地基长二十一丈濶一十七丈先令七人筑坚三丈计功二日今涓吉立木有日欲限三日筑了每日合收杵手几何

答曰日收五百五十五工三分工之一

术曰以长乗濶又乗原日原人为实以限日乗筑丈数为法除之得人夫

草曰以长二十一丈乗濶一十七丈得三百五十七丈又乗原二日得七百一十四又乗原七人得四千九百九十八为工实以限三日乗原筑三丈得九为法除实得五百五十五工不尽三与法俱三约之为三分工之一为日收五百五十五工三分工之一合问

砌甎计积

问有交到六门甎一十五垜每垜高五尺濶八尺长一丈其甎毎片长八寸濶四寸厚一寸欲砌地面使用堂屋三间各深三丈共濶五丈二尺书院六间各深一丈五尺各濶一丈二尺后閤四间各深一丈三尺内二间濶一丈次二间濶一丈五尺亭子地面之长濶几何

答曰见有一十八万七千五百片今用一万六千四百六片四分片之一外余一十七万一千九十三片四分片之三

术曰以少广求之置各地面深濶相乗以间数若所数乗之共为实甎长濶相乗为甎平法除得今用甎数次以甎垜高长濶相乗为实却以甎法乗厚得数为甎积法除之得毎垜甎数次以垜数乗之得见有甎以减今用甎得余甎

草曰置堂濶五丈二尺乗深三丈得一十五万六千寸于上又置书院深一丈五尺乗濶一丈二尺得一万八千寸又以六间乗之得一十万八千寸加上共得二十六万四千寸并上又置后閤濶一丈并濶一丈五尺得二丈五尺又以各二间乗之得五百寸以乗各深一丈三尺得六万五千寸加上得三十二万九千寸并上次置亭基一丈四尺自乗得一万九千六百寸以一十所乗之得一十九万六千寸又并上共得五十二万五千寸为实以甎长八寸乗濶四寸得三十二寸为甎平法除之得一万六千四百六片四分片之一为共用甎次置毎垜高五尺乗濶八尺得四千寸又乗长一丈得四十万寸为毎垜实却以甎平法三十二寸乗厚一寸只得三十二寸为甎积法除之得一万二千五百片又以十五垜乗之得一十八万七千五百片为见有甎内减今用甎余有一十七万一千九十三片四分片之三为外余瓦数合问

数学九章卷七上

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>

钦定四库全书

数学九章卷七下　　　　宋　秦九韶　撰营廷

计定城筑

问郡筑一城围长一千五百一十丈外筑羊马墙壕长与城同城身髙三丈靣阔三丈下阔七丈五尺羊马墙髙一丈靣阔五尺下阔一丈壕靣阔三十丈下阔二十五丈女头鹊防共髙五尺五寸共阔三尺六寸共长一丈鹊台长一丈髙五寸阔五尺四寸座子长一丈髙二尺二寸五分阔三尺六寸肩子髙一尺二寸五分阔三尺六寸长八尺四寸防子髙一尺五寸阔三尺六寸长六尺六寸箭窻三眼各阔六寸长七寸五分外眼比内眼斜低三寸取土用穿四坚三为率周廻石版铺城脚三层每片长五尺阔二尺厚五寸通身用甎包砌下一丈九幅【按九幅即九层】中一丈七幅上一丈五幅甎每片长一尺二寸阔六寸厚二寸五分防崄墙髙三尺阔一尺二寸【按此句赘盖下既论幅则不用阔下当云每幅之阔为甎之长数】下脚髙一尺五寸铺甎三幅上一尺五寸铺甎二幅每长一丈用木物料永定柱二十条长三丈五尺径一尺每条栽埋工七分串凿工三分爬头拽后木共八十条长二丈径七寸每条作工三分串凿工二分子木二百条长一丈径三寸每条作工二分搬扛工二分絍橛二千个每个长一尺方一寸每个工七毫絍索二千条长一丈径五分每条工九毫石版一十片匠一工搬一工每片灰一十觔搬灰千觔用一工甎匠每工砌七百片石灰每甎一觔芦蓆一百五十领青茅五百束丝竿筀竹五十条笍子水竹一十把每把二尺围镢手锹手担土杵手每工各六十尺火头一名受六十工部押壕寨一名管一百二十工每工日支新会一百文米二升五合欲知城墙坚积壕积壕深共用木竹橛索甎石灰芦茅人工钱米数各防何

按题意掘土为壕以筑城城身及羊马墙身共积即壕身积语中未详羊马墙及壕周绕城外当长于城周题中未载距城尺数城墙用甎包砌当计三靣题中只计一靣皆属疎漏防险墙应以甎长为阔题中复言阔之尺数柱木防橛等径方长短术草不用其数题中亦皆载未免冗繁然古啇功之略犹可见焉故于草中就其所问之意而改正之

答曰城积二千三百七十八万二千五百尺坚积墙积一百一十三万二千五百尺坚积

壕积三千三百二十二万尺穿积　壕深八丈　永定柱三万二百条每条长三丈五尺径一尺　爬头拽后木一十二万八百条每条长二丈径七寸　子木三十万二千条毎条长一丈径三寸絍橛子三百二万个每个长一尺方一寸　絍索三百二万条每条长一丈径五分　芦蓆二十二万六千五百领　青茅七十五万五千束每束六尺围筀竹七万五千五百竿　水竹一万五千一百把毎把二寸围　石版一万五千一百片城甎一千二百八十三万三千四百九十

片　石灰一千二百九十八万四千四百九十觔　用工二百万三千七百七十工　新会二十万三百七十七贯文　支米五万九十四石二斗五升

按右答数石版城甎石灰三数俱误余数亦多偶合具详草后

术曰以啇功求之置城及墙上下广各并之乘髙进位半之各得每丈积率并之为共率先以每功尺除之又以诸色工各数乘之为土功丈率次置柱木橛索乘其每条叚功得各共功次置城方一丈自之乘用甎总幅数为实以甎长乘厚为则法除实得城身用甎次置鹊台座子肩子防子各髙阔长相乘为寄并之于上次箭窻眼髙依差寸求斜深虚积减寄余为女头甎实以则法乘甎阔为甎积法除之得女头台用砖又置防险墙髙以丈乘而半之又乘上下幅共数为实以砖阔厚相乘为法除之得防险墙用甎并三项用甎为都实以毎功片为法除之得甎匠功以每丈用石叚数求石匠工以搬每丈石求搬石工以片用灰数乘都甎得甎用灰以每丈石版数乘片用灰得石用灰并之为甎石共灰以每工搬灰数除之得搬灰工并诸作工为实以火头壕寨每管人数各为法除之得各数又并之为都工然后以城围通长偏乘诸项毎丈率积灰各工料得共数女头围【按旧图在术前其尺数多未合今改正移于此】

草曰置城上广三丈并

下广七丈五尺得一十

丈五尺乘髙三丈得三

千一百五十尺进位【按即

十尺乘之】得三万一千五百

尺半之得一万五千七百五十尺为每丈城积率置羊马墙阔五尺并下阔一丈得一十五尺乘髙一丈得一百五十尺进位得一千五百尺以半之得七百五十尺为羊马墙每丈积率并城墙二率得一万六千五百尺为共率以为实以镢锹担工杵手各六十尺为法除实得二百七十五工以四色因之得一千一百工为镢锹担土杵手工置永定柱二十条乘每条栽埋工七分得一十四工又乘串凿工三分得六工计二十工为永定柱工置爬头拽后木八十条乘作工三分得二十四工又乘串凿工二分得一十六工计四十工为爬头拽后木工置子木二百条乘作工二分得四十工又乘搬扛工二分得四十工计八十工为子木工置絍撅二千个乘作工七毫得一十四工絍索二千条乘作工九毫得一十八工计三十二工为橛索共工乃以城墙女头甎积求甎匠工置城身方一丈自乘一百尺于上次置下九幅中七幅上五幅并之得二十一幅乘上得二千一百尺甎长有寸以寸通之为二十一万寸为实【按此条误应减去三层石脚积余为甎实方合】以甎长一十二寸乘厚二寸五分得三十寸为则法【按则法即甎立长靣数葢论幅数则不用求积也】除实得七千片为城身甎数又置鹊台髙五寸乘阔五尺四寸得二百七十寸又乘长一丈得二万七千寸寄上又置座子髙二尺二寸五分乘阔三尺六寸得八百一十寸又乘长一丈得八万一千寸加寄又置肩子髙一尺二寸五分乘阔三尺六寸得四百五十寸又乘长八尺四寸得三万七千八百寸又加寄又置防子髙一尺五寸乘阔三尺六寸又乘长六尺六寸得三万五千六百四十寸又加寄共得一十八万一千四百四十寸共为寄其箭窻内外眼虽差三寸于斜深虚积将盈补亏与直深等以窻阔六寸乘长七寸五分得四十五寸又乘座阔三尺六寸得一千六百二十寸为窻积【按箭眼三当三因之此用一眼数误】以减寄余一十七万九千八百二十寸为实置甎则法三十寸乘甎阔六寸得一百八十寸为甎则法除实得九百九十九片为女头鹊台共甎又置防险墙髙三尺乘每丈得三千寸以墙法当半折之得一千五百寸又乘上下五幅得七千五百寸为实次以甎厚二寸五分乘阔六寸得一十五寸为甎法除实得五百片为防险墙甎次并三项甎八千四百九十九片为毎丈用甎都实以每工七百片为法除实得一十二工七百分工之九十九为甎工每丈用石版十片【按此条误应用一十六片二分】计一工搬石十片计一工甎每片用灰一觔命都甎即甎用灰之数又置每丈用石版一十片每片用灰一十觔相乘之得一百觔为石版用灰并甎用灰八千四百九十九得八千五百九十九觔为甎石用灰数为实以毎工搬一千觔为法除之得八工一千分工之四百九十九为搬灰工并石匠搬石二工通前列土工一千一百定柱工二十爬头拽后木工四十子木工八十橛索工三十二甎工一十二工七百分工之九十九【按此数误】搬灰八工千分工之四百九十九【按此数误】石匠搬石共二工【按此数误】并诸作工余分不同者合分术入之共得一千二百九十四工七千分工之一千四百八十九【按甎工差多一工石工差少一工故相并之工数无差分子则差少四千八百五十二分】通分内子得一百二十九万五千四百八十九为众工实置火头每管六十人分母乘之得六万为法【按数误分母七千乘六十应得四十二万】除都工实得火头二十一人六万分之三万五千四百八十九壕寨每部一百二十人就倍火头法六万为十二万亦除众工实得壕寨十人十万分之九万五千四百八十九列两余分及前诸作工余七千分之一千四百八十九三项以合分术入之得一工不尽五十万四十亿分之三十万二千三百六十九亿四千万分求等又约之为八十四万分之五十万三千九百四十九分乃又并之共得一千三百二十六工其余分大约百分中之五十九在半以上收为一工共定得一千三百二十七工【按此数偶合】为每丈都工然后以城通长徧乘乘诸项置城长一千五百一十丈乘城率一万五千七百五十尺得二千三百七十八万二千五百尺为城坚积又以城长乘墙率七百五十尺得一百一十三万二千五百尺为墙坚积并城墙二积得二千四百九十一万五千尺又以墟率四因之得九千九百六十六万尺为实以坚率三约得三千三百二十二万尺为壕积以为实以壕阔三十丈并下阔二十五丈得五十五丈以半之得二百七十五尺乘壕长一千五百一十丈得四十一万五千二百五十尺为壕法除实得八丈为壕深求工料共数如术以城通长徧乘丈率工永定柱爬头拽后木子木橛子木絍索芦蓆筀竹水竹青茅城甎石版石灰各得以共工乘日支钱米得共钱米更不立革

按草中法数有不合者逐条改正如左

一题言城脚周廻铺石版三层通身用甎包砌应于先求得一丈自乘幅数再乘之二十一万寸数内减去三层石脚之一万三千五百寸余一十九万六千五百寸为甎实以甎则三十寸除之得六千五百五十觔为甎数草中即以全积为甎实故得数差多四百五十片

一女头鹊台全积一十八万一千四百四十寸一箭窻虚积一千六百二十寸三眼应三因之得四千八百六十寸以减全积余一十七万六千五百八十寸为实以一甎积一百八十寸除之得九百八十一片为甎数草中只减一眼虚积故得数差多一十八片

一并城墙鹊台防险墙三甎数得共用甎八千零三十一片草中差多四百六十八片

一题言城脚铺石版三层应以甎阔六寸乘九幅得五十四寸以一丈乘之得五千四百寸三因之得一万六千二百寸为实以石之长阔相乘得一千寸为法除之得一十六片二分草中并无求法但云毎丈用石版十片差少六片二分