新法算书

面小立方体一事六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体即上图子丑是也

右度数家以度理解数学【度者防线面体量法也数者一十百千等算法也】亦以数理解度学如鸟两翼交相待而为用也今依

此借数以明立方之体如初方

体之边各四则一面之积为一

六其容积六四平廉之两大面

亦一六其高设五相乘得容积

八○长廉之长亦四其两端之

高广各五则其容积一○○立隅之边各五则其容一二五此八体并之以三平廉合于初方之甲丙乙丙丙丁三面以三长廉补三平廉三阙以立隅补三长廉之阙即成一总立方也　又算法单数乘单数生单数【如四乘六为二四是为六者四积为二十四而其根四乃单数也】单数乘十数生十数【如四乘三十为一二是为三十者四积为一百二十而其根二乃十数也】十数乘十数生百数【如三十乘八十为二四是为八十者三十积为二千四百而其根四乃四百也】推之则十乘百生千百乘百生万也　今依此推前总立方以四十五为全根其初方之一边为四十其面则为四十者四十是一千六百也是十乘十生百也其容积为一千六百者四十是六万四千也是十乘百生千也　其平廉之两大面与初方之面等亦一千六百其高五是单数以乘百得八十者百是八千也是单乘百生百也立廉三三倍之得二万四千也　长廉之高广皆与平廉之高等为五是单数其面为二五单根也其长与初方等为四十相乘得四十者二十五是为一百者十则一千也是单乘十生十也长廉三三倍之得三千也　立隅体与平廉之高等为五是单数自乘得二五亦单数也再乘得一二五亦单数也是单乘单生单数也　已上共得九万一千一百二十五为两啇之总立方积其根四十五右以数明立体之理其在筹则右行自一至九者立方根数也左三行自一至七二九者即方根自乘再乘之数也自乘再乘止于三位如三自乘再乘为二十七九自乘再乘为七百二十九故列实下隔二位作防查实下几防知立方根当几位也法先于第一防以上查实简筹或适足或畧少者即初啇之立方体平行求得其根也　次初啇根自乘得平廉面与初啇之体等三倍者三平廉也平廉之筹列立方筹之左者立方筹之右行为单数中行为十左行为百平廉筹右行之号亦百数也以合于立筹之左行共为几百也　次平廉之面积三偕初啇之根三并为分率数以求六廉一隅之高于立筹平筹上求余实之近少数【不欲太少为尚有长廉之容故也】约可用者平行取根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅筹上所自有也又平行取次啇之平方积乘长廉筹之数得长廉之容长廉之号为十数以列于约数之下进一位作十数　次求七体之总积初体之外有平廉三长廉三立隅一其定位立隅在本筹之上为单数次啇与三长廉法相乘得数为三长廉之实此数之号为十数三平廉之筹加于立筹之外其号为百数通并之以除余实未尽而原实有三防者以先两啇之总方为初体复如前法三啇之亦并八体为一总体不及啇为一者依法命之

同文算指曰先得之根【初啇也】乘于三十今曰三之【长廉法也】所得之号为十数也又曰先根之方【初体之面】乘于三百今曰三之【平廉法也】所得之号为百数也一也

假如有积四千九百一十三别列为实从末位三向前隔二位各作一防即知啇二位也防在实首四为单数视立方筹内再乘之数无四下八过实用其上一实之近少数也平行向右取一为方法【即方根】另列之为初啇即以一【千】减四【千】存三【千】以并次防之实得三九一三为余实次用初啇一自乘【为平廉面】而三倍之【三平廉故】得三百为平廉法【亦名倍方数】取三号筹列立方

筹左又以初啇一十三倍之

【一者长廉边三长廉故三倍】得三为长廉

法【亦名倍根数】取三号筹列立方

筹右于列筹【立方筹与平廉筹也】内并

数取其少于余实者为约数

第其中有长廉之实不得过

少又不得多多者如第九格

遇三四二九以为约数近少

矣另列之向右平筹自乘数

内平行取八十一乘于长廉法三得二百四十三列近少数【三四二九】下进一位并得五八五九则多于余实也至第七格遇二四四三以为约数另列之向右平筹自乘数平行取四十九以乘长廉法三得一百四十九列近少数【二四四三】下进一位并得三九一三除实尽【平廉筹之二千一百平廉实也立方筹之三百四十三立隅积也平方筹之四十九长廉两端之面也以乘长廉法三十得一四七长廉积也诸筹之上一一分明】平行求其根得七即七为次啇也得总立方之根一十七

又如积九百一十五万九千八百九十九别列为实从末位九向前隔二位作一防凡三防当啇三位也防在实首九为单数视立方筹内再乘之数无九下二七过实用其上八实之近少数也平行向右取二

为方法另列为初啇即以八

减九存一以并下位得一一

五九为余实次用初啇二自

乘而三倍之得一十二为平

廉法取一号二号两筹列立

方筹左又以初啇二三倍之

得六为长廉法取六号筹列

立方筹右于列筹【立方与平廉共三筹】内并数取其少于余实者为

约数试之而无有【最少者为第一格之

一二○一】则知啇有空位于初啇

下作圏以当次啇复开第三

防之余实为一一五九八九

九前二啇二○【百十也】自乘之

得四○○【四万也】三倍之为一

二○○【一千二百】依数取四筹为

平廉法列立方筹左前啇二

○三倍之得六○取二筹为

长廉法列立方筹右于列筹

【立方与平廉共五筹】内并数取其少于

余实者为约数至第九格方

得一○八○七二九另列之

向右平筹自乘数平行取八

十一以乘长廉法六○得四

八六○列近少数【一○八○七二九】下进一位并得一一二九三

二九除实不尽三○五七○

其三啇平行取根得九并初

二啇得立方根二○九不尽

者更欲细分之则用命分第

二法于余实后加三圏得三

○五七○○○○为余实依

上法再开之以前啇二○九

自乘为四三六八一又三倍

之为一三一○四三取此六

筹列方筹左为平廉法又以

前啇二○九三倍之为六二

七取此三筹列方筹右为长

廉法于列筹【左筹七】内并数取

其近少为约数试之至第二

格遇二六二○八六○八为

近少于余实【三○五七○○○○】另列

之向右平筹自乘数内平行

取四乘于长廉法六二七得

二五○八列近少数【二六二○八六

○八】下进一位并得二六二三

三六八八以除实不尽四三

三六三一二即取右根二为

啇数依法命为一十分之二

分也若欲再开则余实后又

加三圏得四三三六三一二

○○○为余实依上法以前

啇二○九二自乘为四三七

六四六四又三倍之得一三

一二九三九二取此八筹列

方筹左为平廉法又以前啇

二○九二三倍之为六二七

六取此四筹列方筹右为长

廉法于列筹【左九筹】内并数取

其近少至第三格遇三九三

八八一七六二七为近少于

余实【四三三六三一二○○○】另列之向

右平筹自乘数平行取九乘

于长廉法六二七六得五六

四八四列近少数【三九三八八一七六

二七】下进一位并得三九三九

三八二四六七以除实不尽

三九六九二九五三三即取

右根三为啇数依法命为二

百○九又一百分之二十三

分也若再开则余实后又加

三圏得三九六九二九五三

三○○○为余实依上法以

前啇二○九二三自乘为四

三七七七一九二九又三倍

之得一三一三三一五七八

七取此十筹列方筹左为平

廉法又以前啇二○九二三

三倍之得六二七六九取此

五筹列方筹右为长廉法于

列筹【左十一筹】并数取约至第三

格遇三九三九九四七三六

一二七为近少于余实【三九六九

二九五三三○○○】另列之向右平筹

自乘数平行取九乘于长廉

法六二七六九得五六四九二一列近少数【三九三九九四七三六一二七】下进一位并得三九四○○○三八五三三七以除实不尽为二九二九一四七六六三即取右根三为啇数依法命为二百○九又一千分之二百三十三也余实任开之终不尽何者无立方数不得有立方根也

算子钱法【増】

以筹布算其乘除诸法皆能去繁就简不待论矣若算章中有用开平立方者有用开无名方者至难至赜也用筹则比他算特为简易故附载此法　按九章算衰分篇中有借本还利皆用乘法即此法之还原也今法必用开方故为难耳

假如借银若干满若干年还本息总银若干问每年息银若干

如本银一百两满一年总还一百二十两问息若干法两数【本银一总银一】相减余二十是百两一年之息也又满二年总还一百四十四两问每年息例若干法以母银数【一百】乘总还数【一百四十四】得数为积开方得根数为实以母银为法减之所余者为原银一年之息也若满三年总还一百七十二两八钱问息例若干又满四年以上皆息转为本纷莫可寻则依图法求之

图说

图有直行有横行直行者每年所用之法与数横行者诸同类之法同类之数也其直行之首无年数无总银数者则上年之次法或又次法任用之【白字为法墨字为数】

第一横行为满年数【借日至还日积年之数】

第二横行为所还之总银【母银并息银之总数】

第三横行为母银所用之法【或母银自乘或再乘三乘等以求积而开方】第四横行为母银用法所乘出数与总银相乘得数第五横行为各年所用开积之本法【如开方或开立方等】

第六横行为所求之数【即满一年之总数本息俱见者也】减原银得息例

用法

假如初借母银三两满四年总还银四十八两问每年若干起息【母银三两满一年总还若干即转为次年之母依前例起息总应若干又转为母如是嵗嵗递加母数渐増息例如旧】

法依图试查满四年直行其第一格为年数【即四】第二格为总还【四十八两】之银【原银若干息例若干各依本例积成总数】第三格母银所用之法为再乘即以原银三再自之得二十七第四格以二十七【母所乘出之数】乘四十八【总银】得一二九六为实积第五格本年所用开积之法为开平方二次【积为一二九六】初开得三十六再开得六六者满一年之总银减原银三余三为满一年之息

又如母银五十八两四钱满三年总还银一百二十五两三钱问一年息若干

法用本行第三格曰自乘即原数自之得三四一○五六以总银乘之得四四九二七六一六八第五格法曰开立方用法开得七十六两五钱【不尽实加三位开零根得】八分九厘八毫不尽减原银余十八两一钱八分九厘八毫为满一年之息依此例求母银百两息几何用三率法原银为一率息例为二率今银【一百】为三率依法得四率三十一两一钱四分六厘九毫不尽为百两一年之息

此用递加倍数之法详见算学全义义见几何第十卷

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十二>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十二>

新法算书卷二十二

逺镜说

人身五司耳目为贵无疑也耳与目又孰为贵乎昔亚利斯多穪耳司为百学之母谓凡授受以耳学问所以弥精弥广也若目司则巴拉多称为理学之师何者盖当其陡与物遇见其然即索其所以然由粗入细由有形入无形理学始终总目为牖矣而不宁惟是明光色光较形声臭味独居上分不既属于目乎观夫亚尼玛以目为居止孟子谓存乎人者莫良于眸子则

凡情开意动之微必达于目善恶莫掩有如执左契然者且耳之于声也有待目之于形也无待闻每后见每先闻每似见每真闻仅有轻重清浊见岂特黄采素而已哉物体有大小方圆邪正动静数有多寡位有逺近畴非于目辨者乎诚若是则目之贵于耳也明矣虽然耳目皆不可废者也则佐耳佐目之法亦皆不可废者也第佐耳者用力省以管则逺以螺则清利物出于天成其巧妙自无可得而言佐目者用力烦管以为眶镜以为睛利物出于人力其巧妙诚有可得而言者无可得而言者言之则诞有可得而言者秘之则欺此逺镜说之所由述也天启六年嵗次丙寅仲秋月大西洋汤若望题

利用【计二端】

夫逺镜何昉乎昉于大西洋天文士也其用之利可胜言哉盖凡人视近与大易视逺与小难逺镜则无逺近无大小者也约畧言之天象地形不出其照而至若山

海之间尤为备盗之先资补益

人世亦大矣奈何忽为悦目快

心之具也今试姑举一【二】以概

其用

一利用于仰观【计六条】

用以观太隂则见本体有凸而

明者有凹而暗者盖如山之高

处先得日光而明也又观月时

试一目用镜一目不用镜则大

小迥别焉

用以观金星则见有消长有上

下如月焉其消长上下

变易于一年之间亦如月之消

长上下变易于一月之内又

见本体间或大小不一则验其

行动周围随太阳者居太阳之

上其光则满居太阳之下其光

则虚本体之大小以其居太阳

右之上下而别焉

用以观太阳之出没则见本体

非至圆乃似鸡鸟卵盖因尘气

腾空遮恍惚使之然也【即此可知

尘气腾空高逺几许】若卯酉二时并见太

阳边体龃龉如锯齿日面有浮

游黑防防大小多寡不一相为

隠显随从必十四日方周径日

面而出前防出后防入迄无定

期竟不解其何故也

用以观木星则见有四小星左

右随从防卫木君者四星随木

有规则有定期又有蚀时则非

宿天之星明矣欲知其与木近

逺几何宜先究其经道圏处合

下即騐矣

用以观土星则见两傍有两小

星经久渐益近土竟合而为一

如卵两头有两耳焉

用以观宿天诸星较之平时不

啻多数十倍而且界限甚明也

即如昴宿数不止于七而有三

十多鬼宿中积尸气觜宿中北

星天河中诸小星皆难见者用

镜则了然矣又如尾宿中距星

及神宫北斗中开阳及辅星皆

难分者用镜则见相去甚逺焉

是宿天诸星借镜騐之算之相

去几何丝毫不爽因之而观察

星宿本相星宿所好星宿正度

偏度于修厯法尤为切要以上

六条是聊述观天之槩也

一利用于直视【计三条】

楼台高处用之则逺见山川江

河树林村落虽人物行动如在

目前若陡遇兵革之变无论白

日即深夜借彼火光用之则逺见敌处营帐人马器械辎重便知其备不备而我得预为防宜战宜守或宜安放铳炮功莫大焉

海上用之则数十里外之行舟人但见为块然如山石者我能别其船舟何等帆旂何色或为友伴或为强徒与夫人数之多寡悉无谬焉

居室中用之则照见诸逺物其体其色活泼泼地各现本相大西洋有一画士秘用此法画种种物像俨然如生举国竒之以上三条是聊述地海人间之槩也

附分用之利【计三端】

夫逺镜者二镜合之以成器者也其

利用既如斯矣乃分之而制造如法

则又各利于用焉即中国所谓眼镜

也试言之

一利于苦近视者用之【一条】

世有自少好逺游喜逺望者年老目

衰则不苦视逺物而苦视近物不耐

三角形射线而耐平行射线习性使

然耳若用逺镜之中高镜则物象一

防之小散射镜面从镜平行入目巧

合其习性视近不劳而自明也然又

有未尝好逺游逺望而平日专务平

直是视者亦必老至力衰则视物不

能敛聚其象象形直射恍惚不真若

用中高镜则物形虽小而暗视之自

大而显矣

一利于苦逺视者用之【一条】

有书生目不去书史视不逾几席习

惯成性喜三角形视近不耐平行视

逺者亦有非繇习惯但眸子精力不

开广视物象不得员而满者是二人

者用逺镜之中洼镜则物象从镜角

形入目乃合其习性视物自明矣

一分用不如合用之无不利【一条】

人有目精全衰视物全暗者则与无

目同天日不能照固非镜之所能与

力也乃有目精至强视物至明者用镜亦反加翳焉何也吾人睛中有眸张闭自宜睛底有□屈伸如性高洼二镜自备目中何以镜为若二镜合用之于逺镜则不然逺镜者目明益明象显益显实备非常之用者也

原繇【计三端】

一易象不同而逺镜独妙于斜透以为利用之原【计三条】

是镜之妙妙乎能易物象也何谓易象盖凡物之有形者必发越本象于空明中以射人目若象目交接之间无所阻碍则象从径线直射入目矣茍如为他物形所间则本象或斜透其照而易者有之或反映其照而易者有之乃是镜易象之妙则妙乎有斜透而无反映此其所以利用也

何谓斜透而易反映而易盖象与目交而为物所间槩有二焉一曰不通光之体一曰通光之体不通光之体可借喻镜面夫镜有突如球平如案洼如釜之类其面皆能受物象而其体之不通彻皆不能不反映物象反映之象自不能如本象之光明也所谓反映者此也通

光之体又分二体一谓物象遇大光

明易通彻者比发象元处更光明而

形似广而散焉一谓物象遇次光明

难通彻者比发象元处少昏暗而形

似敛而聚焉今试以象遇大光明易

通彻者言之即如前图甲象居盂底

直射乙目乙目可视乙目偏东则象

不现而目不见碍于盂边也若充水

齐边则象上映于水遇空明气之大

光明即邪射而象更显焉甲象更广散于丙丁边东目视丙边即视丙象而象体似居戊处矣即东目更移东尚可见象而象体若更浮戊上矣是又因象映而然也又如舟用篙橹其半在水视之若曲焉张防取鱼多半在水视之若短焉乂鱼者见鱼象浮游水面而投乂刺之必欲稍下于鱼乃能得鱼盖水气两隔恍惚使然渔夫习之熟知其必然而不知其所以然耳试以象遇次光明难通彻者言之即如上图甲象在空明气盂底无水直射盂底乙处乙处可视甲象若戊处则象不射戊

不见碍于盂边也盂内充水至于丙

丁则空明甲象入水稍暗敛聚于丙

丁边戊视丁边则明见甲象而象体

似居己处矣凡此皆所谓斜透者也

夫所云间隔物体大光明能广散物

象次光明能敛聚物象盖必大与次

不同体者也若前后二镜亦既同体

矣而亦有广散敛聚之别则以同体

而不同形耳前镜形中高类球镜而

通彻焉是即次光明意也所以照日光能渐聚大光于一防而且照日生火照第一等星光能透明于纸上夜借灯光亦能逺照后镜形中洼类釜镜而通彻焉是即大光明意也所以照日光则渐散大光至于无光而且照日不能生火不能照星不能逺照正与前镜相反然照象则甚鲜明也

一射线不一而逺镜兼摄乎屈曲以为斜透之繇【一条】

光明之体间隔物象者有正有邪而物象之来有直有

偏以故象直矣而体有未正则象来

之线尚多屈曲况象偏乎体正矣而

象有未直则象来之线亦多屈曲况

体邪乎若二镜照物之时则必皆正

者也但物象射线不能皆直盖必射

线直入镜之中央方无斜透不然射

线去中或近或逺皆不免屈曲所以

皆不能无斜透也

一视象明而大者繇乎二镜之合

用【计二条】

二镜之性乃相反以相制者也独用

则偏并用则得中而成器焉夫逺物

发象从平行线入目则目视逺物亦

必须从平行线视象假若二镜独用

其一则前镜中高而聚象聚象之至

则偏偏则不能平行后镜中洼而散

象散象之至则亦偏偏亦不能平行

故二镜合用则前镜赖有后镜自能

分而散之得乎平行线之中而视物自明后镜赖有前镜自能合而聚之得乎平行线之中而视物明且大也前镜视逺去目如法物象每见其大焉盖以全镜之体照物体之分分则见其大矣若镜目相近则虽镜体得照全象分分不遗而象则小矣后镜视逺近目如法视物每见其大焉盖以全象视物之体若镜目相逺则以象之一分视物之体而已总之分二镜而用之则不免昏暗套筒而合用之则彼此相济视物至大而且明也

造法用法【计九端】

造镜至巧也用镜至变也取不定之法于一定之中必须面授方得了然若但凭书不无差谬今亦撮其大畧而已

一镜【一条】

造法曰用玻璃制一似平非平之圆镜曰筒口镜即前所谓中高镜所谓前镜也制一小洼镜曰靠眼镜即前所谓中洼镜所谓后镜也须察二镜之力若何相合若何长短若何比例若何茍既知其力矣知其合矣长短宜而比例审矣方能聚一物像虽逺而小者形形色色不失本来也

一筒【一条】

镜止于两筒不止于两筒筒相套欲长欲短可伸可缩一逺近各得其宜【一条】

用法曰镜筒相宜以视二百步为定则因之而视数十里视天象视地形无不同之若视二百步以内物形弥近筒镜弥长逐分伸长物相明亮即为限止大要伸缩宜缓而不宜急

一避便观【计三条】

用以视太阳金星则二者光射明烈故须于近镜上再加一青绿镜少御其烈镜筒再伸分寸许则光相不目力乃精视乃不幻也

视太阳又有两法一加青绿镜如上所云一不必加青绿镜只以筒镜两相合宜以前镜直对太阳以白净纸一张置眼镜下逺近如法撮其光射则太阳本体在天在纸丝毫不异若用硬纸尺许中翦空圆形冒靠后镜上则日光团聚下射纸面四暗中光黑白更显体相更真矣若遇依稀云雾天太阳本体居明暗中不用绿镜不用硬纸只以平常格式用目视更快也