新法算书

至午日至夘心至丙日至辰心至申日至未心回丁日回己日在小轮周上行成己庚寅子丑夘辰未圏即是不同心之圏其心为酉而酉戊两心相距之度即小圏之半径

又如上一图用不同心圏午为日从地

心戊本圏心酉各作线至午成戊酉午

三角形如二图用小轮子为日子癸为

小轮半径从地心戊作戊子线成戊子

癸三角形其戊酉午形与戊癸子等戊

酉与子癸等子丑弧与午乙等【圈大小不等而

度分等】即子癸丑角与乙酉午角等其余

角午酉戊与子癸戊亦等戊午戊子两边等【日距地心之度等故】则戊酉午与子癸戊两形等形等则所求之日距地心若干太阳平行自行之差日体大小之类或用不同心圏或用小轮其得数同也

测定本轮之大小逺近及其加减差第六

【借西古史多禄某及近世歌白泥之论】

法用三防食测算【此多禄某所用】

第一食总期之四千八百四十六年为汉顺帝阳嘉二年癸酉五月【西厯之月今三月】初六日子正后【顺天府时刻】一十八刻○十分月全食日躔大梁宫一十三分一十四分其平行一十二度二十一分

第二食四千八百四十七年为阳嘉三年甲戌十月【建戌之月】二十四日子正后【顺天府】一十七刻○十分月食十二分之十在黄道南日躔夀星宫二十五度○十分其平行二十六度四十三分

第三食四千八百四十九年为永和元年丙子三月【建寅之月或建夘】初六日子正后三十七刻○五分【顺天府为在昼不见】月食十二分之六在黄道南日躔娵訾宫一十四度一十二分其平行为一十一度一十四分

前二防中积

太阳太隂两视行皆为一百六十一度五十五分【各减全周】是为黄道上两防相距之度

积日为五百三十一日九十三刻若平日为九十三刻○七分

于时月平行距日为一百六十九度三十七分

月自行为一百一十○度二十一分【本轮行度】

视平两行之较得七度四十二分以为加减率【平行大视行小用减法为月自行过小轮或不同心圏之最髙　在最髙逆行故】

后二防中积

太阳太隂两视行皆为一百三十八度五十五分是为黄道上两防相距之度

积日为五百○二日二十○刻若平日为二十二刻于时月平行距日为一百三十七度三十三分

月自行为八十一度三十六分

视平两行之较得一度二十一分以为加减率【平行小视行大用加法为月未至最髙】

大图说　外大圏白道也小圈为太隂之本轮第一防月之视行在子平行【小轮心在丁庚丑线】在丑【视行大必在前】第二防月之

【视行　　　　　　　　在午平行在丑第三防月视行在未平行大必在前小

轮上　　　　　　　　防一防月　在甲第二防在乙第】

【三在　丙甲乙丙三防以后】

小图说【即前大图中之小轮分图】此借古史成法用二小轮【一为本轮一为次轮】以齐月行似为足矣别有诸家异同之说更仆难罄未能悉举

如图以地心

丁为心作午

未丑子黄道

弧【大图言白道者度分相若互言之】庚为小轮心依黄道自西而东【右旋】二十七日有竒而一周天此为交周日行十三度一十分有竒太隂日平行度也月体在小轮【即本轮】之上从甲向乙【左旋】二十七日有竒而一周本轮此转周也日行十三度三分有竒太隂日转自行度也【小轮亦分三百六十度与周天等说见本篇第五　所谓月体在小轮之上者乃朔望之时也其外非在此见下文】

依上法列平行立成表取小轮心行度推某日太隂在某宫某度分即丁庚丑线所指黄道度分也又用测法或防食时推算求太隂所躔宫度得丁乙午丁戊甲子等线定丑丁午丑丁子等角即两行之差也以为加减之率如大图三防食第一食月在甲去甲一百一十度【两防自行相距之度】而至乙乙者第二防食之月离度也【甲乙之间平行多视行少则乙在小轮之右又乙行迟段故月在小轮之上弧】推得两防中积视行平行

之差为七度

四十二分即

黄道上子午

也又去乙八十一度二十一分而至丙【乙丙之间视行与平行差少故丙亦在小轮之右又丙行疾段则在小轮之下】推得两防两行之差为一度二十一分即黄道上午未也次得丙甲弧一百六十八度○三分【丙甲之间自行大平行小丙行疾段在小轮下】月行丙甲弧两行之差为六度二十一分【以前午子午未二差相减得未子较为此两行之较】

又如上图乙丙丙甲两弧并即平行少视行多必在最庳之两旁【行疾段故】甲乙反之即平行多视行少必在最髙之两旁【行迟段故】次定己为最髙从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线甲丁割小轮圏于戊次作乙丙丙戊戊乙三线成乙戊丙形乙戊丁等形

乙戊丁形有乙戊丁角【甲戊乙角之余甲戊乙者甲乙弧之在界乘圏角也半甲乙弧得五十五度一十分半为甲戊乙角后凡言乘圏角即所乘弧折半推算全圏分一百八十度】一百二十四度四十九分半又有戊丁乙角【其对弧为黄道弧之子午七度四十二分】即戊乙丁角【以满一百八十度】必四十七度二十八分半依

三角形用法

以角求边之

比例【三角形外作切】

【圏即乙角对戊丁弧其为戊丁线丁角对乙戊弧其为乙戊线戊角对乙丁弧其为乙丁线】十万为全数【全周之半径】查表【八线表中有法】得乙戊为二六七九八戊丁为一四七三

九六【半弧度查表求正倍正得通】

戊丙丁形有戊角【甲戊丙角之余也甲乙乙丙二弧并为一百九十一度五十七分因乘圏半之为甲戊丙角度其余为丙戊丁角度】八十四度一分半有戊丁丙角【戊丁丙角之弧为两行之差未子】六度二十一分自得戊丙丁角依三角求边之比例得戊丁一九九九九六戊丙二二一二○

先得乙戊戊丁之比例次得戊丁戊丙之比例用变率法通之【变率者变两戊丁为同数他率从之也用三率法次戊丁为第一率次戊丙为二率先戊丁为三率求四率得先戊丙即两比例之数俱同类】得两戊丁俱一四七三九六戊丙

一六三○二戊乙二六七九八

又乙戊丙形有乙戊戊丙两边有乙戊丙角【乙丙弧之半】求乙丙得一七九六○乙丙线

者乙丙弧之

也乙丙弧

为八十一度

三十六分若设小轮全径为二十万分即乙丙为一二○六八四用变率法【见前】乙丙之先数得丙戊丙丁为某数【云某数者先乙丙为一率先戊丙为二率相偕为比例也】乙丙之次数得某数算得戊丙一一八六三七戊丁一○七二六八四既得戊丙求其弧得七十二度四十六分一十秒为戊壬丙有戊壬丙弧并入丙乙乙甲以减全周余九十五度一十六分五十○秒为甲戊弧其一四七七八六为甲戊线甲戊弧于全周为小分则圏之心必在甲戊外置庚心作己庚壬丁线定己为最髙壬为最庳

次依几何原本【三卷三十六题】甲丁戊丁两线内矩形与己丁壬丁两线内矩形等又己丁壬丁矩形及庚壬上方形并与庚丁上方形等则甲丁丁戊相乘加全数庚壬上方积以开方得庚丁为一一四八五五六次设庚丁全数为十万用变率法得庚己八七○六是为月天半径与小轮半径之比例

次从庚心作甲戊之垂线平分甲戊线于辛截甲戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有辛丁【先得丁戊戊甲今庚辛线平分甲戊以辛

戊加戊丁得】一一四六五七七又有庚丁一

四八五五六求辛庚丁角得八十六度

三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也以减半周余九十三度二十一分半为癸己弧先得甲戊弧为九十五度一十六分五十○秒甲癸半之为四十七度三十八分三十○秒以减癸己余四十五度四十三分为甲己是第一防食太隂未至最髙之度也以减甲乙余六十四度三十八分为己乙是第二防食太隂过最髙之度以己乙并乙丙得一百四十六度一十四分是第三防食太隂距最髙之度

依上算得辛丁庚角三度二十六分黄道子丑弧也为第一食两行之差【小轮心指黄道上之丑防本行从丑向子则月在子居前平行在丑居后】应于平行加丑子度分为视行又甲丁乙角七度四十二

分减去甲丁

丑角余己丁

乙角四度二

十一分于黄道弧为午丑是第二食两行之差【乙在最髙之后月视行未至丑】应于平行减午丑度分为视行又丙丁乙角先为一度二十一分以减午丁丑角余丙丁丑角二度四十九分于黄道弧为未丑是第三食两行之差【丙未至最髙冲】应于平行减未丑度分为视行

末第一食月视行离大火宫一十三度一十五分于黄道弧为子【太阳躔其冲大梁宫度分同】今得两行之差丑子三度二十二分减视行率得平行小轮心度丑为在大火宫九度五十三分第二食视行离降娄宫二十五度○六分于黄道为午两行差四度二十一分以加视行率得丑为在降娄宫二十九度三十分第三食视行离鹑尾宫一十四度一十二分于黄道为未两行差三度二十二分以加视行率得丑为在鹑尾宫一十七度○四分一系因上论可得小轮半径【庚壬】与月天半径【庚丁】之比例二系可得两行之极大差法从地心丁作丁夘线切小

轮于夘因几

何【三卷三十六题】丁

夘切线上方

形与己丁壬丁两线矩内形等今先有己丁壬丁两数以相乘开方得夘丁既夘丁庚形有三边以求夘丁庚角是为两行之极大差【此差古今测法同得数小异别有图表见后卷】五度一分上法用不同心圏得数无异

测本轮大小逺近及加减差后法第七

法同上用三防食【此近世歌白尼法今时通用】

第一食总期之六千二百二十四年为正徳六年辛未十月【西厯之月今九月】初七日子正后二十八刻【顺天府时刻下同】月全食太阳躔夀星宫二十二度二十五分平行为二十四度一十三分

第二食六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月初六日子正后三十一刻月全食太阳躔鹑尾宫二十二度一十二分平行为二十三度四十九分【今作八月】

第三食六千二百三十六年为嘉靖二年癸未八月二十六日子正后四十二刻一十分月食太阳躔鹑尾一十一度二十一分平行一十三度○二分【今作八月】

前两防食黄道上相距之中积视行度【减全周】为三百二十九度四十七分中积日为三千九百八十七日平时三刻一十分于时交周上中积平行度【减全周】为三百三十四度四十七分本轮自行【减全周】为二百五十○度三十六分因自行度是生平行视行之差五度以为加减率【中积之视行大平行小故月在小轮之右】

后两防食黄道上相距之中积视行度为三百四十九度○九分中积日为三百五十四日平时十二刻○九分于时交周上中积平行度为三百四十六度一十分本轮自行为三百一十六度四十三分因自行度是生两行之差二度五十九分以为加减率【中积之平行大视行小因差少月仍在小轮之右】

第一食月在甲从甲数前二防之自行中积二百五十度三十六分至乙即乙为小轮周上第二食月离所在而乙甲余弧必一百○九度二十四分甲丁乙角之弧为午子五度是人目所见黄道上两行之差

又从乙【第二防月离所在】过戊申数三百一十六度四十三分至丙即第三防月离所在而丙乙弧必五十三度三十七分丙丁乙角之弧为午未二度五十九分是黄道上两行之差

又乙丁甲角去减丙丁乙角余甲丁丙角为子未二度○一分为黄道上两行之差

次并甲乙乙丙弧得一百六十二度四十一分以减全周余一百九十七度一十九分为丙己甲弧是周之大半即周之心在其内次作丁庚丑线定己为最髙从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线丙丁线割小轮圏于戊次作乙甲甲戊戊乙三线成甲乙戊形

乙戊丁形有戊丁乙角【二度五十九分】又有乙戊丁角【丙戊乙角乘丙乙弧二十六度三十八分半其余以满一百八十度为乙戊丁角一百五十三度二十一分半】即戊乙丁

角【第三为二】十三

度三十九分

三十○秒以

求各腰【倍角之数求其即对边之数】得乙戊边为一○四二戊丁为八○二四

次甲戊丁形有甲丁戊角【未子二度一分】有甲戊丁角【甲戊丙角乗甲己丙弧一百九十七度一十九分半之得八十八度三十九分半甲戊丙角也其余为甲戊丁角九十一度二十○分半】即有戊甲丁角有三角求其边若戊丁为八○二四则甲戊为七○二

次甲戊乙形有戊乙【一○四二】戊甲【七○二】两边有乙戊甲角【乗甲己乙弧二百五十○度三十六分半之为一百二十五度一十八分】求甲乙得一二二七

若小轮之半径庚壬为全数即因甲己乙弧之度推得甲乙又用变率法推乙戊戊甲戊丁各线与庚壬全数为同比例之数算得甲乙为一六三二三戊丁为一○六七五一戊乙为一三八五三有戊乙即得戊乙弧为八十七度四十一分以并乙丙弧得一百四十○度五十八分求其得一八八五○为丙戊以并戊丁得一二五六○二

次依几何原

本【三卷三十六题】丙

丁丁戊两线

内矩形与己丁丁壬两线内矩形等又己丁丁壬矩形及庚壬方并与庚丁方等则以丙丁丁戊矩形一三四○八一三九一○二庚壬方【庚壬全数为一万】一万万并为积开方得庚丁方之边为一一六二二六次设庚丁全数为十万变庚壬为八六○四是为月天半径与小轮半径之比例与前古法所得小异

次从庚心作丙戊之垂线平分丙戊线于辛截丙戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有庚丁【一一六二二六】有辛丁【先得戊丁一○六七五一又有丙戊一八八五二半之为辛戊九四二六以并戊丁为一一六一七七】求庚丁辛角得一度三十九分为未丑又求辛庚丁角得八十八度二十一分为癸壬弧并丙癸【先得戊乙丙弧一百四十度五十八分其半为丙癸七十度二十九分】得一百五十八度五十○分其余【以满半周】为丙己二十一度一十分是第三食月距小轮最髙之自行度第二食月在乙乙己弧七十四度二十七分为其距最髙之自行第一食月在甲甲乙己一百八十三

度五十一分

为其距最髙

之自行

又己丁丙角为未丑一度三十九分月在平行之后则第三食平行内应减未丑丙丁乙角为午未二度五十九分月在平行之后则第二食平行内应减午未两角并得午丑四度三十八分为第一食应减之数而甲丁乙角先得五度因月在小轮下弧则为应减之数一加一减相准余壬丁甲角为丑子弧○度二十二分则第一食平行内应加丑子

末第一食月视行经度离降娄宫二十二度二十五分减丑子弧二十五分【视行内应减平行内应加】得平行为在降娄宫二十二度○三分第二食月视行离娵訾宫二十二度一十二分加午丑弧四度三十八分得平行为在娵訾二十六度五十○分第三食日视行离娵訾宫一十一度二十一分加己丁丙角一度三十九分得平行为在娵訾宫一十三度皆食时之经度也

因上二论以推加减立成表如后卷

试旧推平行率各术疎宻第八

依前法用太隂加减差表定前后两防食之中积时可得太隂之平行率又用上论求两食之本轮自行度若此两率之距本轮最髙或最庳等则所定平行率为确合

如前本篇第六所用第二防食为总积之四千八百四十七年系汉顺帝阳嘉二年【多禄某所用】其各率见本章　又第七所用第二防食为总积之六千二百三十五年系正徳六年【歌白尼所用】其各率见本章其中积率为平年【三百六十五日】一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分其间交防满一万七千一百六十六周其自行本轮亦满全周则为确合今依上古法推【依巴谷在周显王时】减全周外余三百五十九度四十八分○七秒【转周不及交防一十一分五十三秒】依中古法推【多禄某在阳嘉年】减周外余三百五十九度三十七分四十九秒【转不及防二十二分一十一秒】依近世法推【歌白尼在正徳年】减周外余四分则知近世之法视古为宻葢测验推步一二千年积功力积智巧所定诸法渐次加精故也定太隂平行自行之厯元第九

厯元者于某地之某年月日时刻定某曜躔本天之某度分为推步之根本上遡既往下迄将来靡不准此或加或减以得随时所躔各度分也

今拟定崇祯元年戊辰天正冬至后子正初刻为厯元其地则

京师顺天府定为厯元之本所厯元则上下推步略同古法论地则自唐至元有测验北极出地之法是为地之纬度若其东西经度从古未有也今立法以本府为根其南北北极出地三十九度五十五分有竒九服皆随地测验东西则以本府为初度初分九服依此为准或加或减推算各地本时本曜之各所求度分别有本法本论【如后卷】

右北极出地度通为四十○度四十九分有竒中西二率悉与古法不合葢前人未悟地半径差气差于两至所测之髙应加应减故也说见日躔厯指

用厯元前一月食之嵗月日时及厯元之嵗月日时取其中积日求太隂之平行若干度分减朔防【一交防之全周】余度分为厯元之平行度分则朔应也又考月食时得自行若干度分亦算中积时之自行若干度分两数并得为【转应也新法算书卷二十八】

厯元之自行度分则

钦定四库全书

新法算书卷二十九　　明　徐光启等　撰月离厯指卷二

解第二均数第十

如上论因月有本轮自行度以致不平不顺定朔定望多寡不一今用其自行度分加减其平行视行以定均数则于定朔定望及交食之法始无遗漏乃厯家详测宻推以为未足尽月行之理故又立次轮一法以定均数与本轮第一均数并用之今解其义如左

古今测月行审有自行度与平行不合立为本轮法【或不同心】与自行加减以定朔望以正交食然其朔望之极大差不过五度此本轮之半径也是知定朔定望时太隂恒在本轮之周矣其在上下之差则不然古厯于上下日推太隂自行本轮之二限四限【左右两傍之尽处所谓留际也如此则为去最髙之极大差】又在黄道之九十度限【一名黄平象限如此则无东西视差】以定本日之经度若如本轮法则此差止应得为五度及用圆浑仪测候或以距太阳求月之视行经度或以恒星求其黄道上之视经度得数乃与先推殊不合论推算宜得五度论测度则得七度四十分从古至今累测皆如之又测前后若干日亦与推算不合每日逺近所差不等知月行止定朔定望日在小轮周余日去离逺近多寡各有本行度分因从其差数以立差法仍定本轮周上复有次小一轮循本轮右旋【与七政行同与自行异】半月一周因其行度作加减差以定第二均数列表【如后卷】

求次轮之比例第十一

既论有次小轮今论其大小以定加减率

如图丁为地心

庚为本轮心甲

乙丙为本轮周

作庚丁过心线作本轮之丁甲切线即庚丁甲为五度角【视行平行之极大差】朔望时次作庚甲戊线作丁戊线成庚丁戊角为七度四十○分视平两行上下之大差次庚为心戊为界作戊巳圈太隂在定朔定望时必循甲乙丙本轮周左行在两时必循戊巳周左行両前后半月间则自甲向戊戊向甲右旋为次轮之自行

若庚丁线为一万全数即庚甲为八百七十二【五度之正】庚戊为一千三百三十四【七度四十分之正】相减得甲戊四百六十三甲戊线平分于辛庚为心辛为界作辛壬为负次轮圏【一曰带次轮】即甲辛为二百三十一以并庚甲得庚辛一千一百○三为负次轮辛癸圏之半径则本轮次轮两半径为一一○三与二三一也

系有二小轮之比例可解前一推一测异同之极大差又可推朔望前后之视行疑于无法而实有法【朔望前后三十八度其视行絶异故云疑于无法详后论】

如图两圏为本次二轮丁为地心甲为本轮之最髙丙为

其心乙为次轮心

作丙乙线为一一

○三从乙心作次

轮圏其半径二三一【如上两轮之比例】次从丙作丙戊丙子线切次轮于戊于子成戊子两直角设月体在戊今论之

凡月行本轮周左旋【依宗动天自东而西】如图庚为本轮心甲乙为白道丁为最髙己为最庳其平行则自甲向丙庚至乙其自行则自丁而丙而己而戊而复于丁从丁【即正半转即最髙】入转行极迟

向丙【即中转亦留际】其迟日损至丙而及平行度谓之迟初限从丙向己【即中半转即最庳】迟损疾益至己而极疾谓之迟末限从己向戊【即正转亦留际】其疾日损至戊而及平行度谓之疾初限从戊而复向丁疾损迟益至丁而极迟谓之疾末限最髙左右二限谓之迟厯逆经度行【逆七政经度也后省曰逆行】最庳左右二限谓之疾厯顺经度行【后省曰顺行】二十七日有竒而周【即转周】若次轮则如图乙为其心甲巳为本轮周壬戊癸子为次轮周壬为最近癸为其最逺【本轮可言髙庳次轮不得言髙庳故言逺近谓逺近于本轮心】其顺本轮左旋则自甲向巳其自行右旋【如七】

【政自西而东】则自壬而戊而癸而子而复于壬从壬入转至戊为迟初限从戊至癸为迟末限从癸至子为疾初限从子至壬为疾末限最近左右二限为迟厯逆行最逺左右二限为疾厯顺行十五日弱而周谓之次转周

夫甲巳弧者约太隂距太阳之半周也【朔与望相距之一百八十度】次

轮心行甲巳半周则月循次轮行满一

周是月体循本轮周行一度即循次轮

周行二度次轮心从甲至乙月从壬至

戊比本轮上之两行皆在迟厯皆逆行一至戊切防则为逆行之末顺行之始顺行则始疾故戊切防为月行次轮顺逆两行之大差今以数明之

作乙戊线为切线之垂线成乙戊丙形戊为直角此形有乙戊二三一有乙丙一一○二求丙角得一十二度二

十八分为次轮上月行之最大

差是本轮心行度【甲乙】外应加应

减之数乙丙戊角既一十二度

二十八分戊乙丙角必七十七

度三十二分壬戊弧也半之得

二十八度四十六分为甲乙弧【甲乙为壬戊之半】

系凡次轮心距本轮最髙三十八度为大差之限朔望前后各等