测圆海镜分类释术

钦定四库全书　　　　子部六

测圆海镜分类释术　　天文算法类二【算书之属】提要

【臣】等谨案测圆海镜分类释术十卷明顾应祥撰应祥有人代纪要已著录李冶测圆海镜所设一百七十问中皆有草有法【按前数十题中甚易者或无草后皆有草】草用立天元一为虚数合问数推之法専用问数推之皆归于纵诸乗方而止应祥得治书于唐顺之于立天元一语互相推求不得其解遂去其细草専演算法改为是书自谓便于下学殊不知立天元一之妙能使诸法不能求者可以得其法若无其草即冶已有不能得其法者而徒沾沾于加减开方之数可谓循枝叶而失本故唐顺之与应祥书云此书形下之数太详而形上之义或畧使观之者尚不免其数可陈而义难知有与人以鸳鸯枕而不度人以金鍼之疑仆意欲明公于要处提掇一二作法源头出来使后世为数学者识其大者得其义识其小者得其数则此书尤更觉精采耳其不足于应祥诚是第作法源头即立天元一一语应祥既去之又将何以为提掇乎然九章之中惟少广诸乗方之数为甚繁故立方纵之法古已不见有和较者冶所用有至三乗方四乗方及五乗方者且兼加减诸乘方亷隅不为之详其算式初学诚有难于取数者冶虽専为发明立天元一术得应祥所演诸乗方之式亦可为求立天元一法者之一云乾隆四十六年十月恭校上

总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

总　校　官　【臣】　陆　费　墀

钦定四库全书

测圆海镜分类释术卷一

元　李　冶　撰

明　顾应祥　释术

圆城不知周径四面居中开门城外四隅各有十字大街西北隅曰干东北隅曰艮西南曰坤东南曰巽随地逺近测望以知城径

通勾股求容圆一

甲乙二人俱在城外西北隅干地乙东行三百二十步甲南行六百步望乙与城相叅直问城径

荅曰城径二百四十步

释曰此勾股求容圆径也东行为通勾南行为通股以通勾股求通和较和较即容圆径也

术曰勾股相乗倍之为实勾股求并勾股为和和为法除之

勾股求曰勾自之得一十○万二千四百为勾筭股自之得三十六万为股筭并二筭得四十六万二千四百为筭平方开之得六百八十并勾股得一千六百为和和后凡言勾股求者俱仿此

甲乙二人俱在城西北隅干地甲直南行不知步数而立乙直东行三百二十步望见乃斜行六百八十步与甲相防测城径

释曰此勾求容圆径也东行为通勾斜行为通术曰勾求股勾股相乗倍为实和和除之勾求股曰勾自乗得一十○万二千四百为勾筭自乗得四十六万二千四百为筭相减余三十六万为股筭平方开之得股

又术勾较乗勾倍之得二十三万○四百为实倍较为从作带从开平方法除之

带从开平方曰列实于左倍较得七百二十为从约初商得二百　置一于左上为法　置一为隅法带从方共九百二十为下法除实一十八万四千余实四万六千四百　倍隅法得四百为廉法约次商得四十置一于左次为上法　置一为

隅法并从方廉法共一千一百六十为下法与上次法相乗除实尽后凡言带从开平方法者俱仿此

甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行不知步数而立乙南行六百步见之复斜行六百八十步与甲防测城径

释曰此股求容圆也南行为通股斜行为通术曰股求勾以乗股倍之为实和和除之股求勾曰筭减股筭开其余即勾后凡言股求勾者俱仿此

又术股相减余八十为股较相并得一千二百八十为股和以较乗和得一十○万二千四百即勾筭平方开之得勾三百二十减较即城径

既有勾股求圆径之法则勾求圆股求圆可以例见不必立法因原夲有此二问载于后卷故移附于此

边勾股求容圆二

甲乙二人俱在城西门甲南行四百八十步乙穿城东行二百五十六步见之测城径

释曰此勾上容圆也南行边股也东行边勾也以边勾边股求通圆

术曰勾股相乗倍之得二十四万五千七百六十为实勾股求得五百四十四并股共一千○二十四为股和为法除之

乙出东门直行不知步数而止甲出西门南行四百八十步见之乃斜行五百四十四步相防问城径释曰此边股边求边勾以求通容圆也南行为边股斜行为边

术曰股求勾以乗股得一十二万二千八百八十为实半股和得五百一十二为法除之

甲出西门南行不知步数而立乙穿城东行二百五十六步见之乃斜行五百四十四步相防问城径释曰此边勾边求边股以求通圆径也东行为边勾斜行为边

术曰勾求股以乗勾半股和除之

底勾股求容圆三

甲乙二人俱在北门乙东行二百步而止甲穿城南行三百七十五步见之问城径

释曰此股上容圆也东行为底勾南行为底股以底勾股求通圆

术曰勾股相乘倍之为实勾股求以勾和为法除之

乙出南门直行不知步数而立甲出北门东行二百步见之复斜行四百二十五步就乙问城径

释曰此底勾底求底股以求通圆径也东行为底勾斜行为底

术曰筭减勾筭余平方开之得股与勾相乗得七万五千为实　勾和为法除之得半径

又术倍勾较以乗勾筭得一千八百万为实　四勾加倍较得一千二百五十为隅法作负隅开平方法除之得半径

负隅开平方法曰布实于左以隅法约初商一百置一于左上为法　置一乘隅法得一十二万

五千为隅法与上法相乘除实一千二百五十万余实五百五十万倍隅法得二十五万为廉法约次商得二十　置一于左次为上法　置一乘隅算得二万五千　并廉法共二十七万五千为下法与上法相乘除实尽后如此类者仿此

问底股求通圆径

术曰筭减股筭开其余得勾如前法求之

皇极勾股求容圆四

甲乙二人俱在城中心立乙穿城东行一百三十六步甲穿城南行二百五十五步望见问城径

释曰此勾股上容圆以半圆勾股求全圆径也东行皇极勾也南行皇极股也

术曰勾股相乘倍之为实勾股求为法实如法而一得全径

皇极勾求圆股求圆止以勾求股股求勾依上推之不必立法大差勾股以下仿此

通勾股折中上求圆五

甲乙二人俱在城西北隅干地乙东行一百八十步斜视城中有塔甲南行三百六十步与乙斜对视塔正居城径之半问城径

释曰此上容圆也东行为勾南行为股此以勾股求半容圆径即勾股容方术

术曰勾股相乘为实相并为法实如法而一得半径

大差勾股求容圆六

甲乙二人俱在城外西南隅坤地乙东行一百九十二步甲南行三百六十步望乙与城叅直问城径释曰此勾外容圆也东行大差勾也南行大差股也术曰勾股相乘倍之得一十三万八千二百四十为实勾股相减余一百六十八为勾股较勾股求得四百○八并较共五百七十六为较和以为法除之得全径

小差勾股求容圆七

甲乙二人俱在城外东北隅艮地甲南行一百五十步而止乙东行八十步望乙与城叅直问城径

释曰此股外容圆也东行小差勾也南行小差股也术曰勾股相乘倍之得二万四千为实相减余七十为较勾股求得一百七十减较余一百为较较以为法除之得全径

太虚勾股求容圆八

甲乙二人俱在城外东南隅巽地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙与城叅直问城径

释曰此外容圆也西行即太虚勾北行即太虚股以太虚勾股反而内向求圆故曰外容圆

术曰勾股相乘倍之得八千六百四十为实相并得一百三十八为勾股和勾股求得一百○二以减和余三十六为和较以为法除之得全径

明勾股求容圎九

甲乙二人俱在南门乙东行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙与城叅直问城径

释曰此勾外容半圆也东行为明勾南行为明股术曰勾股相乗倍之得一万九千四百四十为平实勾股求得一百五十三减勾余八十一为勾较以为法除之

□勾股求容圆十

甲乙二人俱在东门甲南行三十步而止乙东行一十六步望甲与城相叅直问城径

释曰此股外容半圆也南行为□股东行为□勾术曰勾股相乘倍之为实勾股求以股较为法除之

或问黄广勾股黄长勾股无求圆之法何也曰黄广之勾黄长之股即圆径也故不立法曰上下高勾股上下平勾股何以不立法曰上高去城逺下高与上平俱不当城半下平亦不附城故不立法

测圆海镜分类释术卷一

钦定四库全书

测圆海镜分类释术卷二

元　李　冶　撰

明　顾应祥　释术

两勾求容圆一【凡七条】

圆城不知周径甲从城外西北隅干地东行三百二十步乙从城外西南隅坤地东行一百九十二步见之问城径

释曰甲东行通勾也乙东行大差勾也此以城南北长短二勾求城径【与通股小差股同法】

术曰二行相乗倍为实相并为法除之

乙出南门东行七十二步甲从城外西北干隅东行三百二十步见之问城径

释曰甲东行通勾也乙东行明勾也此以城北大勾与城南半勾求城径【与通股□股同法】

术曰二行相乗得二万三千○四十为实以乙行步七十二为从方作带从开平方法除之得半径带从开平方法见一卷

乙出东门直行一十六步而止甲从城外干隅东行三百二十步望乙与城相叅直问城径

释曰甲东行通勾也乙东行□勾也此以城北大勾与城东小余勾求城径

术曰甲行内减二之乙行余二百八十八以乘甲行得九万二千一百六十为平实　四之甲东行减二之乙东行余一千二百四十八为从方　四为隅法作负隅减从开平方法开之得半径

负隅减从开平方曰布实于左从于右约初商得一百　置一于左上为法　置一隅因得四百为隅法以减从方余八百四十八为下法与上法相乘除实八万四千八百余实七千三百六十　倍隅法得八百为廉法　约次商得二十　置一于左次为上法　置一隅因得八十为隅法　并廉法共八百八十以减原从余三百六十为下法与上次法相乘除实尽

后凡言负隅减从开平方法者俱仿此

乙出南门折东行七十二步而止甲出北门折东行二百步见之问城径

释曰甲从北门东行底勾也乙从南门东行明勾也此以城北半大勾城南半短勾求半城径

术曰二行相乘得半径筭平方开之【与边股□股同法】如乙出南门东行二十步甲出北门东行七百二十步术同

乙从城外西南坤隅东行一百九十二步而止甲出北门东行二百步见之问城径

释曰甲从北门东行底勾也乙从坤隅东行大差勾也此以城北半大勾城南全短勾求城径【与边股小差股同法】术曰二行相乘得三万八千四百为实以甲东行二百为从作带从开平方法除之得半径

带从开平方法见一卷

乙出东门直行一十六步甲出北门东行二百步望乙与城叅直问城径

释曰甲行底勾也乙出东门直行□勾也此以城北半大勾城东小余勾求城径

术曰二行相减余一百八十四为底勾□勾较　乙东行自之得二百五十六为□勾筭较自之得三万三千八百五十六减□勾筭得三万三千六百为实倍甲东行得四百为从方作减从开平方法除之

得半径

减从开平方法曰布实于左从于右约初商一百置一于左上为法　置一为隅法以减从方余

三百为下法与上法相乘除实三万余实三千六百　倍隅法得二百为廉法　约次商得二十置一于左次为上法置一为隅法　并廉法共二百二十以减原从余一百八十为下法与上法相乘除实尽

或于初商除实三万讫　于从内再减一百余二百为从方　次商二十于余从内减二十余一百八十为下法亦通

后凡言减从开平方法者俱仿此

乙出东门直行一十六步甲出南门东行七十二步望乙与城相叅直问城径

释曰甲行明勾也乙之直行□勾也此以城南半勾与城东余勾求城径

术曰二行相减余五十六为明勾□勾较自之得三千一百三十六为较筭东门直行自之得二百五十六为□勾筭二筭相减余二千八百八十为平实倍明勾得一百四十四为从作减从　翻法开平方开之得半径

减从翻法开平方曰布实于左从于右约初商得一百　置一于左上为法　置一为隅法以减从方余四十四为下法与上法相乘　应除实四千四百实不满法就于应除数内反减实二千八百八十余一千五百二十为负积　倍初商得二百为廉法　约次商得二十　置一于左次为上法置一为隅法　并廉法共二百二十　从不及

减反减从一百四十四余七十六为下法与上次法相乘除实尽　或于初商反减实二千八百八十余一千五百二十为负积　又以初商一百反减余从四十四余五十六为负从次商二十并负从共七十六为下法亦通后凡言减从翻法开平方者俱仿此

两股求容圆二【凡七条】

乙出南门直行一百三十五步而立甲从城外西北干隅南行六百步望乙与城相叅直问城径

释曰甲从干隅南行通股也乙出南门直行明股也此以城西大股与城南余股求城径【与通勾□勾同】

术曰甲行内减二乙行余三百三十以乘甲行得一十九万八千为实三甲行内减二乙行余一千五百三十为从方作带从开平方法除之得半径【法见一卷】

乙出东门南行三十步甲从干隅南行六百步见之问城径

释曰甲南行为通股乙出东门南行三十步为□股此以西大股与东短股求城径【通勾明勾同法】

术曰二行相乘得一万八千为实以乙南三十为从作带从开平方法除之得半径【法见一卷】

乙居城外东北艮隅南行一百五十步甲从城外西北南行六百步望乙与城叅直问城径

释曰甲南行通股也乙从艮隅南行小差股也此以城西长股与城东短股求城径【与通勾大差勾同法】

术曰二行相乘倍之得一十八万为实相并得七百五十为法除之得全径

甲出西门南行四百八十步而止乙出东门南行三十步望乙与城叅直问城径

释曰甲出西门南行四百八十步边股也乙出东门南行三十步□股也此以城西半股与城东短股求圆径

俗云半梯【与底勾明勾同法】

术曰二行相乘得半径筭平方开之

甲出西门南行四百八十步而立乙从城外东北艮隅南行一百五十步见之问城径

释曰甲南行边股也乙从艮隅南行小差股也此以城西南半股与城东北半股求圆径【与底勾大差勾同法】术曰二行相乘得七万二千为实以甲南行四百八十为从方作带从开平方法除之得半径

带从开平方法见一卷

甲出西门南行四百八十步乙出南门直行一百三十五步相望与城叅直问城径

释曰甲南行边股也乙出南门直行明股也此以城西大半股与城南余股求圆径【底勾□勾同法】

术曰二行相减余自之得一十一万九千○二十五为差筭乙行自之得一万八千二百二十五为明股筭以减差筭余一十○万○八百为实　倍甲行得九百六十为益从作减从开平方法除之得半径【法见前】

乙出东门南行三十步而立甲出南门直行一百三十五步望乙与城叅直问城径

释曰乙出东门南行□股也甲直行明股也此以城中余股与城东小股求圆径【明勾□勾同法】

术曰二行相减余自之得一万一千○二十五为差筭甲直行自之得一万八千二百二十五为明股筭减差筭余七千二百为正实　倍乙行得六十为从方作以从减法开平方法除之得半径

以从减法开平方曰布实于左从于右约初商得一百　置一于左上为法　置一于右下为隅法以从减隅余四十为下法与上法相乘除实四千余三千二百为实　倍隅法得二百为廉法　约次商得二十　置一于左次为上法　置一为隅法　并廉法共二百二十减去从方余一百六十为下法与上次法相乘除实尽后凡言减法开平方者俱仿此

又为添积带从开平方法

初商一百　置一于左上为法　置一于右下为隅法对上法相乘得一万为益实添入积内共一万七千二百为实　置一带从得一百六十为下法与上法相乘除实一万六千余一千二百为实倍隅法得二百为廉法　约次商得二十　置

一于左次为上法置一为隅法　并廉法共二百二十与上次法相乘得四千四百为益实添入余积共五千六百为实置一并廉法从方共二百八十为下法与上次法相乘除实尽

又术明股筭减差筭余七千二百为实六之□股得一百八十为从方作减从翻法开平方法开之得半径减从翻法开平方法见前条

两求容圆三

城南有槐一株城东有栁一株甲出北门东行丙出西门南行甲丙槐栁悉与城相叅直既而甲斜行四百二十五步至槐下丙斜行五百四十四步至栁下问城径

释曰甲斜行向西南至槐树下底也丙斜行向东北至栁树下边也此以边底互测圆径术曰二斜行相减余自之得一万四千一百六十一为差筭甲斜行自之得一十八万○六百二十五为底筭二筭相减余一十六万六千四百六十四为平实　倍边得一千○八十八为从方作带从开平方法开之得一百三十六为平

带从开平方法见一卷

出城南门之东有槐甲出北门东行斜望槐树与城叅直乃斜行二百七十二步至槐下休止东门之南有栁丙出西门南行斜望栁树亦与城相叅直乃斜行五百一十步至栁下休止问城径

释曰槐在南门东七十二步明勾也甲出北门东行二百步望见槐与城相叅直此底勾也斜行至槐下黄长也栁在东门之南三十步□股也丙出西门南行四百八十步望栁与城叅直边股也斜行至栁树下黄广也此以黄长黄广二立法测望术曰半甲斜行自之得一万八千四百九十八为黄广半筭半丙斜行自之得六万五千○二十五为黄长半筭并二行折半自之得一十五万二千八百八十一以二筭减之余六万九千三百六十为实并二行共七百八十二为从　作减从开平方法

开之得一百○二为太虚

减从开平方法见二卷【底勾□勾条】

东门之南有栁南门之东有槐俱不知步甲出东门直行乙出南门直行立定二人相望视槐栁与城相叅直既而甲斜行三十四步至栁下乙斜行一百五十三步至槐下问城径

释曰此明□立法测望甲斜行至栁为□乙斜行至槐为明

术曰二相乘倍得一万○四百○四平方开之得太虚加□即皇极勾加明即皇极股以皇极勾股求之得城径

皇极勾股求容圆见一卷

测圆海镜分类释术卷二

钦定四库全书

测圆海镜分类释术卷三

元　李　冶　撰

明　顾应祥　释术

通勾与别股测望一【凡三条】

圆城不知周径乙从城外西南坤隅南行三百六十步而立甲从城外西北干隅东行三百二十步见之问城径

释曰乙从坤南行大差股也甲从干东行通勾也此以通勾大差股测望通勾为城北大勾大差股为城西南之虚股

术曰二行相乘得一十一万五千二百为实　倍乙行得七百二十为从作减从开平方法除之得全径减从开平方法见二卷

又曰二行相并得六百八十为通以通勾求容圆法求之即得

南门外一百三十五步有树甲从城外西北干隅东行三百二十步见之问城径

释曰此以通勾明股立法树距南门明股也甲之东行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南余股术曰东行自之又以树距南门步乘之得一千三百八十二万四千为立实　倍树距南门步以乘东行步得八万六千四百为从方二为隅算作带从负隅开立方法除之得半径

带从负隅开立方曰布实于左从尾数至首常超二位又以从方约之定首位得一百　置一于左上为法　置一自之隅因得二万为隅法并从方得一十○万六千四百为下法与上法相乘除实一千○六十四万余实三百一十八万四千　三因隅法得六万为方法　三因初商得三百又以隅筭因之得六百为廉法　约次商得二十　置一于左次为上法　置一乘廉法得一万二千置一自之隅因得八百为隅法并方法从方廉隅共一十五万九千二百为下法与上法相乘除实尽

后凡言带从负隅开立方法者俱仿此

乙出东门南行三十步甲从干隅东行三百二十步望乙与城叅直问城径

释曰此以通勾□股测望甲东行通勾也乙出东门南行三十步□股也

术曰二行相乘得九千六百为实　以东行三百二十为从方二为隅算作减从负隅翻法开平方除之得半径

减从负隅翻法开平方曰初商一百　置一于左上为法　置一隅因得二百为隅法以减从方余一百二十为下法与上法相乘除实一万二千实不满法反减实九千六百余二千四百为负积倍余法得四百为廉法次商二十　置一于左次为上法　置一隅因得四十为隅法并廉隅共四百四十减从不足反减从方三百二十余一百二十为下法与上次法相乘除实尽

后凡言带从负隅翻法开平方者俱仿此

底勾与别股测望二

城西门南四百八十步有树出北门东行二百步见之问城径

释曰此底勾边股立法测望西门南四百八十步边股也出北门东行二百步底勾也底勾居城北勾之半边股居城西股之半

术曰二行相乘得九万六千为实　相并得六百八十为从二为隅筭　作负隅减从开平方法除之得半径

负隅减从开平方法见二卷【通勾□勾条】

圆城出北门北行一十五步折而东行二百○八步有树出西门西行八步折而南行四百九十五步见之问城径

释曰此以底勾过步带短股边股过步带短勾立法测望出北门北行为短股折而东为长勾过于底勾出西门西行为短勾折而南为长股过于边股术曰西行为短勾东行为长勾北行为短股南行为长股短勾并长勾以长股乘之得一十○万六千九百二十　短股并长股以短勾乘之得四千○八十相减余一十○万二千八百四十为勾股维乘差

又自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百为三乘方实　长股内减二短勾余与长勾相减余二百七十一为股减勾差　长勾内减二短股余与长股相减余三百一十七为勾减股差　股减勾差与勾减股差复相减余四十六以乘勾股维乘差得四百七十三万○六百四十为从方　股减勾差与勾减股相乘得八万五千九百○七　长短勾并与长短股并相乘又倍之得二十二万○三百二十倍勾股维乘差得二十○万五千八百六十　三数相并得五十一万一千九百○七为从一廉长短勾并得二百一十六又四之得八百六十四　倍股减勾差得五百四十二　二数相并得一千四百　六为从二廉作带从方廉开三乘方法除之得半径带从方廉开三乘方曰置所得三乘方积为实以从方廉约之初商得一百　置一于左上为法置一乘从一廉得五千一百一十九万○七百置一自之以乘从二廉得一千四百○六万置一自乘再乘得一百万为隅法　并从方廉