元史

《大明》疏。

已上四十五事，密合者，《授时》十有八，《大明》十有一；亲者，《授时》十有八，《大明》十有七；次亲者，《授时》九，《大明》十有四；疏者，《授时》无，《大明》二；疏远者，《授时》无，《大明》一。

定朔

日平行一度，月平行十三度十九分度之七，一昼夜之间，月先日十二度有奇，历二十九日五十三刻，复追及日，与之同度，是谓经朔。经朔云者，谓合朔大量不出此也。日有盈缩，月有迟疾，以盈缩迟疾之数损益之，始为定朔。

古人立法，简而未密，初用平朔，一大一小，故日食有在朔二，月食有在望前后者。汉张衡以月行迟疾，分为九道；宋何承天以日行盈缩，推定小余；故月有三大二小。隋刘孝孙、刘焯欲遵用其法，时议排抵，以为迂怪，卒不能行。唐傅仁均始采用之，至贞观十九年九月后，四月频大，复用平朔。讫麟德元年，始用李淳风《甲子元历》，定朔之法遂行。淳风又以晦月频见，故立进朔之法，谓朔日小余在日法四分之三已上者，虚进一日，后代皆循用之。然虞絪尝曰：“朔在会同，苟躔次既合，何疑于频大；日月相离，何拘于间小。”一行亦曰：“天事诚密，虽四大三小，庸何伤。”今但取辰集时刻所在之日以为定朔，朔虽小余在进限，亦不之进，甚矣，人之安于故习也。

初历法用平朔，止知一大一小，为法之不可易，初闻三大二小之说，皆不以为然。自有历以来，下讫麟德，而定朔始行，四大三小，理数自然，唐人弗克若天，而止用平朔。迨本朝至元，而常议方革。至如进朔之意，止欲避晦日月见，殊不思合朔在酉戌亥，距前日之卯十八九辰矣，若进一日，则晦不见月，此论诚然。苟合朔在辰申之间，法不当进，距前日之卯已逾十四五度，则月见于晦，庸得免乎？且月之隐见，本天道之自然，朔之进退，出入为之牵强，孰若废人用天，不复虚进，为得其实哉。至理所在，奚恤乎人言，可为知者道也。

不用积年日法

历法之作，所以步日月之躔离，候气朔之盈虚，不揆其端，无以测知天道，而与之吻合；然日月之行迟速不同，气朔之运参差不一，昔人立法，必推求往古生数之始，谓之演纪上元。当斯之际，日月五星同度，如合璧连珠然。惟其世代绵远，驯积其数至逾亿万，后人厌其布算繁多，互相推考，断截其数而增损日法，以为得改宪之术，此历代积年日法所以不能相同者也。然行之未远，浸复差失，盖天道自然，岂人为附会所能苟合哉？夫七政运行于天，进退自有常度，苟原始要终，候验周匝，则象数昭著，有不容隐者，又何必舍目前简易之法，而求亿万年宏阔之术哉？

今《授时历》以至元辛巳为元，所用之数，一本诸天，秒而分，分而刻，刻而日，皆以百为率，比之他历积年日法，推演附会，出于人为者，为得自然。

或曰：“昔人谓建历之本，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天以定分至，然则历之有积年日法尚矣。自黄帝以来，诸历转相祖述，殆七八十家，未闻舍此而能成者。今一切削去，无乃昧于本原，而考求未得其方欤？”是殆不然。晋杜预有云：“治历者，当顺天以求合，非为合以验天。”前代演积之法，不过为合验天耳。今以旧历颇疏，乃命厘正，法之不密，在所必更，奚暇踵故习哉。遂取汉以来诸历积年日法及行用年数，具列于后，仍附演积数法，以释或者之疑。

《三统历》（西汉太初元年丁丑邓平造，行一百八十八年，至东汉元和乙酉，后天七十八刻。）

积年，十一四万四千五百一十一。

日法，八十一。

《四分历》，（东汉元和二年乙酉编）造，行一百二十一年，至建安丙戌，后天七刻。）

积年，一万五百六十一。

日法，四。

《乾象历》（建安十一年丙戌刘洪造，行三十一年，魏景初丁巳，后天七刻。）

积年，八千四百五十二。

日法，一千四百五十七。

《景初历》（魏景初元年丁巳杨伟造，行二百六年，至宋元嘉癸未，先天五十刻。）

积年，五千八十九。

日法，四千五百五十九。

《元嘉历》（宋元嘉二十年癸未何承天造，行二十年，至大明七年癸卯，先天五十刻。）

积年，六千五百四十一。

日法，七百五十二。

《大明历》（宋大明七年癸卯宋祖冲之造，行五十八年，至魏正光辛丑，后天二十九刻。）

积年，五万二千七百五十七。

日法，三千九百三十九。

《正光历》（后魏正光二年辛丑李业兴造，行一十九年，至兴和庚申，先天十三刻。）

积年，一十六万八千五百九。

日法，七万四千九百五十二。

《兴和历》（兴和二年庚申李业兴造，行一十年，至齐天保庚午，先天九十九刻。）

积年，二十万四千七百三十七。

日法，二十万八千五百三十。

《天保历》（北齐天保元年庚午宋景业造，行一十七年，至周天和丙戌，后天一日八十七刻。）

积年，一十一万一千二百五十七。

日法，二万三千六百六十。

《天和历》（后周天和元年丙戌甄鸾造，行一十三年，至大象己亥，先天四十刻。）

积年，八十七万六千五百七。

日法，二万三千四百六十。

《大象历》（大象元年己亥马显造，行五年，至隋开皇甲辰，后天十刻。）

积年，四万二千二百五十五。

日法，一万二千九百九十二。

《开皇历》（隋开皇四年甲辰张宾造，行二十四年，至大业戊辰，后天七刻。）

积年，四百一十二万九千六百九十七。

日法，一十万二千九百六十。

《大业历》（大业四年戊辰张胄玄造，行一十一年，至唐武德己卯，后天七刻。）

积年，一百四十二万八千三百一十七。

日法，一千一百四十四。

《戊寅历》（唐武德二年己卯道士傅仁均造，行四十六年，至麟德乙丑，后天四十七刻。）

积年，一十六万五千三。

日法，一万三千六。

《麟德历》（麟德二年乙丑李淳风造，行六十三年，至开元戊辰，后天一十二刻。）

积年，二十七万四百九十七。

日法，一千三百四十。

《大衍历》（开元十六年戊辰僧一行造，行三十四年，至宝应壬寅，先天一十三刻。）

积年，九千六百九十六万二千二百九十七。

日法，三千四十。

《五纪历》（宝应元年壬寅郭献之造，行二十三年，至贞元乙丑，后天二十四刻。）

积年，二十七万四百九十七。

日法，一千三百四十。

《贞元历》（贞元元年乙丑徐承嗣造，行三十七年，至长庆壬寅，先天十五刻。）

积年，四十万三千三百九十七。

日法，一千九十五。

《宣明历》（长庆二年壬寅徐昂造，行七十一年，至景福癸丑，先天四刻。）

积年，七百七万五百九十七。

日法，八千四百。

《崇玄历》（景福二年癸丑边冈造，行十四年，后六十三年，至周显德丙辰，先天四刻。）

积年，五千三百九十四万七千六百九十七。

日法，一万三千五百。

《钦天历》（五代周显德三年丙辰王朴造，行五年，至宋建隆庚申，先天二刻。）

积年，七千二百六十九万八千七百七十七。

日法，七千二百。

《应天历》（宋建隆元年庚申王处讷造，行二十一年，至太平兴国辛巳，后天二刻。）

积年，四百八十二万五千八百七十七。

日法，一万单二。

《乾元历》（太平兴国六年辛巳吴昭素造，行二十年，至咸平辛丑，合。）

积年，三千五十四万四千二百七十七。

日法，二千九百四十。

《仪天历》（咸平四年辛丑史序造，行二十三年，至天圣甲子，合。）

积年，七十一万六千七百七十七。

日法，一万一百。

《崇天历》（天圣二年甲子宋行古造，行四十年，至治平甲辰，后天五十四刻。）

积年，九千七百五十五万六千五百九十七。

日法，一万五百九十。

《明天历》（治平元年甲辰周琮造，行一十年，至熙宁甲寅，合。）

积年，七十一万一千九百七十七。

日法，三万九千。

《奉元历》（熙宁七年甲寅卫朴造，行十八年，至元祐壬申，后天七刻。）

积年，八千三百一十八万五千二百七十七。

日法，二万三千七百。

《观天历》（元祐七年壬申皇居卿造，行一十一年，至崇宁癸未，先天六刻。）

积年，五百九十四万四千九百九十七。

日法，一万二千三十。

《占天历》（崇宁二年癸未姚舜辅造，行三年，至丙戌，后天四刻。）

积年，二千五百五十万一千九百三十七。

日法，二万八千八十。

《纪元历》（崇宁五年丙戌姚舜辅造，行二十一年，至金天会丁未，合。）

积年，二千八百六十一万三千四百六十七。

日法，七千二百九十。

《大明历》（金天会五年丁未杨级造，行五十三年，至大定庚子，合。）

积年，三亿八千三百七十六万八千六百五十七。

日法，五千二百三十。

《重修大明历》（大定二十年庚子赵知微重修，行一百一年，至元朝至元辛巳，后天一十九刻。）

积年，八千八百六十三万九千七百五十七。

日法，五千二百三十。

《统元历》（后宋绍兴五年乙卯陈得一造，行三十二年，至乾道丁亥，合。）

积年，九千四百二十五万一千七百三十七。

日法，六千九百三十。

《乾道历》（乾道三年丁亥刘孝荣造，行九年，至淳熙丙申，后天一刻。）

积年，九千一百六十四万五千九百三十七。

日法，三万。

《淳熙历》（淳熙三年丙申刘孝荣造，行一十五年，至绍熙辛亥，合。）

积年，五千二百四十二万二千七十七。

日法，五千六百四十。

《会元历》（绍熙二年辛亥刘孝荣造，行八年，至庆元己未，后天一十刻。）

积年，二千五百四十九万四千八百五十七。

日法，三万八千七百。

《统天历》（庆元五年己未杨忠辅造，行八年，至开禧丁卯，先天六刻。）

积年，三千九百一十七。

日法，一万二千。

《开禧历》（开禧三年丁卯鲍浣之造，行四十四年，至淳祐辛亥，后天七刻。）

积年，七百八十四万八千二百五十七。

日法，一万六千九百。

《淳祐历》（淳祐十年庚戌李德卿造，行一年，至壬子，合。）

积年，一亿二千二十六万七千六百七十七。

日法，三千五百三十。

《会天历》（宝祐元年癸丑谭玉造，行十八年，至咸淳辛未，后天一刻。）

积年，一千一百三十五万六千一百五十七。

日法，九千七百四十。

《成天历》（咸淳七年辛未陈鼎造，行四年，至至元辛巳，后天一刻。）

积年，七千一百七十五万八千一百五十七。

日法，七千四百二十。

此下不曾行用，见于典籍经进者二历。

《皇极历》（大业间刘焯造，阻难不行，至唐武德二年己卯，先天四十三刻。）

积年，一百万九千五百一十七。

日法，一千二百四十二。

《乙未历》（大定二十年庚子耶律履造，不曾行用，至辛巳，后天一十九刻。）

积年，四千四十五万三千一百二十六。

日法，二万六百九十。

《授时历》（元至元十八年辛巳为元。）

积年、日法不用。

实测到至元十八年辛巳岁。

气应，五十五日六百分。

闰应，二十日一千八百五十分。

经朔，三十四日八千七百五十分。

日法，二千一百九十，演纪上元己亥，距至元辛巳九千八百二十五万一千四百二十二算。

气应，五十五日六百二分。

闰应，二十日一千八百五十三分。

经朔，三十四日八千七百四十九分。

日法，八千二百七十，演纪上元甲子，距辛巳五百六十七万五百五十七算，日命甲子。

气应，五十五日五百三十三分。

闰应，二十日一千八百八分。

经朔，三十四日八千七百二十五分。

日法，六千五百七十，寅纪上元甲子，距辛巳三千九百七十五万二千五百三十七算。

气应，五十五日六百三十一分。

闰应，二十日一千九百一十九分。

经朔，三十四日八千七百一十二分。

卷五十四 志第六

◎历三

○授时历经上

步气朔第一

至元十八年岁次辛巳为元。（上考往古，下验将来，皆距立元为算。周岁消长，百年各一，其诸应等数，随时推测，不用为元。）

日周，一万。

岁实，三百六十五万二千四百二十五分。

通余，五万二千四百二十五分。

朔实，二十九万五千三百五分九十三秒。

通闰，十万八千七百五十三分八十四秒。

岁周，三百六十五日二千四百二十五分。

朔策，二十九日五千三百五分九十三秒。

气策，十五日二千一百八十四分三十七秒半。

望策，十四日七千六百五十二分九十六秒半。

弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。

气应，五十五万六百分。

闰应，二十万一千八百五十分。

没限，七千八百一十五分六十二秒半。

气盈，二千一百八十四分三十七秒半。

朔虚，四千六百九十四分七秒。

旬周，六十万。

纪法，六十。

推天正冬至

置所求距算，以岁实（上推往古，每百年长一；下算将来，每百年消一。）乘之，为中积。加气应，为通积。满旬周，去之；不尽，以日周约之为日，不满为分。其日命甲子算外，即所求天正冬至日辰及分。（如上考者，以气应减中积，满旬周，去之；不尽，以减旬周。余同上。）

求次气

置天正冬至日分，以气策累加之，其日满纪法，去之，外命如前，各得次气日辰及分秒。

推天正经朔

置中积，加闰应，为闰积。满朔实，去之不尽，为闰余，以减通积，为朔积。满旬周，去之；不尽，以日周约之，为日，不满为分，即所求天正经朔日及分秒。（上考者，以闰应减中积，满朔实，去之不尽，以减朔实，为闰余。以日周约之为日，不满为分，以减冬至日及分，不及减者，加纪法减之，命如上。）

求弦望及次朔

置天正经朔日及分秒，以弦策累加之，其日满纪法，去之，各得弦望及次朔日及分秒。

推没日

置有没之气分秒，（如没限已上为有没之气。）以十五乘之，用减气策，余满气盈而一，为日，并恒气日，命为没日。

推灭日

置有灭之朔分秒，（在朔虚分已下为有灭之朔。）以三十乘之，满朔虚而一，为日，并经朔日，命为灭日。

步发敛第二

土王策，三日四百三十六分八十七秒半。

月闰，九千六十二分八十二秒。

辰法，一万。

半辰法，五千。

刻法，一千二百。

推五行用事

各以四立之节，为春木、夏火、秋金、冬水首用事日。以土王策减四季中气，各得其季土始用事日。

气候

正月

立春，正月节 东风解冻 蛰虫始振 鱼陟负冰

雨水，正月中 獭祭鱼 候雁北 草木萌动

二月

惊蛰，二月节 桃始华 仓鹒鸣 鹰化为鸠

春分，二月中 玄鸟至 雷乃发声 始电

三月

清明，三月节 桐始华 田鼠化为釐 虹始见

谷雨，三月中 萍始生 鸣鸠拂其羽 戴胜降于桑

四月

立夏，四月节 蝼蝈鸣 蚯蚓出 王瓜生

小满，四月中 苦莱秀 靡草死 麦秋至

五月

芒种，五月节 螳螂生 鵙始鸣 反舌无声

夏至，五月中 鹿角解 蜩始鸣 半夏生

六月

小暑，六月节 温风至 蟋蟀居壁 鹰始挚

大暑，六月中 腐草为萤 土润溽暑 大雨时行

七月

立秋，七月节 凉风至 白露降 寒蝉鸣

处暑，七月中 鹰乃祭鸟 天地始肃 禾乃登

八月

白露，八月节 鸿雁来 玄鸟归 群鸟养羞

秋分，八月中 雷始收声 蛰虫坏户 水始涸

九月

寒露，九月节 鸿雁来宾 雀入大水为蛤 菊有黄华

霜降，九月中 豺乃祭兽 草木黄落 蛰虫咸俯

十月

立冬，十月节 水始冰 地始冻 雉入大水为蜃

小雪，十月中 虹藏不见 天气上升，地气下降 闭塞而成冬

十一月

大雪，十一月节 鹖鴠不鸣 虎始交 荔挺出

冬至，十一月中 蚯蚓结 麋角解 水泉动

十二月

小寒，十二月节 雁北乡 鹊始巢 雉雊

大寒，十二月中 鸡乳 征鸟厉疾 水泽腹坚

推中气去经朔

置天正闰余，以日周约之，为日，命之，得冬至去经朔。以月闰累加之，各得中气去经朔日算。（满朔策，去之，乃全置闰，然俟定朔无中气者裁之。）

推发敛加时

置所求分秒，以十二乘之，满辰法而一，为辰数；余以刻法收之，为刻；命子正算外，即所在辰刻。（如满半辰法，通作一辰，命起子初。）

步日躔第三

周天分，三百六十五万二千五百七十五分。

周天，三百六十五度二十五分七十五秒。

半周天，一百八十二度六十二分八十七秒半。

象限，九十一度三十一分四十三秒太。

岁差，一分五十秒。

周应，三百一十五万一千七十五分。

半岁周，一百八十二日六千二百一十二分半。

盈初缩末限，八十八日九千九十二分少。

缩初盈末限，九十三日七千一百二十分少。

推天正经朔弦望入盈缩历

置半岁周，以闰余日及分减之，即得天正经朔入缩历。（冬至后盈，夏至后缩。）以弦策累加之，各得弦望及次朔入盈缩历日及分秒。（满半岁周去之，即交盈缩。）

求盈缩差

视入历盈者，在盈初缩末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限；缩者，在缩初盈末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限。其盈初缩末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二万四千六百，又以初末限乘之，用减定差五百一十三万三千二百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒。缩初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二万二千一百，又以初末限乘之，用减定差四百八十七万六百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即所求盈缩差。

又术：置入限分，以其日盈缩分乘之，万约为分，以加其下盈缩积，万约为度，不满为分秒，亦得所求盈缩差。

赤道宿度

角十二一十 亢九二十 氐十六三十 房五六十

心六五十 尾十九一十 箕十四十

右东方七宿，七十九度二十分。

斗二十五二十 牛七二十 女十一三十五 虚八九十五太

危十五四十 室十七一十 壁八六十

右北方七宿，九十三度八十分太。

奎十六六十 娄十一八十 胃十五六十 昴十一三十

毕十七四十 觜初五 参十一一十

右西方七宿，八十三度八十五分。

井三十三三十 鬼二二十 柳十三三十 星六三十

张十七二十五 翼十八七十五 轸十七三十

右南方七宿，一百八度四十分。

右赤道宿次，并依新制浑仪测定，用为常数，校天为密。若考往古，即用当时宿度为准。

推冬至赤道日度

置中积，以加周应为通积，满周天分，（上推往古，每百年消一；下算将来，每百年长一。）去之，不尽，以日周约之为度，不满，退约为分秒。命起赤道虚宿六度外，去之，至不满宿，即所求天正冬至加时日躔赤道宿度及分秒。（上考者，以周应减中积，满周天，去之；不尽，以减周天，余以日周约之为度；余同上。如当时有宿度者，止依当时宿度命之。）

求四正赤道日度

置天正冬至加时赤道日度，累加象限，满赤道宿次，去之，各得春夏秋正日所在宿度及分秒。

求四正赤道宿积度

置四正赤道宿全度，以四正赤道日度及分减之，余为距后度；以赤道宿度累加之，各得四正后赤道宿积度及分。

黄赤道率

（表略）

推黄道宿度

置四正后赤道宿积度，以其赤道积度减之，余以黄道率乘之，如赤道率而一；所得，以加黄道积度，为二十八宿黄道积度；以前宿黄道积度减之，为其宿黄道度及分。