元史

十六分二十秒外入晋分实沈之次，辰在申。

井 九度四十七分一十秒外入秦分鹑首之次，辰在未。

柳 四度九十五分二十六秒外入周分鹑火之次，辰在午。

张 十五度五十六分三十五秒外入楚分鹑尾之次，辰在巳。

轸 十度四十四分五秒外入郑分寿星之次，辰在辰。

氐 一度七十七分七十七秒外入宋分大火之次，辰在卯。

尾 三度九十七分七十二秒外入燕分析木之次，辰在寅。

斗 四度三十六分六十六秒外入吴越分星纪之次，辰在丑。

女 二度九十一分九十一秒外入齐分玄枵之次，辰在子。

求入宫时刻

各置入宫宿度及分秒，以其日晨前夜半日度减之，（相近一度之间者求之。余以日法乘其分，（其秒从于下，亦通乘之。）为实；以其日太阳行分为法；实如法而一，所得，依发敛加时求之，即得其日太阳入宫时刻及分秒。

步晷漏术

中限，一百八十二日六十二分一十八秒。

冬至初限、夏至末限，六十二日二十分。

夏至初限、冬至末限，一百二十日四十二分。

冬至永安晷影常数，一丈二尺八寸三分。

夏至永安晷影常数，一尺五寸六分。

周法，一千四百二十八。

内外法，一万八百九十六。

半法，二千六百一十五。

日法四分之三，三千九百二十二半。

日法四分之一，一千三百七半。

昏明分，一百三十分七十五秒。

昏明刻，二刻一百五十六分九十秒。

刻法，三百一十三分八十秒。

秒母，一百。

求午中入气中积

置所求日大余及半法，以所入气大小余减之，为其日午中入气；以加其气中积，为其日午中中积。（小余以日法除，为约分。）

求二至后午中入初末限

置午中中积及分，如中限以下，为冬至后；以上，去中限，为夏至后。其二至后，如在初限以下，为初限；以上，覆减中限，余为入末限也。

求午中晷影定数

视冬至后初限、夏至后末限，百通日内分，自相乘，副置之，以一千四百五十除之；所得，加五万三百八，折半限分并之，除其副为分，分满十为寸，寸满十为尺，用减冬至地中晷影常数，为所求晷影定数。

视夏至后初限、冬至后末限，百通日内分，自相乘，为上位；下置入限分，以二百二十五乘之，百约之，加一十九万八千七十五，为法；（夏至前后半限以上者，减去半限，列于上位，下置半限，各百通日内分，先相减，后相乘，以七千七百除之，所得以加其法。）及除上位为分，分满十为寸，寸满十为尺，用加夏至地中晷影常数，为所求晷影定数。

求四方所在晷影

各于其处测冬夏二至晷数，乃相减之，余为其处二至晷差；亦以地中二至晷数相减，为地中二至晷差。其所求日在冬至后初限、夏至后末限者，如在半限以下，倍之；半限以上，覆减全限，余亦倍之；并入限日，三因，折半，以日为分，十分为寸，以减地中二至晷差，为法；置地中冬至晷影常数，以所求日地中晷影定数减之，余以其处二至晷差乘之，为实；实如法而一，所得，以减其处冬至晷数，即得其处其日晷影定数。所求日在夏至后初限、冬至后末限者，如在半限以下，倍之；半限以上，覆减全限，余亦倍之；并入限日，三因，四除，以日为分，十分为寸，以加地中二至晷差，为法；置所求日地中晷影定数，以地中夏至晷影常数减之，余以其处二至晷差乘之，为实；实如法而一，所得，以加其处夏至晷数，即得其处其日晷影定数。

二十四气陟降及日出分

（以下表格略）

二分前后陟降率

春分前三日，太阳入赤道内，秋分后三日，太阳出赤道外，故其陟降与他日不伦，今各别立数而用之。

惊蛰，十二日陟四。（六十七、一十六。）此为末率，于此用毕。（其减差亦止于此也。）

十三日陟四。（四十一、六。）十四日陟四。（三十八、九十。）

十五日陟四。

秋分，初日降四。（三十八。）一日降四。（二十九。） 二日降四。（五十九）。三日降四。（六十八。）

此为初率，始用之。（其加差亦始于此也。）

求每日日出入晨昏半昼分

各以陟降初率，陟减降加其气初日日出分，为一日下日出分；以增损差（仍加减加减差。）增损陟降率，驯积而加减之，即为每日日出分；覆减日法，余为日入分；以日出分减日入分，半之，为半昼分；以昏明分减日出分，为晨分；加日入分，为昏分。

求日出入辰刻

置日出入分，以六因之，满辰法而一，为辰数；不尽，刻法除之，为刻，不满为分。命子正算外，即得所求。

求昼夜刻

置日出分，十二乘之，刻法而一，为刻，不满为分，即为夜刻；覆减一百，余为昼刻及分秒。

求更点率

置晨分，四因之，退位，为更率；二因更率，退位，为点率。

求更点所在辰刻

置更点率，以所求更点数因之，又六因之，内加更筹刻，满辰法而一，为辰数；不尽，满刻法，除之，为刻数；不满，为分；命其日辰刻算外，即得所求。

求四方所在漏刻

各于所在下水漏，以定其处冬至或夏至夜刻，乃与五十刻相减，余为至差刻。置所求日黄道去赤道内外度及分，以至差刻乘之，进一位，如二百三十九而一，为刻；不尽，以刻法乘之，退除为分；内减外加五十刻，即得所求日夜刻；以减百刻，余为昼刻。（其日出入辰刻及更点差率等，并依前术求之。）

求黄道内外度

置日出之分，如日法四分之一以上，去之，余为外分；如日法四分之一以下，覆减之，余为内分。置内外分，千乘之，如内外法而一，为度，不满，退除为分秒，即为黄道去赤道内外度；内减外加象限，即得黄道去极度。

求距中度及更差度

置半法，以晨分减之，余为距中分；百乘之，如周法而一，为距中度；用减一百八十三度一十二分八十三秒半，余四因，退位，为每更差度。

求昏明五更中星

置距中度，以其日午中赤道日度加而命之，即昏中星所格宿次，因为初更中星；以更差度累加之，满赤道宿次，去之，即得逐更及明中星。

步月离术

转终分，一十四万四千一百一十，秒六千二十，微六十。

转终日，二十七，余二千九百，秒六千二十，微六十。

转中日，一十三，余四千六十五，秒三千一十，微三十。

朔差日，一，余五千一百四，秒三千九百七十九，微四十。

象策，七，余二千一，秒二千五百。

秒母，一万。

微母，一百。

上弦度，九十一，分三十一，秒四十一（太）。

望度，一百八十二，分六十二，秒八十三半。

下弦度，二百七十三，分九十四，秒二十五（少）。

月平行度，十三，分三十六，秒八十七半。

分秒母，一百。

七日初数，四千六百四十八，末数，五百八十二。

十四日初数，四千六十五，末数，一千一百六十五。

二十一日初数，三千四百八十三，末数，一千七百四十七。

二十八日初数，二千九百一。

求经朔弦望入转（凡称秒者，微从之，他仿此。）

置天正朔积分，以转终分及秒去之，不尽，如日法而一，为日，不满为余秒，即天正十一月经朔入转日及余秒；以象策累加之，去命如前，得弦望经日加时入转及余秒；径求次朔入转，即以朔差加之。（加减里差，即得中朔弦望入转及余秒。）

（以下表格略）

求中朔弦望入转朓朒定数

置入转小余，以其日算外损益率乘之，如日法而一，所得，以损益朓朒积，为定数。其四七日下余，如初数以下，初率乘之，如初数而一，以损益朓朒积，为定数；如初数以上，以初数减之，余乘末率，如末数而一，用减初率，余如朓朒积，为定数。其十四日下余，如初数以上，以初数减之，余乘末率，如末数而一，为朓朒定数。

求朔弦望中日

以寻斯干城为准，置相去地里，以四千三百五十九乘之，退位，万约为分，曰里差；以加减经朔弦望小余，满与不足，进退大余，即中朔弦望日及余。（以东加之，以西减之。）

求朔弦望定日

置中朔弦望小余，朓减朒加入气入转朓朒定数，满与不足，进退大余，命壬戌算外，各得定朔弦望日辰及余。定朔干名与后朔同者，其月大；不同者，其月小；月内无中气者，为闰。视定朔小余，秋分后在日法四分之三以上者，进一日；春分后，定朔日出分与春分日出分相减之，余者，三约之，用减四分之三；定朔小余及此分以上者，亦进一日；或有交，亏初于日入前者，不进之。定弦望小余，在日出分以下者，退一日；或有交，亏初于日出前者，小余虽在日出后，亦退之。如望在十七日者，又视定朔小余在四分之三以下之数，（春分后用减定之数。）与定望小余在日出分以上之数相校之，朔少望多者，望不退，而朔犹进之；望少朔多者，朔不进，而望犹退之。（日月之行，有盈缩迟疾；加减之数，或有四大三小。若循常当察加时早晚，随所近而进退之，使不过四大三小。）

求定朔弦望中积

置定朔弦望小余，与中朔弦望小余相减之，余以加减经朔弦望入气日余，（中朔弦望，少即加之，多即减之。）即为定朔弦望入气；以加其气中积，即为定朔弦望中积。（其余，以日法退除为分秒。）

求定朔弦望加时日度

置定朔弦望约余，以所入气日损益率乘之，（盈缩之损益。）万约之，以损益其下盈缩积，乃盈加缩减定朔弦望中积，又以冬至加时日躔黄道宿度加之，依宿次去之，即得定朔弦望加时日所在度分秒。

又法：置定朔弦望约余，副之，以乘其日盈缩之损益率，万约之，应益者盈加缩减，应损者盈减缩加，其副满百为分，分满百为度，以加其日夜半日度，命之，各得其日加时日躔黄道宿次。（若先于历中注定每日夜半日度，即用此法为准也。）

求定朔弦望加时月度

凡合朔加时日月同度，其定朔加时黄道日度即为定朔加时黄道月度；弦望，各以弦望度加定朔弦望加时黄道日度，依宿次去之，即得定朔弦望加时黄道月度及分秒。

求夜半午中入转

置中朔入转，以中朔小余减之，为中朔夜半入转。又中朔小余，与半法相减之，余以加减中朔加时入转，（中朔少如半法，加之；多如半法，减之。）为中朔午中入转。若定朔大余有进退者，亦加减转日，否则因中为定，每日累加一日，满转终日及余秒，去命如前，各得每日夜半午中入转。（求夜半，因定朔夜半入转累加之；求午中，因定朔午中入转累加之；求加时入转者，如求加时入气之术法。）

求加时及夜半月度

置其日入转算外转定分，以定朔弦望小余乘之，如日法而一，为加时转分；（分满百为度。）减定朔弦望加时月度，为夜半月度。以相次转定分累加之，即得每日夜半月度。（或朔至弦望，或至后朔，皆可累加之。然近则差少，远则差多。置所求前后夜半相距月度为行度，计其日相距入转积度，与行度相减，余以相距日数除之，为日差行度。多日差加每日转定分行度，少日差减每日转定分而用之可也。欲求速，即用此数。欲究其微，而可用后术。）

求晨昏月度

置其日晨分，乘其日算外转定分，日法而一，为晨转分；用减转定分，余为昏转分。又以朔望定小余，乘转定分，日法而一，为加时分，以减晨昏转分，为前；不足，覆减之，为后；乃前加后减加时月度，即晨昏月度所在宿度及分秒。

求朔弦望晨昏定程

各以其朔昏定月减上弦昏定月，余为朔后昏定程。以上弦昏定月，减望昏定月，余为上弦后昏定程。以望晨定月，减下弦晨定月，余为望后晨定程。以下弦晨定月，减后朔晨定月，余为下弦后晨定程。

求每日转定度

累计每定程相距日下转积度，与晨昏定程相减，余以相距日数除之，为日差；（定程多，加之；定程少，减之。）以加减每日转定分，为转定度；因朔弦望晨昏月，每日累加之，满宿次去之，为每日晨昏月度及分秒。（凡注历，朔日已后注昏月，望后一日注晨月。）古历有九道月度，其数虽繁，亦难削去，具其术。

求正交日辰

置交终日及余秒，以其月经朔加时入交泛日及余秒减之，余为平交入其月经朔加时后日算及余秒；（中朔同。）以加其月中朔大小余，其大余命壬戌算外，即得平交日辰及余秒。（求次交者，以交终日及余秒加之，如大余满纪法，去之，命如前，即得次平交日辰及余秒也。）

求平交入转朓朒定数

置平交小余，加其日夜半入转，余以乘其日损益率，日法而一，所得，以损益其日下朓朒积，为定数。

求平交日辰

置平交小余，以平交入转朓朒定数朓减朒加之，满与不足，进退日辰，即得正交日辰及余秒；与定朔日辰相距，即得所在月日。

求中朔加时中积

各以其月中朔加时入气日及余，加其气中积及余，其日命为度，其余，以日法退除为分秒，即其月中朔加时中积度及分秒。

求正交加时黄道月度

置平交入中朔加时后日算及余秒，以日法通日内余进二位，如三万九千一百二十一为度，不满，退除为分秒，以加其月中朔加时中积，然后以冬至加时黄道日度加而命之，即得其月正交加时月离黄道宿度及分秒。如求次交者，以交中度及分秒加而命之，即得所求。

求黄道宿积度

置正交加时黄道宿全度，以正交加时月离黄道宿度及分秒减之，余为距后度及分秒；以黄道宿度累加之，即各得正交后黄道宿积度及分秒。

求黄道宿积度入初末限

置黄道宿积度及分秒，满交象度及分秒去之，余在半交象以下为初限；以上者，减交象度，余为末限。（入交积度、交象度，并在《交会篇》中。）

求月行九道宿度

凡月行所交，冬入阴历，夏入阳历，月行青道；（冬至夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东；立冬立夏后，青道半交在立春之宿，当黄道东南；至所冲之宿，亦皆如之也。宜细推。）冬入阳历，夏入阴历，月行白道；（冬至夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西；立冬立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北；至所冲之宿，亦如之也。）春入阳历，秋入阴历，月行朱道；（春分秋分后，朱道半交在夏至之宿，当黄道南；立春立秋后，朱道半交在立夏之宿，当黄道西南；至所冲之宿，亦如之也。）春入阴历，秋入阳历，月行黑道。（春分秋分后，黑道半交在冬至之宿，当黄道北；立春立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北；至所冲之宿，亦如之也。）四时离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行有九道。各以所入初入初末限度及分，减一百一度，余以所入初入初末限度及分乘之，半而退位为分，分满百为度，命为月道与黄道泛差。

凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月行正交，入夏至后宿度内为同名，入冬至后宿度内为异名。其在同名者，置月行与黄道泛差，九因之，八约之，为定差；半交后，正交前，以差减；正交后，半交前，以差加；（此加减出入六度，正如黄赤道相交同名之差，若较之渐异，则随交所在迁变不常。）仍以正交度距秋分度数，乘定差，如象限而一，所得，为月道与赤道定差；前加者为减，减者为加。其在异名者，置月行与黄道泛差，七因之，八约之，为定差；半交后，正交前，以差加；正交后，半交前，以差减；（此加减出入六度，正如黄赤道相交异名之差，若较之渐同，则随交所在迁变不常。）仍以正交度距春分度数，乘定差，如象限而一，所得，为月道与赤道定差；前加者为减，减者为加，各加减黄道宿积度，为九道宿积度；以前宿九道积度减之，为其宿九道度及分秒。（其分就近约为太、半、少，论春夏秋冬，以四时日所在宿度为正。）

求正交加时月离九道宿度

以正交加时黄道日度及分，减一百一度，余以正交度及分乘之，半而退位为分，分满百为度，命为月道与黄道泛差。其在同名者，置月行与黄道泛差，九因之，八约之，为定差，以加；仍以正交度距秋分度数乘定差，如象限而一，所得，为月道与赤道定差，以减。其异名者，置月行与黄道泛差，七因之，八约之，为定差，以减；仍以正交度距春分度数，乘定差，如象限而一，所得，为月道与赤道定差，以加。置正交加时黄道月度及分，以二差加减之，即为正交加时月离九道宿度及分。

求定朔弦望加时月所在度

置定朔加时日躔黄道宿次，凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月离宿次；各以弦望度及分秒，加其所当弦望加时日躔黄道宿度，满宿次，去之，命如前，各得定朔弦望加时月所在黄道宿度及分秒。

求定朔弦望加时九道月度

各以定朔弦望加时月离黄道宿度及分秒，加前宿正交后黄道积度，为定朔弦望加时正交后黄道积度；如前求九道积度，以前宿九道积度减之，余为定朔弦望加时九道月离宿度及分秒。（其合朔加时，若非正交，则日在黄道，月在九道，所入宿度虽多少不同，考其两极若绳准。故云月行潜在日下，与太阳同度，即为加时。九道月度，求其晨昏夜半月度，并依前术。）

卷五十七 志第九

◎历六

○庚午元历下

步交会术

交终分，一十四万二千三百一十九，秒九千三百六，微二十。

交终日，二十七，余一千一百九，秒九千三百六，微二十。

交中日，一十三，余三千一百六十九，秒四千六百五十三，微一十。

交朔日，二，余一千六百六十五，秒六百九十三，微八十。

交望日，一十四，余四千二，秒五千。

秒母，一万。

微母，一百。

交终度，三百六十三，分七十九，秒三十六。

交中度，一百八十一，分八十九，秒六十八。

交象度，九十，分九十四，秒八十四。

半交象度，四十五，分四十七，秒四十二。

日食既前限，二千四百。定法，二百四十八。

日食既后限，三千一百。定法，三百二十。

月食限，五千一百。

月食既限，一千七百。定法，三百四十。

分秒母，皆一百。

求朔望入交（先置里差，半之，如九而一，所得依其加减天正朔积分，然后求之。）

置天正朔积分，以交终分去之，不尽，如日法而一，为日，不满为余，即得天正十一月中朔入交泛日及余秒。（便为中朔加时入交泛日及余。）交朔加之，得次朔；交望加之，得望；再加交望，亦得次朔；各为朔望入交泛日及余秒。（凡称余秒者，微亦从之，余仿此。）

【求定朔及每日夜半入交】

各置入交泛日及余秒，减去中朔望小余，即为定朔望夜半入交泛日及余秒。若定朔望有进退者，亦进退交日，否则因中为定，大月加二日，小月加一日，余皆加四千一百二十，秒六百九十三，微八十，即次朔夜半入交；累加一日，满交终日及余秒，去之，即每日夜半入交泛日及余秒。

【求定朔望加时入交】

置中朔望加时入交泛日及余秒，以入气入转朓朒定数朓减朒加之，即得定朔望加时入交泛日及余秒。

【求定朔望加时入交积度及阴阳历】

置定朔望加时入交泛日，以日法通之，内余进二位，如三万九千一百二十一而一，为度，不满，退除为分秒，即得定朔望加时月行入交积度；以定朔望加时入转迟疾度迟减疾加之，即为月行入定交积度；如交中度以下，为入阳历积度，以上，去之，为入阴历积度。（每日夜半准此求之。）

【求月去黄道度】

视月入阴阳历积度及分，交象以下，为少象；以上，覆减交中，余为老象。置所入老少象度于上位，列交象度于下，相减，相乘，倍之，退位为分，分满百为度，用减所入老少象度及分；余，又与交中度相减、相乘，八因之，以一百一十除之，为分，分满百为度，即得月去黄道度及分。

【求朔望加时入交常日及定日】

置朔望入交泛日，以入气朓朒定数朓减朒加，为入交常日。又置入转朓朒定数，进一位，以一百二十七而一，所得，朓减朒加交常日，为入交定日及余秒。

【求入交阴阳历交前后分】

视入交定日，如交中以下，为阳历；以上，去之，为阴历。如一日上下，以日法通日内分，内余为交后分；十三日上下，覆减交中日，余为交前分。

【求日月食甚定余】

置朔望入气入转朓朒定数，同名相从，异名相消，以一千三百三十七乘之，以定朔望加时入转算外转定分除之，所得，以朓减朒加中朔望小余，为泛余。日食，视泛余，如半法以下，为中前，半法以上，去之，为中后。