皇朝经世文统编

四六　以一００００四乘之得

一００００四三五二八八五一二００一四六七　以一０００二乘之得

一０００二四三五三七五五六九七０三八六七　以一００五乘之得

一００五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一０四乘之得

一０四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得

一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得

二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　弃零进一升一位

二三

按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大干单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一００一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣

割圜连比例术图解序

董佑诚

元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示海张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反复寻绎究其立法之原即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢互求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉

割圜连比例后序

董佑诚

割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于锺祥李氏乾隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反复推衍使弧矢奇耦率可互通隐探赜杂而不越师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元鉴菱草形果垛迭藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰并记之

少广缒凿

夏鸾翔

开平方捷术一

小初商为一借根　以一借根除本积得二借根　并一二借根半之为三借根　以三借根除本积得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止

此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根

算例

假如平积一百二十一求方根

小初商□０为一借根　一借根除本积得一□二一为二借根　并一二借根半之得一□一０五为三借根　三借根除本积得一□０九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根　并三四借根半之得一□一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根

开平方捷术二

大初商为一借根　以一借根除本积得二借根　并一二借根半之得三借根　以三借根除本积得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根

算例

假如平积九十九求方根

大初商一　为一借根　一借根除本积得□九九为二借根　并一二借根半之得□九五为三借根　三借根除本积得□九九四九七四借根　并三四借根半之得□九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根

开诸乘方捷术一

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷

算例

假如平积五十求方根

以□七一之平积五０四一为外积□七一为外根求得一□四二为递次除法　小初商□七为一借根　一借积四□九减本积余以除法除之得００七０四以加一借根得□七０七０四为二借根　二借积四□九九０五五六减本积余以除法除之得００００六六五以加二借根得□七０七一０六五为三借根截去末二位得□七０七一０即方根

开诸乘方捷术二

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与方根密合而止

算例

假如平积八八求方根

以□三之平积□九为外积□三为外根求得□六为递次除法　大初商□三为一借根　一借积□九内减本积余以除法除之得００三三三三三以减一借根余□二九六六四八一为三借根截去末二位得□二九六六四即方根

开诸乘方捷术三

小初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根以下逐数皆一加一减相间为三借根　下皆如是求至借根小者渐小与方根密合而止

算例

假如平积五十求方根

以□七之平积四□九为内积□七为内根求得一□四为递次除法　小初商□七为一借根　一借积四□九减本积余以除法除之得□０００六六五以加二借根得□七０七一０六为三借根截去末一位得□七０七一０即方根

开诸乘方捷术四

大初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根以下逐数皆一减一加相间下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

算例

假如平积八八求方根

以□二九之平积□八四一为内积□二九为内根求得□五八为除法　大初商□三为一借根　一借积□九内减本积余以除法除之得　□三四四八二七以减根余□九六五五为二借根　二借积□八七九四一九　减本积余以除法除之得０００一００一七二以加二借根得□二九六六五为三借根　三借积□八八００一二二二内减本积余以除法除之得　００００二一以减三借根得□二九六六四七为四借根截去末一位得□二九六六四即方根

天元开诸乘方捷术一较数余积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法借积凡天元借根求借积法以借根乘隅加减长廉以借根乘之加减平廉又以借根乘之加减立廉又以借根乘之至加减方后又以借根乘之即借积也外根之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与元数密合而止

算例

假如平方负积十六正方二正隅一求元数

以□三二之积一□六六四为外积□三二为外根求得□八四为递次除法　小初商□三为一借根　一借积一□五减本积余以除法除之得□０一一九０以加一借根得□三一一九　为二借根　二借积一□五九六六一六一减本积余以除法除之得０００四０二八以加二借根得□三一二三　为三借根　三借积一□五九九九一二九减本积余以除法除之得００００一０三以加三借根得□三一二三一０三为四借根截去末三位得□三一二三即元数

天元开诸乘方捷术二和数余积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积于外根加一之积相减又加一为递次除法　一借积减本积除以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止

算例

假如平方负积二九正方四负隅一求小元数

以□一之积□三为外积□一为外根求得□二为递次除法　小初商　九为一借根　一借积□二七九减本积余以除法除之得００五五以加一借根得　九五五为二借根　二借积０九０七九七五内减本积余以除法除之得□０００三九八七以减二借根余０九五一０一为三借根　三借积□二八九九六一九九减本积余以除法除之得□００００一九０五以加三借根得０九五一二０为四借根　四借积□二九０００一八五六内减本积余以除法除之得０００００九二八以减四借根得　九五一一九　为五借根截去末一位得０九五一一九即小元数

天元开诸乘方捷术三益积用此术

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一昔积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与元数密合而止

算例

假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数

以三０之积二四０为外积三０为外根求得三□八为递次除法　大初商三０为一借根　一借积二四　内减本积余以除法除之得□一八九四七三以减一借根余二□八一０五为二借根　二借积一七□一五八一内减本积余以除法除之得００九四二三以减二借根余二□八０一０为三借根　三借积一六□八三四内减本积余以除法除之得０００八九四以减二借根余二□八００一为四借根　四借积一六□八０三内减本积余以除法除之得００００七八九以减四借根余二□八０００一为五借根弃零得二□八即元数

天元开诸乘方捷术四翻积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一　积相减又加一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借根积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止

算例

假如平方负积二九正方四负隅一求大元数

以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法　小初商□三为一借根　一借积□三内减本积余以除法除之得００五以加一借根得□三０五为二借根　二借积□二八九七五减本积余以除法除之得０００一二五以减二借根得□三０四八七五为三借根　三借积□二九００一二三四三内减本积余以除法除之得００００六一七一以加三借根得□三０四八八一一七一为四借根截去末三位得□三０四八八一为大元数

天元开诸乘方捷术五

如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法　乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求至数十位亦非难事

算例

假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之

先用前除法□八四增求一位得０一二三一仍为借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□００００四六三九０乃用前得元数□三一二三　又为外根如前求得除法□八一四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三为除法　除法除余积得□０００００五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一０五六二五为元数　如再欲增求则以现得十位数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位数之积减本积之余也得数又可消得九位矣

按正诸乘方方可用右术

天元开诸乘方捷术六

方廉隅相并减以除本积得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根　二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止

算例

假如平方负积十八正方二十□０九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□０九０四五二为一借根　一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□0九００二　为二借根０二借根步至方法得一□九九九九以除本积得□０九００００九弃零得□０九即小元数

凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣

若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后

又算例

假如立负方积一亿正方一亿００十万０一千负廉十万０一千０一正隅一求元数

方廉隅正负并减得一亿以除本积得□一即元数也

右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此

天元开诸乘方捷术七

以方为递次除法　除法除本积得一借根　一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同相加异名相减　以除法除之得二借根　二借根诸数加减本积以除法除之得三借根　下皆如是求至借根与元数密合而止

右术亦方大者用之为便

算例

假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数

以方除本积得□一九五一二为一借根　一借根乘隅得□三八０七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根乘隅得□三九九０四０加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数

又算例

假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数

以方除本积得三三三三□三为一借根　一借根立积乘隅得三十兆七０三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根　二借根立积乘隅得四十兆一三０三三三０一加本积以方除之得三四七一０为三借根　三借根立积乘隅得四十兆一八一八０五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根　四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三０一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数

又算例

假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数

以方除本积得五万为一借根　一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以方除本积得五万为一借根　一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五　为二借根　二借根平积乘廉得一百兆九一四０六二五以减本积一　借根立积乘隅得八十兆三七四０二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根　三借根平积乘廉得一百兆０九０五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二０四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根　四借根平积乘廉得一百兆九七九０九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八０四三九一以加本积减余数以方除之得四四五０□六为五借根　五借根平积乘廉得一百兆九八０七八四　以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五０□三为六借根　六借根平积乘廉得一百兆九八０五一七０以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五０□四为七借根即元数

右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也

天元开诸乘方捷术八

如前诸术先求得元数数位为一借根　前得元数数位又为外根又求得递次除法　一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根　次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根　三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根　下皆如是求至借根与元数密合而止

按正诸乘方亦可用右术

天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也

算例

假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八０□三欲增求之

以六一八０□三为外根如前又求得二二三六０因为递次除法　六一八０□三为一借根　一借积九九九九九一０八０□九减本积余八九一九□一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六０□六为初变方正一为正隅　置初变积以除法除之得　三九八八七有奇截用四位得□０三九八八为次小根以加前得五位得六一八０□三三九八八为二借根　次小根借积八九一七□四二三一八四一四四减初变积余一□六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六０□六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得　七四九八九有奇截用四位得０００００七四九八为三小根以加前得九位得六一八０□三三九八八七四九八为三借根　三小根借积一□六七六六０三七六八九六七００００四减次变积余０００二一二０八七０三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六０□六七九七七四九九六为三变方正一为正隅　置三变积以除法除之得００００００００九四八四八有奇截用四位得００００００００九四八四为四小根以加前得十三位得六一八０□三三九八八七五０七四八四为四借根即元数

按右例所得十六位数即理分中末之大分数也

截球解义

徐有壬

几何原本谓球与同径同高之圆囷其外面皮积等截球与截圆囷同高则其外面皮积亦等而不直抉其所以然检梅氏诸书亦未能明释之也蓄疑于心久矣近读李风九章注乃得其解因释之以告同志虽然以戴东原之善读古书而犹谓风此注当有脱误甚矣索解人之难也今释几何原本而风之注因是以明风用方今用圆其理则无二也述截球解义

设如径与高等之圆囷内容同径之圆球此球必居圆囷三之二何以明之试将圆囷横切为二则为扁圆囷内容半圆球又将扁圆囷十字直切为四则为圆囷八分之一内亦容圆球八分之一此圆囷上下两平面俱为圆之一象限其外之圆立面为囷外面皮八分之一其凑心两直立面本属囷之半径乘半高即球之半径自乘羃因球在囷内球壳因直切处切成一象限是为球半径羃内容一象限为此体之凑心立面各一

图略于此立面任意横截则皆有正弦有余弦有矢有半径

图略于此体横切之去其上截则高为余弦

图略下半截上面截成两象限一大一小

图略

此下半截上下两平行面仍为圆之一象限而上面一象限因有球壳在内界成一小象限其半径即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半径者弦也以句为半径作一象限以股为半径作一象限两象限相并作一大象限必以弦为半径　句方股方并为弦方句圆股圆亦并为弦圆句象限股象限亦并为弦象限以方圆比例推　其理易见

然则截体上面之大象限球半径弦为半径内减球壳所界之小象限正弦句为半径所余环积必与余弦股所作小象限余弦股为半径等矣立面一象限自高而下所截余弦至不齐也上面大象限减小象限之环积亦至不齐也而余弦为半径作象限必与此环积等此环积总为弦上象限句上象限之较此无高无下无小无大无适不然者也

又试依圆囷之底为底即球中腰大圆面以囷之半高为高即球之半径作一圆锥体而十字切之为象限锥积以象限为底此锥之底两旁之边即圆囷半径亦即球半径也

底边之半径为句锥高之半径为股是为句股相等

于此锥体任意横截为各小锥莫不为底边与高相等之锥苟以小锥高为半径作象限面莫不与小锥底相等此亦无高无下无小无大无适不然者也

小锥之高犹余弦也小锥之底犹大象限减小象限之环积也小锥之高为半径作象限必与小锥底等犹余弦为半径之象限必与环积等也

余弦之自大而递小也截高则余弦大截下则余弦小极高则几与半径等极下则几于无余弦其长短有序不乱今各以为半径作各象限层累迭积必成一象限锥与上锥等而余弦各象限即球内各象限减圆囷各象限之余也圆囷　薄切之皆相等之象限面圆球横　切之各成正弦为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣