皇朝经世文编五集

大于二极径约三百分之一知地非正球乃微扁然其差甚微虽目力极精者亦难辨也因作地圆解

西法代数本于中法四元说

姚模

从来理溯渊源必由乎旧术求敏捷必出以新数学自河洛图书而后门类日增精义日出诸法繁多理甚精奥入者未深迷眩矣至　本朝西人以借根方法传入中国借根方者即西国古代数也至近年而代数盛行其式虽繁而理尚明晰然西法代数即中法四元不过阐而明之集而补之故曰代数本于四元考四元之法中国失传已久嗣后宋之秦九韶着数书九章元之朱汉卿着四元玉鉴李仁卿演测圆海镜诸书至　国初皆无从可得后由高丽得之而四元遂复行当六朝时四元之法流入天竺国名东来术希腊有丢番都因其法而用字代记号而天竺后有精于丢氏者代未知之数用五色名即秦九韶之大衍术此为代数本于四元之始元时意大利之薄那洗学自亚拉伯以传于其国至明嘉靖万历时铁法利传于日耳曼白勒得利传于法兰西立可传于英吉利皆仿东来术易天地人物四字而各用方言字母代已知之数及未知之数此四元法流入各国之始迨牛端出始加以诸号并作诸捷简法依其浅深难易之步数集为代数大成于是言算法者不复知代数之本于四元矣夫代数以字母相乘除而四元以天地人物相因剔代数相消之理即四元所谓如积相消齐同相消之理代数有公生一名公度数又名公约数大公生一名大公度数又名大公约数之名四元有天勾地股人弦物黄方之号上下升降左右进退互相变化用假象真加正消负同一理也况推演四元之法悉本方程试演代数之法亦本方程推代数之所以通于方程者以四元本于方程故也四元法立天元一立地元一代数术有一次二次悉根方程之一色二色而出方程对减一遍去一色而省一行犹四元相消一遍去一元而省一色亦犹代数相消一遍去一次而省一事由是观之四元本于方程而代数本于四元可知矣盖四元之法中国失传而后流入天竺由天竺而传入欧西经西人推阐增详创为代数复行于中国习算者以四元简而深为难以代数繁而浅为易遂谓四元不及代数中法不如西法是未知代数之渊源与四元之奥旨也

释日月食

徐永铨

凡日月食皆由一体之影掩一体地为暗体由日照而得光其影于背日远处可见日大于地地影尽处必成尖锥形所谓闇虚也地影两旁更有一外虚影离地影愈远外虚之影愈淡月绕地行相离不远地影常足掩月使日月与地三者正在一直线必食月食恒在望其不屡食者黄白二道斜交月行近上近下不适相平否则每月必食食之分数不一有时或至一二点钟之久凡日食月掩也食时月适居日地之中月后有影射地面人在影中不见日光故成日食日食恒在朔凡月食月入暗虚也食时地在日月之间地后有影遮蔽月面人不见其光是为月食月之受食深浅不同月面半入地影者为半食全入地影者为全食至地影与月面两心相掩者则为食甚矣日半食时月影射地其处即见日食在影外者仍见日光至日食甚时两心相掩或作金环露于月边其时月距地较远使月之轨道与地之轨道同在一平面内则日食恒见于朔月食恒见于望但二道斜交角约五度又四分之一其斜交处谓之交点日食初亏时始于日之西及复圆时终于日之东月食初亏时始于月之东及复圆时终于月之西按每年交食多则七次少则两次约中计之则有四次即日食二次月食二次月食循环之序大率每十九年而复转常人向视日月食第以为有咎不知实为天文之要学焉由月食可辨地为圆体并知日大于地地大于月与夫月之运动有时在地理家则于交食可以定地之经线在历家亦可于交食考事之时宜

释潮

徐永铨

海水于十二个半时长落二次曰潮潮乃关于日月之摄动也海潮则以月之摄力为尤甚天地万物皆有自然摄力月当以其摄力摄水惟相距愈远摄力愈微若距地加远平方之比向月最近之水其受摄力较多于地球对面向日之水盖日距地远月距地近故也天学家牛端考月摄潮之力大于日之摄力四倍半月摄海水约高八英尺七寸日月合力祇摄水约高十一尺耳或问月之力摄正面之海水上升是矣而同时相对背面之水亦上升何也曰地与水皆受月之摄力引动正面之水受摄力较地体多故上升对面之水受摄力较地体少地去而水留故亦上升也所以地球两面相对之水同时发涨而距涨潮相等之处两面相对之水均为落潮潮之盛长也非在月过午线时乃在月过午线后凡物之静而动动而静不能立时改易水势亦然月过午线时水应极长月过午线后水势仍长不能立时即消也夫海潮受日月摄力而成浪顶恒随日月之视行与日月之诸差相合日月二浪有时合而相加有时离而相减朔望为二潮之和两弦为二潮之较故朔望时潮最大名曰高潮两弦时潮最少名曰低潮当月在赤道之北月过午线在地平上时其潮大在地平下时其潮小若月在赤道之南潮之大小与此相反推是则月之向南也月在平地下时赤道对面之潮极大月在平地上时赤道对面之潮极小同一理也设令地面皆水则潮之长落应无异时所以各处地势潮汐不齐者为岛及两大洲所滞耳欲解其理必按各处海岸沙滩及各河地势论之自能明其所以然矣洋中诸小岛潮长甚微惟海湾河口其潮之高常由十二尺以至五十尺高潮有时最高低潮有时最低皆在冬至后约十日即西历正月元旦也其时因日距地最近其摄力必较壮于他时潮高者遇其时亦较盛于他时太平洋之潮盛于大西洋之潮而潮在大西洋热带内地界于阿非力加亚美利加者较少于在温带内之潮以海面较耳海面不宽潮多阻塞惟在大洋面由高至卑阔计九十度之处潮乃畅流无滞云

释电气摄力

潘行让

电气摄力者何试以玻璃或琥珀一片用干物或手擦热令近轻微之物如线发羽芥等彼物为摄力所吸则互相黏连移时始落设以木箸一枝两头插以轻塞以丝线中悬使平复以琥珀或火漆擦热近轻塞而引之箸即随之转运此皆电气摄力也凡摄轻物之力即谓之电气摄力物而有此摄力者曰有电气质为他物之摄力所摄者曰受摄气质物有擦之而不生摄力者曰无电气质人发猫皮暗中擦之常见电光此皆有电之质也格物家傅兰克论天下万物俱含电气流质盖天然电气各物均平惟电气互相牵引故有摄力者其电气较多无摄力者其电气较寡试以传电之物如五金一片近多电之物处则金片将物之余电传来斯时所受之电气较其本质之电气为盛此之谓正电气正者有余之谓也倘以传电之金片置近寡电之物则金片之电气为物所分斯时所有之电较其本质之电气为寡此之谓负电气负者不足之谓也按电气流行由有余传至不足者其势易然物有难传电气者有不传电气者凡电气相引由正而引至负者为引电质其难传电及不能传电者为阻电质能引电之物五金为最不引电之物琥珀火漆松香玻璃磁器丝绸为最凡物以电气架托之则电气可储如以玻璃为椅足或置五金一片于玻璃之上电气亦可储也如欲多取电气流质以作别用须用电气机器机器类繁以玻璃造者为大宗有擦电之物用以激电有引电之物用以储电有托电之物使电气不外散其机器皆今电气运行者也傅兰克谓人造之电气与在天之雷电相同其理已经诸格物家讨论深矣以雷电之形体与人所造之电气相较不相径庭夫电光灿烁闪出重霄流行无定而电光发响其象则同西人以风筝取电风筝上有铁齿以线放于空中接手处系以丝线防引电也丝麻相接处坠一铁匙电由风筝下达时见丝线蓬蓬立以手近之见有火星后以此法蓄之于器见其发光爆响与人所造之电气无异焉雷击极高之物遇传电之物流行甚易遇阻电之物则勃发热而成雷火以至焚击爆裂殛及生灵此皆由电之流质而来也西人有避电之法于房屋最高处树一铁竿长数丈一端埋于地中或近水处一端高出于屋顶数尺上有盆齿以银包其尖恐生锈也雷电过之即随铁竿下入于地而人屋可保此名防雷铁盖雷性遇传电之物畅行无碍若遇阻电之物遏其流行之势乃轰然作声奋击为祸耳

气学浅说

戴儒珍

有冲漠先生言于凭虚公子曰今试然一洋灯君以为何所有耶曰光以外莫之见也先生曰凡空管中自满空气至灯一然则空气由热气上升而出而热气始散盖热气轻于空气也推之他管亦然试观地球热带之风每吹于南北极各处从可知热气之能高出乎冷气矣按蒙各耳飞哀热气球始于西历一千八百年球为亚拿乃蒙各耳飞哀昆仲所创制其法以热气灌于球内务令充足待其热与球口生火处之热相等则热气自足以高升乎冷气之上而球亦与焉高至极处约有七八百法尺公子曰何妨作一球以试之先生曰一球不足以明其理必作十球而后可公子曰是何言也先生曰不难知也吾今以杯水和胰皂少许再以笔管入水中吹之君所见者何耶公子曰第见皂水中出无数[泡](苞)由管端飞入空际耳何关乎热气球乎先生曰即此亦可明气学之理焉泡之为吾所吹出者盖口中之热气由管而入于水热气既轻于冷气自由水中上升而成泡耳公子曰何泡之不能极高耶先生曰口中吹出之气不甚热一遇空气即复冷故五色皂泡遂为点水而散入纤尘矣公子曰而今而后吾无惑乎皂泡亦关于气学焉先生曰此亦格物之一道也然犹有可试验者如以一盆及一深玻璃杯盆内置水仅半复以引火纸一头然着放于杯内急将杯倒置于盆火即熄而盆中之水涨入杯内因气中养气一经焚尽水无不升于杯中公子曰此何故耶先生曰杯中有火则所余之气均为淡气初固热而涨继即冷而少终且成为空故水受空气压力即泛以补其缺公子曰吾深喜此考验之法请毕其说先生曰试往庖人处取一卵烧熟去其再取一玻璃瓶用塞塞之放于近火处烘之待其瓶热极急易此卵以塞之然后将此瓶离火君又何所见耶公子曰吾见此卵渐入瓶中矣先生曰其故因瓶为火烘热则瓶中本有之空气皆为热气所迫而出及至离火已远则热气自减而渐成空瓶中既空则外之空气欲入而适有此卵以阻之卵虽阻而气欲入卵能不为气压令入瓶乎

释热

长庚

热之为物也无声无臭而其用至广有从日而来者有由火而生者有因二物擦磨而出者其从日而来者与光直来历程万万里由火而生者其热有光与从日来者无异地受太阳照临热气甚盛地心积热如大炉焉地震即地中烈火所致烈火发于火焰山如地心之火炉烟故常地中火出至人身之热则无光人之觉暖也由体内自有之热非衣足以暖体也衣以蔽体使内热不速外散耳二物擦磨而生热亦有无光者如以两滑棍相磨祇觉其热而已如木机器两端擦磨热甚则生火二木棍互相摩击亦有火生热能四散如执一铁条置彼端在火俄而此端觉热因传热速也如二物相连热能由此达彼设有二物一热一冷互相依近少顷二物冷热等矣热之传也视各物质以为迟速铁传热最易试持铁条置一端于火热即传至彼端若为木条传热必不若此之易也盖木难传热彼端然火此端尚不觉其热耳热能令物涨大如火轮车之铁轨两轨相接处必留空隙防其因热铁涨也车轮安置铁圈必先炙其铁铁热则涨安之甚易然后沃以水铁圈缩紧轮自坚固即此理也热能发舒天气气热则涨涨则轻轻则上升而他处之气较冷较重即向此处吹聚以补其空缺所以天气时常鼓荡也设严扃一暗室仅开一隙放光射入窥光线中见天气飞腾或上或下是知气遇热则升他处之气吹来此气之流行无滞也风之起也职是故耳海涯晚风之凉爽也因当昼地受日热热甚则气升清气吹来故成海风也热气恒轻于冷气以气遇热则涨而气之质并无所加祗觉愈涨愈稀愈稀愈轻气遇冷则缩而气之质并无所减祇觉愈缩愈稠愈稠愈重也水与流质遇热则涨而薄热甚流质即化气如水热则化为蒸汽实质遇热亦涨惟不若气与水之甚耳热之大者由日而生使世界无此热气则庶物不育草木不生热之为用大矣哉

以方出圆解

叶尔昌

方者直线也圆者弧线也周髀所谓以方出圆者以方之形度圆之分圆数即从方数而出与前说圆出于方之理合也盖方象地圆象天方之体偶圆之体奇方象乎地地易测也圆象乎天天难测也然推天者以地准之即以易测而测难测也方之象偶偶有尽也圆之象奇奇无尽也然求奇者以偶定之即以有尽而尽无尽也故曰以方出圆也管子能大圆者体乎大方本此如正圆求积以径自乘为正方形而以方率圆率比例求之即得又于圆内正方画为句股先得四边形复求之得八边形如是屡求至亿万边与圆外切凑合遂化圆周为直线皆以方出圆之理也又如绘图家环矩为圆矩方器也以矩之一端为枢以一端旋转为圆此亦圆出于方之证也盖万物之象万象之数皆不离方圆孟子曰规矩方圆之至考工记曰圆者中规方者中矩淮南子云左手画方右手画圆方圆皆以对待言之实则以方出圆圆之体非方不能定圆之积非方不能求耳

光气考

叶尔昌

物有其轻重不可测而附身方显其大力者四光热电气及摄力是也热及电气摄力释之于前按化学光与热有相因之理试再言之光之变化可于照相见之更有时一物而具数色者如一片之光红朱黄绿蓝青紫各色灿呈红居首而[紫](且)居末化物之光多生紫色腐鱼及死畜臭烂者其质恒化而为光即朽光常发所谓磷也热气之用主燠能使流质若气质不凝实为定质倘人行近火或日光射照手上温暖自生此即热气之证按光之定位紫色为殿受热最微而冠以红色受热最重热气随在可见然亦有不可以求者热由内化不得而知此所谓热气之隐蕴者也譬少放热水于冰上则水入冰中热不敌寒热气俄散不见水未结为冰而热先散冰未融于水而热已消消则不可见其热所消之热必职所融之冰然水少冰多旋融则冰旋结矣中蕴之热亦能验知如锤一铁久之即见其发红摩一干木久之即见其生暖是知铁与木皆蕴内热也物去其热当成定质如水银去其热气即变成实质如银此事有人航海近北极见之北极热最微者也热加于冰则化为水是谓融化热加于水则化为气是谓气化及热加于铁则化为流质是亦融化若热至十分有加无已铁质或亦气化石灰参水热气暴发放火焰能伤人此何故也盖水蕴内热一遇石灰热即外发发则水之流质成定质所谓定质者以内少热耳凡质皆有内热但有多寡之不同火酒内含热气水亦如之水酒相和其热气较原酒原水为盛其故何也盖两质搀匀则变杂质杂质之热本不如凡质原热之多今既两热相和所以觉其然耳

时务分类文编卷十五

算学　地舆

问开正负诸乘方孰为捷法

沈善蒸

按开正负诸乘方之法用处最广即如秦九韶之数书李冶之天元朱世杰之四元皆有藉开正负诸乘方而得所求之数开方必先定其初商而正负诸乘方之初商最难定因有益积连枝之异甚有商多而余实反多退商之而却尽之式其方式乘数加多则开之益难故治天元者恒以开方为难事所以数学家精思设法屡出新术今将各术详释于左

假如三乘方式为●●●●●法曰定初商为●以初商乘第一层隅此层数自下而上得●加入第二层下廉得●再以初商乘之得●加第三层上廉得●。再以初商乘之得●加入第四层方得●。再以初商乘之得●。加入上层负实异名减为加得┼为次商实　再以初商乘第一层隅四倍之得●。加入三倍下廉得●。再以初商乘之得●。加入倍上廉得●。再以初商乘之得●。加入方得●。为次商方。　再以初商乘第一层隅六倍之得●。加入三倍下廉得●。再以初商乘之得●。加入上廉得●。为次商上廉。　再以初商乘第一层隅四倍之得●。加入下廉得●。为次商下廉。　仍以●为隅。与实方廉相并得●●●●●。为开次商式。乃以上廉进一位与方相加。得●为法。以除实得●。又因方廉隅同为正。须退商为●。或●。先以●试之如前法。求得三商实变为正是知商●。为太多。必用●为次商。仍如前法。求得●为三商实。又求得●●●为方廉仍以●为隅并之得●●●●●为开三商式乃以方除实得●即为三商仍如前法求之却尽是为开尽并诸商得●即方又法如前法求得次商实●。及次商方●。其上廉以下不根也。　必求。乃以方除实。得●。亦退商●与●若。以●先试。即以●加初商。得●为乘法。仍列●●●●●。以●乘第一层得●。加入第二层。得●。再以●乘之。得●。加入第三层得●。再以●乘之。得●。加入第四层。得●。再以●乘之。得●加入上层得●为三商实。　再以●乘第一层。四倍之得●。加入三倍下廉得●。再以●乘之。得●。加入倍上廉。得●。再以●乘之。得●加入方得●。为三商方。以方除实得●。即为三商。加初次商得●。仍如求次商法求之却尽。又法如四乘方式●●●●●●。用求数根法。求得实根●●●●●●。且又用超步法得位数●●。又求得尾数●。视数根中取二根或多根相乘。其尾数必为●者。惟●为●。●为●然●有四位。与位数不合。是知●为商数。即元数也。

又法取略大于商数为外元以外元乘隅加入长廉再以外元乘之加入平廉如是递求而上至加入方后以外元乘之而止即为外积又以外元加一如前递求亦至加入方后再乘之而止其得数与外积相减又减一为递次除法　又取小初商为一借元如求外积法求得一借积减本积余以除法除之得数加一借元为二借元又求得二借积减本积余以除法除之得数加二借元为三借元顺是以下皆如是求至借元渐大与元数密合而止

又法任取大小二商为一借元二借元如前法求得一借积二借积乃以一借积与二借积之较积为一率二借积与本积之较积为二率一二两借元之较为三率求得四率以加减二借元为三借元　又以三借元求得三借积以二三两借积之较积为一率三借积与本积之较积为二率二三两借元之较为三率求得四率以加减三借元为四借元　顺是以下皆如是求至与元数密合而止　试考以上五法互有难易均非捷法如首二法之最难者定初商虽有超步之法如益积翻积之多乘方或有商一数开之不合又易一数开之仍不合甚至易十余次而得者次商较易于初商然亦有易二三次可得者数根开方之法虽无定初商之难事又有求数根之法为甚繁如实数在十万以内可捡对数阐微表在数理精蕴内求得数根如法开之诚为捷法如在十万之外其求数根之繁几如求初商相等末二法必须所借之元与元数略近庶可省递求次数似为便捷然求略近借元亦非易事若借元与元数悬殊必须辗转相求至十余次方得密合所以亦非捷法昔人云开方无捷法诚哉是言也

近日开方诸法略具梗概诸法虽均有不便但求其较易立方可依代数术开之立方以上求初商则用超步法次商以下则用借积比例法集众长以求之庶不至束手无策

验乘除误否旧传九减试法其能试之理安在若不用九减任用他数减试视九减法孰为难易

沈善蒸

验乘除之误旧传九减之外其三四六七八皆可作减试之法惟一二五不可用因乘除之误恒差一二五等数故也梅氏算书祗有九减七减两法因用他数减试之法均同七减故用他数之减法可不俱载焉按九减法无论验加减乘除之误先以法数各位相并满九者以九减之减至不满九而止又实数得数并减亦如之并减过之数法仍为法实仍为实如验乘法者仍相乘验除法者仍除之验加减者仍加减之所得之数满九者又九减之必与不能各位相并须从首位次第以七减之减至尾位不满七而止减过之原得数相同是为无误若不同必有误矣七减法则稍异减毕后乘除加减试验之法皆与九减同试言其理夫数起于一极于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一与十百千万之较数为九九九九九九九九九九按此诸较数俱为九之倍数以九减之俱能却尽无余又如三与三十之较数二七七与七十之较数六三亦为九之倍数故无论何数退下一位或几位即与九减几次无异譬如八十退下一位变为八即如八十以九减八次亦为八所以九减之法十百千万均可并入单位而他减则不能并也又准此理九减之法可以改为以并代减更为简捷假如八六五五七八四今欲以并代减将各位相并得四三又相并得七则与九减减得之数同若论用他数减试视九减孰为难易则他减难而九减易因九减可并故也然九减法有利亦必有弊凡乘除之误往往因加错位次与减错位次者居多乃九减不能验出此等之误因九减亦不计位次之故是以九减虽称捷法诚不如七减之尽善也

说理透彻至窥得九减之弊尤见心细

验乘除误否旧传九减试法其能试之理安在若不用九减任用他数减试视九减法孰为难易

崔有洲

数之始生于一极于九乘除虽循环无穷而皆不能溢出九九范围之外故九减不论单十百千之位十百千即一也亦不计空位只据现有之数而计之如此●彼●两数相乘则并二一三七得十三以九减之余四于上并彼一三五六得十五以九减之余六以乘上得●并得六寄左乃以彼此两数相乘得●并得四十二以九减之亦余六与左数同则知无误如不用九减或用七减八减六减均可但拘于单十百千之位辗转屡次减之不及九减之便捷也或曰否九减不及七减之善七减单十百千仍居单十百千之位不违理之自然九减虽捷设如乘除误计降其位而珠筹之数恰符九减又恶能验乎曰凡古之造九减者原为乘除位次繁多难免无误之时若未知升降定位者岂能握策而运筹哉如初学者位次不多无庸假途九减七减也任用约分法之屡减亦可验也若驭位次繁多者则莫如九减之善也

反复发明题无剩义

海镜之通句即平三和通股即高三和通弦即皇极三和大差即明三和小差即三和黄方即太虚三和试为溯其原委

沈善蒸

解曰试自圆心作通弦之垂线如心甲半径成川甲心日甲心两句股形其川甲心形之股与日甲心形之句均系半径而平取月之青川之夕高句朱之山旦之日亦系半径为相等形故川甲心形之弦川之心等于平弦川之地月之川日甲心形之弦日[之心](心之)等于高弦天之日日之山此即皇极句心之川等于平弦皇极股日之心等于高弦之理也通句系平句高句皇极句之和故即平三和通股系平股高股皇极股之和故即高三和通弦系平弦高弦皇极弦之和故即皇极三和又月之南与月之甲相等山之东与山之甲相等故明句弦和等于日之甲即与高股等股山之东弦山之川和等于川之甲即与平句等明句南之月股山之东之和等于月之山即太虚弦也乃大差天之[甲](申)系高股明股日之南之和故即明三和小差地之艮系平句句东之川之和故即三和黄方巽之南加巽之东系太虚句月之巽股巽之山和与明句股之和故即太虚三和均合问 图略