九章算经

。以九升乘未并者各自为实。实如法得一升。

〔一０〕今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？

荅曰：五斤八两一十二铢、三分铢之四。

术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实，实如法得丝数。

〔一一〕今有丝一斤价直三百四十三。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？

荅曰：一百六十一钱、三十二分钱之二十三。

术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数，乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。

〔一二〕今有缣一丈价直一百二十六。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？

荅曰：六百三十三钱、五分钱之三。

术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实，实如法得钱数。

〔一三〕今有布一匹，价直一百二十三。今有布二丈七尺，问得钱几何？

荅曰：八十四钱、　分钱之三。

术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实，实如法得钱数。

〔一四〕今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问得素几何？

荅曰：

术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。

〔一五〕今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问得缣几何？

荅曰：三十二斤八两。

术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实，实如法得缣数。

〔一六〕今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问耗几何？

荅曰：一百六十三两四铢半。

术曰：以一斤展十六两为法，以七两乘今有丝两数为实，实如法得耗数。

〔一七〕今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问生丝几何？

荅曰：一十三斤一十一两十铢、七分铢之二。

术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。

〔一八〕今有田一亩，收粟六升、太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟几何？

荅曰：八斛四斗四升、一十二分升之五。

术曰：以亩二百四十步为法，以六升、太半升乘今有田积步为实，实如法得粟数。

〔一九〕今有取保一岁，价钱二千五百。今先取一千二百，问当作日几何？

荅曰：一百六十九日、二十五分日之二十三。

术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实，实如法得日数。

〔二０〕今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？

荅曰：六钱、四分钱之三。

术曰：以月三十日，乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。

九章算术卷第四

少广

少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子，及已通者皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。

〔一〕今有田广一步半。求田一亩，问从几何？

荅曰：一百六十步。

术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。

〔二〕今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：一百三十步、一十一分步之一十。

术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。

〔三〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：一百一十五步、五分步之一。

术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。

〔四〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。

术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步。

〔五〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：九十七步、四十九分步之四十七。

术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。

〔六〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。

术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步。

〔七〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。

术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。

〔八〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。

术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

〔九〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。

术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

〔一０〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：七十九步、八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。

术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。

〔一一〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问从几何？

荅曰：七十七步、八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。

术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。

〔一二〕今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？

荅曰：二百三十五步。

〔一三〕又有积二万五千二百八十一步。问为方几何？

荅曰：一百五十九步。

〔一四〕又有积七万一千八百二十四步。问为方几何？

荅曰：二百六十八步。

〔一五〕又有积五十六万四千七百五十二步、四分步之一。问为方几何？

荅曰：七百五十一步半。

〔一六〕又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？

荅曰：六万三千二十五步。

开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。

〔一七〕今有积一千五百一十八步、四分步之三。问为圆周几何？

荅曰：一百三十五步。

〔一八〕今有积三百步。问为圆周几何？

荅曰：六十步。

开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

〔一九〕今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？

荅曰：一百二十三尺。

〔二０〕今有积一千九百五十三尺、八分尺之一。问为立方几何？

荅曰：一十二尺半。

〔二一〕今有积六万三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。问为立方几何？

荅曰：三十九尺、八分尺之七。

〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？

荅曰：一百二十四尺、太半尺。

开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

〔二三〕今有积四千五百尺。问为立圆径几何？

荅曰：二十尺。

〔二四〕又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？

荅曰：一万四千三百尺。

开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。

九章算术卷第五

商功

〔一〕今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几何？

荅曰：

为坚七千五百尺。

为壤一万二千五百尺。

术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。

城、垣、堤、沟、、渠，皆同术。

术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。

〔二〕今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？

荅曰：一百八十九万七千五百尺。

〔三〕今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？

荅曰：六千七百七十四尺。

〔四〕今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？

荅曰：七千一百一十二尺。

冬程人功四百四十四尺。问用徒几何？

荅曰：一十六人、一百一十一分人之二。

术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。

〔五〕今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？

荅曰：四千三百七十五尺。

春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。问用徒几何？

荅曰：七人、三千六十四分人之四百二十七。

术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。

〔六〕今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问积几何？

荅曰：一万九百四十三尺八寸。

夏程人功八百七十一尺。并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺、一十五分尺之四。问用徒几何？

荅曰：四十七人、三千四百八十四分人之四百九。

术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

〔七〕今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？

荅曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。

秋程人功三百尺，问用徒几何？

荅曰：三万三千五百八十二人功。内少一十四尺四寸。

一千人先到，问当受袤几何？

荅曰：一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。

术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半之，以深乘之为法。实如法得袤尺。

〔八〕今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？

荅曰：三千八百四十尺。

术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

〔九〕今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？

荅曰：二千一百一十二尺。

术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。

〔一０〕今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？

荅曰：一十万一千六百六十六尺、太半尺。

术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。

〔一一〕今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？

荅曰：五百二十七尺、九分尺之七。

术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。

〔一二〕今有方锥下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？

荅曰：七千四十七尺。

术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。

〔一三〕今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？

荅曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。

术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。

〔一四〕今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？

荅曰：四万六千五百尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。

〔一五〕今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？

荅曰：九十三尺、少半尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。

〔一六〕今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问积几何？

荅曰：二十三尺、少半尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。

〔一七〕今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何？

荅曰：八十四尺。

术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。

〔一八〕今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？

荅曰：五千尺。

术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。

刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。

术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。

〔一九〕今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问积几何？

荅曰：二万六千五百尺。

〔二０〕今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几何？

荅曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。

〔二一〕今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？

荅曰：七万六百六十六尺、太半尺。

负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟蹰之间十加一，载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问人到、积尺、用徒各几何？

荅曰：

人到二百四尺。

用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。

术曰：以一笼积尺乘程行步数为实。往来上下，棚除二当平道五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。

〔二二〕今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺。问积几何？

荅曰：五万二千尺。

载土往来二百步，载输之间一里，程行五十八里，六人共车，车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几何？

荅曰：

人到二百一尺、五十分尺之十三。

用徒二百五十八人、一万六十三分人之三千七百四十六。

术曰：以一车积尺乘程行步数为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。

〔二三〕今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？

荅曰：

积八千尺。

为粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。

〔二四〕今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？

荅曰：

积三百五十尺。

为菽一百四十四斛、二百四十三分斛之八。

〔二五〕今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米几何？

荅曰：

积三十五尺、九分尺之五。

为米二十一斛，七百二十九分斛之六百九十一。

委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣内角者，九而一。

程粟一斛，积二尺七寸。其米一斛，积一尺六寸、五分寸之一。其菽、荅、麻、麦一斛，皆二尺四寸、十分寸之三。

〔二六〕今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地下广几何？

荅曰：三尺、五分尺之三。

术曰：置垣积尺，四之为实。以深、袤相乘，又三之，为法。所得倍之，减上广，余即下广。

〔二七〕今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？

荅曰：二丈。

术曰：置粟一万斛积尺为实。广袤相乘为法。实如法而一，得高尺。

〔二八〕今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛。问周几何？

荅曰：五丈四尺。

术曰：置米积尺，以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周。

九章算术卷第六

均输

〔一〕今有均输粟：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。