几何原本

三十四题【三支】

若干几何又有若干防何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小于此第一与彼第一之比例

解曰如甲乙丙三几何又有丁戊己三几何其甲与丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并之比例大于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小于甲与丁

论曰甲与丁之比例既大于乙与戊更之即甲与乙之比例大于丁与戊也【本篇廿七】又合之甲乙并与乙之比例大于丁戊并与戊也【本篇】

【廿八】又更之甲乙并与丁戊并之比例大于乙与戊也【本篇廿七】是甲乙全与丁戊全之比例大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁之比例大于甲乙全与丁戊全也【本篇卅三】依显乙与戊之比例亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁之比例更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并之比例大于丁与戊己并也【本篇廿七】又合之甲乙丙全与乙丙并之比例大于丁戊己全

与戊己并也【本篇廿八】又更之甲乙丙全与丁戊己全之比例大于乙丙并与戊己并也【本篇廿七】则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全之比例既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙全与丁戊己全也【本篇卅三】则得后解也又乙与戊之比例既大于丙与己更之即乙与丙之比例大于戊与己也【本篇卄七】又合之乙丙全与丙之比例大于戊己全与己也【本篇卄八】又更之乙丙并与戊己并之比例大于丙与己也【本篇卄七】而甲乙丙并与丁戊己并之比例既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也

若两率各有四几何而丙与己之比

例亦大于庚与辛即与前论同理

盖依上文论乙与戊之比例大于乙丙庚

并与戊己辛并即甲与丁之比例更

大于乙丙庚并与戊己辛并也更之

即甲与乙丙庚并之比例大于丁与

戊己辛并也【本篇十八】又合之甲乙丙庚

全与乙丙庚并之比例大于丁戊

己辛全与戊己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并也【本篇廿七】则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本篇卅三】则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并之比例既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上至于无穷俱仿此论可显全题之防

几何原本卷五

钦定四库全书

几何原本卷六之首

西洋利玛窦译

界说六则

第一界

凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形

甲乙丙丁戊己两角形之甲角与丁角等乙与戊丙

与己各等其甲角旁之甲乙与甲丙

两线之比例若丁角旁之丁戊与

丁己两线而甲乙与乙丙若丁戊与

戊己甲丙与丙乙若丁己与己戊则

此两角形为相似之形依显凡平邉

形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱

平邉角形其各角俱等而各邉之比例亦等者是也四邉五邉以上诸形俱仿此

第二界

两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形

甲乙丙丁戊己庚辛两方形其甲乙

乙丙邉与戊己己庚邉相与为比例

等而彼此互为前后如甲乙与戊己

若己庚与乙丙也则此两形为互相

视之形依显壬癸子丑寅卯两角形

之壬子与丑寅若丑夘与壬癸或壬癸与丑寅若丑夘与壬子亦互相视之形也

第三界

理分中末线者一线两分之其全与大分之比例若大分与小分之比例

甲乙线两分之于丙而甲乙与大分甲丙之比例若大分甲丙与小分丙乙此为理分中末线其分法见本卷三十题而与二卷十一题理同

名异此线为用甚广至量体尤所必须十三卷诸题多頼之古人目为神分线也

第四界

度各形之髙皆以垂线之亘为度

甲乙丙角形从甲顶向乙丙底作甲庚垂线即甲庚为甲乙丙之髙又丁戊己角形作丁辛垂线即丁辛为丁戊己之髙若两

形相视两垂线等即两形之髙必等如上两形在两平行线之内者是也若以丙己为顶以甲乙丁戊为底则不等自余诸形之度髙俱仿此

凡度物髙以顶底为界以垂线为度盖物之定度止有一不得有二自顶至底垂线一而己偏线无数也第五界

比例以比例相结者以多比例之命数相乗除而结为一比例之命数

此各比例不同理而相聚为一比例者则用相结之法合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为比例之命数谓大几何所倍于小几何若干或小几何在大几何内若干也如大几何四倍于小或小几何为大四分之一即各以四为命比例之数也【五卷界说

三】今言以彼多比例之命数相

乗除而结为此一比例之命数

者如十二倍之此比例则以彼

二倍六倍两比例相结也二六

相乗为十二故也或以彼三倍

四倍两比例相结也三四相乗

亦十二故也又如三十倍之此

比例则以彼二倍三倍五倍三

比例相结也二乗三为六六乗

五为三十故也

其曰相结者相结之理盖在中率凡中率为前比例之后后比例之前故以二比例合为一比例则中率为辏合之因如两爿合此为之胶如两襟合此为之纽矣第五卷第十界言数几何为同理之比例则第一与第三为再加之比例再加者以前中二率之命数再加为前后二率之命数亦以中率为纽也但彼所言者多比例同理故止以第一比例之命数累加之此题所言则不同理之多比例不得以第一比例之命数累加之故用此乗除相结之理于不同理之中求其同理别为累加之法其纽结之义颇相类焉下文仍发明借象之术以需后用也

五卷言多比例同理者第一与第三为再加与第四为三加与第五为四加以至无穷今此相结之理亦

以三率为始三率则两比例

相乗除而中率为纽也若四

率则先以前三率之两比例

相乗除而结为一比例复以

此初结之比例与第三比例

乗除相结为一比例也若五率则先以前三率之两比例乗除相结复以此再结之比例与第三比例乗除相结又以三结之比例与第四比例乗除相结为一比例也或以第一第二第三率之两比例乗除相结以第三第四第五之两比例乗除相结又以此二所结比例乗除相结而为一比例也自六以上仿此以至无穷

设三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如上圗三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乗三为六也若以小不等戊己

为第一甲乙为第三三乗二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也

甲乙与丙丁既二倍大试以甲乙二平分之为甲庚庚乙必各与丙丁等丙丁与戊己既三倍大而甲庚庚乙各与丙丁等即甲庚亦三倍大于戊己庚乙亦三倍大于戊己而甲乙必六倍大于戊己

又如上圗三几何二比例前以大不等后以小不等者中率小子前后两率也

其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大【反二倍大者丙丁得戊己之半】即甲乙与戊己为等带半三乗半得等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反推之半除三为反等带半也

又如上圗三几何二比例前以小不等后以大不等者中率大于前后二率也

其甲乙与丙丁为反二倍大【甲乙得丙丁之半】丙丁与戊己为等带三分之一即甲乙与戊己为反等带半【甲乙得戊己三分之二】何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己当三是甲乙二戊己当三也

后増其乗除之法则以命数三带得数一为四以半除之得二二比三为反等带半也若以戊己为第一甲乙为第三三比二为等带半也

设四几何为三比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三第三与四三比例相结也如上圗甲乙丙丁四

几何三比例先依上论以甲与乙乙与丙二比例相结为甲与丙之比例次以甲与丙丙与丁相结即得甲与丁之比例也如是逓结可至无穷也

或用此圗申明本题之防曰甲与乙之命数为丁乙

与丙之命数为戊即甲与丙之命数

为己何者三命数以一丁二戊相乗

得三己即三比例以一甲与乙二乙

与丙相乗得三甲与丙

后増若多几何各带分而多寡不等者当用通分法如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二倍大带三之二也

曷谓借象之术如上所说三几何二比例者皆以中率为前比例之后后比例之前乗除相结畧如连比例之同用一中率也而不同理别有二比例异中率者是不同理之断比例也无法可以相结当于其所设几何之外别立三几何二比例而同中率者乗除相结作为仪式以彼异中率之四几何二比例依仿求之即得故谓之借象术也假如所设几何十六为

首十二为尾却云十六

与十二之比例若八与

三及二与四之比例八

为前比例之前四为后

比例之后三与二为前

之后后之前此所谓异

中率也欲以此二比例乗除相结无法可通矣用是别立三几何二比例如其八与三二与四之比例而务令同中率如三其八得二十四为前比例之前三其三得九为前比例之后即以九为后比例之前又求九与何数为比例若二与四得十八为后比例之后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之比例矣是用借象之术变异中率为同中率乗除相结而合二比例为一比例也其三比例以上亦如上方所说展转借象逓结之　详见本卷二十三题筭家所用借象金法双金法俱本此

第六界

平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线

甲乙线其上作甲戊丁丙平行方形不满甲乙线而丙乙上无形即作己乙线与丁丙平行次引戊丁线遇己乙于己是为甲戊己乙满甲乙线平行方形则甲丁为依甲乙线之有阙平行方形而丙己平行方形为甲丁之阙形又

甲丙线上作甲戊己乙平行方形其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之带余平行方形而丙己平行方形为甲己之余形

几何原本卷六之首

钦定四库全书

几何原本卷六

西洋利玛窦撰

第一题

等髙之三角形方形自相与为比例与其底之比例等觧曰甲乙丙丁戊己两角形等髙其底乙丙戊己丙庚戊辛两方形等髙其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己之比例丙庚与戊辛之比例皆若乙丙与戊己

论曰试置四形于庚辛子寅两平行线内【凡形自顶至底作垂线即本形之髙故等髙者必在平行线内见本卷界说四】于乙子线内作数底线各与乙丙等为乙壬壬癸癸子于己寅线内作数底线各与戊己等为己丑丑寅次从甲从丁作甲壬甲癸甲子丁丑丁寅诸线其甲乙丙甲乙壬

甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行线内即等【一卷三八】依显丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等则子丙底线大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于甲乙丙亦若干倍依显戊寅之倍戊己亦若丁戊寅之倍丁戊己【底线分数与形之分数等故】即用三试法若子丙底大于戊寅底则甲子丙形亦大于丁戊寅形也若等亦等若小亦小也【一卷三八】则一乙丙所倍之子丙三甲乙丙所倍之甲子丙与二戊己所倍之戊寅四丁戊己所倍之丁戊寅等大小皆同类也而一乙丙底与二戊己底之比例若三甲乙丙与四丁戊己矣【五卷六界】又丙庚戊辛两方形各倍大于甲乙丙丁戊己两角形【一卷卅三】而甲乙丙与丁戊己之比例既若乙丙与戊己即丙庚与戊辛两方形之比例亦若乙丙与戊己两底矣【五卷十五】或从壬癸子及丑寅各作直线与庚乙辛己平行即依上论推显

增题凡两角形两方形各等底其自相与为比例若两形之髙之比例

解曰甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊己等题言甲乙丙与丁戊己两角形之比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例皆若甲壬与丁癸两髙

论曰试作子壬底线与乙丙等作丑癸

底线与戊己等次作甲子丁丑两线其甲壬子与甲乙丙两角形等底又等髙即等依显丁癸丑与甲乙丙两角形等底又等髙即等依显丁癸丑与丁戊己两角形亦等【一卷三八】即甲乙丙与丁戊己之比例若甲壬子与丁癸丑也【五卷七】今以甲壬丁癸为底即甲壬子与丁癸丑两角形之比例若甲壬与丁癸两底也【本篇一】而甲乙丙与丁戊乙之比例亦若甲壬与丁癸矣又甲乙丙与丁戊己两角形之比例既以倍大故若甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例【五卷十五】即两方形之比例亦若甲壬与丁癸两底也【五卷十一】若作庚子辛丑两线亦依前论推显

第二题【二支】

三角形任依一邉作平行线即此线分两余邉以为比例必等三角形内有一线分两邉以为比例而等即此线与余邉为平行

先解曰甲乙丙角形内如作丁戊线与乙丙平行题言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊

以为比例必等者甲丁与丁乙若甲戊与戊丙也论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两角形同以丁戊为底同在两平行线内即等【一卷三七】而甲戊丁与丁戊乙两角形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣【五卷七】夫甲戊丁与丁戊乙两角形亦在两平行线内【若干戊防上作一线与甲乙平行即两形在其内】则甲戊丁与丁戊乙两角形之比例若甲丁与丁乙两底也【本篇一】依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两角形也【两形亦在两平行线内故】是甲丁与丁乙两线之比例甲戊与戊丙两线之比例皆若甲戊丁与丁戊乙也或与丁戊丙也【丁戊乙与丁戊丙等】则甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙也【五卷十一】

后解曰甲乙丙角形内有丁戊线分甲乙甲丙于丁于戊以为比例而等题言丁戊与乙丙为平行线论曰试作丁丙戊乙两线其甲丁与丁乙两底之比例若甲戊丁与丁戊乙两角形也【在两平行线内故见本篇一】而甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙即甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊与戊丙也【五卷十一】又甲戊与戊丙两底之比例既若甲戊丁与丁戊丙【在两平行线内故见本篇一】则甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊丁与丁戊丙也【五卷十一】而丁戊乙与丁戊丙两角形等矣【五卷九】两角形同以丁戊为底

而等则在两平行线内【一卷卅九】

第三题【二支】

三角形任以直线分一角为两平分而分对角邉为两分则两分之比例若余两邉之比例三角形分角之线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分

先解曰甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角为两平分题言乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙

论曰试作乙戊线与甲丁平行次于丙甲线引长之至戊其甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等外角丁甲丙与内角戊亦等【一卷廿九】今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等也而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一卷六】则戊甲与甲丙之比例若乙甲与甲丙也【五卷七】夫戊甲与甲丙之比例若乙丁与丁丙也【本篇二】则乙甲与甲丙之比例亦若乙丁与丁丙也【五卷十一】后解曰乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙题言甲丁线分乙甲丙角为两平分

论曰依前作乙戊线与甲丁平行而引丙甲线至戊其乙甲与甲丙之比例既若乙

丁与丁丙甲丁线又与戊乙邉平行而乙丁与丁丙之比例若戊甲与甲丙【本篇二】即乙甲与甲丙之比例亦若戊甲与甲丙【五卷十一】是戊甲与乙甲两线等矣【五卷九】则甲乙戊角与戊角亦等也【一卷五】夫甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等而外角丁甲丙与内角戊亦等【一卷廿九】则乙甲丁丁甲丙两角必等第四题

凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之邉为相似之邉

解曰甲乙丙丁丙戊两角形等角者甲乙丙与丁丙戊甲丙乙与丁戊丙乙甲丙与丙丁戊每相当之各角俱等也题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲

丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁戊与丙戊而每对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当等角论曰试并置两角形令乙丙丙戊两底为一直线而丁丙戊为甲乙丙之外角其甲乙丙甲丙乙两角既小于两直角【一卷廿七】丁戊丙与甲丙乙两角又等即乙戊两角亦小于两直角而乙甲戊丁两线引出之必相遇【一卷界说十一】即作两线令遇于己其丁丙戊外角与甲乙丙内角既等即丁丙与己乙为平行线【一卷】

【廿八】依显甲丙乙外角与丁戊丙内角既等即甲丙与己戊亦平行线【一卷廿八】而甲己丁丙为平行线方行则甲己与丁丙两线等也甲丙与己丁两线等也【一卷卅四】夫乙戊己角形内之甲丙线既与己戊邉平行即甲乙与等甲己之丁丙之比例若乙丙与丙戊也【本篇二】更之即甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也【五卷十六】又乙戊己角形内之丁丙线既与己乙邉平行即乙丙与丙戊之比例若等己丁之甲丙与丁戊也【本篇二】更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也【五卷十六】甲乙与乙丙既若丁丙与丙戊而乙丙与甲丙又若丙戊与丁戊平之即甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也【五卷廿二】

一系凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如上甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊

角形必与甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角与甲乙丙内角等甲戊丁外角亦与甲丙乙内角等【一卷廿九】甲角又同即两形相似而各等角旁两邉之比例等【本题】

増题凡角形之内任依一邉作一平行线于此邉任取一防向对角作直线则所分两平行线比例等

解曰甲乙丙角形内作丁戊线与乙

丙平行次于乙丙邉任取己防向甲

角作直线分丁戊于庚题言乙己与

己丙之比例若丁庚与庚戊

论曰甲己乙甲庚丁两角形既相似【本系】即甲己与己乙之比例若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五卷十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊也则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五卷十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷十六】又论曰甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两角形既各相似即乙己与甲己之比例若丁庚与庚甲也【本系】依显甲己与己丙亦若甲庚与庚戊也平之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷廿二】

第五题

两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等

觧曰甲乙丙丁戊己两角形其各两边之比例等者甲乙与乙丙若丁戊与戊己而乙丙与甲丙若戊己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊也题言此两形为等角形而对各相似边之角甲与丁乙与戊丙与己各等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚即庚角与甲角等【一卷三二】是甲乙丙庚戊己两形等角矣则甲

乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】又乙丙与甲丙之比例若戊己与庚己【本篇四】而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊己与庚己亦若戊己与丁己也【五卷十一】而丁己与庚己两线必等【五卷九】夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己同底即丁角与庚角亦等【一卷八】其余庚戊己与丁戊己庚己戊与丁己戊各相当之角俱等【一卷四】而庚角与甲角既等即丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等第六题

两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等

解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言余角丙与己甲与丁俱等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚依前论推显甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁

戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】夫丁戊庚戊两边既等戊己同边庚戊己角与丁戊己角又等【丁戊己角与乙角等而己戊庚亦与乙等故】即其余各相当之角俱等【一卷四】而庚角既与甲角等庚己戊角既与丙角等即甲角丙角与丁角戊己丁角各等而甲乙丙丁戊己为等角形矣

第七题

两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等解曰甲乙丙丁戊己两角形其一甲角与一丁角等而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙丙乙两邉偕丁己戊两旁之丁己己戊两邉比例等其第三相当角如乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形等角者谓甲丙乙角与己等乙角与戊等先论乙与戊俱小于直角者曰如云不然

而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙角宜与戊等【一卷卅二】甲庚丙与丁戊己为等角形矣即甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊【本篇四】而先设甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若甲丙与丙乙也【五卷十一】是庚丙与乙丙两线等也【五卷九】丙庚乙与丙乙庚两角亦等也【一卷五】夫乙既小于直角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚甲必大于直角也【丙庚甲丙庚乙两角等于两直角见一卷十三】而丙庚甲既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角何由得小于直角也

后论乙与戊俱不小于直角者曰如云不然依先论乙角与丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙庚乙丙乙庚同为角形内之两角乃俱不小于直角【一卷十七】何也则甲丙乙不得不等于丁己戊也而其余乙与戊角等矣【一卷卅二】