几何原本

甲小于乙即乙与丙之比例宜大于甲与丙【本篇八】何先设甲与丙大也后解曰丙与乙之比例大于丙与甲题言乙小于甲论曰如云不然乙与甲等即所为两比例宜等【本篇七】何先设丙与乙大也又不然乙大于甲即丙与甲之比例宜大于丙与乙何先设丙与乙

大也

第十一题

此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等

解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比例等题言甲乙与丙丁之比例亦等论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之为癸子丑其一甲与二乙之比例既若三戊与四己即三试之若倍一甲之庚小于倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大于癸即壬亦大于丑矣【本卷界説六】依显壬之

视丑若辛之视子其等大小亦同类矣此三前三后率任作几许倍其等大小皆同类也【本卷界説六】则甲与乙之比例若丙与丁也

第十二题

数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例

解曰甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己也题言甲丙戊诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之比例也

论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之为癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若癸之倍乙也【本篇一】夫一甲与二乙既若三

丙与四丁又若三戊与四己则庚之倍一甲与癸之倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊与子五之倍四丁己等大小同类也又各前所倍庚辛壬并与各后所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前所自倍与各后所自倍其等大小必同类也【本卷界説六】则一甲与二乙之比例若三甲丙戊并与四乙丁己并矣

第十三题

数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之比例亦大于第五与六之比例

解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与四丁之比例大于五戊与六己题言甲与乙之比例

亦大于戊与己

论曰试以甲丙戊各前率同任倍之为庚辛壬别以乙丁己各后率同任倍之为癸子丑其甲与乙既若丙与丁即三试之若倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等若庚小于癸即辛亦小于子矣【本卷界説六】次丙与丁既大于戊与己又三试之即倍丙

之辛大于倍丁之子而倍戊之壬不必大于倍己之丑也或等或小矣【本卷界説八】夫庚癸与辛子等大小同类则壬丑不类于辛子者亦不类于庚癸也故甲与乙之比例亦大于戊与己【本卷界説八】

注曰若三丙与四丁之比例或小或等于五戊六己则一甲与二乙之比例亦小亦等于五戊六己依此论推显

第十四题

四几何第一与二之比例若第三与四之比例而第一几何大于第三则第二几何亦大于第四第一或等或小于第三则第二亦等亦小于第四

解曰甲与乙之比例若丙与丁题言甲大于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小先论曰如甲大于丙即甲与乙之比例大

于丙与乙矣【本篇八】夫一丙与二丁之比例既若三甲与四乙而三甲与四乙之比例大于五丙与六乙即一丙与二丁之比例亦大于五丙与六乙【本篇十三】是丁

几何小于乙也【本篇十一】

次论曰如甲丙等即甲与乙之比例若丙与乙【本篇七】夫甲与乙之比例元若丙与丁

而又若丙与乙是丙与丁之比例亦若丙与乙也【本篇十一】则乙与丁等也【本篇九】

后论曰如甲小于丙即丙与乙之比例大于甲与乙矣【本篇八】夫一丙与二丁之比例既若三甲与四乙而三甲与四乙之比例小于五丙与六乙即一丙与二丁之比例亦小于五丙与六乙也【本篇十三】是乙小于丁也【本篇十】

第十五题

两分之比例与两多分并之比例等

解曰甲与乙同任倍之为丙丁为戊己题言丙丁与戊己之比例若甲与乙

论曰丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲若干与戊己内有乙若干等次分丙丁为丙庚庚辛辛丁各与甲分等分戊己为戊壬壬癸癸己各与乙分等即丙庚与戊壬若甲与乙也【丙庚与甲等戊壬与乙等故见本篇七】庚辛与壬癸辛丁与癸己皆若甲与乙也【本篇十一】则等甲之丙庚与等乙之戊

壬定若丙丁全与戊己全而丙丁全与戊己全若甲与乙矣【本篇十二】

第十六题【更理】

四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等解曰甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若乙与丁

论曰试以甲与乙之任倍之为戊为己别以丙与丁同任倍之为庚为辛即戊与己若甲与乙也【本篇十五】庚与辛若丙与丁也夫

甲与乙若丙与丁而戊与己亦若甲与乙即戊与己亦若丙与丁矣依显庚与辛若丙与丁即戊与己亦若庚与辛也【本篇十一】次三试之若戊大于庚则己亦大于辛也若等亦等若小亦小任作几许倍恒如是也【本篇十四】则倍一甲之戊倍三乙之己与倍二丙之庚倍四丁之辛其等大小必同类也而甲与丙若乙与丁矣

第十七题【分理】

相合之两几何为比例等则分之为比例亦等

解曰相合之两几何其一为甲乙丁乙其一为丙戊己戊比例等者甲乙与丁乙若丙戊与己戊也题言分之为比例亦等者甲丁与丁乙若丙己与己戊也

论曰试以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之为庚辛辛壬为癸子子丑即庚壬之倍甲

乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也【本篇一】夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次别以丁乙己戊同任倍之为壬寅为丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己戊也【本篇二】夫一甲乙与二丁乙之比例既若三丙戊与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试之若一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若等亦等若小亦小也【本卷界説六】如庚壬小于辛寅而癸丑小于子卯者即每减一同用之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而癸子亦小于丑卯矣依显庚壬等辛寅而癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯

者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛为甲丁之倍癸子为丙己之倍壬寅为丁乙之倍丑卯为己戊之倍而甲丁丙己之所倍视丁乙己戊之所倍其等大小皆同类则甲丁与丁乙若丙己与己戊也【本卷界説六】

第十八题【合理】

两几何分之为比例等则合之为比例亦等

解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其比例等者甲丁与丁乙若丙己与己戊是也题言合之为比例亦等者甲乙与丁乙若丙戊与己戊也

论曰如前论以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之为庚辛辛壬为癸子子丑【本篇二】次别

以丁乙己戊同任倍之为壬寅为丑卯即庚壬之倍甲乙若癸丑之倍丙戊也【本篇一】而辛寅之倍丁乙若子卯之倍乙戊也【本篇二】夫一甲丁与二丁乙既若三丙己与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试之若一甲丁所倍之庚辛小于二丁乙所倍之壬寅即三丙己所倍之癸子亦小于四己戊所倍之丑卯也若等亦等若大亦大也【本卷界説六】如庚辛小于壬寅而癸子亦小于丑卯即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小于辛寅而癸丑亦小于子卯矣依显庚辛等壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸

丑等子卯矣庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯即庚壬大于辛寅而癸丑大于子夘矣夫一甲乙所倍之庚壬与二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑与四己戊所倍之子夘其等大小皆同类则甲乙与丁乙若丙戊与己戊也【本卷界説六】

第十九题【其系为转理】

两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等

解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁全之比例若截取之甲戊与丙己题言分余戊乙与己丁之比

例亦若甲乙与丙丁

论曰甲乙与丙丁既若甲戊与丙己试更之甲乙与甲戊若丙丁与丙己也【本篇十六】次分之戊乙与甲戊若己丁与丙己也【本篇十七】又更之戊乙与己丁若甲戊与丙己也【本篇十六】夫甲戊与丙己元若甲乙与丙丁则戊乙与己丁亦若甲乙与丙

丁矣

一系从此题可推界説第十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己也何者甲乙与戊乙既若丙丁与己丁试更之甲乙与丙丁若截取之戊乙与己丁也【本篇十六】即甲乙全与丙丁全又若分余之甲戊与丙己矣【本题】又更之则甲乙与甲戊若丙丁与丙己也【本篇十六】此转理也注曰凡更理可施于同类之比例不可施于异类若转理不论同异类皆可用也依此系即转理亦頼更理为用似亦不可施于异类矣今别作一论不頼更理以为转理明转理可施于异类也论曰甲乙与丙乙若丁戊与己戊即转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己何者甲乙与丙乙既若丁戊与己戊试分之甲丙与丙乙若丁己与

己戊也【本篇十七】次反之丙乙与甲丙若己戊与丁己也【本篇四】次合之甲乙与甲丙若丁戊与丁己也【本篇十八】

第二十题【三支】

有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六

先解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙之比例若丁与戊乙与丙之比例若戊与己而甲大于丙题言丁亦大于己论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于

丙与乙矣【本篇八】而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦大于丙与乙矣【本篇十三】又丙与乙之比例若己与戊【乙与丙若戊与己反之则丙与乙若己与戊】即丁与戊之比例大于己与戊矣是丁大于己也【本篇十】

次解曰若甲丙等题言丁己亦等

论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与乙矣【本篇七】而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦若丙与乙矣【本篇十一】又丙

与乙之比例若己与戊【反理】即丁与戊之比例亦若己与戊矣是丁己等也【本篇九】

后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于丙与乙矣【本篇八】而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦小于丙与乙矣又

丙与乙之比例若己与戊【反理】即丁与戊之比例小于己于戊矣是丁小于己也【本篇十】

第二十一题【三支】

有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一几何大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六

解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于

丙题言丁亦大于己

论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于丙与乙【本篇八】而甲与乙若戊与己即戊与己之比例亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本篇四】则戊与己大于戊与丁也是丁大于己也【本篇二十】

次解曰若甲丙等题言丁己亦等

论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与乙【本篇七】而甲与乙若戊与己即丙与乙之

比例亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本篇四】则戊与己若戊与丁也是丁己等也【本篇九】

后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于丙与乙【本篇八】而甲与乙若戊与己即戊与

己之比例小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁【本篇四】则戊与己小于戊与丁也是丁小于己也【本篇十】

第二十二题【平理之序】

有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推

解曰有若干几何甲乙丙又

有若干几何丁戊己而甲与

乙之比例若丁与戊乙与丙

之比例若戊与己题言以平

理推之甲与丙之比例若丁

与己

论曰试以甲与丁同任倍之为庚为辛别以乙与戊同任倍之为壬为癸别以丙与己同任倍之为子为丑其一甲与二乙既若三丁与四戊即倍甲之庚与

倍乙之壬若倍丁之辛与倍

戊之癸也【本篇四】依显一乙与

二丙既若三戊与四己即倍

乙之壬与倍丙之子若倍戊

之癸与倍己之丑也是庚壬

子三几何辛癸丑三几何又相为连比例矣次三试之若庚大于子即辛必大于丑也【本篇二十】若等亦等者小亦小也则倍一甲之庚倍三丁之辛与倍二丙之子倍四己之丑等大小皆同类也是甲与丙若丁与己也【本卷界説六】其几何自三以上如更有丙与寅若己与卯亦依显甲与寅若丁与卯也何者上既显甲与丙若丁与己而今称丙与寅若己与卯即以甲丙寅作三几何以丁己卯作又三几何相为连比例依上推论亦得甲与寅之比例若丁与夘也自四以上可至无穷依此推显

第二十三题【平理之错】

若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推

解曰甲乙丙若干几何丁戊

己若干几何相为连比例而

错者甲与乙若戊与己乙与

丙若丁与戊也题言以平理

推之甲与丙之比例亦若丁与己

论曰试以甲乙丁同任倍之为庚辛壬别以丙戊己同任倍之为癸子丑即甲与乙若所自倍之庚与辛

【本篇十五】而甲与乙既若戊与己

即庚与辛亦若戊与己【本篇十一】戊与己又若所自倍之子与

丑即庚与辛亦若子与丑【本篇】

【十一】依显一乙与二丙既若三丁与四戊即倍一乙之辛与倍二丙之癸若倍三丁之壬与倍四戊之子也【本篇四】是庚辛癸三几何壬子丑三几何又相为连比例而错矣次三试之若庚大于癸即壬亦大于丑若等亦等若小亦小【本篇廿一】则一甲三丁所倍之庚壬与二丙四己所倍之癸丑等大小皆同类也是一甲与二丙若三丁与四己【本卷界说六】如三以上既有甲与乙若己与夘乙与丙若戊与己又有丙与寅若丁与戊亦显甲与寅若丁与卯何者依上论先显甲与丙若戊与夘次丙与寅又若丁与戊即以甲丙寅作三几何丁戊夘作又三几何相为连比例而错依上论亦得甲与寅若丁与夘四以上悉依此推显

第二十四题

凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四

解曰一甲乙与二丙之比例若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己论曰乙庚与丙既若戊辛与己反之丙与乙庚若己与戊辛也【本篇四】又甲乙与丙既若丁戊与

己而丙与乙庚亦若己与戊辛平之甲乙与乙庚若丁戊与戊辛也【本篇廿二】又合之甲庚全与乙庚若丁辛全与戊辛也【本篇十八】夫甲庚与乙庚既若丁辛与戊辛而乙庚与丙亦若戊辛与己平之甲庚与丙若丁辛与己矣【本篇廿二】

注曰依本题论可推广第六题之义作后増题【第六题言几倍后增题不止言倍其义稍广矣】

増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何每截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等

解曰如上圗甲庚丁辛此两几何与丙己彼两几何比例等者甲庚与丙若丁辛与己也题言截取之甲乙与丙若丁戊与己则分余之乙庚与丙亦若戊辛与己

论曰甲乙与丙既若丁戊与己即反之丙与甲乙若己与丁戊也【本篇四】又甲庚与丙既若丁辛与己而丙与甲乙亦若己与丁戊即平之甲庚与甲乙若丁辛与丁戊也【本篇廿二】又分之乙庚与甲乙若戊辛与丁戊也【本篇十七】夫乙庚与甲乙既若戊辛与丁戊而甲乙与丙若丁戊与己

即平之若戊辛与己也【本篇廿三】

第二十五题

四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并

解曰甲乙与丙丁之比例若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并

论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等即甲庚与丙辛之比例若戊与己也亦若甲乙与丙丁也夫甲乙全与丙丁全既若截取之甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也【本篇十九】而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣又甲庚与戊丙辛与己既等即于戊加丙

辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并

第二十六题

第一与二几何之比例大于第三与四之比例反之则第二与一之比例小于第四与三之比例

解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四丁与三丙

论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与

乙之比例大于戊与乙而甲几何大于戊【本篇十】则乙与戊之比例大于乙与甲也【本篇八】反之则乙与戊之比例若丁与丙【本篇四】而乙与甲之比例小于丁与丙第二十七题

第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一与三之比例亦大于第二与四之比例

解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言更之则一甲与三丙之比例亦大于二乙与四丁

论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙

之比例大于戊与乙而甲防何大于戊【本篇十】则甲与丙之比例大于戊与丙也【本篇八】夫戊与乙之比例既若丙与丁更之则戊与丙之比例亦若乙与丁【本篇十六】而甲与丙之比例大于乙与丁矣

第二十八题

第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例

解曰一甲乙与二乙丙之比例大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙之比例亦大于丁己与戊己

论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊

己即甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙而甲乙几何大于庚乙矣【本篇十】此二率者每加一乙丙即甲丙亦大于庚丙而甲丙与乙丙之比例大于庚丙与乙丙也【本篇八】夫庚乙与乙丙之比例既若丁戊与戊己合之则庚丙与乙丙之比例亦若丁己与戊己也【本篇十八】而甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己矣第二十九题

第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言分之则甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己

论曰试作庚丙与乙丙之比例若丁己与戊

己即甲丙与乙丙之比例亦大于庚丙与乙丙而甲丙几何大于庚丙矣【本篇十】此二率者每减一同用之乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙也【本篇八】夫庚丙与乙丙之比例既若丁己与戊己分之则庚乙与乙丙之比例亦若丁戊与戊己也【本篇十七】而甲乙与乙丙之比例大于丁戊与戊己矣

第三十题

第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例

解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙之比例小于丁己与丁戊

论曰甲丙与乙丙之比例既大于丁己与戊己分之即甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己也【本篇廿九】又反之乙丙与甲乙之比例小于戊

己与丁戊矣【本篇廿六】又合之甲丙与甲乙之比例亦小于丁己与丁戊也【本篇廿八】

第三十一题

此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例

解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己

论曰试作庚与丙之比例若戊与己即乙与丙之比例大于庚与丙而乙几何大于庚【本篇十】是甲与小庚之比例大于甲与大

乙矣【本篇八】夫甲与乙之比例元大于丁与戊即甲与庚之比例更大于丁与戊也次作辛与庚之比例若丁与戊即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本篇十】是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣【本篇八】夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也【本篇廿二】则甲与丙之比例大于丁与己也

第三十二题

此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例

解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于戊与己乙与丙之比例大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己

论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙之比例大于庚与丙而乙防何大于庚【本篇十】是甲与小庚之比例大于

甲与大乙矣【本篇八】夫甲与乙之比例既大于戊与己即甲与庚之比例更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本篇十】是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣【本篇八】夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也【本篇廿三】则甲与丙之比例大于丁与己也

第三十三题

此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例

解曰甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己题言两分余戊乙与己丁之比例大于甲乙与丙丁

论曰甲乙与丙丁之比例既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊之比例亦大于丙丁与丙己也【本篇廿七】又转之甲乙与戊乙之比例小于丙丁与己丁也【本篇三十】又更之甲乙与丙丁之比例小于戊乙与己丁也【本篇廿七】戊乙与己丁分余也则分余之比例大于甲乙全与丙丁全矣依显两全之比例小于截分则分余之比例小于

两全

第三十四题【三支】