几何原本

心于丙上下方

各作短界线次用元度以戊为心亦

如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙防即得是用法又为尝巧之法

増若甲乙线所欲立垂线之防乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一防为丙如前法于丙上立丁丙垂线次以甲丙丁角两平分之【本篇九】为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线【本篇三】次于戊上如前法

立垂线与己丙线相遇为庚末自庚至甲作直线如所求

论曰庚甲丙与庚丙戊两角形之甲丙戊丙两线既等庚丙同线戊丙庚与甲丙庚两角又等即甲庚戊庚两线必等【本篇四】而对同边之甲角戊角亦等【本篇四】戊既直角则甲亦直角是甲庚为甲乙之垂线【界説十】

用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界作丙防次用元度

以丙为心作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求【此法今未能论论见第三卷第三十一题】

第十二题

有无界直线线外有一防求于防上作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求从丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙次

两平分丁戊于己【本篇十】末自丙至己作直线即丙己为甲乙之垂线

论曰丙己丁丙己戊两角形之丙丁丙戊两线等丙己同线则丙戊己与丙丁己两角必等【本篇八】而丁丙己与戊丙己两角又

等则丙己丁与丙己戊等皆直角【本篇四】而丙己定为垂线矣

用法以丙为心向直线两处各作短

界线为甲为乙次用元度以甲为心

向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末自丙至丁作直线则丙戊为垂线

又用法于甲乙线上近甲近乙任取

一防为心以丙为界作一圜界于丙

防及相望处各稍引长之次于甲乙

线上视前心或相望如前图或进或

退如后图任移一防为心以丙为界

作一圜界至与前圜交处得丁末自

丙至丁作直线得戊【若近界作垂线无可截取亦用此法】

第十三题

一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角解曰甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙与甲乙丁作两角题言此两角当是直角若非直角即是一鋭一钝而并之等于两直角论曰试于乙上作垂线为戊乙【本篇十一】令戊乙

丙与戊乙丁为两直角即甲乙丁甲乙戊两鋭角并之与戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊两鋭角又加戊乙丙一直角并此三角定与戊乙丙戊乙丁两直角等也【公论十八】次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭直两角定与甲乙丙钝角等也次于甲乙戊戊乙丙鋭直两角又加甲乙丁鋭角并此三角定与甲乙丁甲乙丙鋭钝两角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三角既与两直角等则甲乙丁与甲乙丙两角定与两直角等【公论一】

第十四题

一直线于线上一防出不同方两直线偕元线每旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线

解曰甲乙线于丙防上左出一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两直角等题言丁丙与丙戊是一直线

论曰如云不然令别作一直线必从丁丙更引出一线或离戊而上为丁丙己或离戊而下为丁丙庚也若上于戊则甲丙线至丁丙己直线上为甲丙己甲丙丁两角此两角宜与两直角等【本篇十三】如此即甲丙戊甲丙丁两角与甲丙己甲丙丁两角亦等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙己两角较之果相等乎【公论三】夫甲丙己本

小于甲丙戊而为其分今曰相等是全与其分等也【公论九】若下于戊则甲丙线至丁丙庚直线上为甲丙庚甲丙丁两角此两角宜与两直角等【本篇十三】如此即甲丙庚甲丙丁两角与甲丙戊甲丙丁两角亦等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙庚较之果相等乎【公论三】夫甲丙戊实小于甲丙庚而为其分今曰相等是全与其分等也【公论九】两者皆非则丁丙戊是一直线

第十五题

凡两直线相交作四角每两交角必等

解曰甲乙与丙丁两线相交于戊题言甲戊丙与丁戊乙两角甲戊丁与丙戊乙两角各等论曰丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙

两角与两直角等【本篇十三】甲戊线至丙丁线上则甲戊丙甲戊丁两角与两直角等【本篇十三】如此即丁戊乙甲戊丁两角亦与甲戊丁甲戊内两角等【公论十】试减同用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙两角必等【公论三】又丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙两角与两直角等【本篇十三】乙戊线至丙丁线上则丁戊乙丙戊乙两角与两直角等【本篇十三】如此即甲戊丁丁戊乙两角亦与丁戊乙丙戊乙两角【公论十】试

减同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等一系推显两直线相交于中防上作四角与四直角等

二系一防之上两直线相交不论几许线几许角定与四直角等【公论十八】

増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线

解曰甲乙线内取丙防出丙丁丙戊两线而所作甲丙戊丁丙乙两交角等或

甲丙丁戊丙乙两交角等题言戊丙丙丁即一直线

论曰甲丙戊角既与丁丙乙角等每加一戊丙乙角即甲丙戊戊丙乙两角必与丁丙乙戊丙乙两角等【公论二】而甲丙戊戊丙乙与两直角等【本篇十三】则丁丙乙戊丙乙亦与两直角等是戊丙丙丁为一直线【本篇十四】

第十六题

凡三角形之外角必大于相对之各角

解曰甲乙丙角形自乙甲线引之至丁题言外角丁甲丙必大于相对之内角

甲乙丙甲丙乙

论曰欲显丁甲丙角大于甲丙乙角试以甲丙线两平分于戊【本篇十】自乙至戊作直线引长之从戊外截取戊巳与乙戊等【本篇三】次自甲至己作直线即甲戊己戊乙丙两角形之

戊己与戊乙两线等戊甲与戊丙两线等甲戊己乙戊丙两交角又等【本篇十五】则甲己与乙丙两底亦等【本篇四】两形之各边各角俱等而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于相对之甲丙乙内角乎次显丁甲丙大于甲乙丙试自丙甲线引长之至庚次以甲乙线两平分于辛【本篇十】自丙至辛作直线引长之从辛外截取辛壬与丙辛等【本篇三】次自甲至壬作直线依前论推显甲辛壬辛丙乙两角形之各边各角俱等则壬甲辛与辛乙丙两角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚甲乙也庚甲乙又与丁甲丙两交角等【本篇十五】则甲乙丙内角不小于丁甲丙外角乎其余乙丙上作外角俱大于相对之内角依此推显

第十七题

凡三角形之每两角必小于两直角

解曰甲乙丙角形题言甲乙丙甲丙乙两角丙甲乙甲乙丙两角甲丙乙丙甲乙两角皆小于两直角

论曰试用两边线丙甲引出至戊丙乙引出至丁即甲乙丁外角大于相对之甲丙乙内角矣【本篇十六】此两率者每加一甲乙丙角则甲乙丁甲乙丙必大于甲丙乙甲乙丙矣【公论四】夫甲乙丁甲乙丙与两直角等也【本篇十三】则甲丙乙甲乙丙小于两直角也余二仿此第十八题

凡三角形大边对大角小边对小角

解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙

角

论曰甲丙边大于甲乙边即于甲丙线上截甲丁与甲乙等【本篇三】自乙至丁作直线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本篇五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角【本篇十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不又大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则乙甲丙角亦大于甲丙乙角依此推显

第十九题

凡三角形大角对大边小角对小边

解曰甲乙丙角形乙角大于丙角题言对乙角之甲丙边必大于对丙角之甲乙边

论曰如云不然令言或等或小若言甲丙与甲乙等则甲丙角宜与甲乙角等矣【本篇五】何设乙角大于丙角也若言甲丙小于甲乙则甲丙边对甲乙大角宜大【本篇十八】又何言小也如甲角大于丙角则乙丙边大于甲乙边依此推显

第二十题

凡三角形之两边并之必大于一边

解曰甲乙丙角形题言甲丙甲乙边并之必大于乙丙边甲丙丙乙并之必大于甲乙甲

乙乙丙并之必大于甲丙

论曰试于丙甲边引长之以甲乙为度截取甲丁【本篇三】自丁至乙作直线令甲丁甲乙两腰等而甲丁乙甲乙丁两角亦等【本篇五】即丙乙丁角大于甲乙丁角亦大于丙丁乙角矣夫丁丙边对丙乙丁大角也岂不大于乙丙边对丙丁乙小角者乎【本篇十九】又甲丁甲乙两线各加甲丙线等也则甲乙加甲丙者与丙丁等矣丙丁既大于乙丙则甲乙甲丙两边并必大于乙丙边也余二仿此

第二十一题

凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并之必小于相对两腰而后两线所作角必大于相对角

解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角

论曰试用内一线引长之如乙丁引之至戊即乙甲戊角形之乙甲甲戊两线并必大于乙戊线也【本篇二十】此二率者每加一戊丙线则乙甲甲戊戊丙并必大于乙戊戊丙并矣【公论四】又戊丁丙角形之戊丁戊丙线并必大于丁丙线也此二率者每加一丁乙线则戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣【公论四】夫乙甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙岂不更大于丁丙丁乙乎【本篇二十】又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相对之乙甲戊内角【本篇十六】即丁戊丙角形之乙丁丙外角更大于相对之丁戊丙内角矣而乙丁丙角岂不更大于乙甲丙角乎

第二十二题

三直线求作三角形其每两线并大于一线也

法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本篇二十】求作三角形先任作丁戊线长于三线并次以甲为度从丁截取丁巳线【本篇三】以乙为度从己截取己庚线以丙为度从庚截取

庚辛线次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚巳为底作癸庚癸巳两直线即得己癸庚三角形【用壬亦可作　若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不到丑即是两线或等或小于第三线不成三角形矣】

论曰此角形之丁己己癸线皆同圜之半径等【界説十五】则己癸与甲等庚辛庚癸线亦皆同圜之半径等则庚癸与丙等己庚元以乙为度则角形三线与所设三线等

用法任以一线为底以底之一界为心第二线为度向上作短界线次以又一界为心第三线为度向上作短界线两界线交处向下作两腰如所求

若设一三角形求别作一形与之等亦用此法

第二十三题

一直线任于一防上求作一角与所设角等

法曰甲乙线于丙防求作一角与丁戊己角等先于戊丁线任取一防为庚于戊巳线任取一防为辛自庚至辛作直线次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛角形等【本篇卄二】即丙壬丙癸两腰与戊庚戊辛两腰等壬癸底

与庚辛底又等则丙角与戊角必等【本篇八】

第二十四题

两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大

解曰甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁巳两腰各等若乙甲丙角大于戊丁己角题言乙丙底必大于戊巳底论曰试依丁戊线从丁防作戊丁庚角与乙甲丙角等【本篇卄三】则戊丁庚角大于戊丁己角而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚线与丁巳等【本篇三】即丁庚丁巳俱与甲丙等又自戊至庚作直线是甲乙与丁戊甲丙与丁庚腰线各等乙甲丙与戊丁庚两角亦等而乙丙与戊庚两底必等也【本篇四】次问所作戊庚底今在戊巳底上邪抑同在一线邪抑在其下邪若在上即如第二图自己至庚作直线则丁庚己角形之丁庚丁巳两腰等而丁庚己与丁己庚两角亦等矣【本篇五】夫戊庚己角乃丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分则戊庚己益小于戊巳庚也【公论九】则对戊庚己小角之戊己腰必小于对戊己庚大角之戊庚腰也【本篇十九】若戊巳与戊庚两底同线即如第四图戊己乃戊庚之分则戊己必小于戊

庚也【公论九】若戊庚在戊巳之下即如第六图自己至庚作直线次引丁庚线出于壬引丁巳线出于辛则丁庚丁巳两腰等而辛巳庚壬庚己两外角亦等矣【本篇五】夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之分则戊庚巳益小于戊己庚也【公论九】则对戊庚己小角之戊巳腰必小于对戊己庚大角之戊庚腰也【本篇十九】是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙【本篇四】也

第二十五题

两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大

解曰甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁戊甲丙与丁巳各两腰等若乙丙底大于戊巳底题言乙甲丙角大于戊丁巳角

论曰如云不然令言或小或等若言等则两

形之两腰各等腰间角又等宜两底亦等【本篇四】何设乙丙底大也若言乙甲丙角小则对乙甲丙角之乙丙线宜亦小【本篇廿四】何设乙丙底大也

第二十六题【二支】

两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对

先解一边在两角之内者曰甲乙丙角形之甲乙丙甲丙乙两角与丁戊己角形之丁戊巳丁巳戊两角各等在两角内之乙丙边与

戊巳边又等题言甲乙与丁戊两边甲丙与丁巳两边各等而乙甲丙角与戊丁巳角亦等

论曰如云两边不等而丁戊大于甲乙令于丁戊线截取庚戊与甲乙等【本篇三】次自庚至己作直线即庚戊巳角形之庚戊戊巳两边宜与甲乙乙丙两边等矣夫乙角与戊角元等则甲丙与庚巳宜等【本篇四】而庚巳戊角与甲丙乙角宜亦等也【本篇四】既设丁己戊与甲丙乙两角等今又言庚己戊与甲丙乙两角等是庚己戊与丁己戊亦等全与其分等矣【公论九】以此见两边必等两边既等则余一角亦等

后解相等边不在两角之内而在一角之对者曰甲乙丙角形之乙角丙角与丁戊己角形之戊角丁己戊角各等而对丙之甲乙边

与对己之丁戊边又等题言甲丙与丁己两边丙乙与己戊两边各等而甲角与戊丁己角亦等

论曰如云两边不等而戊己大于乙丙令于戊己线截取戊庚与乙丙等【本篇三】次自丁至庚作直线即丁戊庚角形之丁戊戊庚两边宜与甲乙乙丙两边等矣夫乙角与戊角元等则甲丙与丁庚宜等【本篇四】而丁庚戊角与甲丙乙角宜亦等也既设丁巳戊与甲丙乙两角等今又言丁庚戊与甲丙乙两角等是丁庚戊外角与相对之丁巳戊内角等矣【本篇十六】可乎以此见两边必等两边既等则余一角亦等

第二十七题

两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行

解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行

论曰如云不然则甲乙丙丁两直线必至相

遇于壬而庚辛壬成三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角矣【本篇十六】乃先设相等乎若设乙庚辛角与丙辛庚角等亦依此论若言甲乙丙丁两直线相遇于癸亦依此论

第二十八题【二支】

两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行先解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛其戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等题言甲乙丙丁两线必平行论曰乙庚辛角与相对之内角丙辛庚等【本篇】

【卄七】戊庚甲与乙庚辛两交角亦等【本篇十五】即两直线必平行

后解曰甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等题言甲乙丙丁两线必平行

论曰甲庚辛丙辛庚两角与两直角等而甲庚戊甲庚辛两角亦与两直角等【本篇十三】试减同用之甲庚辛即所存甲庚戊与丙辛庚等矣既外角与同方相对之内角等即甲乙丙丁必平行【本题】

第二十九题【三支】

两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等先解曰此反前二题故同前图有甲乙丙丁二平行线加他直线戊巳交于庚于辛题言甲庚辛与丁辛庚内相对两角必等

论曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚则丁辛庚加辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣【公论四】夫辛庚甲辛庚乙元与两直角等【本篇十三】据如彼论则丁辛庚辛庚乙两角小于两直角而甲乙丙丁两直线向乙丁行必相遇也【公论十一】可谓平行线乎

次解曰戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等论曰乙庚辛与相对之丙辛庚两内角等【本题】则乙庚辛交角相等之戊庚甲【本篇十五】与丙辛庚必等【公论一】后解曰甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等

论曰戊庚甲与庚辛丙两角既等【本题】而每加一甲庚辛角则庚辛丙甲庚辛两角与甲庚辛戊庚甲两角必等【公论二】夫甲庚辛戊庚甲本与两直角等【本篇十三】则甲庚辛丙辛庚两内角亦与两直角等

第三十题

两直线与他直线平行则元两线亦平行

解曰此题所指线在同面者不同面线后别有论如甲乙丙丁两直线各与他线戊巳平行题言甲乙与丙丁亦平行

论曰试作庚辛直线交加于三直线甲乙于壬戊巳

于子丙丁于癸其甲乙与戊巳既平

行即甲壬子与相对之己子壬两内

角等【本篇廿九】丙丁与戊巳既平行即丁

癸子内角与己子壬外角亦等【本篇廿九】

丁癸子与甲壬子亦为相对之内角亦等【公论一】而甲乙丙丁为平行线【本篇廿七】

第三十一题

一防上求作直线与所设直线平行

法曰甲防上求作直线与乙丙平行先从甲防向乙丙线任指一处作直线为甲丁即乙丙线上成甲丁乙角次于甲防上作一角与甲丁乙等【本篇】

【廿三】为戊甲丁从戊甲线引之至己即己戊与乙丙平行论曰戊己乙丙两线有甲丁线联之其所作戊甲丁与甲丁乙相对之两内角等即平行线【本篇廿七】

増从此题生一用法设一角两线求作有法四边形有角与所设角等两两边线与所设线等法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊线与甲等己丁线与乙等末依丁戊平行作己庚依己丁平行作庚戊即所求

本题用法于甲防求作直线与乙丙平行先作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于

戊己次取戊己圜界为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线各引长之即所求

又用法以甲防为心于乙丙线近乙处任指一防作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙上向丙截取一分作短界线为

戊次用元度以戊为心向上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲平处作短界线后两界线交处为己自甲至己作直线各引长之即所求

第三十二题【二支】

凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等

先解曰甲乙丙角形试从乙丙边引至丁题言甲丙

丁外角与相对之内两角甲乙并等

论曰试作戊丙线与甲乙平行【本篇三一】令甲丙为甲乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对

之甲丙戊角等【本篇卄九】又乙丁线与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之甲乙丙内角等【本篇廿九】既甲丙戊与乙甲丙等而戊丙丁与甲乙丙又等则甲丙丁外角与内两角甲乙并等矣

后解曰甲乙丙三角并与两直角等

论曰既甲丙丁角与甲乙两角并等更于甲丙丁加甲丙乙则甲丙丁甲丙乙两角并与甲乙丙内三角并等矣【公论二】夫甲丙丁甲丙乙并元与两直角等【本篇十三】则甲乙丙内三角并亦与两直角等

増从此推知凡第一形当两直角第二形当四直角第三形当六直角自此以上至于无穷每命形之数倍之为所当直角之数【凡一线二线不能为形故三边为第一形四边为第二形五边为第三形六边为第四形仿此以至无穷】又视每形边数减二边即所存边数是本形之数论曰如上四图第一形三边减二边存一边即是本形一数倍之当两直角【本题】第二形四边减二边存二边即是本形二数倍之当四

直角欲显此理试以第二形作一对角线成两三角形每形当两直角并之则当四直角矣第三形五边减二边存三边即是本形三数倍之当六直角欲显此理试以第三形作两对角线成三三角形每形当两直角并之亦当六直角矣其余依此推显以至无穷

又一法每形视其边数每边当两直角而减四直角其存者即本形所当直角

论曰欲显此理试于形中任作一防从此防向各角俱作直线令每形所分角形之数如其边数每一分形三角当二直角【本题】其近防之处不论几角皆当四直角【本篇十五之系】次减近防诸角即是减四直角其存者则本形所当直角如上第四形六边中间任指一防从防向各角分为六三角形每一分形三角六形共十八角今于近防处减当四直角之六角所存近边

十二角当八直角余仿此

一系凡诸种角形之三角并俱相等【本题増】

二系凡两腰等角形若腰间直角则余两角每当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角

三系平边角形每角当直角三分之二

四系平边角形若从一角向对边作垂线分为两角形此分形各有一直角在垂线之下两旁则垂线之上两旁角每当直角三分之一其余两角每当直角三分之二

増从三系可分一直角为三平分其法任于一边立平边角形次分对直角一边为

两平分从此边对角作垂线即所求如上图甲乙丙直角求三分之先于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本篇一】次平分甲丁于戊【本篇九】末作乙戊直线

第三十三题

两平行相等线之界有两线联之其两线亦平行亦相等

解曰甲乙丙丁两平行相等线有甲丙乙丁两线联之题言甲丙乙丁亦平行相等线论曰试作甲丁对角线为甲乙丙丁之交加