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几何原本

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会员可开白话

己直角方形等者于丙辛辛己相等之两余方形【一篇四三】每加一丁壬直角方形即丙壬及丁己两直角形等矣而甲癸与丙壬两形同在平行线内又底等即形亦等【一卷卅六】则甲癸与丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形则丑寅卯罄折形岂不与甲辛等次于罄折形又加一癸庚直角方形岂不与丙巳直角方形等也而甲辛癸庚两形并亦与丙己等也则甲丁丁乙矩线内直角形及丙丁上直角方形并与丙乙上直角方形等

注曰以数明之设十数两平分之各五又任分之为八为二则三为分内数【三者五所以大于二之较又八所以大于五之较】二八之实十六三之羃九与五之羃二十五等

第六题

一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内直角形及半元线上直角方形并与半元线偕引増线上直角方形等

解曰甲乙线两平分于丙又从乙引长之増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩线内直角形及半元线丙乙上直角方形并与丙丁上直角方形等

论曰试于丙丁上作丙戊直角方形次作丁己对角线从乙作乙庚线与丁戊平行遇对角线于辛次从辛作壬癸线与丙丁平行次从甲作甲子线与丙己平行末从壬癸线引长之遇于子夫乙壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而乙丁与丁壬两线等【一卷卅四】癸辛与丙乙两线等则甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩线内而癸庚为丙乙上直角方形也今欲显甲壬直角形及癸庚直角方形并与丙戊直角方形等者试观甲癸与丙辛两直角形同在平行线内又底等即形亦等【一卷卅六】而丙辛与辛戊等【一卷四三】则辛戊与甲癸亦等即又每加一丙壬直角形则丑寅卯磬折形与甲壬等夫磬折形加一癸庚形本与丙戊直角方形等也即甲壬癸庚两形并亦与丙戊等也则甲丁乙丁矩线内直角形及丙乙上直角方形并岂不与丙丁上直角方形等

注曰以数明之设十数两平分之各五又引増二共十二二乘之为二十四及五之羃二十五与七之羃四十九等

第七题

一直线任两分之其元线上及任用一分线上两直角方形并与元线偕一分线矩内直角形二及分余线上直角方形并等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用一分线如甲丙上两直角方形并【不论甲丙为长分为短分】与甲乙偕甲丙矩内直角形二及分余线丙乙上直角方形并等论曰试于甲乙上作甲丁直角方形次作乙戊对角线从丙作丙己线与乙丁平行

遇对角线于庚末从庚作辛壬线与甲乙平行夫辛己丙壬皆直角方形【本篇四之系】而辛庚与甲丙等【一卷卅四】即辛己为甲丙上直角方形也又甲戊与甲乙等即甲己直角形在甲乙偕甲丙矩线内也又戊丁丁壬与甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩线内也夫甲己己壬两直角形【即癸子丑罄折形】及丙壬直角方形并本与甲丁直角方形等今于甲己辛丁两直角形并加一丙壬直角方形即与甲丁直角方形加一辛巳直角方形等矣则甲乙甲丙矩线内直角形二及丙乙上直角方形并与甲乙上直角方形及甲丙上直角方形并等也

注曰以数明之设十数任分之为六为四如前图十之羃百及六之羃三十六并与

十六互乘之两实百二十及四之羃十六等如后图十之羃百及四之羃十六并与十四互乘之两实八十及六之羃三十六等

第八题

一直线任两分之其元线偕初分线矩内直角形四及分余线上直角方形并与元线偕初分线上直角方形等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内直角形四【不论丙乙为长分为短分】及分余线甲丙上直角方形并与甲乙偕丙乙上直角方形等

论曰试以甲乙线引増至丁而乙丁与丙乙等于全线上作甲戊直角方形次作丁巳对角线从乙作乙庚线与丁戊平行遇对角线于辛次从丙作丙壬线与甲巳平行遇对角线于癸次从辛作子丑线与甲丁平行遇丙壬于寅末从癸作卯辰线与戊己平行遇乙庚于巳其卯壬寅巳乙丑俱角线方形【一卷卅四之系】而卯癸与甲丙两线等【一卷卅四】即卯壬为甲丙上直角方形又寅辛与丙乙两线

等【一篇卅四】即寅巳为丙乙上直角方形与乙丑等【丙乙与乙丁等故】又乙辛辛巳两线亦各与丙乙等而甲辛子巳两直角形各在甲乙丙乙矩线内即等【子辛与甲乙等故】寅庚辛戊两直角形亦各在甲乙丙乙矩线内即又等【寅辛辛丑与丙乙乙丁等辛庚丑戊与等甲乙之子辛等故】寅巳既与乙丑等而每加一癸庚即乙丑癸庚并与寅庚又等是甲辛一子巳二辛戊三乙丑四癸庚五五直角形并为午未申磬折形与元线甲乙偕初分线丙乙矩内直角形四等而午未申磬折形及卯壬直角方形本与甲戊直角方形等则甲乙乙丙矩线内直角形四及甲丙上直角方形并与甲乙偕丙乙上直角方形等注曰以数明之设十数任分之为六为四如前图十六互乘之实四为二百四十及四之羃十六共二百五十六与十六之羃等如后图十四互乘之实四为一百六十及六之羃三十六共一百九十六与十四之羃等

第九题

一直线两平分之又任两分之任分线上两直角方形并倍大于平分半线上及分内线上两直角方形并解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两直角方形并倍大于平分半线甲丙上分内线

丙丁上两直角方形并

论曰试于丙上作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行遇

戊丙于庚末作甲己线其甲丙戊角形之甲丙丙戊两腰等即丙戊甲丙甲戊两角亦等【一卷五】而甲丙戊为直角即余两角皆半直角【一卷卅二之系】依显丙戊乙亦半直角又戊庚己角形之戊庚己角为戊丙乙之外角即亦直角【一卷廿九】而庚戊己半直角即庚己戊亦半直角【一卷卅二之系】又庚戊己庚己戊两角等即庚戊庚己两腰亦等【一卷六】依显丁乙己角形之丁乙丁己两腰亦等夫甲丙戊角形之丙为直角即甲戊线上直角方形与甲丙丙戊线上两直角方形并等【一卷四七】而甲丙丙戊上两直角方形自相等即甲戊上直角方形倍大于甲丙上直角方形矣又戊庚己角形之庚为直角即戊己线上直角方形与庚戊庚己线上两直角方形并等【一卷四七】而庚戊庚己上两直角方形自相等即戊己上直角方形倍大于等庚己之丙丁上直角方形矣【庚己丙丁为丙己直角形之对边故见一卷卅四】则是甲戊戊己上两直角

方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也又甲己上直角方形既等于甲戊戊己上两直角方形并又等于甲丁丁己上两直角方形并【一篇四七】则甲丁丁己上两直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上两直角方形并矣而丁己与丁乙等则甲丁丁乙上两直角方形并岂不倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也注曰以数明之设十数两平分之各五又任分之为七为三分内数二其七之羃四十九及三之羃九倍大于五之羃二十五及二之羃四

第十题

一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引増线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并

解曰甲乙直线平分于丙又任引増为乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两直角方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两直角方形并

论曰试于丙上作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又从戊乙引长之遇于庚次作戊己线与丙丁平行末作甲庚线依前题论推显甲戊乙为直角丙戊乙为半直角即相对之戊庚己亦半直角【一卷廿九】又己为直角【一卷卅四】即己戊庚亦半直角【一卷卅二】而己戊己庚两腰必等【一卷六】依显乙丁丁庚两腰亦等夫甲戊上直角方形等于甲丙丙戊上两直角方形并【一卷四七】必倍大于甲丙上直角方形而戊庚上直角方形等于戊己己庚上两直角方形并【一卷四七】必倍大于对戊己边之丙丁上直角方形【一卷卅四】则甲戊戊庚上两直角方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也又甲庚上直角方形等于甲戊戊庚上两直角方形并亦等于甲丁丁庚上两直角方形并则甲丁丁庚上两直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也而甲丁乙丁上两直角方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并矣【丁庚与乙丁等故】

注曰以数明之设十数平分之各五又任増三为十三十三之羃一百六十九及三之羃九倍大于五之羃二十五及八之羃六十四也

第十一题

一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分余线上直角方形等

法曰甲乙线求两分之而元线偕初分小线矩内直角形与分余大线上直角方形等先于甲乙上作甲丙直角方形

次以甲丁线两平分于戊次作戊乙线次从戊甲引増至己而戊己线与戊乙等末于甲乙线截取甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等如所求

论曰试于庚上作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行其壬庚与丙乙等即与甲乙等而庚丙直角形在甲乙偕庚乙矩线内也又甲庚与甲己等而甲为直角即己庚为甲庚上直角方形也【一卷卅四】今欲显庚丙直角形与己庚直角方形等者试观甲丁两平分于戊而引増一甲己是丁己偕甲己矩线内直角形【即丁辛直角形】及甲戊上直角方形并与等戊己之戊乙上直角方形等【本篇六】夫戊乙上直角方形等于甲戊甲乙上两直角方形并【一卷四七】即丁辛直角形及甲戊上直角方形并与甲戊甲乙上两直角方形并等矣次各减同用之甲戊上直角方形即所存丁辛直角形不与

甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各减同用之甲壬直角形则所存己庚直角方形与庚丙直角形等而甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等也

注曰此题无数可解説见九卷十四题

第十二题

三边钝角形之对钝角边上直角方形大于余边上两直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二

解曰甲乙丙三边钝角形甲乙丙为钝角从余角如甲下一垂线与钝角旁一边如丙乙之引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙边上直角方形大于甲乙乙丙边上两直角方形并之较为丙乙偕乙丁

矩线内直角形二反説之则甲乙乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并与甲丙上直角方形等

论曰丙丁线既任分于乙即丙丁上直角方形与丙乙乙丁上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等【本篇四】此二率者每加一甲丁上直角方形即丙丁甲丁上两直角方形并与丙乙乙丁甲丁上

直角方形三及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等也夫甲丙上直角方形等于丙丁甲丁上两直角方形并【一卷四七】即亦等于丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并也又甲乙线上直角方形既等于乙丁甲丁上两直角方形并【一卷四七】即甲丙上直角方形与甲乙丙乙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等矣

第十三题

三边鋭角形之对鋭角边上直角方形小于余边上两直角方形并之较为鋭角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近鋭角分线矩内直角形二

解曰甲乙丙三边鋭角形从一角如甲向对边乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对甲丙乙鋭角之甲乙边上直角方形小于乙丙甲丙边上两直角方形并之较为乙丙偕丁丙矩线内直角形二反説之则乙

丙甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并等

论曰乙丙线既任分于丁即乙丙丁丙上两直角方形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁上直角方形并等【本篇七】此二率者每加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁上直角方形三与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁甲丁上两直角方形并等

也又甲丙上直角方形等于丁丙甲丁上两直角方形并【一卷四七】即乙丙甲丙上两直角方形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁甲丁上两直角方形并等也又甲乙上直角方形等于乙丁甲丁上两直角方形并【一卷四七】即乙丙甲丙上两直角方形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及甲乙上直角方形并等反説之则甲乙上直角方形小于乙丙甲丙上两直角方形并者为乙丙偕丁丙矩线内直角形二也注曰题中止论鋭角形不言直角钝角形而直角钝角形中俱有两鋭角【一卷十七卅二】即对鋭角边上形亦同此论【如第二第三图是】但三鋭角形所作垂线任用一角而直角形必用直角钝角形必用钝角此为异耳【直角钝角形不用直角钝角不能作垂线】

第十四题

有直线形求作直角方形与之等

法曰甲直线无法四边形求作直角

方形与之等先作乙丁形与甲等而

直角【一卷四五】次任用一边引长之如丁

丙引之至己而丙己与乙丙等次以

丁巳两平分于庚其庚点或在丙点或在丙点之外若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣【葢丙己与乙丙等又与丙丁等而余边俱相等故乙丁为直角方形见一卷卅四】若庚在丙外即以庚为心丁巳为界作丁辛巳半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等

论曰试自庚至辛作直线其丁巳线既两平分于庚又任两分于丙则丁丙偕丙巳矩内直角形【即乙丁直角形葢丙己与乙丙等故】及庚丙上直角方形并与等庚巳之庚辛上直角方形等【本篇五】夫庚辛上直角方形等于庚丙丙辛上两直角方形并【一卷四七】即乙丁直角形及庚丙上直角方形并与庚丙丙辛上两直角方形并等次各减同用之庚丙上直角方形则丙辛上直角方形与乙丁直角形等

増题凡先得直角方形之对角线所长于本形边之较而求本形边

法曰直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙直角方形次作乙丁对角线又引长之为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊

线如所求

论曰试于乙戊作戊己垂线从乙甲线引长之遇于己其乙戊己既直角而戊乙己为半直角【一卷卅二】即戊己乙亦半直角而戊乙与戊己两边等【一卷六】次作己庚与戊乙平行作乙庚与戊己平行即戊庚形为戊乙边上直角方形也末作戊甲线即丁戊甲丁甲戊两角等也【一卷五】夫乙戊己丁甲己既两皆直角试每减一相等之丁戊甲丁甲戊角即所存己戊甲己甲戊两角必等而己戊己甲两边必等【一卷六】则乙己对角线大于乙戊边之较为甲乙矣　此増不在本书因其方形故类附于此

几何原本卷二

钦定四库全书

几何原本卷三之首

西洋利玛窦译

界説十则

第一界

凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜

三卷将论圜之情故先为圜界説此解圜之等者如上图甲乙乙丙两径等或丁己戊庚从心至圜界等即甲己乙乙庚丙两圜等若下图甲乙乙丙两径不

等或丁己戊庚从心至圜界不等则两圜亦不等矣第二界

凡直线切圜界过之而不与界交为切线

甲乙线切乙己丁圜之界乙又引长之至丙而不与界交其甲丙线全在圜外为切线若戊己线先切圜界而引之至庚入圜内则交线也

第三界

凡两圜相切而不相交为切圜

甲乙两圜不相交而相切于丙或切于外如第一图

或切于内如第三图其第二

第四图则交圜也

第四界

凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度

凡一点至一直线上惟垂线至近其他即逺垂线一而已逺者无数也故欲知点与线相去逺近必用垂线为度试如前图甲点与乙丙线相去逺近必以甲丁垂线为度为甲丁一线独去直线至近他若甲戊甲己诸线愈大愈逺乃至无数故如后图

説甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁两线其去戊心逺近等为己戊庚戊两垂线等故若辛壬线去戊心近矣为戊癸垂线小故

第五界

凡直线割圜之形为圜分

甲乙丙丁圜之乙丁直线任割圜之一分如甲乙丁及乙丙丁两形皆为圜分凡分

有三形其过心者为半圜分函心者为圜大分不函心者为圜小分又割圜之直线为所割圜界之一分为弧

第六界

凡圜界偕直线内角为圜分角

以下三界论圜角三种本界所言杂

圜也其在半圜分内为半圜角在大

分内为大分角在小分内为小分角

第七界

凡圜界任于一点出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙点出两直线作甲乙丙角形其甲乙丙角为负甲乙丙圜分

角

第八界

若两直线之角乘圜之一分为乘圜分角

甲乙丙丁圜内于甲点出甲乙甲丁两线其乙甲丁角为乘乙丙丁圜分角

圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜或两圜相切其两圜相切者又或内或外如上图甲乙线切丙丁戊圜于丙即甲丙丁乙丙戊两角为切边角又丙丁戊己戊庚两圜外相切于戊及己戊庚己辛壬两

圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱为切边角

第九界

凡从圜心以两直线作角偕圜界作三角形为分圜形甲乙丙丁圜从戊心出戊甲戊丙两线偕甲丁丙圜界作角形为分圜形

第十界

凡圜内两负圜分角相等即所负之圜分相似

甲乙丙丁圜内有甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负甲乙丁己与丁丙甲戊两圜分相似

又有两圜或等或不等其负圜分角等即圜分俱

相似如上三图三

圜之甲乙丙丁戊

己庚辛壬三负圜分角等即所负甲乙丙丁戊己庚辛壬三圜分相似【相似者如云同为几分圜之几也】

几何原本卷三之首

钦定四库全书

几何原本卷三

西洋利玛窦撰

第一题

有圜求寻其心

法曰甲乙丙丁圜求寻其心先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分之于戊【一卷】

【十】次于戊上作乙丁垂线两平分之于己即己为圜心

论曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下何者乙丁线既平分于己离平分不能为心故必言心在乙丁线外为庚即令自庚至丙至戊至甲各作直线则甲庚戊角形之甲戊既与丙庚戊角形之丙戊两边等戊庚同边而庚甲庚

丙两线俱从心至界宜亦等即对等边之庚戊甲庚戊丙两角宜亦等【一卷八】而为两直角矣【一卷界説十】夫乙戊甲既直角而庚戊甲又为直角可不可也

系因此推显圜内有直线分他线为两平分而作直角即圜心在其内

第二题

圜界任取二点以直线相联则直线全在圜内

解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二点作直线相聨题言甲丙线全在圜内

论曰如云在外若甲丁丙线令寻取甲乙丙圜之戊心【本篇一】次作戊甲戊丙两直线次于甲丁丙线上作戊乙丁线而与圜界遇于乙即戊甲丁丙当为三角形以甲丁丙为底戊甲戊丙两腰等其戊甲丙戊丙甲两角宜等【一卷五】而戊丁甲为戊丙丁之外角宜大于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角【一卷十六】则对戊丁甲大角之戊甲线宜大于戊丁线矣【一卷十九】夫戊甲与戊乙本同圜之半径等据如所论则戊乙亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而

在圜界依前论令戊甲大于戊乙亦不可通也第三题

直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分

解曰乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分于己题言甲己必是垂线而

己旁为两直角又言己旁既为两直角则甲己分乙丁必两平分

先论曰试从甲作甲乙甲丁两线即甲乙己角形之乙己与甲丁己角形之丁己两边等甲己同边甲乙甲丁两线俱从心至界又等即两形等则其对等边之甲己乙甲己丁亦等【一卷八】而为两直角矣

后论曰如前作甲乙甲丁两线甲乙丁角形之甲乙甲丁两边既等则甲乙丁甲丁乙两角亦等【一卷五】又甲乙己角形之甲己乙甲乙己两角与甲丁己角形之甲己丁甲丁己两角各等而对直角之甲乙甲丁两边又等则己乙己丁两边亦等【一卷廿六】

欲显次论之防又有一説如甲丁上直角方形与甲己己丁上两直角方形并等【一卷四七】而甲乙上直角方形与甲己乙己上两直角方形并亦等即甲己己乙上两直角方形并与甲己己丁

上两直角方形并亦等此二率者每减一甲己上直角方形则所存乙己己丁上两直角方形自相等而两边亦等

第四题

圜内不过心两直线相交不得俱为两平分

解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心【若一过心一不过心即两线不得俱为两平分其理易显】

而交于戊题言两直线或有一线为两平分不得俱为两平分