几何原本

作圜以己为心甲

为界必切丙乙而为角形之形外切圜

一系若圜心在三角形内即三角形为锐角形何者每角在圜大分之上故若在一邉之上即为直角形若在形外即为钝角形

二系若三角形为锐角形即圜心必在形内若直角形必在一邉之上若钝角形必在形外

増从此推得一法任设三防不在一直线可作一过三防之圜其法先以三防作三直线相联成三角形次依前作

其同法甲乙丙三防先以甲乙两防

各自为心相向各任作圜分令两圜

分相交于丁于戊次甲丙两防亦如

之令两圜分相交于己于庚末作丁

戊己庚两线各引长之令相交于辛即辛为圜之心　论见三卷二十五增

第六题

有圜求作内切圜直角方形

法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于

戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形

论曰甲乙戊角形之甲戊与乙戊丙角形之戊丙两腰等乙戊同腰而腰间角两为直角即其底甲乙乙丙等【一卷四】依显乙丙丙丁亦等则四邉形之四邉俱等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角【三卷卅一】是为内切圜直角方形

第七题

有圜求作外切圜直角方形

法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两

径之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛为外切圜直角方形

论曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行【一卷廿八】依显甲丙庚壬亦平行则己庚辛壬亦平行【一卷三十】又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等【一卷卅四】而甲丙辛甲己辛两角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦直角依显庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邉俱等于甲丙乙丁两径既四邉俱等于两径则己庚壬辛为直角方形而四邉各切圜【三卷十六之系】

第八题

直角方形求作形内切圜

法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各两平分于戊于己于庚于辛而作

辛己戊庚两线交于壬其甲丁与乙丙既平行相等即半减线之甲辛乙己亦平行相等而甲乙与辛己亦平行相等【一卷卅三】依显丁丙与辛己亦平行相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙

壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四线与甲辛戊乙丁辛甲戊四线各等夫甲辛戊乙丁辛甲戊各为等线之半即与之等者壬戊壬己壬庚壬辛亦自相等次作圜以壬为心戊为界必过己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉【三卷十六】是为形内切圜第九题

直角方形求作形外切圜

法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角两线为甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁

角形之甲乙甲丁两腰等即甲乙丁甲丁乙两角亦等【一卷五】而乙甲丁为直角即甲乙丁甲丁乙俱半直角【一卷卅二】依显丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱等又戊甲丁戊丁甲两角等即戊甲戊丁两邉亦等【一卷六】依显戊甲戊乙两邉亦等而戊乙戊丙两邉戊丙戊丁两邉各等次作圜以戊为心甲为界必乙丙丁而为形外切圜

第十题

求作两邉等三角形而底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分之于丙其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等【二卷十一】次以甲为心乙为界作乙

丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等【本篇一】末作甲丁线相联其甲乙甲丁等即甲乙丁为两邉等角形而甲乙丁甲丁乙两角各倍大于甲角

论曰试作丙丁线而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本篇五】其甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等即亦与至规外之乙丁上直角方形等而乙丁线切甲丙丁圜于丁【三卷卅七】即乙丁切线偕丁丙割线所作乙丁丙角与负丁甲丙圜分之甲角交互相等【三卷卅二】此二率者毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等夫乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲相对之两内角等【一卷卅二】即乙丙丁角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁两线亦等【一卷六】夫乙丁元与甲丙等即丙丁与甲丙亦等丙甲丁丙丁甲两角亦等而甲角既与乙丁丙角等即乙丁丙与丙丁甲两角亦等是甲丁乙倍大于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙丁亦倍大于甲也

第十一题

有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角

法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角各倍大于己角【本篇十】次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角【本篇二】

次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分【一卷九】作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相联即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形而五邉五角俱自相等

论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角而两角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五圜分亦等【三卷廿六】即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线亦等【三卷廿九】是五邉形之五邉等又甲乙戊丁两圜分等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁与戊丁丙乙两圜分等乘两圜分之甲戊丁乙甲戊两角亦等依显余三角与两角俱等是五邉形之五角等

第十二题

有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角

法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形【本篇十一】次从己心作己甲己乙

己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五埀线相遇于庚于辛于壬于癸于子【庚戊甲庚甲戊两角小于两直角故甲庚戊庚线必相遇余四仿此】五埀线既切圜【三卷十六】即成外切圜五邉形而等邉等角

论曰试从己心作己庚己辛己壬己癸己子五线其己甲甲辛上两直角方形己乙乙辛上两直角方形之两并各与己辛上直角方形等【一卷四七】即两并自相等此两并率者每减一相等之甲己己乙上直角方形即所存甲辛辛乙上两直角方形等则甲辛辛乙两线等也又甲己辛角形之甲己与乙己辛角形之乙己两腰等己辛同腰而甲辛辛乙两底又等即甲己辛辛己乙两角等【一卷八】而甲辛己乙辛己两角亦等【一卷四】则甲己乙角倍大于辛己乙角也依显乙己丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬己角也又甲己乙乙己丙两角乘甲乙乙丙相等之两圜分【线等故圜分等见三卷廿八】即两角自相等【三卷廿七】半减之辛己乙乙己壬两角亦等　乙己辛角形之乙己辛辛乙己两角与乙己壬角形之乙己壬壬乙己两角各等而乙己同邉是辛乙乙壬两邉亦等也【一卷廿六】乙辛己乙壬己两角亦等也则辛壬线倍大于辛乙线也依显庚辛线亦倍大于辛甲线也前己显甲辛辛乙两线等则倍大之庚辛辛壬两线亦等也依显壬癸癸子子庚与庚辛

辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五邉等又依前所显乙辛己与乙壬己两角等是乙辛甲之减半角与乙壬丙之减半角等即倍大之乙辛甲与乙壬丙亦等也依显辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛与庚辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五角等

第十三题

五邉等邉等角形求作形内切圜

法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分【一卷九】其线为己甲己乙而相遇于己【己甲乙己乙甲两角小于两直角故己甲己乙两线必相遇】自己作己丙己丁己戊三线其甲己乙角形之甲乙腰与乙己丙角形之乙

丙腰等乙己同腰而两腰间之甲乙己丙乙己两角等即甲己己丙两底亦等乙甲己乙丙己两角亦等【一卷四】又乙甲戊与乙丙丁两角等而乙甲己为乙甲戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半则乙丙丁角亦两平分于己丙线矣依显丙丁戊丁戊甲两角亦两平分于己丁己戊两线矣次从己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五埀线其甲己庚角形之己甲庚己庚甲两角与甲己子

角形之己甲子己子甲两角各等甲己同邉即两形必等【一卷廿六】己子与己庚两线亦等依显己辛己壬己癸三埀线与己庚己子两埀线俱等末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜【三卷十六】

第十四题

五邉等邉等角形求作形外切圜

法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己【说见前】次从己作己丙己丁己戊三线依前题论推显乙丙丁

丙丁戊丁戊甲三角各两平分于己丙己丁己戊三线夫五角既等即其半减之角亦等而甲乙己角形之己甲乙己乙甲两角等即甲己与己乙两线亦等【一卷六】依显己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末作圜以己为心甲为界必过乙丙丁戊而为甲乙丙丁戊五邉形之外切圜

第十五题

有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角

法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六边内切圜形等边等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相

聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邉形而等邉等角论曰庚丙庚丁两线等而丁丙与丁庚亦等【依圜界说】三邉俱等即庚丙丁为平邉角形而庚丁丙丁丙庚丙庚丁三角俱等【一卷五】此三角元与两直角等【一卷卅二】即每角为两直角三分之一而丙庚丁角为两直角三分之一也依显丁庚戊角亦两直角三分之一而丙庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于两直角【一卷十三】即戊庚己角亦两直角三分之一矣则丙庚丁丁庚戊戊庚己三角亦自相等而此三角与己庚甲甲庚乙乙庚丙三角亦等【一卷十五】是辏庚心之六角俱自相等而所乗之六圜分【三卷廿六】及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线俱自相等【三卷廿九】则甲乙丙丁戊己形之六邉等乂乙丙与甲己两圜分等而各加一丙丁戊己圜分即乙丙丁戊己与甲己戊丁丙两圜分等而所乗之乙甲己与甲乙丙两角等【三卷廿七】依显乙丙丁丙丁戊丁戊己戊己甲四角与乙甲己甲乙丙两角俱等则甲乙丙丁戊己形之六角等

一系凡圜之半径为六分圜之一之分何者庚丁与丁丙等故故一开规为圜不动而可六平分之二系依前十二十三十四题可作六邉等邉等角形在圜之外又六邉等邉等角形内可作切圜又六邉等邉等角形外可作切圜

第十六题

有圜求作圜内十五邉切形其形等邉等角

法曰甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形与丁等角【本篇二】即三邉等而甲乙乙丙丙甲三圜分亦等【三卷廿八】夫甲乙丙圜十正分之则甲乙三分圜之一当为十五分之五

次从甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角【本篇十一】即甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等【三卷廿八】夫甲乙丙圜十五分之则甲戊五分圜之一当为十五分之三而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分两平分于壬【三卷卅】则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合圜线【本篇一】则成十五邉等邉形而十五角所乗之圜分等即各角亦等【三卷廿七】

一系依前十二十三十四题可作外切圜十五邉

形又十五边形内可作切圜又十五邉

形外可作切圜

注曰依此法可设一法作无量数形

如本题圗甲乙圜分为三分圜之一

即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三与五相乗得十五即知此两分法可作十五邉形又如甲乙命三甲戊命五三与五较得二即知戊乙得十五分之二因分戊乙为两平分得壬乙线为十五分之一可作内切圜十五边形也以此法爲例作后题

增题若圜内从一防设切圜两不等等边等角形之各一边此两边一爲若干分圜之一一爲若干分圜之一此两若干分相乗之数卽后作形之边数此两若干分之较数卽两边相距之圜分所得后作形边数内之分数

法曰甲乙丙丁戊圜内从甲防作数形之各一边如甲乙爲六边形之一边甲丙爲五边形之一边甲丁爲四边形之一边甲戊爲三边形之一边甲乙命六甲丙命五较数一卽乙丙圜分爲所作三十边等边等角形之一边何者五六相乗爲三十故当作三十边也较数一故当爲一边也

论曰甲乙圜分爲六分圜之一卽得三

十分圜之五而甲丙爲五分圜之一卽得三十分圜之六则乙丙得三十分圜之一也依显乙丁为二十四邉形之二邉也何者甲乙命六甲丁命四六乗四得二十四也又较数二也依显乙戊为十八邉形之三邉也丙丁为二十邉形之一邉也丙戊为十五邉形之二邉也丁戊为十二邉形之一邉也

二系凡作形于圜之内等邉则等角何者形之角所乗之圜分皆等故【三卷廿七】凡作形于圜之外即从圜心作直线抵各角依本篇十二题可推显各角等三系凡等邉形既可作在圜内即依圜内形可作在圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十二十三十四题

四系凡圜内有一形欲作他形其形邉倍于此形邉即分此形一邉所合之圜分为两平分而每分各作一合线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷

又补题圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等

法曰甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜内作多邉切形不至丁戊小圜其多邉为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作

庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也【三卷十六之系】夫甲庚丙圜分虽大于丙庚若于甲庚丙减其半甲乙存乙丙又减其半乙壬存壬丙又减其半壬癸如是逓减至其减余丙癸必小于丙庚【如下补论】既得丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之一邉也次分乙壬圜分其分数与丙壬之分数等次分甲乙与乙丙分数等分丙甲与甲乙丙分数等则得所求形【三卷廿九】而不至丁戊小圜论曰试从癸作癸子为甲丙之垂线遇甲丙于丑其庚戊丑癸丑戊两皆直角即庚辛癸子为平行线【一卷廿八】庚辛线之切丁戊圜既止一防即癸子线更在其外必不至丁戊矣何况丙癸更逺于丑癸乎依显其余与丙癸等邉同度距心者【三卷十四】俱不至丁戊圜也【此系十二卷第十六题因六卷今増题宜借此论故先类附于此】

补论其题曰两几何不等若于大率逓减其大半必可使其减余小于元设小率

解曰甲乙大率丙小率题言于甲乙逓减其大半至可使其减余小于丙

论曰试以丙倍之又倍之至仅大于甲乙而止为丁戊丁戊之分为丁己己庚庚戊各与丙等也次于甲乙减其大半甲辛存辛乙又减

其大半辛壬存壬乙如是逓减至甲乙与丁戊之分数等夫甲辛辛壬壬乙与丁己己庚庚戊分数既等丁戊又大于甲乙若两率各为两分而大丁戊之减丁己止于半小甲乙之减甲辛为大半即丁戊之减余必大于甲乙之减余也若各为多分而己戊尚多于丙者即又于己戊减己庚于辛乙减其大半辛壬如是逓减卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分壬乙也而庚戊元与丙等是壬乙小于丙也

又论曰若于甲乙逓减其半亦同前论何者大丁戊所减不大于半则丁戊之减余每大于甲乙之减余以至末分亦大于末分【此系十卷第一题借用于此以足上论】

几何原本卷四

钦定四库全书

几何原本卷五之首

西洋利玛窦译

界説十九则

前四卷所论皆独几何也此下二卷所论皆自两以上多几何同例相比者也而本卷则总説完几何之同例相比者也诸卷中独此卷以虚例相比絶不及线靣体诸类也第六卷则论线论角论圜界诸类及诸形之同例相比者也今先解向后所用名目为界説十九

第一界

分者几何之几何也小能度大以小为大之分

以小几何度大几何谓之分曰几何之几何者谓非此小几何不能为此大几何之分也如一防无分亦非几何即不能为线之分也一线无广狭之分非广狭之几何

即不能为靣之分也一靣无厚薄之分非厚薄之几何即不能为体之分也曰能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙为丙之分则甲为乙三分之一为丙六分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是小不尽大则丁不能为戊己之分也以数明之若四于八于十二于十六于二十诸数皆能尽分无赢不足也若四于六于七于九于十于十八于三十八诸数或赢或不足皆不能尽分者也本书所论皆指能尽分者故称为分若不尽分者当称几分几何之几如四于六为三分六之二不得正名为分不称小度大也不为大几何内之小几何也

第二界

若小几何能度大者则大为小之几倍

如第一界图甲与乙能度丙则丙为甲与乙之几倍若丁戊不能尽己之分则己不为丁戊之几倍第三界

比例者两几何以几何相比之理

两几何者或两数或两线或两靣或两体各以同类大小相比谓之比例若线与靣或数与线相比此异类不为比例又若白线与黒线热线与冷线相比虽同类不以几何相比亦不为比例也

比例之説在几何为正用亦有借用者如时如音如声如所如动如称之属皆以比例论之

凡两几何相比以此几何比他几何则此几何为前率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也比例为用甚广故详论之如左

凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为小合如直角方形之两邉与其对角线可以相比而非数可明者是也

如上二种又有二名其大合线为有两度之线如二十尺比八尺两线为大合则二尺四尺皆可两度之者是也如此之类凡数之比例皆大合也何者有数之属或无他数可两度者无有一数不可两度者若七比九无他数可两度之以一则可两度之也其小合线为无两度之线如直角方形之两邉与其对角线为小合即分至万分以及无数终无小线可以尽分能度两率者是也【此论详见十卷末题】

小合之比例至十卷详之本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者如二十比二十十尺之线比十尺之线是也有不等者如二十比十八比四十六尺之线比二尺之线是也

如上等者为相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大合比例之以大不等者又有五种一为几倍大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一分五为几倍大带几分

一为几倍大者谓大几何内有小几何或二或三或十或八也如二十与四是二十内为四者五如三十尺之线与五尺之线是三十尺内为五尺者六则二十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为六倍大之比例也仿此为名可至无穷也

二为等带一分者谓大几何内既有小之一别带一分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至无穷者是也如三与二是三内既有二别带一一为二之半如十二尺与九尺之线是十二内既有九别带三三为九三分之一则三与二名为等带半也十二尺与九尺名为等带三分之一也

三为等带几分者谓大几何内既有小之一别带几分而此几分不能合为一尽分者是也如八与五是八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却能为八四分之一是为带一分属在第二不属三也则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即名为等带六分也四为几倍大带一分者谓大几何内既有小几何之二之三之四等别带一分此一分或元一之半或三分四分之一以至无穷者是也如九与四是九内既有二四别带一一为四之分之一则九与四名为二倍大带四分之一也

五为几倍大带几分者谓大几何内既有小几何之二之三之四等别带几分而此几分不能合为一尽分者是也如十一与三是十一内既有三三别带二一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也则十一与三名为三倍大带二分也

大合比例之以小不等者亦有五种俱与上以大不等五种相反为名一为反几倍大二为反等带一分三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几倍大带几分

凡比例诸种如前所设诸数俱有书法书法中有全数有分数全数者如一二三十百等是也分数者如分一以二以三以四等是也书全数依本数书之不必立法书分数必有两数一为命分数一为得分数如分一以三而取其二则为三分之二即三为命分数二为得分数也分一为十九而取其七则为十九分之七即十九为命分数七为得分数也

书以大小不等各五种之比例其一几倍大以全数书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若四倍即书四六倍即书六也其反几倍大即用分数书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之数如大为五倍大之比例则此书五之一是也若四倍即书四之一六倍即书六之一也

其二等带一分之比例有两数一全数一分数其全数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数如三与二名为等带半即书一别书二之一也其反等带一分则全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又如等带八分之一反书之即书九之八也又如等带一千分之一反书之即书一千○○一之一千也其三等带几分之比例亦有两数一全数一分数其全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书一别书七之三也其反等带几分亦全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加大之得分数为此之命分数如大为等带七之三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二十也

其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分数一为得分数书三别书七之一也其反几倍大带一分则以大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乘大之倍数加一为此之命分数如大为三带七之一即以七乘三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又加五带九之一反书之九乘五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三别书八之五也其反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乘大之倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乘三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也