几何原本

三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又加五带九之一反书之九乘五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三别书八之五也其反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乘大之倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乘三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也

以上大小十种足尽比例之凡不得加一减一第四界

两比例之理相似为同理之比例

两几何相比谓之比例两比例相比谓之同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例又若戊与己两几何之比例偕己与庚两几何之比例其理相似亦同理之

比例

凡同理之比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之比例本篇所论皆量法之比例也量法比例又有二种一为连比例连比例者相续不断其中率与前后两率逓相为比例而中率既为前率之后又为后率之前如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例断比例者居中两率一取不再用如前图甲自与乙比丙自与丁比是也

第五界

两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何

上文言为比例之几何必同类然同类中亦有无比例者故此界显有比例之几何也曰倍其身而能相胜者如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方形之一邉与其对角线虽非大合之比例可以数明而直角方形之一邉一倍之即大于对角线【两邉等三角形其两邉并必大于一邉见一卷二十】是亦有小合比例之线也又圜之径四倍之即大于圜之界则圜之径与界亦有小合比例之线也【圜之界当三径七分径之一弱别见圜形书】又曲线与直线亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一直角方形与之等【六卷三十三一増题今附】即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方形与圜虽自古至今学士无数不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如上图直角钝角鋭角皆有与曲线角等者若第一图甲乙丙直角在甲乙乙丙两直线内而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣依显壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也又依显卯丑辰曲线角与子丑寅鋭角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两角亦等也此五者皆疑无比例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽则同类

实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与靣靣与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及靣毕世倍靣不能及体故也又切圜角与直线鋭角亦无比例何者依三卷十六题所説毕世倍切邉角不能胜至小之鋭角故也此后诸篇中每有倍此几何令至胜彼几何者故备着其理以需后论也

第六界

四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或俱为大俱为小恒如是

两几何曷显其能为比例乎上第五界所説是也两比例曷显其能为同理之比例乎此所説是也其术

通大合小合皆以加倍法求之如

一甲二乙三丙四丁四几何于一

甲三丙任加几倍为戊为己戊倍

甲己倍丙其数自相等次于二乙四丁任加几倍为庚为辛庚倍乙辛倍丁其数自相等而戊与己偕庚与辛相视或等或俱大或俱小如是等大小累试之恒如是即知一甲与二乙偕三丙与四丁为同理之比例也

如初试之甲几倍之戊小于乙几倍之庚而丙几倍之己亦小于丁几倍之辛又试之倍甲之戊与倍乙之庚等而倍丙之己亦与倍丁之辛等三试之倍甲

之戊大于倍乙之庚而倍丙之己

亦大于倍丁之辛此之谓或相等

或虽不等而俱为大俱为小若累

合一差即元设四几何不得为同理之比例如下第八界所指是也

下文所论若言四几何为同理之比例即当推显第一第三之几倍与第二第四之几倍或等或俱大俱小若许其四几何为同理之比例亦如之

以数明之如有四几何第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第四之四同加

九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也若尔或俱大俱小或等累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例也

以上论四几何者断比例之法也其连比例法仿此但连比例之中率两用之既为第二又为第三视此异耳

第七界

同理比例之几何为相称之几何

甲与乙若丙与丁是四几何为同理之

比例即四几何为相称之几何又戊与

己若己与庚即三几何亦相称之几何

第八界

四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例

此反上第六界而释不同理之两比例其相视曷显

为大曷显为小也谓第一第三之几

倍与第二第四之几倍依上累试之

其间有第一之几倍大于第二之几

倍而第三之几倍乃或等或小于第四之几倍即第一与二之比例大于第三与四之比例也如上图甲一乙二丙三丁四甲与丙各三倍为戊己乙与丁各四倍为庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲与乙之比例大于丙与丁也若第一之几倍小于第二之几倍而第三之几倍乃或等或大于第四之几倍即第一与二之比例小于第三与四之比例如是等大小相戾者但有其一不必再试

以数明之中设三二四三四几何先有第一之倍大于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍后复有第一之倍大于第二之倍而第三之倍乃或等或小于第四之倍即第一与二之比例大于第三与四也若以上图之数反用之以第一为二第二为一第三为四第四为三则第一与二之比例小

于第三与四

第九界

同理之比例至少必三率

同理之比例必两比例相比如甲与乙若丙与丁是四率断比例也若连比例之戊与己若己与庚则中率己既为戊之后又为庚之前是以三率当四率也

第十界

三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例四几何为同例之连比例则第一与四为三加之比例仿此以至无穷

甲乙丙丁戊五几何为同理之连比例其甲与乙若乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊即一甲与三丙视一甲与二乙为再加之比例又一甲与四丁视一甲与二乙为三加之比例何者甲丁之中有乙丙两几何

为同理之比例如甲与乙故也又一甲与五戊视一甲与二乙为四加之比例也若反用之以戊为首则一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加也

下第六卷二十题言此直角方形与彼直角方形为此形之一邉与彼形之一邉再加之比例何者若作三几何为同理之连比例则此直角方形与彼直角方形若第一几何与第三几何故也以数明之如此直角方形之邉三尺而彼直角方形之邉一尺即此形邉与彼形邉若九与一也夫九与一之间有三为同理之比例则九三一三几何之连比例既有三与一为比例又以九比三三比一为再加之比例也则彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分之一也大畧第一与二之比例若线相比第一与三若平靣相比第一与四若体相比也【第一与五若筭家三乘方与六若四乘方与七若五乘方仿此以至无穷】

第十一界

同理之几何前与前相当后与后相当

上文己解同理之比例此又解同理之几何者盖一

比例之两几何有前后而同理之两

比例四几何有两前两后故特解言

比例之论常以前与前相当后与后

相当也如上甲与乙丙与丁两比例

同理则甲与丙相当乙与丁相当也戊己己庚两比例同理则己既为前又为后两相当也如下文有两三角形之邉相比亦常以同理之两邉相当不可混也

上文第六第八界説几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍则以第一第三为两前第二第四为两后各同理故

第十二界

有属理更前与前更后与后

此下説比例六理皆后论所需也

四几何甲与乙之比例若丙与丁今

更推甲与丙若乙与丁为属理　下言属理皆省曰更

此论未证证见本卷十六

此界之理可施于四率同类之比例若两线两靣或两靣两数等不为同类即不得相更也

第十三界

有反理取后为前取前为后

甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理

证见本篇四之系

此界之理亦可施于异类之比例

第十四界

有合理合前与后为一而比其后

甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙内若丁己与戊己是合两前后率为两一率而比两后率也

证见本卷十八

第十五界

有分理取前之较而比其后

甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊

证见本卷十七

第十六界

有转理以前为前以前之较为后

甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己

证见本卷十九

第十七界

有平理彼此几何各自三以上相为同理之连比例则此之第一与三若彼之第一与三又曰去其中取其

首尾甲乙丙三几何丁戊己三几何

等数相为同理之连比例者甲与乙

若丁与戊乙与丙若戊与己也今平

推首甲与尾丙若首丁与尾己

平理之分又有二种如后二界

第十八界

有平理之序者此之前与后若彼之前与后而此之后与他率若彼之后与他率

甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙

若后戊与他率己是序也今平推甲

与丙若丁与己也【此与十七界同重宣序义以别后界】

【也】

证见本卷二十二

第十九界

有平理之错者此数几何彼数几何此之前与后若彼之前与后而此之后与他率若彼之他率与其前

甲乙丙数几何丁戊己数几何其甲

与乙若戊与己又此之后乙与他率

丙若彼之他率丁与前戊是错也今

平推甲与丙若丁与己也【十八十九界推法于十七界中通论之故两题中不再着也】

证见本卷二十三

増一几何有一几何相与为比例即此几何必有彼几何相与为比例而两比例等一几何有一几何相与为比例即必有彼几何与此几何为比例而两比例等【比例同理省曰比例等】

甲几何与乙几何为比例即此几何丙亦必有彼几何如丁相与为比例若甲与乙也丙几何与丁几何为比例即必

有彼几何如戊与此几何丙为比例若丙与丁也此理推广无碍于理有之不必举其率也举率之理备见后卷

几何原本卷五之首

钦定四库全书

几何原本卷五

西洋利玛窦撰

第一题

此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率

解曰如甲乙丙丁此二几何大于戊己彼二几何各若干倍题言甲乙丙丁并大于戊己并亦若干倍

论曰如甲乙与丙丁既各三倍大于戊与己即以甲乙三分之各与戊等为甲庚庚辛辛乙又以丙丁三分之各与己等为丙壬壬癸癸丁即甲乙与丙丁所分之数等而甲庚既与戊等丙壬既与己等既于甲庚加丙壬于

戊加己其甲庚丙壬并与戊己并必等依显庚辛壬癸并辛乙癸丁并与戊己并各等夫甲乙与丙丁之分三合于戊己皆等【本卷界説二】则甲乙丙丁并三倍大于戊己并

第二题

六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四己之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四己之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四己之数

论曰甲乙丁戊之倍于丙己其数等则甲乙几何内有丙几何若干与丁戊几何内

有己几何若干其数亦等【本卷界説二】依显乙庚丙有丙若干与戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊两等数率每加一等数之乙庚戊辛率则甲庚丁辛两几何内之分数等而一五并之甲庚内有二丙若干与三六并之丁辛内有四己若干亦等

注曰若第一第三两几何之数与第二第四两几何之数各等而第五倍第二之数等于第六倍第四之数或第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五第二两几何之数与第六第四两几何

之数各等俱同本论如上二

图甲庚为第一第五之并率

其倍二丙之数与丁辛为第

三第六之并率其倍四己之数等也【甲庚内有丙若干与丁辛内有己若干等故同理】他若第一第三两几何之数第五第六两几何之数与第二第四两几何之数各等此理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六并之倍第四俱两倍故

第三题

四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四

解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊己两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙之数若己倍丁论曰戊与己之倍甲与丙其数既等试以戊作若干分各与甲等为戊庚庚辛辛壬次分己亦如之为己癸癸子子丑即戊内有甲若干与己内有丙若干等

【本卷界説二】夫戊庚与甲己癸与丙既等而甲之倍乙与丙之倍丁又等则戊庚倍乙若己癸倍丁也依显庚辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛之倍二乙亦若六癸子之倍四丁则一戊庚五庚辛并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也【本篇二】又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁则一戊辛五辛壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛壬子丑以上任作多分皆仿此论

第四题【其系爲反理】

四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等觧曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与己同任若干倍于一甲三丙别作庚与辛同任若干倍于二乙

四丁题言一甲

所倍之戊与二

乙所倍之庚偕

三丙所倍之己

与四丁所倍之

辛比例亦等

论曰试以戊己二防何同任倍之为壬为癸别以庚辛同任倍之为子为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本篇三】依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣【本卷界説六】夫戊己之倍为壬癸也庚辛之倍为子丑也不论防许倍其等大小三试之恒如是也则一戊所倍之壬与二庚所倍之子偕三己所倍之癸与四辛所倍之丑等大小皆同类也而戊与庚偕己与辛之比例必等【本卷界説六】

一系凡四防何第一与二偕第三与四比例等即可反推第二与一偕第四与三比例亦等何者如上倍甲之壬与倍乙之子偕倍丙之癸与倍丁之丑等大小俱同类而显甲与乙若丙与丁即可反説倍乙之子与倍甲之壬偕倍丁之丑与倍丙之癸等大小俱同类而乙与甲亦若丁与丙【本卷界説六】

二系别有一论亦本书中所恒用也曰若甲与乙偕两与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷

第五题

大小两防何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍于彼全截取之分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之

解曰甲乙大防何丙丁小防何甲乙所倍于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁之截分丙己题言甲戊之分余戊乙所倍于丙巳之分余巳丁亦如其数

论曰试作一他防何为庚丙今戊巳之倍庚丙若甲戊之倍丙巳也【本卷界説増】甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其

数等即其两并甲乙之倍庚巳亦若　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】戊之倍丙巳也【本篇一】而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙己则丙丁与庚己等也次毎减同用之丙巳即庚丙与巳丁亦等而戊乙之倍巳丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚丙既若甲戊之倍丙己则戊乙为甲戊之分余所倍于巳丁为丙巳之分余者亦若甲乙之倍丙丁也

又论曰试作一他防何为庚甲令庚甲之

倍己丁若甲戊之倍丙巳【本説界説二十】即其两并庚戊之倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也【本篇一】而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊与甲乙等矣次毎减同用之甲戊即庚甲与戊乙等也而庚甲之倍己丁若甲乙之倍丙丁也则戊乙之倍巳丁亦若甲乙之倍丙丁也

第六题

此两防何各倍于彼两防何其数等于此两防何毎减一分其一分之各倍于所当彼防何其数等则其分余或各与彼防何等或尚各倍于彼防何其数亦等觧曰甲乙丙丁两防何各倍于戊巳两防何其数等毎减一甲庚丙辛甲庚丙辛之倍戊巳其数等题言分余庚乙辛丁或与

戊巳等或尚各倍于戊巳其数亦等

论曰甲乙全与其分甲庚既各多倍于戊则分余庚乙与戊其或等或尚防倍必矣何者庚乙与戊不等不防倍其加于甲庚不成为戊之多倍也然则庚乙与戊等曷为辛丁与巳亦等试作壬丙与己等其一甲庚之倍二戊既若

三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙之等四巳则第一第五并之甲乙所倍于二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳也【本篇二】而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己即壬辛与丙丁亦等次毎减同用之丙辛

即壬丙与辛丁必等是辛丁与己亦等矣然则庚乙之倍戊曷为与辛丁之倍己等试作壬丙其倍己若庚乙之倍戊依前论甲乙之倍戊若壬辛之倍己【本篇二】而壬辛与丙丁等壬丙与辛丁亦等是辛丁之倍己亦若庚乙之倍戊矣

第七题【二支】

此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等

解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等

论曰试作丁戊两率任同若干倍于甲乙即丁与戊等别作己任若干倍于丙其丁戊既等即丁视己与戊视己或等或大或小必同类矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕

当二又当四之丙所倍之己其等大小既同类【本卷界説六】则一甲与二丙之比例若三乙与四丙矣反説之当一当三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊其等大小既同类则一丙与二甲之比例若三丙与四乙矣

后论与本篇第四题之系同用反理如甲与丙若乙与丙反推之丙与甲亦若丙与乙也

第八题

大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例解曰不等两几何甲乙大丙小又有他几何丁不论等大小于甲乙于丙题言甲乙与丁之比例大于丙与丁之比例又反上言丁与丙之比例大于丁与甲乙之比例

论曰试于大几何甲乙内分甲戊与小几何丙等而戊乙为分余次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚己而庚己为戊乙之倍必令大于丁辛庚为甲戊之倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣【本篇一】甲戊即丙也次作一壬癸为丁之倍令

仅大于辛庚两倍不足三之又不足任加之己大勿倍也次于壬癸截取子癸与丁等即壬子必不大于辛庚何者向作壬癸为丁之倍元令仅大于辛庚若壬子大于辛庚者何必又倍之为壬癸也故仅大之壬癸截去子癸者必不大于辛庚也则壬子或等或小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸与丁等即庚己必大于子癸又辛庚不小于壬子【或大或等】即辛己亦大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第三丙也而壬癸之倍于当二之丁当四之丁又同一率也则第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸【辛庚元小于壬癸】是一甲乙与二丁之比例大于三丙与四丁矣【本卷界説八】次反上説一丁所倍之壬癸【反説则丁当一当三丙二甲乙四】大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于四甲乙所倍之辛己【壬癸必小于辛己】是一丁与二丙之比例大于三丁与四甲乙矣【本卷界説八】

第九题【二支】

两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等

先解曰甲乙两几何各与丙为比例等题言甲与乙等

论曰如云不然而甲大于乙即甲与丙之比例

宜大于乙与丙【本篇八】何先设两比例等也故比例等则甲与乙等

后解曰丙几何与甲与乙各为比例等题言甲与乙等论曰如云不然而甲大于乙即丙与乙之比例宜大于丙与甲【本篇八】何先设两比例等也

第十题【二支】

彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此

先解曰甲乙两几何复有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙

论曰如云不然甲与乙等即所为两比例宜等

【本篇七】何先设甲与丙大也又不然甲小于乙即乙与丙之比例宜大于甲与丙【本篇八】何先设甲与丙大也后解曰丙与乙之比例大于丙与甲题言乙小于甲论曰如云不然乙与甲等即所为两比例宜等【本篇七】何先设丙与乙大也又不然乙大于甲即丙与甲之比例宜大于丙与乙何先设丙与乙