历算全书

六千六百六十三日又四分之一故注以正月甲子为夏正建寅之月而三月癸未杜氏长厯及孔疏皆以为当作二月为夏之十二月也其癸未日长厯以为是二十三日然则春秋所纪者自用周正而晋人所言者自是夏正故鲁史纪戊午二月者晋人所言则仍为丁巳之十二月所以士文伯云七十三年也

筹有色以分正负

沈存中括笔谈曰天有黄赤二道月有九道此皆强名非实有也亦由天之有三百六十五度天何尝有度以日行三百六十五日而一朞强谓之度以步日月五星行次而巳日之所由谓之黄道南北极之中间度最均处谓之赤道月行黄道南谓之朱道北谓之黒道东谓之青道西谓之白道黄道内外各四并黄道而九日月之行有迟有速难以一术御故因其合散分为数段每段以一色名之欲以别算位而已如算法用赤筹黒筹以别正负之数厯家不知其意遂以为实有九道甚可嗤也

按此又宋算用筹之明证

方田通法序

学必有原不得其原不可以为学九数之学具列周官而孔子言游艺在志道据徳依仁后唐十经博士期业成以五年可形下视哉客嵗之冬从竹冠先生饮令弟乐翁所得观先生捷田歌括离竒出没杯酒间未深领其趣属他故覊治城且匝月既无携书可破岑寂乃稍忆所疑演而通之因浩然叹数学之有源虽至近若方田而易简中精深尔尔也算具不具仗三寸不聿为之今年春里中有事履亩或见问桐陵法遂出斯编相质命曰方田通法云

阏逢执徐日躔在奎勿庵梅文鼎识

方田通法

太极生生之数

数始于天一终于地十十亦一也天地之地始终乎一故曰太一太一者太极也自极而仪而象而卦皆加一倍三加而止万事托始焉是故制器者尚其象玑衡八尺周于八方寻常则之以度百物葢取诸此

两地之数

一生二二者两地也两一则二两二则四两四则八两八则十有六四象相交成十六事卦有内外也庾以命斗秉以命斛斤两则之以权百物葢取诸此

参天之数

一生二二生三三者参天也参一而三参二而六参四而十有二参八而二十有四作厯者以纪中节八节二十四气八卦二十四爻也是故玉衡之尺八而玑围二十有四斤之两十有六而铢二十有四二十有四者权度之所生数之纲也从而十之以为地纪而畆法生焉

畆法

二百四十步　古法步百为畆畆百为夫今二百四十步为畆相起于唐太宗

步法

五　合参两则五犹合四行为土土之生数也倍五则十土之成数也乗者从生故平方五尺为步而用以乗除者从成故积步二百四十为畆而用以除

方田原法

以所丈田横步与其纵步相乗得数为实以一畆二百四十步为法除之满法为畆不满退除为分厘　田之为字衡缩相交矩其外格其内象平方也田不能皆方或圆或直或梯或斜或如牛角或为矢弧不皆方故为之法以方之大约不离横纵者近是九章之术首列方田君子絜矩之道欤

截归法

或八归三归各一次或四归六归各一次或五因一十二归　邵子曰三八二十四也四六亦二十四也倍十二亦二十四也丈量家用截法可以观已

减法

或折半减二或减六减五各一次　即定身除也

飞归法

进一除二四　进二除四八　进三除七二　进四除九六　五除一二　一四四作六　一六八作七　一九二作八　二一六作九　见一加三隔位四　见二加六隔位八　不尽者留法喝之

又

三六作一五　六作二五　八四作三五　一○八作四五　一三二作五五　一五六作六五　一八作七五　二○四作八五　二二八作九五

留法

一留退四一六六　二留退八三三三　三留一二五四留一六六六六　五留二○八三三　六留二五七留二九一六六　八留三三三三三　九留三七

五　其法是除用之似乗以其为除后得数也故谓之留　若用以喝稍者言退者本位不则进一位或稍子位多者喝完总移进之更妙

凡加留减者如加减法只记原实于各挨身加减之若原用因法者则又下一位挨加减之皆记原实以留法喝之言退者各又退一位

以上截留飞减四法皆于乗土之后用以求畆惟留法则有不尽故长于喝稍

后有用两求斤留法附录之　一退六二五　二一二五　三一八七五　四二五　五三一二五　六三七五　七四三七五　八五　九五六二五　十六二五十一六八七五　十二七五　十三八一二五　十

四八七五　十五九三七五

新増径求畆步法

其法不用乘土以所得横纵之歩先得者为实后得者为法径求之可以抵掌而办原法二十有二竹冠道士衍为百二十有三勿庵氏引而伸之且三百八十有四也倚数之妙乃至斯乎而岂有外于参两乎又岂有加于所谓一者乎法列如后

减二　即十二除凡法之可以两者皆减二是为畆法之半或折半六归之

八除　或二十五于下位加之凡法之可以参者皆八除是为畆法三分之一

四十八除　即折半飞归也凡法之可以五者皆四十八除是两其畆法也

四除　或二十五乗之凡法之可以六者皆四除是为畆法六分之一

六除　凡法之可以四者皆六除是为畆法四分之一三除　凡法之可以八者皆三除是为畆法八分之一下加　凡法之上位得一者皆下加

上加　凡法之下位得一者皆上加凡加毕再用留法或飞归之

折半　凡法之十二者皆折半为畆法六分之五减六　凡法之可以十五者皆减六即两求斤留法也为畆法三分之二又为六分之四

减五　凡法之可以十六者皆减五即十五除也为畆法八分之五

加留减留　凡法之可借上者皆加留可借下者则减留所以通其穷也

随数喝畆　凡二十四则随数喝之

倍法　凡四十八五除之即二因也

减八　即畆法八分之六也凡法之可以八分用六者十八除之又为四分之三

九除　即畆法八分之三凡法之可以八分用三者九除之

二十一除　即畆法八分之七凡法之可以八分用七者二十一除

因法代除　如四十八则二因之如七十二则三因九十六则四因又如十二五因一四四六因一六八七因一九二八因二一六九因又如六用二五因八四用三五因一○八用四五因一三二用五五因一五六用六五因一八用七五因二○四用八五因二二八用九五因

加法代除　如三加二五即一二五乗所以代八除也三六加五即十五乗也又如四二径加七五五四二次加五皆不用除

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>

原法歌诀【出桐陵】

量田捷法少人知　不乗一数便留之　二弓折半六而一　三步之中用八归　四步由来六归是　五步还宜六八归　六数四归无走作　八上三归无改移十二将来折一半　十六三而加倍齐　二十四中

随数喝　廿五中分六八归　三十二上尤甚准　四因还要用三归　四十八上加一倍　八卦宫中谁得知　三归八因尤甚准　胜如神见不差池　七二倍之加遍五　九十六上四因之　十五之中逢二八七五之中四八归　三七半时当八八　九弓加五四归竒　十八折之加五定　三六之中加五施　此是明师真口诀　千金不度世人知

附归除捷法

多上空加一【多上者实多于法也空者实首隔一位也凡实多于法则于实前隔一位上一子若法实两数等亦同】

依前除莫疑【依前者即以前法数除之也】

少前数上五【少前者实少于法也即于实之前位上五子　不隔位】

折半数除之【折半除者用法数之半而除之也　用五乗代折半甚捷】

无除随上一【无除者上五之后不及除半数也既不及除随于实前位上一子】

化下照前除【化下者退下一位也照前除者即依法数降一位而除之也】

区田图刋误

按区田古法并以方一尺五寸为区通计毎亩可二千七百区空一行种于所种行内隔一区种一区除隔空外可种六百七十五区【此亦约畧之説后又云毎区一斗每亩可收六十六石而诗亦云限将一亩作田规计区六百六十二并大同小异】是四分而种其一也今农书之图黑白相间是二分种一与説相背且如所图既不便于营治亦不便于浇灌反不如姜田之用濶沟通人行之为便矣谨依古説改作之如左

又按四分种一亦是约畧之数若细求之则四邉近田堘处可只空半区要以随方就圆使其易行亦不在拘拘于尺寸之间也孟子曰此其大略也若夫润泽之则在君与子吾于区田亦云

如甲乙为田内毎画方一尺五寸为区【如甲子】直行毎隔一行种一行【如甲戊丙巳】因得横行亦然【如庚甲辛癸】其播种之区四面合之各成小平方如丙辛方中间子丑为种地卯寅方中间午未方为种地皆居小平方之中央又蝉聫而下通计毎田一畆为种区者约四之一图中白者是空地黒者是种区

区田説

向读嵇叔夜养生论谓区种之法亩可得粟数十钟已读王氏农书详着其法而农政全书载汜胜之书及务本书谓汤有七年之旱伊尹作为区田教民粪种负水浇田诸山陵倾坂及田邱城上皆可为之王祯田古人每区收谷一斗每亩可收六十六石今人学种可减半计贾思协曰兖州刺史刘仁之昔在洛阳于宅田七十步之地域为区田收粟三十六石然则一亩之收过百石矣古説彰彰如是而或者疑之【徐扈先生以为古今斗斛之异】余以为不必疑也葢徴之于姜芋矣吾乡土瘠每亩收稻麦不过数石而芋则每亩二十余石多者三十余石姜之下者二十余石其上者至四十余石然而种姜一亩有稻田六亩以上之工岂非粪多力勤之効乎攷姜田营治之法其畊甚深在一尺以上通水沟虽止数寸而畦土斜杀而上种姜棱背相距空间与棱背畧相等是亦空一行种一行也即区种之遗法也姜田惟空直行而区田复空横行是其功又倍于姜田也多收之数又何疑焉【又攷遂宁王灼晦叔糖霜谱蔗田亦云区种而其深畊摩劳开渠濶尺深尺五及今年为蔗田明年改种五谷以休地诸法并同姜田】　又按区田毎区方一尺五寸【贾氏説又有方深各六寸及方九寸深六寸诸法】葢欲于城上斜坡立区故为此制若平田亦可变通

畸零法解【乗法】

假如其处地畆被水所淹今涸出五分之四于中又有髙地居七分之四问若干

答曰髙地为三十五之十六

法用母乗母子乗子　两母【五七】相乗

三十五为母　两子【四四】相乗十六为

子　乗得三十五之十六

解曰分总地为五分而涸出居其四四又将此涸出之四分分为七分而髙地居其四若以总地分三十五分则髙地居其十六矣

本法置实子五之四以法子七之四乗之得十六为实法母七为法除之得五之二又小分七之二为髙地然七除不尽当用通分法以小分母七通原分母五为三十五得数二通为十四加入之二共十六是三十五之十六也

今不用七除其子而以七乗其母得数亦同【母既七倍而子不动是七之一也故乗母即同除子】

以数明之　设原数三千五百畆内涸出五之四是二千八百畆也以此二千八百畆分为七分而髙地居其四是一千六百畆也则髙地于原数为三十五之十六矣

又假如有米一宗内分七之四于预备仓收贮又于预备仓内取五之四先给赈荒问若干

答曰三十五之一十六　法见前

解曰分总米为七分而预备仓得其四又分预备仓米为五分而先给赈济者得其四若以总米分为三十五分则先给赈济者得其十六

本法置实七之四以法子之四乗之得一十六为实法母五为法除之得三又五之一如法用通分以小分五通大分七为三十五又通得数三为十五加子一为十六即三十五之十六也

今不用五除子而用五乗母即得三十五之十六省通分矣【母乗得五倍则子为五之一】

以数明之　设原米四千二百石分为七分而取其四为预备仓是二千四百石也预备仓米又分五分而取其四以给赈是一千九百二十石也若分原米为三十五分每分一百二十石则给赈米得十六分【四千二百是三十五个一百二十石一千九百二十是十六个一百二十石故也】

又法

法用倒位互除以代乘法　以法子四除实母七得一七五为母　以法母五

除实子四得○八○为子　乗得一七五之八○各进位而倍之即三十五之十十六

本法四乗五除今不以四乗其子而反以四除其母即得数同也【母既改为四之一而子不动即子为四倍故除母可代乘子也然除法多有不尽不如母乘母子乘子为便】

还原

畸零除法

假如营兵奉裁五之一留五之四其所支月饷为某仓米七之四问未裁时月饷几何

答曰该支仓米七之五

法用倒位互乗以当除法　以法子之四乗实母七得二十八为母　以法母五乗实子之四得二十为子　除得二十八之二十　约为七之五

解曰兵奉裁留五之四其原额未裁则五之五也故其原支仓米亦必七之五乃四而増一之比例

本法置实七之四　以法母五乗之得七之二十为实

以法子之四为法除之得七之五

今不用四除其子而以四乗其母得数亦同【母既四倍于原母而原子不动如四之一故乗母可代除子】

又法

法以法母五除实母七得一四为母又以法子之四除实子之四得一○为子　除得一四之一○　约之亦得七之五

此不用五乗其子而以五除其母得数亦同【母既五除则为原母五之一而原子不动如五倍矣故除母可当乗子】

论曰以上三法所得并同然倒位乗尤妙葢以乗代除则无畸零不尽之数故也

以数明之　设营兵三千其五之四则二千四百也仓米二千五百二十石其七之四则一千四百四十石也七之五则一千八百石也兵二千四百而给米一千四百四十石则兵三千当给一千八百石

还原

用倒位互除　以代乗法　法子四除实母二十八得七为母　法母五除实子二十得四为子　乗得七之四复合原数

问仓米七之四可给营兵五之四若仓米全发给兵几何

答曰给兵五之七

如法倒位　以法子之四乗实母五得二十为母　以法母七乘实子之四得

二十八为子　除得二十○之二十八　约为五之七　子大于母收为一又五之二是可给原额兵而仍多五分之二也

解曰原给仓米七之四而今全给七分是四分而増其三也故兵亦四分増三【于五之四増五之三即为五之七】

本法置实之四以法母七乘之得五之二十八为实法子四为法除之得五之七【今以四乗母代四除子与前条同】

以前数明之仓米二千五百二十石分为七分则每分三百六十石营兵三千分为五分则每分六百以仓米四分给兵四分是每米三百六十石给兵六百名也今仓米全给为三百六十石者七则兵为六百者亦七是四千二百名也除三千名满原额净多一千二百名之饷为五分之二【以七除五不尽故不用又法】

厯算全书巻二十九

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

筹算自序

唐有九执厯不用布算唯以笔记史谓其繁重其法不传今西儒笔算或其遗意欤笔算之法详见同文算指中厯书出乃有筹算其法与旧传铺地锦相似而加便防又昔但以乘者今兼以除且益之开方诸率可谓尽变矣但本法横书彷佛于珠算之位至于除法则实横而商数纵颇难定位愚谓既用笔书宜一行直下为便辄以鄙意改用横筹直写而于定位之法尤加详焉俾用者无复纎疑即不敢谓兼中西两家之长而于筹算庶几无憾矣

康熙戊午九月已亥朔日躔在角宛陵梅文鼎勿庵撰筹算有数便奚囊逺涉便于佩带一也所用乘除存诸片楮久可覆核二也斗室匡坐笔徐观诸数厯然人不能测三也布算未终无妨泛应前功可续四也乘除一理不湏歌括五也尤便学习朝得暮能六也原法横书故用直筹筹直则积数横彼中文字实用横书也今直书故用横筹筹横则积数直其理一也亦有数便自上而下乃中土笔墨之宜便写一也两半圆合一位便查数二也商数与实平行便定位三也

钦定四库全书

厯算全书巻三十

宣城梅文鼎撰

筹算一

作筹之度

凡筹以牙为之或纸或竹片皆可长短任意以方正为度

凡筹背面皆平分九行每行以曲线界之为两半圆状凡筹背面皆相对第一筹之隂即为第九便检寻也二与八三与七四与六五与空位皆仿此共五类类各五筹当珠盘二十五位或更加之亦可　外有开方大筹为平方立方之用详见别巻

筹式列左

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

作筹之理

凡筹每行以曲线界之成两位其下为本位上为进位假如本位一两则进位为十两

凡列两筹则行内成三位下之进位与上之本位两半圆合成一位故也　列三筹则成四位　列四筹则成五位　五筹以上皆仿此

凡筹有明数有暗数明数者筹面所有之数是也暗数者行数也假如第一行即为一数第二行即为二数

凡筹与行数相因而成积数假如第二筹之第四行即为八数第九筹之第八行即为七二数

筹算之资

凡用筹算当先知并减二法今各具一则

并法

并者合也合众散数为一总数也又谓之垜积　其法先列散数自上而下对位列之千对千百对百十对十单对单以类相附

列讫并为一总数　其法从最下小数起自下而上如画卦之法　数满十者进位作暗马而本位书其零

恐混原数故以此

别之便覆核也

假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二万六千九百石合之共几何

如图散数三宗依法并之为

一总数得三万五千四百四

十八石

减积法

减者去也于总数内减去几何则知其仍余几何也减与并正相反减而剰者谓之减余

其法以应减去之数列左以原有之总数列右而对减之

千对减千百对减百十对减十单对减单

减而尽者抹去之　减而不尽者改而书之

本位无数可减合上位减之假如欲减八十而原数只有七十但其上位有一百则合而减之于一百七十内减八十仍余九十

假如有银三十二万五千三百一十两支放过二十九万五千三百○五两仍余几何

依法减之仍余三万○○○

五两

十万千百十两

如图先于三十万内减二十万余一十万改三为一次减九万而万位无九合上位共一十二万减之

余三万抹去一二改书三

次减五千　次减三百　皆减尽皆抹去之书作○次减五两而两位无五于一十两内减之抹去一

○改书○五　减讫余二○○○三

凡算有乘有除乘者用并法除者用减法

筹算之用

凡算先别乘除乘除皆有法实实者现有之物也法者今所用以乘之除之之规则也

凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹如法有十系两位则用两筹法有百系三位则用三筹

凡法实不可误用唯乘法或可通融若除法必须细认俱详后

乘法

勿庵氏曰凡理之可言者皆其有数者也数始于一相縁以至于无穷故曰一与一为二二与一为三自此以徃巧厯不能尽乘之义也故首乗法

解曰乗者増加之义其数渐陞如乗髙而进也亦曰因言相因而多也珠算有因法有乗法在筹算总一乘法殊为简易

法曰凡两数相乘任以一为实一为法

假如以人数给粮或以人为实粮为法或以粮为实人为法皆可

凡算先列实【列书之于纸或粉板亦可依千百十零之位列之自左而右】

次以法数用筹乘之

法有几位则用几筹

【假如法为六十四则用第六第四两筹法为三百八十四则用第三第八第四共三筹】

凡乘皆从实末位最小数起

视原实某数即于筹其行取数列之

【假如实是二则取第二行数】

凡列乘数皆自下而上如画卦

凡实有几位挨次乗之但次乗之数必髙于前所列之数一位

【假如先乘者是单次乗者必是十故进位列之】

乗讫乃以并法并之合问

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

又法

凡法尾空位者省不乗但于并数之后补作圏于其下以存其位尤为简捷

如上图乘讫并得三○

○○因法尾有空又补

作一圏是为三○○○

○则知所得三万

定位法见前

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

又若田为一亩二分则所得为三合何也亩下有分故得数之三○○其尾○又是勺下之分也此定位之精理须细审之

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

一四二四四四五七五共九位因实尾空位【无零年故也】用省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命为分得一十四万二千四百四十四日五十七刻五十○分合问

除法

勿庵氏曰天地之道盈虚消息而已无有盈而不虚无有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相反而不能相无其数每相当不失毫厘如相报也邵子曰算法虽多乘除尽之矣故除法次之

解曰除者分物之法也原作几何今作几分分之则成各得之数而除去原数也有归除有商除珠算任用筹算则独用商除为便以意商量用之故曰商除

法曰凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法与实须审定倘一倒置则毫厘千里矣【假如有粮若干分给若干人则当以粮为实以人之数为法除之盖粮数是所分之物人数是用以分之之法也若倒用以粮分人则所误多矣】　凡法有几位则用几筹　乃列实【自上而下直书之】　视筹之第几行中积数有与原实相同者或略少于实者用其数以减原实而得初商　有不尽者如法再商或三商以上皆如之实尽而止　余实不满法以法命之