历算全书

数有与原实相同者或略少于实者用其数以减原实而得初商　有不尽者如法再商或三商以上皆如之实尽而止　余实不满法以法命之

凡商数皆以筹之行数为其数【假如所减是等第一行即商一数第二行即商二数】

书商数法曰凡书商数皆与减数第一位相对　若所减第一位是○则补作○于原实首位上而对之【此定位之根】

定位法曰除毕以商得数与原实对位求之皆于法首位之上一位命为单数【程大位曰归于法前得零古法实如法而一是也】此有二法　有法少实多者从原实内寻法首位认定逆转上一位命为单数【如米则为单石钱则为单文之类】既得单数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正法

有法反多实反少者乃变法也法从原实首位逆溯而上至法首位止又上一位命为单数【此是虚位借之以求实数】既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数

初商除尽式　　　　法此欲分为七十二分也故以七二为

假如太阳每　　　　　法用两筹

嵗行天三百　　　　实三六○　　如图先列三百六十度

六十度分为　　　　　百十　　　为实次简两筹行内有

七十二每　　　　　　　　　　三六○与实相同用减

几何度　　　　　　　　　　　原实恰尽　次查所简

【答曰】每五度　　　　　　　　　　系筹之第五行商作五又查所减第一位是三将商数五对三字书之

定位法曰此法少于实也宜于原实内寻十度位即法首位也法首再上一位为单度定所得为五度假令实是三千六百则所得为五十度如后图

定位法曰此亦法少于实也法亦于

原实内寻法首十位再上一位为单

位单位空补作圏再上一位是十度

定所得为五十度用筹同而得数逈

异定位之法所以当明也

再商式　　　　　　法此欲分为一十二分也故以一二

假如皇极经世　　　　为法用两筹

一元共一十二　　　实　　　　　　如图列实【一元总数】简万九千六百年　　　○一二九六○○筹第一行是○一

分为一十二会　　　　十万千百十年二商作一数【第一行故】

各几何　　　　　　　　　　　　　【商一】减实一十二万

答曰每防一万　　　　　　　　　　余九千六百不尽

○八百年　　　　　　　　　　　　再用筹如法除之又因所减数是○一二故于原实首补作圏而以商得一对此○位书之【即所减筹上第一位也】此定位之根不可错须细审之

简两筹第八行是○九六与余实

相合再商八【第八行故也】减余实九千

六百恰尽

此所减数亦是○九六故以商得

八进位书之以暗对其○

如此审定商数位置已知不错而初商次商隔一位不相接是得数有空位也乃于其间补作圏为一○八

假如隔两位则作两圏三位以上仿此求之若非于商数审其位置鲜不误矣此算中一大闗键也非此则不能定位

定位诀曰此亦法少于实也从原实内寻法首十位再上一位是单年单位空补作圏又上一位是十十亦

【亦补作圈又上一位是百知所】

【得为八百年　　　　　　也知百知千万矣定为一万○八百年假　　　　　　　如黄钟之法此欲分得二】【千一百八十实一十七万七乃为一分故以二一八七千】

【一百四十七为法用四筹】

【七其分法二千一百八十】

【七问若干分答曰八十一】

空

二千一百八十七再商之

简筹第一行是○二一八七正合

余实再商一除实恰尽

次商一进位书暗对所减○位

定位诀从原实寻法首位千逆转

上一位得单分则余位皆定

按筹算原书于定位颇略又其为法原实横而商数纵各居其方不相依附定位颇难故虽厯书间有讹位今特详之而两两直书于定位尤易亦足见余之非好为异也

四商法

假如有小珠三十　　　　四此欲分为九分有【为主】竒也万三千一百五十四故粒【则六分五厘是其竒零九分之分去声】换得大珠重九钱以为法用筹三根【九六五】六分五厘每大

珠一如后图列实　　　　先简筹第钱换小珠【三】

几何粒行略少　　　　　于【二八九五】实商减答曰【三】每

钱换三万五实余　　　　实【二十八万九千】千五【五百五万三千】

百六十粒以　　　　　　【六百五】续商以钱

次简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余

实商【五】减余实【四万八千二百五十】仍余【五千

四百○四】以待第三商

原实　　　　　　　又简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余

实又商【五】减余实【四千八百二十五】仍余

商数　　　　　　　　【五百七十九】知尚有第四商也

又简筹第【六】行是【五七九○】与余实恰合

四次商数俱对首位　　商作【六】除余实【五百七十九】恰尽定位诀从原实中寻法首【单】位逆转上一位得【单】粒定所得为【三万五千五百六十○粒】命为大珠每钱所换小珠之数五园问曰法是钱数实是粒数不类也何定位亦如是准乎勿庵曰此定位之法所以的确不易也且钱与粒不类子疑之固矣抑知单与单之为一类乎葢所问是每钱若干故钱数为单位若问每分若干则法首钱数为十位得为【三千五百五十六】矣故定位须详问意乃要诀也

法有○筹式　　　　　法此欲分作【九百○七分】也故以【九○七】

假如布二万　　　　　　为法用三筹

一千七百六　　　　　　　　　　　如图简筹第【二】行

十八丈给与　　　　　　　　　　　【一八一四】商作【二】减实

九百○七人　　　　　　　　　　　【一万八千一百四十】余【三千六百】

各几何　　　　　　　　　　　　　【二十八丈】次简第【四】行

答曰【每人二　　　　　　　　　　　三六十四丈　　　　　　　　　　　二八】商【四】除实尽以上例皆法少于实故法首在原实中乃本法也

以上两例皆法多于实者其法首位或在原实中必原实首位也或不在原实中则在其原实上几位也要之皆不能满法其所得必为分秒乃通变之法也

论曰除者分也吾欲作几分分之则为法所分之物为实所分之物能如所欲分之数则为满法满法则成一整数假如【三十六】人分布而布有【三十六】丈则各人分得一丈古云实如法而一正谓此也程大位算法统宗曰归扵法前得零其意亦同此立法之本意也乃有所分之物原少于所欲分之数是不满法也既不满法则不能成一整数而所分者皆分秒之数假如【三十六】人分布【二十七】丈则每人不能分一丈只各得【七尺五寸】是于【一丈】内得其【七分五秒】也然必先知整数然后可以知分秒故必于原实上虚拟一满法之位若曰能如此则分得整数矣而今不能则所分得者皆分秒也于是视所拟整数虚位距商数若干位而命之若相差一位则得为十之一【如两有钱尺有寸】隔位则为百之一【如两有分丈有寸】此乃通变之法要其为法上得零则一而已矣

又论曰此原实即不满法也若余实不满法除之终不能尽则以命分之法御之详后

命分法

法曰凡除法商数至单已极而有余实不尽者不能成一整数也则以法命之此有二法

一法即以除法为命分不尽之数为得分则云几十几分之几

解曰命分者以一整数拟作若干分而命之如满此数则成一整数而今数少故命之也得分者今所仅有之数在命分数内得若干也【命分者古谓之分母得分者古谓之分子】

假如古厯以九百四十分为日法每年三百六十五日又九百四十分日之二百三十五约为四之一【约法见后】

一法除之至尽古厯家所谓退除为分秒是也单下有一位命为十分之几有两位命为百分之几十几三位则命分千四位则命分万皆以除得数为得分

假如授时厯法每嵗三百六十五日二千四百二十五分是以万分为日即命分也

式如后

假如五尺为歩每方一歩积二十五尺今有积二百四十尺得若干步

答曰九步又五分步之三

如图列实简筹第九行是二二

五商作九【第九行故】减实二百二十

五尺余一十五不尽以法命之

命为九步又二十五分歩之一

十五约为五之三【约分法见后】

若用第二命分法再列余实加

○位商之以得其分秒如后

余实下加一圈则一十五尺通

为一百五十分可再商矣

简等第六行是一五○商六分

除余实恰尽

命分九歩六分【即十分歩之六

命分第二法与法多于实除法同故皆曰除分秒也】

若余实为一十六尺则又不尽一尺法当于不尽一○之下再加一圈为一○○使此一尺化为一百分而再除之得四厘共九歩六分四厘【即百分歩之六十四】

约分法

约分者约其繁以从简也

法曰母数子数平列相减而得其纽数即以纽数为法转除两原数而得其可约之分

凡约分相减不拘左右但以少减多如左少右多则以左减右左多右少则以右减左若减之后或多者变而少则转减之必减至左右相同无可减而止即纽数也【若一减之即得纽数则不必转减】

解曰纽数者互相减之余数相等者也以此除两数则皆可分乃两数之枢纽

若相减至尽而无纽数者则不可约

假如母数二十五子数一十五约之若干

畣曰五之三

一○　先以【十五】　　复以【一十】　○五

二五　减【二十五】一○转减【十五】　一○

一五　余【一十○】一五　余【○五】　　○五

复以【○五】转减【一十】余【○五左右皆五即为纽数】以纽数【○五】为法转除母【二十五】得【五】除子数【一十五】得【三】故曰五之三葢母数是五个五子数是三个五也

此转减例

又如母数九百四十子数二百三十五约之若干畣曰四之一

先以【二百三十五】减【九百四十】余【七百○五】又减之余【四百七十○】又减之余【二百三十五】

左右皆【二百三十五】即纽数也

以纽数【二百三十五】转除母数【九百四十】得【四】除子数【二百三十五】得一故曰四之一

母数是四个【二百三十五】

子数是一个【二百三十五】

此不转减例

厯算全书巻三十

钦定四库全书

厯算全书巻三十一

宣城梅文鼎撰

筹算二之三

开平方法

勿庵氏曰自周髀算经特着开平方法其説谓周公受于商髙矩地规天为用甚大然有实无法故少广之在九数别自为章今以筹御之简易直截亦数学之一乐也

解曰平方者长濶相等之形也其中所容古谓之幂积亦曰面幂西法谓之面面有方有圆此所求者方面也其法有方有亷有隅总曰平方也【幂音覔覆物中也】开亦除也以所有散数整齐而布列之为正方形故不曰除而曰开平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根

如后图方者初商也初商不尽则倍初商之根为亷法除之得两亷又以次商为隅法自乘得隅隅者以补两廉之空合一方两亷一隅成一正方形

如图一方两廉一隅除积仍不尽则合初商次商倍之为廉法除之以得次两廉又以三商为隅法自乘得隅合一方四廉两隅成一正方形【商四次以上仿此加之】

解曰上两位者自乘之积也假如方一十则其积一百方二十则其积四百以至方九十则其积八千一百也下一位者方根也假如积一百则其根一十积四百则其根二十乃至积八千一百则其根九十也平方筹式列左

开平方筹只用两位积数何也曰开方难得者初商耳平方积数虽多而初商所用者只两位次商以后皆亷积也亷积可用小筹除之开方大筹専为初商故积止两位

筹下一位单数也而实有百也万也百万也亿也百亿也万亿也百万亿也皆与单同理故独商首位者用下位之积数焉【其积自○一至○九其方根为一二三】

筹上一位十数也而实有千也十万也千万也十亿也千亿也十万亿也干万亿也皆与十同理故合商两位者用上下两位之积数焉【其积自一六至八一其方根自四至九】

用法曰先以实列位列至单位止实有空位作圏以存其位次乃作凡作之法皆从实单位实单位起作一毎隔位则之而视其最上一以为用首位有防者以实首一位独商之【乃补作一圏于原实之上亦成两位之形】

首位无在次位者以实首位合商之

皆视平方大筹积数有与相同或差小于实者用之以减原数而得方数即初商也

定位法曰既得初商则约实以定其位知其所得为何等【或单或十或百之类】以求次商

其法依前隔位所作之总计之视有若干防

假如只一者初商所得必单数也【自方一至方九】则初商已尽无次商矣

有二者初商所得必十数也【自方一十至方九十】初商十数者有次商

有三者初商所得必百数也【自方一百至方九百】初商百数者有次商又有三商

有四者初商千也有商四次焉

有五者初商万也有商五次焉

次商法曰依前术定位则知其宜有次商与否

若已开得单数虽减积不尽不必更求次商也虽未开得单数而初商减尽亦不必更求次商也惟初商未是单数而减积又有不尽是有次商矣次商者　倍初商为亷法用小筹以除之【初商一则用第二筹初商七则用第一第四两筹皆取倍数】视筹积数有小于余实者用之为亷积视亷积在小筹某行命为次商数

既得次商减去亷积即用次商数为隅法以求隅积隅积小平方也即隅法自乘之数也【可借开方筹取之】若隅积大于余实不及减者转改次商及减而止

以数明之　假如积一百其方根十即除实尽此独用方法无亷隅矣若积一百四十四初商十除实百余四十四则倍初商之根得廿为亷法【在初商之两旁故曰亷亷有二故倍之也】次商二以乘亷得四十为亷积又次商二为隅法自乘得四为隅积共四十四除实尽开其根得一十二也

商三次以上法曰次商所得尚非单数而减积又有不尽是有第三次商矣

商第三次者合初商次商数皆倍之为次亷法　如前用筹以除余实求得第三商以减亷积

又即以第三商之数为隅法以求隅积皆如次商

商四次五次以上并同第三商

命分法曰但开至单数而有余实者是不尽也不尽者以法命之法以所开得数倍之又加隅一为命分不尽之数为得分　凡得分必小于命分

亦有开未至单宜有续商而其余实甚少不能除作单一者亦如法命之而于其开得平方数下作圈纪其位如云平方每面几十○又几十几分之几　或平方每面几百○○又几百几十几分之几

若欲知其小分别有开除分秒法见第七巻

列商数法曰凡初商得数而书之有二法　其法依前隔位所作以最上一为主凡得数皆书于此之上一位五以上者又进一位故有二法也

其故何也五以上之亷倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同凡归除开平方须明此理不则皆误矣　大约所商单数必在亷法之上一位乃法上得零之理也平方有实无法亷法者乃其法也

凡次商列位亦有二法　次商用归除除法者皆书于筹之第一位故次商以之

看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商数对而书之对余实首一位是也

若第一位是圈即以次商数进位书之以暗对其圏余实上一位是也

知此则知空位矣次商有一定之位故空位亦一定也如次商与初商隔位则作圈隔两位作两圈是也

商三次以上书法并同

隅积定位法曰凡减隅积皆视其隅数为何等【隅数即次商之数也或单或十或百千等】以求其积

隅数是单其减隅积亦尽于单位

隅数是十其减隅积必尽于百位

隅数是百其减隅积必尽于万位

隅数千其隅积必百万

隅数万其隅积必亿

每隅数进退一位则隅积差两位【隅积小平方也故皆与初商同理】

还原法曰凡开方还原皆以所开得数为法又为实而自相乘之有不尽者以不尽之数加入即得原数

假如有积三百六十平方开之

列位【单位作圈】作防【从单位起】

视首位有以首位三百独商之乃视平方筹积数有小于○三者是○一也○一之方一故商一十【有二故初商是十】

于原实内减去方积一百余二百六十【初商是十知有次商】以上一为主凡得数皆书于此之上一位此常法也四以下用常法

次倍初商【一十】作【二十】用第二筹为亷法

视筹第九行积一八小于二六次商九于初商一十之下去亷积一百八十余八十【所减数在筹上一位不空故以商数九对余实首位书之】

次以次商九为隅法其隅积八十一大于余实不及减应转改次商为八视筹之第八行积数【一六】减亷积一百六十余一百【所减第一位下空故对位书之】

乃以次商八为隅法减隅自乘积【六十四】余【三十六】不尽

隅数单故减隅积亦尽于单位

初商【一十】次商【八】共【一十八】是已开至

单位也而有单位也以法命之　以平方【一十八】倍之又加隅【一】共【三十七】为命分

命为平方一十八又三十七分之三十六

还原法

以平方一十八用筹为法即以平方

一十八为实而自相乘之得三百二

十四加入不尽之数三十六共得三

百六十如原数

命分还原论详别巻

假如有积一十二万九千六百平方开之

列位　作

视首位无在次位以两位一

十二万合商之

乃视平方筹积有小于一二者是

○九其方三也于是商三百【三故初商百】减去方积九万余三万九千六百【初商百故知有次商】

次倍初商【三百】作【六百】用第六筹为亷法

视筹第六行积数【三六】小于【三九】次商六十于初商三百之下减去亷积三万六千余三千六百【所减首位不空故对书之】次以次商【六十】为隅法减隅积三千六百恰尽【隅数十故减隅积必尽于百位】

凡开得平方三百六十○　开方虽未至单减积已尽是方面无单数也后仿此

还原法

以所得平方三百六十○为法为实而自相乘之得一十二万九千六百○○如原数

假如有积一千平方开之

列位　作防

视在次位以首二位一千○百合商之

乃视平方筹小于【一○】者【○九】也【○九】

之方三商作三十【二防故初商十】减方积九百余一百次以初商【三十】倍作【六十】用第六筹为亷法

视第六筹第一行是【○六】小于【一百】次商一千初商三十之下减亷积六十余四十【所减是○六首位空也故书于进位以对其○今虽对于余实以所减六十言之犹进位也列位之理明矣】

次以次商一为隅法减隅积一余三十九不尽【隅积尽单位】

所开已至单位而有不尽以法命之倍所商三十一又加隅一共六十三为命分

命为平方三十一又六十三分之三十九

此以上皆初商四以下列位之例　皆以最上之一为主而书其初商所得数于防之上一位乃常法也

假如有积四千○九十六平方开之

列位　作

视在次位以四千○百合商之

乃视平方筹积数有三六小于四○

其方六也商作六十【二防故初商十】减方积

三千六百余四百九十六【初商十故知有次商】

以最上一为主而书其得数于之上两位乃进法五以上用进法

次倍初商【六十】作【一百二十】为亷法【用第一第二两筹】视筹第四行积数【四八】小于余实次商四于初商六十之下减亷积四百八十余一十六【所减是○四八首位空也故次商四进位书之若初商不进则次商同位矣】

次以次商四为隅法减隅积一十六恰尽【隅数单故隅积尽单位】

凡开得平方六十四

假如有积八千○九十九以平方开之

列位　作

视在次位以八千○百合商之

乃视平方筹有【六四】小于【八○】　其方

八也于是商八十【二防故初商十】除实六千

四百余一千六百九十九【初商是十宜有次商】次以初商八十倍作一百六十为亷

法【用第一第六两筹】

合视两筹第一行积【一六】与余实同宜商【一十】因无隅积改用第九行【一四四】次商九于初商八十之下减亷积一千四百四十余二百五十九【所减第一位不空故对位书之】

次以次商九为隅法减隅积【八十一】仍余一百七十八不尽【隅数单隅积尽单位】

已开至单位而有不尽以法命之　应倍所商八十九又加隅一共一百七十九为命分

命为平方八十九又一百七十九分之一百七十八【因少一数故不能成九十之方】

假如有积二千五百四十八万二千三百○四平方开之列位　作

视在次位以二千五百万合商

之

乃视平方筹积有【二五】与实相

同其方五也商五千【四防故初商千】除方积二千五百万余四十八万二千三百○四【初商千有次商】

【又法既以四防知所得为五千倍之则为一万即亷法也法上一位便是单逆上三倍则五千位矣】

次倍初商【五千】作【一万】为亷法【用第一筹】

视筹第四行积四与余实同次商四十于初商五千之隔位减亷积四十万余八万二千三百○四【所减是○四故进位书之以对其○然与初商五千犹隔一位故知所得为四十此定位之法之妙也】次以次商四十为隅法减隅积一千六百余八万○七百○四【隅数十故减隅积尽于百位　商至十有末商】

次合初商次商倍之得【一万○○八十】为亷【用第一第八并二空位共四筹】