历算全书

【一四】用为纵积

并方积【四十九】纵积【一十四】共六十三除实尽【此亦偶除尽耳设不尽其命分必是十数故前商七之数必进书之以存其位】

定为濶七步　加纵二步得长九步

凡得数在五以上用进法书于防之上两位此其例也

假如有直田六百三十步但云长多濶二步

列位【无单位补作圈】作防

视防在首位独商之以○六百步

为实

以平方带纵二各用筹为法

视平方筹积数有【○四】小于【○六】

其方二商二十步【二防故初商十】自乘得方积【四百步】随视纵筹第二行是【四】得纵积【四十步】并两积共四百四十步以减原实余一百九十步再商之【初商十故有次商也商数二十以纵折半得单一加之共二十一仍不满五数故只用常法书于防之上一位】

次以初商【二十步】倍之【四十步】加纵【二步】共四十二步为亷法【用第四第二两筹】

合视两筹第四行积数【一六八】小于【一九○】次商【四】减亷积一百六十八步余二十二步【所减首位不空次商故书本位】次以次商【四步】为隅法自乘得【一十六步】为隅积用减余实不尽六步以法命之【初商虽不进位所得次商单数已在命分之上一位矣列商数法妙在于此】倍所商【二十四步】为【四十八步】加纵【二步】又加隅【一步】共五十一步为命分

命为濶【二十四步】又【五十一分步之六】加纵【二步】得长【二十六步】又【五十一分歩之六】

凡得数在四以下以半纵加之仍不满五则只用常法书于防之上一位此其例也

假如有直田五亩但云长多濶八十八步

列位【以亩法二百四十通之得一千二百步十步单步空补作两圈】作防

视防在次位合商之以一千二

百步为实纵有两位用两筹与

平方筹并列各为法

先视平方筹有【○九】小于【一二】宜商三十【二防商十】因有纵改商二

十其方积四百步纵积一千七

百六十步【初商十与纵相乘故纵单数皆成十数】兼两积共二千一百六十步大于实不及减所商有误抹去之

改商【一十步】其方积【一百步】其纵积【八百八十步】并两积共除实九百八十步余二百二十步再为实以求次商【初商十故有次商也】

【纵折半四十四步加初商一十步共五十四步故变用进法】

次以初商【一十步】倍之【二十步】加纵【八十八步】共一百○八步为亷法【用第一空位第八三筹】

合视筹第二行积【二一六】小于【二二○】次商【二步】于初商【一十步】之下减亷积一百一十六余四步【所减首位○故进书之初商豫进正为此也】

次以次商【二步】自乘得四步为隅积除实尽

定为濶一十二步加纵【八十八步】得长一百步

假如有直田一十二亩半但云长多濶七十步

列位【以亩法二百四十通之得三千步百十单皆作圈】作防

视防在次位以三千○百步为实

以平方带纵七十各用筹为法

先视平方筹积有二五小于【三○】宜

商【五十】因纵改商【四十步】其方积一

千六百步其纵积二千八百步共四

千四百步大于实不及减抹去之

改商【三十步】其方积【九百步】其纵积【二千一百步】共三千步除实尽

【纵七十折半三十五加初商三十共六十五是五以上也故用进法书商三于防上两位假有余实则当再商或命之以分今虽商尽当存其位　命分者亷法加隅一也倍初商加纵共一百三十是原实百者亷法之位也进一位乃单位初商不进两位何以容单数】

凡开得平方三十步为田濶　加纵七十步共一百步为长

假如有直田七亩但云长多濶六十步

列位【以亩法二百四十通之得一千六百八十步单位空作圈】作防

视防在次位合商之以一千六百步

为实

以平方带纵六十步用筹各为法

先视平方筹有一六与实同宜商四

十【二防初商是十】因带纵改商三十步其方

积【九百步】纵积【一千八百步】共二千

七百步大于实不及减抹去之

改商【二十步】其方积【四百步】纵积【一千二百步】共减一千六百步余八十步再商之

【纵折半三十加初商共五十故进书之】

【假余实满命分一百○一步即当商一步故初商豫进以居次商今次商虽空当存○位故也】

次以初商【二十步】倍之【四十步】加入纵六十步共一百步为亷法　亷法大于余实不及减次商作○其余实以法命之　法以亷法加隅一为命分

命为濶【二十步】又【一百○一分步之八十】加纵为长【八十步】又【一百○一分步之八十】

假如有直田四亩但云长多濶九十步

列位【以亩法通之得九百六十步】作防

视防在首位独商之以○九百为实

以平方带纵九十步各用筹为法

先视平方筹积有【○九】与实同宜

商三十步【二防故初商十】因带纵改商二

十步其方积【四百步】纵积【一千八】

【百步】不及减又改商一十歩其方积【一百步】纵积【九百步】共一千步仍不及减　此有二防宜商十步今改商一十仍不及减是初商十位空也

【纵九十折半四十五加初商十步满五十以上故商一进书防之上两位】

改商单九步其方积【八十一步】纵积【八百一十步】共八百九十一步以减实余六十九步不尽【此宜商十数者变商单步故初商之位作○而以改商之九步书于○位下如次商然也盖必如此书之所商单数乃在命分之上一位也】

商数已得单步而有不尽以法命之以商九步倍之加纵九十步共一百○八步更加隅一步共一百○九步为命分

命为濶九步又【一百○九分步之六十九】　加纵为长九十九步又【一百○九分步之六十九】

以上四则乃纵多进位之法也凡得数虽四以下以半纵加之满五即用进法书于防之上两位此其例也

开带纵立方法【筹算五】

勿庵氏曰泰西家説勾股开方甚详然未有带纵之术同文算指取中算补之其论带纵平方有十一种而于立方带纵终缺然也程汝思统宗所载又皆两纵之相同者惟难题堆垜还原有二例只一可用其一强合而已非立术本意又不附少广而杂见于均输虽有善学何从而辨之兹因筹算稍以鄙意完其缺义取晓畅不厌烦复使得其意者可施之他率不穷云尔

凡立方带纵有三

一只带一纵

如云长多方若干或髙多方若干是也【即同髙】

一带两纵而纵数相同

如云长不及方若干髙不及方若干是也【此方多数为纵】

一带两纵而纵数又不相同

如云长多濶若干濶又多髙若干是也

大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵亷又有纵方故其术不同

带一纵图三

此长多于方　　　　　此髙多于方

也为横纵横　　　　　也为直纵直

纵之形濶与　　　　　纵之形长濶

髙等如其方　　　　　相等如其方

其厚也如其　　　　　其髙也如其

纵所设　　　　　　　纵所设

俱立方一纵形一合为长立方形

如图立方形方纵形合者初商

也平亷三内带纵者二长亷三

内带纵者一小隅一此七者次

商也

平亷所带之纵长与立方等厚

与次商等其髙也则如纵所设

长亷所带之纵两头横直等

皆如次商其髙也如纵所设

用法曰以积列位乃作防从单位起隔两位防之防毕视积首位有防独商之以首位为初商之实首位无防以首位合有防之位商之　防在次位以首两位为初商之实　防在第三位以首三位为初商之实　皆同立方法

先视立方筹积数有小于初商之实者用其方数为初商【定位法合计所作防共有若干一防者商单数二防则商十数每一防进一位皆如立方】用其积数为初商立方积【定位法视初商方数若初商单数其积亦尽于单位若初商十数其积乃尽于千位每初商进一位其积进三位亦可以防计之皆如立方】

次以初商自乘以乘纵数为纵积

合计立方积纵积共数以减原积而定初商【若初商无误者原实中必兼此两积】命初商为方数加纵数为髙数【或长数皆依先所设】不及减者改商之及减而止

次商法曰依前定位知初商是何等【或单十百千等】若初商未是单数而减积又有不尽是有次商也

法以初商自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平亷法　又法以初商三之纵倍之并其数与初商相乘得数为平亷法　或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商为平亷法并同

又以初商三之加纵为长亷法

乃置余实列位以平亷法除之得数为次商【用筹为法除而得之】

【依除法定其位】

于是以次商乘平亷法为三平亷积　又以次商自乘以乘长亷法为三长亷积　就以次商自乘再乘为隅积　合计平亷长亷隅积共若干数以减原实【原实中兼此并积知次商无误矣】乃并初商次商所得数为方数加纵命为髙数【或长数皆如先所设】合问　不及减者改商之及减而止

商三次者以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平亷法

又以商得数三之加纵为长亷法　余并同次商

命分法曰己商至单数而有不尽则以法命之　其法以所商得数加纵倍之加所商得数以乘所商得数【如平亷】又以所商得数三之加纵【如长亷】并两数又加单一【如隅】为命分不尽之数为得分

或商数尚未是单而余实甚少在所用平亷长亷两法并数之下或仅同其数【仅同者无隅积】是无可续商也亦以法命之法即以所用平亷长亷两法并之又加隅一为命分

列商数法曰依立方法以初商之实有防者为主【即原实内最上之一防】凡初商得数必书于防之上一位乃常法也惟初商一数者用常法

有以初商得数书于防之上两位者进法也初商二三四五者用进法

有以初商得数书于防之上三位者超进法也初商六七八九者用超进之法

若纵数多亷法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之葢次商时有三平亷法三长亷法再加隅一为命分法于原实寻命分之位为主命分上一位单数位也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而进书之若与初商恰合者不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之

若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数退改小一等数者皆不用最上一防而以第二防论之此尤要诀【或于初商位作圈而以所商小一等数书于圈之下即可以上一防论也细考其数则同此商数列位立法之妙宜详翫之】

假如浚井计立方积七百五十四万九千八百八十八尺但云深多方八百尺　法以立方带纵为法除之列位　作防

视防在首位独商之以○

○七百万尺为初商之实

以立方筹为法　视立方筹积有○○一小于○○七商一百尺【三防故初商百商一百故用常法书于防之上一位】得立方积一百万尺【三防者方积尽百万之位　初商之方积皆尽于最上之一防】

次以初商一百尺自乘一万尺乘纵八百尺得八百万尺为纵积　并两积九百万积大于原实不及减抹去之不用改商如后图

视立方筹第九行积七二九改商九十尺得立方积七十二万九千尺【百改十故亦改用第二防第二防是十位故方积亦尽于千位】次

以初商九十尺自乘八千一

百尺乘纵八百尺得六百四

十八万尺为纵积　并两积

共七百二十万○九千尺以减原实余三十四万○八百八十八尺再商除之【初商一百今改商九十故上一防不用用第二防论之商九者书于第二防之上三位超进法也】

次用次商又法以纵八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺并初商九十尺共一千八百七十尺用与初商九十尺相乘得一十六万八千三百尺为平亷法　又以初商九十尺三因之得二百七十尺加纵八百尺共得一千○七十尺为长亷法乃列余实以平亷为法除之【用第一第六第八第三共四等】

商九十用超进法书于第二防之上三位今以纵多致亷法进为十万故次商时应更为酌定又超一位书之然后次商单数在亷法上一位矣改如后图【亷法十万上一位单数位也今商九十不合在此位故改之】

合视筹第二行积○三三六六小于余实次商二尺于初商九十之下【所减首位是○法宜进书也初商不改而更超之何以居次商】就以次商二尺乘平亷法得三十三万六千六百尺为平亷积　又以次商二尺自乘四尺用乘长亷法得四千二百八十尺为长亷积　又以次商二尺自乘再乘得八尺为隅积　并三积共三十四万○八百八十八尺除实尽

乃以商数命为井方　加纵为井深

计开

井方九十二尺深八百九十二尺

此超进法改而更超一位也

带两纵纵数相同图二

此髙不及方也方之横与直俱

多于髙是为两纵两纵者纵廉

二纵方一并立方而四

立方形长濶髙皆相等

纵亷形髙与濶相等如其方之

数其厚也如所设纵之数

纵方形两头等皆如纵数其髙也如立方之数两纵亷辅立方两面而纵方补其隅合为一短立方形

不及之数有在立方旁者观后图可互见其意

如图初商有立方有纵廉二纵方一共四形今只图其二余为平廉所掩意防之可也【此横头不及方也即前图之眠体】

次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二小隅一共七

平廉带一纵者濶如初商加纵为长厚如次商其带两纵者髙濶皆等皆如初商加纵之数厚如次啇

长廉带纵者长如初商加纵之数其两头横直皆等皆如次商

无纵长廉长如初商两头横直等如次商

小隅横直髙皆等皆如次商

用法曰先以纵倍之为纵廉【两纵并也】以纵自乘为纵方【两纵相乘】

此因两纵数同故其法如此也若两纵不同径用乘法并法矣

乃如法列位作防求初商之实

以立方筹为法求得初商方数及初商立方积【皆如立方法皆依定位法命之】

次以初商乘纵方得数为纵方积　又以初商自乘数乘纵亷得数为纵亷积

合计纵方纵亷立方之积共若干数以减原实而定初商【皆如一纵法】

命初商为髙数【或深数皆如所设】加纵为方数【不及减改商之若初商未是单数则以余实求次商】

次商法曰以初商加纵倍之以乘初商髙数得数　又以初商加纵自乘得数　并之共为平亷法【又法初商三之加纵以初商加纵乘之得数为平亷法亦同】

次以初商加纵倍之并初商数共为长亷法【又法初商三之纵倍之并为长亷法亦同】

乃置余实列位　以亷法位酌定初商列法而进退之以平亷为法而除余实得数为次商【皆以所减首位是○与否而为之进若退】　又法合平亷长亷两法以求次商

于是以次商乘平亷法为平亷积　又以次商自乘数乘长亷法为长亷积　又以次商自乘再乘为隅积　合计平亷长亷隅积共若干数以减余实而定初商【皆如一纵法】

【又法以次商乘长亷法为长亷法又以次商自乘为隅法并平亷长亷隅法以与次商相乘为次商亷隅共积以减余实亦同】

乃命所商数为髙【或深之类如所设】加纵数命为方合问

不尽者以方倍之乘髙又以方自乘【如平亷】又以方倍之并髙【如长亷】又加单一【如隅】为命分

假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺但云髙不及方一百四十尺　以带两纵立方为法除之【方者长濶等每面各多髙一百四十尺】

先以纵一百四十尺倍之得二百八十尺为纵积又纵自乘之得一万九千六百尺为纵方

列位　加防

视防在首位独商之以○

○五百万尺为初商之实

视立方积有○○一小于

○○五商一百尺【三防故商百尺】得立方积一百万尺【商一数宜用常法书于防之上一位今因纵多致亷法升为十万法上一位为单单上一位为十今初商是百尺故改用进法书之亷法之升见后】

就以初商一百尺乘纵方得一百九十六万尺为纵方积

又以初商一百自乘一万乘纵亷得二百八十万尺为纵亷积

合计立方纵方纵亷积共五百七十六万尺以减原实余一十万○六千一百八十一尺【初商百尺宜有续商】初商一百尺髙也　加纵共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘髙数得四万八千尺又以方自乘之得五万七千六百尺并之得一十万○五千六百尺为平亷法

又以方倍之并髙得五百八十尺为长亷法

乃列余实　以亷法酌定初商改进一位书之

以平亷法用筹除余实

视筹第一行○一○五六

小于余实次商一尺于初

商一百尺之隔位【所减是○一○五六首位○宜进书然犹与初商隔位故知为单一尺】　就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘长亷法亦如故就命为平亷长亷积　又以次商自乘再乘仍得一尺如故　合计三积共一十万○六千一百八十一尺除实尽

乃以所商数命为台髙　加纵为方

计开

台髙一百○一尺　方二百四十一尺

此常法改用进法也

假如有方池积五十万丈但云深不及方五十尺　先以纵【五十】尺倍之一百为纵亷　又纵自乘之得【二千五百】尺为纵方

列位　加防

视防在第三位合商之以五十

万○○尺为初商之实

视立方筹有三四三小于五○

○宜商七十尺【二防商十尺】因纵改商六十尺得立方积二十一万六千尺　次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘纵亷一百尺得三十六万尺已大于实不及减不必求纵方积矣　改商五十尺用筹求得立方积一十二万五千尺

就以初商五十尺乘纵方得纵方积亦一十二万五千尺　又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘纵亷得纵亷积二十五万尺　并三积共五十万尺除实尽　以商数命为池深　加纵为方

计开　池深五十尺　方一百尺

此进法改为超进也【假有次商则其平亷法二万尺矣假有命分则其命分二万○二百五十一矣】　亦有髙与长同而濶不及数者准此求之但以初商命为濶而加纵为髙与长

带两纵纵数不相同图二

此长多于濶而髙又多于

长也是为两纵而又不相

同凡为大纵亷小纵亷各

一纵方一并立方形而四

立方形长濶髙相等

大纵亷横直等如其方而

髙如大纵　小纵亷髙濶

等如其方而厚如小纵

纵方形之两头髙如大纵厚

如小纵其长也则如立方大

纵　小纵以辅立方之两

面而纵方补其阙合为一长

立方形如图初

商有立方有大纵廉小纵廉

纵方各一共四只图其二余

为平廉所掩也次商平廉三

内

带小纵者一带大纵者一带

两纵者一长廉【在初商大纵立方之

背面】三内带小纵

者一带大纵者一小隅一共

七在初商

大纵立方之

带小纵平亷濶如初商长如初商加小纵之数髙如次商

带大纵平亷濶如初商髙如初商加大纵之数厚如次商

带两纵平亷濶如初商加小纵之数髙如初商加大纵之数厚如次商

带小纵长亷长如初商加小纵之数　带大纵长亷髙如初商加大纵之数　无纵长亷长如初商数其两头横直皆如次商之数

小隅横直髙皆如次商之数

用法曰以两纵相并为纵亷　以两纵相乘为纵方列位作防求初商之实　以立方筹求得初商立方积　以初商求得纵方纵亷两积　皆如前法乃以初商命为濶　各加纵命为长为髙

求次商者以初商长濶髙维乘得数而并之为平亷法

又以初商长濶髙并之为长亷法

乃置余实列位【以平亷酌定初商之位】以平亷为法求次商及平亷积长亷积隅积以减余实乃命所商为濶各以纵加之为髙为长【如所设】皆如前法

不尽者以所商长濶髙维乘并之【如平亷】又以长濶髙并之【如长亷】又加单一【如隅】为命分

假如有长立方形积九十尺但云髙多濶三尺长多濶二尺

先以两纵相并五尺为纵亷　以两纵相乘六尺为纵方

列位　作防

视防在第二位合商之以○九十

○尺为初商之实

乃视立方筹有○六四小于○九○宜商四八因有纵改商三尺得二十七尺为立方积【原实只一防故初商是单商三故书于防之上两位用进法也】

次以初商三尺自乘九尺乘纵亷得四十五尺为纵亷积

又以初商三尺乘纵方得一十八尺为纵方积并三积共九十尺除实尽

乃以初商命为濶　各加纵为髙为长

计开

濶三尺　长五尺　髙六尺

假如有立方积一千六百二十尺但云长多濶六尺髙多濶三尺

先以两纵相并九尺为纵亷　以两纵相乘一十八尺为纵方

列位　作防

视防在首位独商之以○○一千

尺为初商之实

乃视立方筹有○○一与实同商一十尺【二防商十】得立方积一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘纵亷得九百尺为纵亷积又以初商一十尺乘纵方得一百八十尺为纵方积　合计之共二千○八十尺大于实不及减【商一十故用常法书于防之上一位】改商九尺得七百二十九尺为立方积【十变为单则上一防不用用第二防故商九书于第二防之上两位用超进法也】

次以初商九尺自乘八十一乘纵亷亦得七百二十九尺为纵亷积

次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积并三积共一千六百二十尺除实尽

乃以商数命为濶　各加纵为长为髙

计开

濶九尺　长一十五尺　髙一十二尺

假如有长立方积六万四千尺但云长多濶五尺髙又多长一尺

先以长多五尺髙多六尺并之得【十十】为纵亷　又以五尺六尺相乘三十为纵方

【解曰长多濶五尺髙又多长一尺是髙多濶六尺也】