历算全书

位共四筹】

【大凡商五数以上则其亷法视所商方数必进一位不论初商次商皆然若四以下则其亷法视方数必同位亦初次商尽然】

合视筹内第八行积数【八○六四】小于余实又次商八于先商五千○四十之下减亷积八万○六百四十余六十四【此所减第一位亦是○故商数八亦进位书之以对其○】

次以末商八为隅法用减隅积六十四恰尽【隅数是单故减隅积亦必尽于单位】

凡开得平方五千○四十八

以上皆商五以上进书例也

常法中有初商得二或四者进法中有初商得七或九者并杂见开方分秒法并开方捷法中

开立方法【筹算三】

勿庵氏曰物可以长短度者泰西家谓之线线之原度一横一缩而自相乘之以得其羃积者平方也西法谓之方面方面与线再相乘而得其容积则立方也西法谓之体

解曰平方长濶相等形如碁局立方长濶髙皆相等形如骰子细分之有方有平亷有长亷有小隅总曰立方

立方亦有实无法以所有散数整齐之成一立方形故亦曰开

立方长濶髙皆等今所求者其一边之数故西法亦曰立方根

如图方者初商也初商不尽

则再商之于是有三平亷三

长亷一小隅共七并初商方

形而八合之成一立方形

如图方形者长濶髙皆如初商之数

方形只一

如图平亷形者长濶相同皆如初商数其厚则如次商数　【平亷形凡三以辅于方形之三面】长亷者长如初商数其两头髙与濶等皆如次商数　【长亷形亦三以补三平亷之隙】

小隅者长濶髙皆等皆如次商数　【其形只一以补三长亷之隙】

商三位图

如后图一方三平亷三长亷

一小隅除实仍不尽则更商

又得次平廉次长廉各三

次小隅一合之共十五形凑

成一大立方形　次平亷之

长濶相等皆如初商并次商

之数厚如三商数其形三以

辅初商并次商合形之外　次长亷之长如初商并次商之数其濶与厚相等皆如三商数其形亦三以补次平亷之隙次小隅之长濶髙皆等皆如三商数其形只一以补次长亷之隙

立方筹式【列后】

解曰上三位者自乘再乘之积也假如根一十则其积一千根二十则其积八千乃至根九十则其积七十二万九千也　次两位者自乘之积即平方也置于立方

筹者以为亷法之用假如初商一百则

其平亷亦方一百其积一万乃至商九

百则其平亷方九百而积八十一万也

又如次商一十则其长亷之两头亦必

方一十而积一百乃至次商九十则其

长亷之两头必方九十而积八千一百

也　下一位者方根也假如立积一千

则其根一十立积八千则其根二十乃

至积七十二万九千则其根九十也

立方筹三位何也自乘再乘之数止于三位也且以为初商之用故只须三位其余实虽多位皆亷积耳

用法曰先以积列位至单位止无单者作圈以存其位次作从单位起每隔两位作一【即满三位去之之法也】讫视最上一以为用

在首位者独商之以首位为初商之实

单数商法也　若千若百万若十亿若万亿若千万亿凡以三位去之余一位者皆与单法同

在次位者合首两位为初商之实

十数商法也　若万若千万若百亿若十万亿若兆凡以三位去之余二位者皆与十同法

在第三位者合首三位为初商之实

百数商法也　若十万若亿若千亿若百万亿若十兆凡以三位去之余三位者皆与百同法

又法视其在首位则于原实之上加两圈在次位者上加一圈皆合三位而商之

次以初商之实与立方筹相比勘视立方筹积数有与实相同或差小于实者用之以减原实而得其立方之数即初商也

定位法曰既得初商则约实以定位知所得立方为何等【或单或十百等】以知有续商与否　皆以前所作防而合计之视有若干之命之

假如只有一则商数是单　初商已得单数无次商

有二防者商数十　初商十数者有商两次焉有三者商数百　初商百数者有三三次焉四商千　五防商万　每多一防则得数进一位而其商数亦多一次皆以商得单数乃尽也

减积法曰凡初商减积皆止于最上之位

次商法曰依前定位若初商末是单而减积未尽是有次商也次商者有平亷法有长亷法有隅法【解曰平亷古曰方法长亷法古曰亷法以后或曰平亷长长亷从质也或省曰方法亷法从古也】

先以所得初商数三之为亷法

又以初商数自乘而三之为三法　以方法用筹除积以得次商【以列位之法定之其法见后】

既得次商用其数以乘方法为三平亷积

又以次商自乘以乘亷法为三长亷积

其次商即为隅法　以隅法自乘再乘得小立方积为隅积

乃并三平亷三长亷一小隅积为次商亷隅共积若此亷隅共积与余积适等或小于余积则减而去之视其仍余若干以为用【或续商或以法命之】

若共积反大于余实不及减转改次商及减而止【若次商单一而无减以法命之】

商三次法曰次商尚未是单而减积未尽是有第三次商也

第三次商者合初商次商得数而三之为亷法又合初商次商得数自乘而三之为方法　如前以方法用筹除余实求得第三商【亦以列位法详其所得】

既得第三商如前求得三平亷三长亷一小隅积以减余实其法并同次商

四次以上皆同法

命分法曰但商得单数而有不尽则以法命之　未商得单数而余实甚少不能商单一者亦以法命之其法以所商立方数自乘而三之【如平亷】又以立方数三之【如长亷】又加单一【如小隅】并三数为命分不尽之数为得分　其命分必大于得分

列商数法曰依前隔位作防以最上一为主而论之有三法凡商得立方一数者于此之上一位书之【或单一或一十或一百或一千并同】此常法也

若商得立方二三四五者于此之上两位书之【单十百千其法并同】乃进法也

若商得立方六七八九者于此之上三位书之【单十百千其法并同】乃超进法也

平方只有进法而立方有三法何也平方以亷法为法而平方只二亷故其亷法之积数只有进一位故止立进法与常法为二也立方以方法为法而立方有三平廉故其方法之积数有进一位进两位故立进法超进法而与常法为三也其预为续商之地使所得单数居于法之上一位则同

假如立方单一其方法单三　若立方单二则方法一十二变为十数进一位矣故单一用常法而单二即用进法也

又如立方单五其方法七十五　若立方单六则方法一百○八又变百数进两位矣故单五只用进法而单六以上必用超进之法也

假如立方一十其方法三百　若立方二十则方法一千二百变千数进一位矣故一十只用常法而二十即用进法也

又如立方五十其方法七千五百　若立方六十则方法一万○八百又变万数进两位矣故五十仍用进法而六十以上必用超进之法也

若宜进而不进宜超进而不超进则初商次商同位矣不宜进而进则初商次商理不相接矣此归除开立方之大法也

其次商列位理本归除以所减积数首一位是空不是空定其进退皆同平方　商三次以上并同

隅积法曰隅法单隅积尽单位　隅法是十隅积尽于千位

隅法百隅积尽百万之位　以上仿求　大约隅法大一位则隅积大三位

还原法曰置开得立方数为实以立方数为法乘之得数再以立方数乘之有不尽者加入不尽之数即得原实

假如有积一千三百三十一立方开之

列位　作【从单位起】

视首位有以○○一千为初商

之实

乃视立方筹有○○一其立方一

于是商一十【有二故商十】减去立方积一千余三百三十一【初商十者有次商也】

以最上为主商一数者书于防之上一位常法也次以初商一十而三之得三十为亷法

又以初商一十自乘而三之得三百为方法【用第三】

视筹第一行积数○三与余

实同次商一于初商一十之

下【减积首位是○故进位书于一十之下以暗对其○】

于是以次商一乘方法仍得三百为平亷积　又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十为长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积　并三

积共三百三十一除余实恰尽

凡开得立方一十一【还法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合原积】

假如有积一十二亿五千九百七十一万二千立方开之列位　作

视首位有以○○一十

亿为初商之实

乃视立方筹有○○一其方亦一于是商一千减立方积一十亿余二亿五千九百七十一万二千次以初商一千而三因之得三千为亷法

又以初商一千自乘得一百万而三之得三百万为方法【用第三筹】

视第三筹之第八行积数二四小于余实次商八十于初商一千之下一位【所减首位不空故次商八书本位而上一位作○因与次商隔位故知其是十】

就以次商八十乘方法三百万得二亿四千万为平亷积

又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十万为长亷积　又次商八十自乘再乘得五十一万二千为隅积　并三积共二亿五千九百七十一万二千除实尽

凡开得立方一千○八十○【初商千次商○八是十而除实已尽是所商单位亦○也此列位之妙】

以上皆商得一数例也　皆以最上一为主而以初商得数书于之上一位乃常法也惟商得一数者可用常法一十一百一千一万并同

假如有积九千二百六十一立方开之

列位　作

视在首位以○○九千命为初商之实

乃视立方筹积有小于○○九者

○○八也其立方二于是商二十

【二故初商十】减立方积八千余一千二

百六十一

以最上一为主而以得数书于防之上两位乃进法也商二至五之法也

次以初商二十用三因之得六十为亷法

又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百为方法【用第一第二两筹】

合两筹第一行积一二与余实相同次商单一于初商二十之下【所减首位空宜进书也若初商不先用进法则无以处次商矣故进法自商二始】

就以次商一乘方法仍得一千二百为三平亷积又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十为三长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积　并三积共一千二百六十一除实尽凡开得立方二十一

假如有立方积三万二千七百六十八立方开之问得若干

列位　作

视在次位以○三万二千为初

商之实乃视立方筹积小于○三

二者是○二七其立方三也于是

商三十【二防故初商十】减商三十【二故初商十】减立方积二万七千余五千七百六十八

次以初商三十用三因得九十为亷法

又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为方法【用第二第七两筹】

合视两筹第二行积○五四小于余实次商单二于初商三十之下【所减首位○宜进书以对其○】

就以次商单二乘方法得五千四百为平亷积　又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十为长廉积又以次商自乘再乘得八为隅积　并三积共五

千七百六十八除实尽凡开得立方三十二

假如有立方积一十一万七千六百四十九立方开得若干

列位　作

视在第三位以一十一万七千为初商之实

乃视立方筹积有小于一一七者

○六四也其立方四于是商四十

【二故初商十】减立方积六万四千余五

万三千六百四十九　次以初商四十用三因之得一百二十为亷法

又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百为方法【用第四第八两筹】

合视两筹第九行积数四三二小于余实次商九于初商四十之下【所减首位不空故本位书之】

就以次商九乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十为长亷积　又以次商九自乘再乘得七百二十九为隅积　合计亷隅三积共五万三千六百四十九除实尽

凡开得立方四十九

假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方开得若干

列位　作

视在第三位以一千六百六十亿为初商之实

乃视立方筹有小于一六

六者是一二五其立方五

也商作五千【四商千】除立方

积一千二百五十亿余四百一十三亿七千五百万次以初商五千用三因之得一万五千为亷法又以初商五千自乘得二千五百万三因之得七千五百万为方法【用第七第五两筹】

合视两筹第五行积三七五小于余实次商五百于初商五千之下【所减首位不空故书本位】

就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平亷积又以次商五百自乘得二十五万用乘亷法得三

十七亿五千万为长亷积　又以次商五百自乘再乘得一亿二千五百万为隅积　并三积共四百一十三亿七千五百万除实尽　凡开得立方五千五百○○

以上乃商得二三四五之例也　皆以最上一为主而以初商所得进书之上两位进法也初商得二三四五者用进法单十百千并同

假如有积二十六万二千一百四十四立方开之列位　作

视在第三位以二十六万二

千为初商之实

乃视立方筹有小于二六二者

二一六也其立方是六商六十【二防商十】减立方积二十一万六千余四万六千一百四十四

以最上一为主而以得数书于之上三位超进法也乃商六至九之法也

次以初商六十用三因之得一百八十为亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一万○八百为方法【用第一空位第八三筹】

合视筹第四行积四三二小于余实次商四于初商六十之下【所减首位是○故进位书之以对其○】

就以次商四乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十为长亷积　又以四自乘再乘得六十四为隅积　并三积共四万六千一百四十四除实尽凡开得立方六十四

假如有积三十七万三千二百四十八立方开之列位　作

视在第三位以三十七万三千为初商之实

乃视立方筹积有小于三七三

者是三四三其立方七也商七

十【二商十】减立方积三十四万三

千余三万○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十为亷法

又以初商七十自乘得四千九百三之得一万四千七百为方法【用第一第四第七三筹】

合视筹第二行积二九四小于余实次商二于初商七十之下【所减首位空故进位书之以对其○】

就以次商二乘方法得二万九千四百为平亷积又以二自之得四用乘亷法得八百四十为长亷积又以二自乘再乘得八为隅积　并三积共三万

○二百四十八除实尽凡开得立方七十二

假如有积五十三万一千四百四十一立方开之列位　作

视在第三位以五十三万一千为初商之实

乃视立方筹积有五一二小于

五三一其方八也商八十【二商十】减立方积五十一万二千余一

万九千四百四十一

次以初商八十用三因之得二百四十为亷法又以八十自乘得六千四百三之得一万九千二百为方法【用第一第九第二三筹】

合视筹第一行是一九二小于实次商一于初商之下　就以次商一乘方法为平亷积　又以一自乘用乘亷法为长亷积　又以一自乘再乘为隅积并三积共一万九千四百四十一除实尽

凡开得立方八十一

假如有积九十七万○二百九十九立方开之

列位　作

视在第三位以九十七万○为初商之实

乃视立方筹有七二九小于九七○其方九也商九

十【二商十】减积七十二万九千余

二十四万一千二百九十九

次以初商九十三之得二百七十为亷法

又以九十自之得八千一百而三之得二万四千三百为方法【用第二第四第三三筹】

合视筹第九行是二一八七小于余实次商九于初商九十之下【所减首位不空故本位书之】

就以次商九乘方法得二十一万八千七百为平亷积　又以九自乘得八十一以乘亷法得二万一千八百七十为长亷积　又以九自乘再乘得七百二十九为隅积　并三积共二十四万一千二百九十九除实尽凡开得立方九十九

此以上皆初商六七八九之例也　皆以最上一为主而以得数书于之上三位乃超进法也初商六七八九用超进之法单十百千并同

命分例

假如有立方八百一十尺问立方每面各若干

列位　作

在第三位以八百一十○尺为

初商之实

视立方筹有小于实者为七二九

其立方九商九尺减积【七百二十九尺】余【八十一尺】

此商数已至单尺而有不尽当以法命之

法以商数九自乘【八十一】而三之得【二百四十三】如平亷又置商数九而三之得【二十七】如长亷　加小隅一共【二百七十一】为命分

命为立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一此商得单数而有不尽以法命之例也

又如有立方积一亿二千五百七十五万尺问立方若干

列位　作

在第三位以一亿二千五百万

尺为初商实

视立方筹有【一二五】恰与实合商【五百尺】减实【一亿二千五百万尺】余【七十五万○○○○尺】

有三故知所商是【五百尺】宜有第二商第三商也乃以初商【五百尺】自乘【二十五万尺】而三之得【七十五万尺】为平亷法又以初商【五百尺】三之得【一千五百尺】为长亷法视余实【七十五万尺】仅足平亷之数而无长亷知第二商第三商皆空也补作两圈而以法命之

法以平亷法长亷法合数加小隅一共【七十五万一千五百○一尺】为命分

命为立方每面五百尺又七十五万一千五百○一分尺之七十五万○○○○

此商数虽未至单而余实甚少不能成一整数亦以法命之例也

厯算全书巻三十一

钦定四库全书

厯算全书巻三十二

宣城梅文鼎撰

筹算四之五

开带纵平方法

勿庵氏曰算有九极于勾股勾股出于圆方故少广旁要相资为用也然开平方以御勾股而纵法以御和较古有益积减积翻积诸术参伍错综尽神通变要之皆带纵一法而已

【平方者长濶相等如碁局也平方带纵者直田也长多于濶之数谓

之纵纵之濶如平方之数其长则如纵之数纵与方相乘得纵积以

加方积成一直田形积也】

平方与方纵两形初商之积也两

亷一隅一亷纵者次商之积也亷

有二故倍之亷之纵只一故不倍

也

如前图除积不尽则有第三商如

此图虽三商亦只倍亷而不倍纵

四商以上仿此详之

用法曰先以积列位如法作防从单位起隔位防之视防在首位独商之防在次位合两位商之皆命为实次以带纵数用筹与平方筹并列之各为法

视平方筹积数有小于实者用其方数为初商用其积数为方积【初商自乘之数也】　即视纵筹与初商同行之积数用之为纵积【初商乘纵之数也如初商一则用纵筹第一行】兼方积纵积两数以减原实而定初商【必原实中兼此两积之数则初商无悮矣故曰定】　若原实不及减改而商之如前求得两积以减之为初商定数　不及减又改商之及减而止若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商之位作○而纪其改商之数于○下若次商者然【初商应是百而改九十应是千而改九百并同】

定位法曰既得初商视所作原实之防共有几何以定其得数之位以知其有次商与否【如一防则得数是单而无次商二防则得数是十而有次商之类皆如平方法取之】

次商法曰依前定位知初商未是单数而减积又有未尽是有次商也　次商之法倍初商加入纵为亷法用筹除之　视亷法筹行内之积数有小于余实者用为亷积以减余实用其行数为次商　就以次商自乘为隅积以减余实以定次商【必余实内有亷隅两积则次商无误】不及减者改商之及减而止皆如平方法

商三次以上并同次商

命分法曰若得数已是单而有不尽则以法命之　法以所商数倍之加入纵为亷又加隅一为命分不尽之数为得分

亦有得数非单而余实少在亷法以下不能商作单一者亦以法命之　法即以亷法加隅一为命分

列商数法曰依平方法视所作防而以最上一防为主若初商五以上【不论单五或五十或五千或五百并同】皆用进法书其其得数于防之上两位则不论纵之多少也

若初商四以下【亦不论单十百千】则以纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上者变从进法书于防之上两位【如初商四而纵有二初商三而纵有四之类】

若纵数少虽加之而仍不满五数者仍用常法书其得数于防之上一位【如初商四而纵只有一初商三而纵只有二只有二之类】总而言之所商单数皆书于亷法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为亷法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加亷法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为亷法也亦满十而进位矣亷法进位故初商必进两位书也若加半纵仍不满五则其亷法无进位矣故初商只进一位而书之葢豫算所商单数已在亷法之上也

又初商若得单数其亷法即为命分凡商得单数必在命分之上一位以此考之庶无谬误

假如有直田积六十三步但云濶不及长二步

列位【依平方法】作防【从单位起】

视防在次位合六十三步商之为实次以平方筹与纵二筹平列之各为法

视平方筹积有【四九】小于【六三】其方七也商作单

七【用进法书于防之上两位　一防知所商是单】

即视带纵筹第七行积数【一四】用为纵积