历算全书

亥己】乗丙己之积也故可命为句实而以景差壬辛【即申未】除之得甲午句也【甲午即戌酉】其取股实何也曰三率法也表在丁其景丁戊　后表在庚则其景庚壬后表之逺于前表者为庚丁故后景之大于前景者为辛壬则其比例为辛壬与庚丁若丁戊【即庚辛】与丁乙也

试引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛于尾于箕各作与庚乙平行线而于乙作垂弧为乙牛联之作长方形又作丁心线截之作箕乙线斜分之则其理着矣

三角形求外切圆法

设如锐角形有甲丙边七十五尺甲乙边六十一尺

乙丙边五十六尺　问外切

圆径若干　畣曰外切圆半

径三十八尺一寸二分五牦

法先求得甲丁中长线六十

尺为一率甲乙边六十一尺

为三率甲丙边折半得戊甲三十七尺五寸为三率二率与三率相乗一率除之得四率【三八一二五】为甲乙圆半径

解曰此甲丁乙三角形与甲己戊三角形同式故其线为相比例率也若甲为钝角其理亦同

以甲丙折半为三率故四率亦为半径若以甲丙全线为三率则四率必得甲辛为全径矣葢甲辛丙形与甲乙丁形同式也何以见甲乙丁形与甲辛丙形同式葢两形之乙角辛角同当甲庚丙弧分则二角必相等而丁丙又同为直角则两甲角亦必等而为同式无疑矣又界角比心角所当之弧大一倍今己心角所当甲庚弧适当乙界角所对甲庚丙之一半则两角为等可知而戊为直角与丁角等则两甲角必等故甲己戊与甲乙丁亦为同式形也

三角举要有量法未着算例因作此补之

又如甲乙丙钝角形　求外切员径【甲辛】　半径【甲己】法先求得中长线【乙丁】得【乙丁丙】句股形

次作【乙辛】线成【甲乙辛】大句股

形

又甲乙半之于戊从员心

【己】作直线过戊至庚又成

【甲戊己】句股形

一率　乙丁股【形内垂线】

三率　甲戊股【即甲乙之半】

四率　甲辛【即外切员径】　　四率　甲己【即切员半径】解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之

问何以知其为相似形也曰原设形之丙角与甲乙辛形之辛角所当者同为甲庚乙员分则两角等而乙丁丙形之丁角与甲乙辛大形之乙角又皆正角则余角亦等而为相似形

又甲己为甲辛之半甲戊为甲乙之半戊正角与大形乙正角等又同用甲角则己戊亦乙辛之半而为相似形

一系凡三角形求得形内垂线为法　垂线左右两原边相乗　为实　法除实得外切员径　锐钝同法假如甲乙丙钝角形求得中垂线乙丁六分为法　左右两斜边【甲乙十八分乙丙十分】相乗【一百八十分】为实　法除实得外切员径甲辛三十分　即可借用前图【分寸畸零稍为整顿】

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷四十九>

歴算全书卷四十九

钦定四库全书

厯算全书卷五十

宣城梅文鼎撰

三角形举要法卷一

测算名义

古用句股有割员弧背矢诸名今用三角其类稍广不可以不知爰摘纲要列于首简

防

防如针芒无长短濶狭可论然算从此起譬如算日月行度只论日月中心一点此防所到即为躔离真度线

线有弧直二种皆有长短而无濶狭自一防引而长之至又一防止则成线矣

如测日月相距度皆自太阳心算至太隂心是为弧线如测日月去人逺近皆自人目中一防算至太阳太隂天是为直线

凡句股三角之法俱论线线两端各一防故线以防为其界

面

面有方员各种之形皆有长短有濶狭而无厚薄故谓之幂幂者所以冒物如量田畴界域只论土面之大小

面之方员各类皆以线限之故面以线为界【面之线亦曰邉】惟员面是一线所成乃弧线也若直线必三线以上始能成形体

体或方或员其形不一皆有长短有濶狭又有厚薄【或浅深髙下之类】员体如球如柱方体如柜如防或如员塔方塔皆以面为界【图后】

以上四者【谓防线面体】略尽测量之事矣然其用皆在线如论防则有距线论面则有邉线论体则有棱线【面与面相得则成棱线】凡所谓长短濶狭厚薄浅深髙下皆以线得之三角法者求线之法也

长短濶狭厚薄等类皆以量而得而量者必于一线正中若稍偏于两旁则其度不真矣故凡测量所求者皆线也三角形

欲明三角之法必详三角之形

两直线不能成形成形者必三线以上而三线相遇则有三角故三角形者形之始也

多线皆可成形析之皆可成三角至三角则无可析矣故三角能尽诸形之理

凡可算者为有法之形不可算者为无法之形三角者有法之形也不论长短斜正皆可以求其数故曰有法若无法之形析之成三角则可量故三角者量法之宗也角

三角法异于句股者以用角也故先论角

两线相遇则成角【平行两直线不能作角何也线既平行则虽引而长之至于无穷终无相遇之理角安从生是故作角者必两线相遇必不平行也】

角有三类一正方角一锐角一钝角

如右图以两线十字纵横相遇皆为正方角【亦曰直角亦曰方角】

如右图以两线斜相遇则一为锐角一为钝角

凡锐角必小于正方角凡钝角必大于正方角

正方角止一锐角钝角则有多种而算法生焉

弧

角在小形与在大形无以异也故无丈尺可言必量之以对角之弧

法以角之端为员心用规作员员周分三百六十度乃视本角所对之弧于全员三百六十度中得几何度分其弧分所对正得九十度者为正方角【九十度者全员四之一谓之象限】若所对弧分不满九十度者为锐角【自八十九度以至一度并锐角也】所对弧分在九十度以上者为钝角【自九十一度至百七十九度并钝角也】

如图丁为角即用为员心以作员形

其庚丁丙角【凡论角度并以中一字为所指之角此言庚丁

丙即丁为角也】所对者庚丙弧在全员为四

之一正得象限九十度是为正方角

若乙丁丙角所对者乙丙弧在象限庚丙弧之内小于象限九十度是为锐角

又乙丁壬角所对乙庚壬弧过于壬庚弧【壬庚亦象限九十度弧故庚丁壬亦方角】大于象限九十度是为钝角

角之度生于割员

割员弧矢

有弧则有矢弧矢者古人割员之法也

如图以乙子直线割平员则成弧

矢形

所割乙丙子员分如弓之曲古谓

之弧背以弧背半之则为半弧背

【如乙丙】

通正

割员直线如弓之谓之通【如乙子】

通半之古谓之半弧今曰正【如乙甲】

矢线

正以十字截半径成矢【如丁丙横半径为乙甲正所截成甲丙矢】谓之正矢

【以上二条俱仍前图】

正弧余弧正角余角

所用之弧度为正弧以正弧减象限

为余弧【如庚丙象限内减乙丙正弧则其余乙庚为余弧】

正弧所对为正角【如正弧乙丙对乙丁丙角则为正角】

以正角减正方角为余角【如以乙丁丙正角去减庚丁丙方角则其余乙丁庚角为余角】

正余正矢余矢

有正弧正角即有正【如乙甲】有正矢

【如甲丙】亦即有余【如乙己】有余矢【如己庚】

正正矢余余矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所有

自一度至八十九度并得为乙丙并得为正弧即正余矢毕具

若用乙庚为正弧则乙丙反为余弧

角之正余亦同

割线切线

每一弧一角各有正余正矢余矢己成四线于平员内【古人用句股割员即此法也盖此四线己成倒顺二句股】

再引半径透于平员之外与切员直线相遇为割线切线而各有正余复成四线【正割正切余割余切复成倒顺二句股】共为八线故曰割员八线也

如图庚乙丙平员切戊丙直线于丙

又引乙丁半径透出员周外使两线相

遇于戊则戊丙为乙丙弧之正切线

亦即为乙丁丙角之正切线而戊丁

为乙丙弧之正割线亦即为乙丁丙角之正割线又以平员切庚辛直线于庚与乙丁透出线相遇于辛则庚辛为乙丙弧之余切线亦即为乙丁丙角之余切线而辛丁为乙丙弧之余割线亦即为乙丁丙角之余割线割员八线

凡用一弧即对一角用一角亦对一弧故可互求凡一弧即有八线【正正矢正割正切余余矢余割余切】角亦然

凡一弧之八线即成倒顺四句股角亦然

如图庚丙象弧共九十度庚丁丙

为九十度十字正方角

任分乙丙为正弧乙丁丙为正角

则乙庚为余弧乙丁庚为余角

正【乙甲　同丁己】　正矢【甲丙】正切【戊丙】　正割【戊丁】余【乙己　同丁甲】　余矢【庚己】余切【辛庚】　余割【辛丁】

以上八线为乙丙弧所用亦即为乙丁丙角所用【自一度至八十九度并同】若用乙庚弧亦同此八线但以余为正以正为余

乙甲丁句股形乙丁【半径】为乙甲【正】为

股丁甲【余】为句　戊丙丁句股形戊丁

【正割】为戊丙【正切】为股丙丁【半径】为句

以上两顺句股形同用乙丁甲角故其

比例等【凡句股形一角等则余角并等】

乙己丁倒句股形乙丁【半径】为己丁【正】为

股乙己【余】为句　辛庚丁倒句股形辛丁

【余割】为丁庚【半径】为股辛庚【余切】为句　以上两

倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等

乙甲丁句股形乙丁【半径】为乙甲【正】为股甲

丁【余】为句　丁己乙倒句股形乙丁【半径】为

己丁【正】为股乙己【余】为句　此倒顺两句股形等邉又等角【倒形之丁角即顺形丁角之余倒形之乙角即顺形乙角之余】竟如一句股也凖此论之则倒顺四句股之比例亦无不等矣

角度

凡三角形并三角之度皆成两象限【共一百八十度】

假如乙甲丁句股形其丁角五十五

度【当乙丙弧】则乙角必三十五度【当乙庚余弧】两角共一象限九十度其甲角正方

原系九十度合三角成一百八十度

乙角何以必三十五度也试引乙丁过心至夘则夘丁丑角与丁乙甲角等【夘丁乙同为一线丁丑线又与乙甲平行则所作之角必等】而夘丁丑固三十度也则乙角亦三十度矣

又假如丙乙丁三角形从乙角作乙

甲直线至丁丙邉分为两句股形【乙甲

丁乙甲丙】凖前论乙甲丁句股形以乙分

角与丁角合之成一象限九十度又

乙甲丙句股形以乙分角与丙角合之成一象限九十度然则以乙全角【即两分角之合】与丁丙两角合之必两象限一百八十度矣【乙为钝角并同】

以此推知三角形有两角即知余角【并两角以减半周一百八十度得之】句股形有一角即知余角【句股原有正方角九十度则余两角共九十度故得一可知其二】相似形

既知角可以论形有两三角形其各角之度相等则为相似形而两形中各邉之比例相等【谓此形中各邉自相较之比例亦如彼形中各邉自相较之比例也】

比例

两数相形则比例生比例者或相等或大若干或小若干乃两数相比之差数也有两数于此又有两数于此数虽不同而其各两数自相差之比例同谓之比例等或两小数相等又有两大数相等是为相等之比例数虽有大小其相等之比例均也或两小数相差三倍又有两大数亦相差三倍是为三倍之比例或两小数相差为一倍有半又有两大数相差亦一倍有半是为一倍有半之比例数虽有大小其为三倍之比例及一倍有半之比例均也

论八线之比例有二

一为八线自相生之比例

乙甲丁小句股形与戊丙丁大句

股形相似【见前条】故以半径乙丁比

正乙甲若割线戊丁与切线戊

丙之比例也【此为以小比小股若大与大股】股

求亦同

又以半径丙丁比正切戊丙若余甲丁与正乙甲之比例也【此为以大句比大股若小句比小股】股求句亦同余仿此以故凡八线中但得一线则余皆可求观图自明一为八线算他形之比例

乙丁甲角所有八线为表中原设之数亢丁房句股形为今所算之数

或先有丁角有亢丁而求房丁句则为以乙丁半径

比甲丁余若亢丁与房丁句

也【以角与句求亦同】以上是用八线以求

他形

或先有亢丁有亢房股而求丁

角则为以亢丁比亢房股若乙

丁半径与丁角之正乙甲也【得乙

甲得丁角矣】或先有亢房股与房丁句

而求丁角则为以亢房股比房丁

句若丁庚半径与庚辛余切也【得庚辛亦得丁角】以上二者是用他形转求八线

总而言之皆以先有两数之比例为后两数之比例其乗除之法皆依三率也

三率

三率算术古谓之异乗同除今以句股解之

丁戊大股【十四尺】丙戊大句【十一尺二寸】截丁乙小股【十尺】问乙甲截句

答曰八尺

术以所截小股乗大句得数

为实以大股为法除之即得截句

若先以原股【十四尺】除原句【十一尺二寸】得八寸为每一尺之句再以截股【十尺】乗之亦得八尺但先除后乗多有不尽之数故改用先乗后除乃古九章中通用之纲要也

先乗后除何以又谓之异乗同除曰今但有截股而不知句故以原有之句乗之股与句异名故曰异乗然后以原有之股除之股与股同名故曰同除然则又何以谓之三率曰本是以原有之股与句比今截之股与句共四件也然见有者只三件【原有之股与句及今截之股】故必以见有之三件相为乗除而得所不知之第四件故曰三率

三率乗除图式

一率　原有股十四尺　　为法

二率　原有句十一尺二寸【相乗】

三率　今截股十尺　　　【为实】

四率　所求截句八尺　　法除实得所求

术曰以原股比原句若截股与截句也

凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率

二率三率常相乗为实一率常为法法除实得四率四率乃所求之数其三率者所以求之也三率与异乗同除非有二理但以横列为异然数既平列即可以四率为法除二三相乗之实而得一率并可以一率四率相乗为实用二率为法除之而得三率或用三率为法除之亦得二率是故一四二三之位可以互居【四可为一二可为三】法实可以迭用【二与三可居一四之位一与四可居二三之位】变动不居惟用所适而各有典常于异乗同除之理尤深切而着明者也

三率互用图

反之　　　　　更之　　　　　又反之

一句八尺　　　一股十尺　　　一句十一尺二寸二股十尺　　　二句八尺　　　二股十四尺三句十一尺二寸三股十四尺　　三句八尺

四股十四尺　　四句十一尺二寸四股十尺

右并以二率三率相乗为实一率为法除之而得四率

八线表

八线为各弧各角之句股所成故八线表者即句股形之立成数也古人用句股开方巳尽测量之理然句股皆邉线耳邉之数无方放之则弥四逺近之则陈几案故所传算术皆以一端示例而已不能备详其数也今变而用角则有弧度三百六十以限之而以象限尽全周有合于举一反三之防又析象限之度各六十分凡为句股形二千七百角度五千四百【九十度之分五千四百而句股形并有两角故其形二千七百而角数倍之】为正为切线为割线共一万六千二百【三项各五千四百正余互用也】而句股之形略备用之殊便也锐角分两句股钝角补成句股然惟有八线表中豫定之句股故但得其角度则诸数厯然可于无句股中寻出句股矣

半径全数

全数即半径也不言半径而言全数者省文也凡八线生于角度而有角有弧则有半径八线之数皆依半径而立也半径常为一【或五位则为一万或六位则为十万】则正常为半径之分【正必小于半径】而不得为全数惟半径可称全数也【割切二线皆依正而生亦皆有畸零不得为全数】

用全数为半径有数善焉一立表时易于求数也一用表时便于乗除也【三率中全数为除法则但降位可省一除若全数为乗法则但升位可省一乗】

厯书中多言全数【或但曰全】以从省便今算例中直云半径以欲明比例之理故质言之

补遗

正为八线之主

割圜之法皆作句股于圜内以先得正故古人祗用正亦无不足今用割切诸线而皆生于正

平圜径二尺【即戊壬】半之一尺【即戊丙庚

丙等】为圜里六孤之一面【即乙戊】半径

【戊丙】为半面【戊丁】为句句求股得

股【丁丙】转减半径【庚丙】得余【庚丁】为小句

半面【戊丁】又为小股句股求得小【戊庚】是为割六弧成十二弧之一面如是累析为二十四弧四十八弧至九十六弧以上定为径一尺周三尺一寸四分有竒论曰九章算经载刘徽割圜术大畧如此其以半径为六弧之一面与八线理合半径恒为一即全数半面为股则正也

平方径十寸其积百寸内作同径之平圜平圜内又作平方正得外方之半其积五十寸平方开之得七寸○

七有竒【即离震等四等面之通】乃自

四隅之旁増为八角曲圜

为第一次【即八等面通】至第二

次则为曲十六【即十六等面通】第三次为曲三十二每次

加倍至十二次则为曲一

万六千三百八十四于是方不复方渐变为圜矣其法逐节以大小句股幂相求至十二次所得小以一万六千三百八十四乗之得三十一寸四分一五毫九丝二忽为径十寸之圜周与祖冲之径一百一十三周三百五十五合

论曰元赵友钦革象新书所撰乾象周髀法大略如此所得周径与西术同其逐节所求皆通所用小股皆正也

又论曰刘徽祖冲之以割六孤起数赵友钦以四角起数今西术作割圜八线以六宗率则兼用之可见理之至者先后一揆法之精者中西合辙西人谓古人但知径一围三未深攷也

又论曰中西割圜之法皆以句股法求通通半之为正割圜诸率皆自此出总之为句股之比例而巳钝角正

钝角不立正而即以外角之正为正

钝角之正在形外即外角之正也故乙丙已钝角与乙丙甲外角同以乙丁为正【以钝角减半周得外角假如钝角一百二

十度其所用者即六十度之正】乙丁线能为乙

丙甲角正又能为乙丙已钝角

正八线表止于象限以此【因钝角与

外角同正故表虽一象限而实有半周之用】

钝角余

钝角既以外角之正为正即以外角之余为余如前图乙庚为外角【乙丙甲】余而即为钝角【乙丙己】余

捷法以正角【戊丙巳】减钝角【乙丙巳】得余角【戊丙乙】即得余

过弧

钝角之弧为过弧

巳戊为象限弧而乙戊巳为乙丙

巳钝角之弧是越象限弧而过之

也故曰过弧

大矢

钝角之矢为大矢

如前图以乙丁辛分全圜即全径亦分为二则丁甲为小半圜【乙甲辛】之径谓之正矢丁巳为大半圜【乙已辛】之径谓之大矢大矢者钝角所用也　钝角与外角同用乙丁正乙庚余所不同者惟矢【乙丙巳角用大矢丁已乙丙甲角用正矢丁甲】

捷法以乙庚【即丁丙】余加已丙半径即得【丁巳】大矢【若以余减半径亦得正矢】

正角以半径全数为正

八线起○度一分至八十九度五十九分并有正而九十度无正非无正也盖即以半径全数为其正故凡算三角

有用半径与正相为比例者皆正

角也【其法与锐角形钝角形用两正为比例同理并详后卷】八十九度竒之正至九九九九九

而极迨满一象限始能成半径全数是故半径全数者正角九十度之正也其数为一○○○○○

厯算全书卷五十

钦定四库全书

厯算全书卷五十一

宣城梅文鼎撰

三角法举要卷二

算例

三角形有三类

一曰句股形

即直角三邉形也有正方角一余并锐角

一曰锐角形

三角并锐

一曰钝角形

三角内有钝角一余并锐角

以上三类总谓之三角形其算之各有术

句股形第一术　有一角一邉求余角余邉

内分二支

一先有之邉为

一先有之邉为句【或先有股亦同】

假如【壬癸丁】句股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】

求余角余邉

一求癸丁邉

术曰以半径全数比丁角之余

若壬丁与癸丁句【半径即丁乙余即甲丁

以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸】

一率【原设】半径　　　　一○○○○○为法

二率【原设句】丁角【五十七度】余　五四四六四【相乘】

三率【今有】壬丁邉　　　九十一丈八尺【为实】

四率【今所求句】癸丁邉　　　五十丈　　　法除实得所求一求壬癸邉

术曰以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股

一率【原设股】半径　　　　一○○○○○　为法二率【原设股】丁角【五十七度】正　八三八六七　【相乗】三率【今有】壬丁邉　　　九十一丈八尺　【为实】四率【今所求股】壬癸邉　　　七十七丈　　法除实得所求一求壬角

以丁角【五十七度】与象限九十度相减得余三十三度爲壬角

计开

先有之三件

癸正方角【九十度】　丁角【五十七度】　壬丁【九十一丈八尺】

今求得三件

癸丁旬【五十丈】　壬癸股【七十七丈】　壬角【三十三度】

右例先得以求句股也是为句股形第一术之第一支

假如【壬癸丁】句股形有丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】求余角余邉