历算全书

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防于丁心从丁作员则丁庚丁癸

皆半径而三角并切员周若用大

邉平分于壬作壬丁子线亦同

论曰试于丁心作线至丙至乙至甲必皆成员半径与丁庚丁癸同故丁为员心也

右钝角形外切平员之心在形之外

总论曰此与容员之法不同何也内容员之心即三角形之心故其半径皆与各邉为垂线而不能平分其邉然从心作线至角即能分各角为两平分此分角求心之法所由以立也外切员之心非三角形之心其心或在形内或在形外距邉不等而能以十字线剖各邉为两平分此分邉求心之法所由以立盖即三防串员之法也

附三防串员

有甲乙丙三防欲使之并在员周

术任以甲为心作虚员分用元度

以丙为心亦作虚员分两员分相

交于戊于辛作戊辛直线又任以

乙为心以丙为心各作同度之虚员分相交于庚于壬作庚壬直线两直线相遇于丁以丁为心作员则三防并在员周

员周有三防不知其心亦用此法

厯算全书卷五十二

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

厯算全书卷五十三

宣城梅文鼎撰

三角法举要卷四

或问【三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端喜同学之好问事事必求其所以然故不惮为

之详复以畅厥防】

一三角形用正为比例之理

一和较相求之理

一用切线分外角之理

一三较连乗之理

附三较求角

问各角正与各邉皆不平行何以能相为比例曰凡三角形一邉必对一角其角大者正大而所对之邉亦大角小者正小而所对之邉亦小故邉与邉之比例如正与正也

两正为两邉比例图

乙丙丁三角形丁乙邉大对丙角

丁丙邉小对乙角术为以丁乙邉

比丁丙邉若丙角之正与乙角

之正

解曰试以丁丙为半径作丁甲线为丙角正又截戊乙如丁丙半径作戊己线为乙角正丁甲正大于戊己故丁乙邉亦大于丁丙

问丁甲何以独为丙角正也曰此以丁丙为半径故也若以丁乙为半径则丁甲即为乙角之正如图用丁乙为半径作丁甲线为乙角正又引丙丁至戊令戊丙如丁乙半径作戊己线为丙角正

即见乙角之正丁甲小于戊己

故丁丙邉亦小于丁乙

解曰正者半径所生也故必两

半径齐同始可以较其大小前图

截戊乙如丁丙此图引丁丙如丁乙所以同之也

三正逓相为三邉比例图

乙丁丙钝角形丁钝角对乙丙大邉丙次大角对乙丁次大邉乙小角对丁丙小邉其各邉比例皆各角正之比例

试以乙丁为半径作丁甲线为乙

小角之正又引丙丁邉至戊使

戊丙如乙丁作戊己线为丙角之

正又展戊丙线至庚使庚丙如乙

丙作庚辛线为丁钝角之正【如此则三邉皆若三正皆若股】其比例为以乙丙大邉【同庚丙】比乙丁次邉【同戊丙】若丁钝角之正庚辛与丙角之正戊己

又以乙丁次大邉【同戊丙】比丁丙小邉若丙角之正戊己与乙角之正丁甲

又以丁丙小邉比乙丙大邉【同庚丙】若乙小角之正丁甲与丁钝角之正庚辛

问庚辛何以为丁角正曰凡钝角以外角之正为正试作乙癸线为丁角正【乙丁癸角外角也故其正即为丁钝角正】必与庚辛等何也庚丙辛句股形与乙丙癸形等【庚丙既同乙丙又同用丙角辛与癸又同为方角故其形必等】则庚辛必等乙癸而乙癸既丁角正矣等乙癸之庚辛又安得不为丁角正乎【凡取正必齐其半径此以丁甲为乙角正是用乙丁为半径也而取丙角正戊己必引戊丙如乙丁其丁角正庚辛又即外角之正乙癸是三半径皆乙丁也】

试取壬丙如丁丙作庚壬线即同

乙丁半径则壬角同丁角壬外角

即丁外角而庚辛正之半径仍

为乙丁【庚壬同乙丁故】

此以庚壬当乙丁易乙丁丙形为

庚壬丙则庚辛正亦归本位与前图互明

试以各角正同居一象限较其弧度

如图甲乙丙形丙角最大其正乙丁亦最大所对甲乙邉亦最大甲角次大其正丑壬亦次大所对

乙丙邉亦次大乙角最小其正

丙夘亦小所对丙甲邉亦最小【丙乙

二角正并乙丙为半径甲角取正截丑甲如乙丙亦以乙丙为

半径】乃别作一象弧【如戊己】仍用乙丙

为半径【取戊庚如乙丙】而以先所得各角

之余取度于丁作乙丁为丙角

之正于壬作丑壬为甲角之正

于夘作丙夘为乙角之正即

如元度而各角之差数覩矣【戊庚半径既同乙丙则丁庚即丁丙而为丙角余又壬庚即甲壬为甲角余夘庚即夘乙为乙角余】

解曰角无大小以弧而知其大小今乙丁正其弧乙己是丙角最大也丑壬正其弧丑己是甲角次大也丙夘正其弧丙己是乙角最小也而对邉之大小亦如之故皆以正为比例也

或疑钝角之度益大其正反渐小而其所对之邉则渐大何以能相为比例乎曰此易知也凡钝角正即外角之正而外角度原兼有余两角之度故钝角之正必大于余两角而得为大邉之比例也如乙丙甲钝角形丙钝角最大其正乙丁亦最大而所对乙甲邉亦最大乙角次大其正丙夘亦次大而所对甲丙邉亦次大甲角最小其正丑壬亦小而所对乙丙邉亦最小【截甲丑如乙丙从丑作丑壬即甲角正】

乃从乙作乙庚弧【以丙为心乙丙为半径】为

丙外角之度又作辛丙半径与甲

乙平行分乙庚弧度为两则辛庚

即甲角之弧度其余辛乙亦即乙

角之弧度从辛作辛未正与丑

壬等又自庚截癸庚度如辛乙则

癸庚亦乙角之弧作癸子正与丙夘等此显丙外角之度兼有乙甲两角之度其正必大于两角正也虽丙钝角加大而外角加小则乙甲两角必又小于外角又何疑于钝角正必为大邉比例乎

试更以各角切员观之则各角之对边皆为其对弧之通

如图三角形以各角切员则乙丙邉为丙戊乙弧之通而对甲角甲丙邉为丙己甲弧之通而对乙

角甲乙邉为乙庚甲弧之通而

对丙角则是各角之对邉即各角

对弧之通也夫通者正之

倍数则三邉比例即三正之比

例矣

又试以各邉平分之则皆成各角之正

于前图内更以各邉所当之弧皆平分之【丙戊乙弧平分于戊防丙己甲弧平分于己防乙庚甲弧平分于庚防】自员心【丁】各作半径至其

防即分各边为两平分【以丁壬戊

半径分乙丙边于壬以丁辛己半径分甲丙边于辛以丁

癸庚半径分甲乙边于癸则所分之边皆为两平分】则

弧之平分者即原设各角之

度而边之平分者即皆各角

之正【丙丁戊角以丙戊为弧丙壬为正而丙

丁戊角原为丙丁乙角之半必与甲角同大故丙戊半弧

即甲角之本度丙壬半边即甲角之正乙丁戊角亦然】

【凖此论之则甲丁己角原为甲丁丙角之半必与乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半边即乙角之正己丁丙角亦然又乙丁庚角原为乙丁甲角之半必与丙角同大故乙庚半弧即丙角之本度乙癸半边即丙角之正庚丁甲角亦然】夫分其边之半即皆成正则边与边之比例亦必如正与正矣【全与全若半与半也】

问三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角为员心真度乃见今三角皆切员边则所作通之弧皆倍度也故半之乃为角之本度

如图以甲角爲心甲丁爲半径作员则其弧丑丁子乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙两弧并与丑丁子弧等【试作戊丙及乙戊两必相等又并与丑子等凡等者弧亦等】故乙

戊丙弧必爲甲角之倍度

【余角类推】

问三邉求角何以用和较相乗也曰欲明和较之用当先知和较之根凡大小两方以其邉相并谓之和相减谓之较和较相乗者两方相减之余积也

如图甲癸小方丁癸大方于大方

内依小方邉作己庚横线又取己

辛如小方邉作辛壬线成己壬小

方与甲癸等大方内减己壬小方

则所余者为乙庚及庚壬两长方

形夫乙己及丁庚及庚辛并两邉之较也甲己庚则和也若移庚壬长方为乙甲长方即成丁甲大长方而为较乗和之积故凡两方相减之余积为实以和除之得较以较除之亦得和矣

依此论之若有两方形相减又别有两方相减而其余积等则为公积故以此两方之和较相乗为实而以彼两方之和为法除之得彼两方之较或以彼两方之较为法除之亦必得和

【如图有方二十九之幂八百四十一与方二十七之幂七

百二十九相减成较二乗和五十六之积

又有方十六之幂二百五十六与方十二之幂一百四十

四相减成较四乗和二十八之积

两积同为一百一十二故以先有之较二和五十六相乗】

【为实以今有之和二十八为法除之即得较四为今所求数】

是故三角形以两之和乗较为实以两分底之和为法除之得较者为两和较相乗同积也两和较相乗同积者各两方相减同积也

何以明之曰凡三角形以中长线分为两句股则两形同以中长线为股而各以分底线为句是股同而句不同也句不同者不同也大者句亦大小者句亦小故两上方相减必与两句上方相减之余积等而两和较相乗亦等

如图甲乙丙三角形以甲丁中长线分为两句股形则丙乙为两句之和【未寅及子夘并同】丙戊为两句之较【未子及寅夘并

同】未夘长方为两句之较乗

和也又丙己为两之和【辰壬

同】酉丙为两之较【辰癸及辛庚壬

午并同】癸壬长方为两之较

乗和也此两长方必等积

问两上方大于两句上方何以知其等积曰依句股法上方幂必兼有句股上方幂是故甲丙幂内【即癸甲大方】必兼有甲丁股丙丁句两幂乙甲幂内【即辛己小方】亦兼有甲丁股乙丁句两幂则是甲丁股幂者两幂所同也其不同者句幂耳【股幂既同则幂相减时股幂俱对减而尽使非句幂不同巳无余积】然则两幂相减之余积【于癸甲大方内减己辛相同之申甲小方所余者癸辛申丙两长方成磬折形】岂不即为两句幂相减之余积乎【于丁子方内减丁寅相同之戊丑小方所　所余者丑子及戊未两长方成磬折形】由是言之两和较相乗之等积信矣【于幂相减之癸辛申丙磬折形内移申丙补庚壬即成和较相乗之癸壬长方又于句幂相减之丑子未戊磬折形内移戊未补丑夘即成和较相乗之未夘长方两磬折形既等积则两长方亦等积】

问和较之列四率与诸例不同何也曰此互视法也同文算指谓之变测古九章谓之同乗异除乃三率之别调也何则凡异乗同除皆以原有两率之比例为今两率之比例其首率为法必在原有两率之中互视之术则反以原有之两率为二为三以自相乗为实其首率为法者反系今有之率与异乗同除之序相反故曰别调也

然则又何以仍列四率曰以相乗同实也三率之术二三相乗与一四相乗同实故可以三率求一率【二三相乗以一除之得四以四除之即仍得一若一四相乗以二除之亦可得三以三除之亦仍得二】互视之术以原有之两率自相乗与今有之两率自相乗同实故亦以三率求一率【原两率自相乗以今有之率除之得今有之余一率若今两率自相乗以原有之率除之亦即得原有之余一率】但三率之术以比例成其同实互视之术则以同实而成其比例既成比例即有四率故可以列而求之也

如图长方形对角斜剖成两句股则相等而其中所成

小句股亦相等【甲壬戊与甲己戊等则甲

乙丙与甲辛丙等丙丁戊与丙庚戊等并长方均剖故也】即所成长方之积亦必相等

【于甲壬戊句股形内减去相等之甲乙丙及丙丁戊两小】

【句股存乙丙丁壬长方又于甲己戊句股形内减去相等之甲辛丙及丙庚戊两小句股存辛己庚丙长方所减之数等则所存之数亦等故两长方虽长濶不同而知其必为等积】今以甲乙为首率乙丙为次率丙丁为三率丁戊为四率则乙丁长方【即乙丙丁壬形】为二三相乗之积【此形以乙丙二率为濶丙丁三率为长是二率三率相乗也】辛庚长方【即辛己庚丙形】为一四相乗之积【此形以辛丙为长丙庚为濶而辛丙原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊乃四率也是一率四率相乗也】既两长方相等则二三相乗与一四相乗等实矣此列率之理也

一　　甲乙

二　　丙乙

三　　丙丁

四　　戊丁

在异乗同除本术则甲乙及丙乙为原有之数丙丁为今有之数戊丁为今求之数其术为以原有之甲乙股比原有之丙乙句若今有之丙丁股与戊丁句也故于原有中取丙乙句与今有之丙丁股以异名相乗为实又于原有中取同名之甲乙股为法除之即得今所求之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成两长方【二率乗三率成乙丁长方以首率除之必变为辛庚长方】故曰以比例成其同实也

互视之术则乙丙与丙丁为原有之数甲乙为今有之数丁戊为今求之数术为以乙丙较乗丙丁和之积若丙庚较【即丁戊】乗丙辛和【即甲乙】之积故以原有之乙丙较丙丁和自相乗为实以今有之甲乙和【即辛丙】为法除之即得今所求之丁戊较【即丙庚】是先知两长方同积而以四率取之故曰以同实成其比例也

然则又何以谓之互视曰三率之用以原有两件自相比之例为今有两件自相比之例是视此之差等为彼之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股【大句小于大股几倍小句亦小于小股几倍又大句大于小句几倍大股亦大于小股几倍】互视之用以原有一件与今一件相比之例为今又一件与原又一件相比之例是此视彼之所来以往彼亦视此之所往以来如互相酬报故之较比句之较反若句之和比之和【之和大于句故句之较反大于若和之数大于句几倍则较之数句大于亦几倍】是以别之为互视也

如图以甲乙为一率丙乙为二率丙丁为三率丁戊为四率作甲戊成两句股次引甲乙及丁戊防于壬成

乙丁长方为二三相乗之积

亦引乙丙至庚引丁丙至辛

作甲辛及戊庚线并引长之

防于己成辛庚长方为一四

相乗之积是先有比例而成

同实之长方

如图乙丙乗丙丁为乙丁长

方辛丙乗丙庚为辛庚长方

两长方以角相连于丙次引

己辛及乙壬防于甲引己庚

及壬丁防于戊乃作甲戊线

则辛丙与丙丁若乙丙与丙

庚是先知同实而成其比例

也

问三角形两又术用外角切线何也曰此分角法也一角在两邉之中则角无所对之邉邉无所对之角不可以正为比例今欲求未知之两角故借外角分之也然则何以用半较角曰较角者本形中未知两角之较也此两角之度合之即为外角之度必求其较角然后可分而较角不可求故求其半知半较知全较矣此用半较角之理也

如图甲丙乙形先有丙角则甲丙丁为外角外角内作

丙辛线与乙甲平行则辛

丙丁角与乙角等辛丙甲

角与甲角等

其辛丙庚角为两角之较而辛丙己角其半较也己丙丁及己丙甲皆半外角也以半较角与半外角相减成乙角【于丁丙己内减辛丙己其余丁丙辛即乙角度】若相加亦成甲角【于己丙甲加辛丙己成辛丙甲即甲角度】

半较角用切线何也曰此比例法也角与所对之邉并以正为比例今既无正可论而有其所对之邉故即以邉为比例【角之正可以例邉则邉之大小亦可以例角】是故乙丁者两邉之总也乙癸者两邉之较也而戊己者半外角之切线也壬己者半较角之切线也以乙丁比乙癸若戊己与壬己故以切线为比例也

然则何以不径用正曰凡一角分为两角则正因度离立不同在一线不可以求其比例其在一线者惟切线耳而邉之比例与切线相应切线比例又原与正相应故用切线实用正也

如图甲丙丁外角其弧甲

己丁于辛作辛丙线分其

角为两则小角之弧丁辛

其正夘丁大角之弧辛

甲其正甲丑【小角正当乙角之

对邉甲丙大角正当甲角之对邉乙丙】

今欲移正之比例于一线先作甲丁通割分角线于子则子甲与子丁若甲丑与夘丁【甲丑子与丁夘子两句股形有子交角等丑夘皆正角即两形相似而比例等然则子甲者大形之子丁者小形之而甲丑者大形之股夘丁者小形之股也与若股与股故子甲比子丁若丑甲与夘丁】而甲丁即两正之总【甲丁为子甲子丁之总亦即为甲丑夘丁之总】辰子即两正之较【以子丁减子甲其较辰子是辰子为子甲子丁之较亦即为甲丑夘丁之较】平分甲丁半之于酉则酉丁为半总酉子为半较其比例同也【全与全若半与半故甲丁与辰子为两正之总与较则半之而为酉丁与酉子亦必若两正之总与较】

于是作午戊切员线【引平分线丙酉至己分甲己丁弧于己自己作午戊线与己丙为十字垂线即此线为切员线】与甲丁平行引诸线至其上【引丙甲至午引丙丁至戊引丙辰割庚防至未引丙夘割辛防至壬】则午戊切线上比例与甲丁通等而正之比例在切线矣【先以甲丁与辰子当两正之总与较今午戊与未壬亦可当两正之总与较则先以酉丁与酉子为半总半较者今亦以己戊与己壬为半总半较矣】故曰用切线实用正也【切线与正所以能同比例者以有通作之合也】问三较连乗之理曰亦句股术也以句股为比例而以三率之理转换之则用法最精之处也故三较连乗即得容员半径上方乗半总之积

假如甲乙丙三角形甲丙邉

一百五十甲乙邉一百二十

二乙丙邉一百一十二术以

半总一百九十二较各邉得

甲丙之较四十二甲乙之较

七十乙丙之较八十三较连

乗得数二十三万五千二百

即容员半径自乗又乗半总

之积也

置三较连乗数以半总除之得数【一千二百二十五】平方开之得容员半径【三十五】倍之得容员径【七十】

置三较连乗数以半总乗之得数【四千五百一十五万八千四百】平方开之得三角形积【六千七百二十】

若如常法求得中长线【一百二十】以乗乙丙底而半之所得积数亦同

然则何以见其为句股比例曰试从形心如法作线分为六句股形【形心即容员心】又引甲丙邉至夘使夘丙如乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙则甲夘甲辰并半总【六小句股形之句各于其两相同者而取其一即成半总】而丙夘为甲丙邉

之较【即乙戊或乙辛】乙辰为甲乙邉

之较【即己丙或辛丙】甲己为乙丙邉

之较【己丙同辛丙又丙夘同乙辛则夘己同乙丙而

甲己为其较若用辰戊以当乙丙则甲戊为较亦同】又

从夘作夘壬十字垂线至壬

【此线与丁己员半径平行】引甲丁分角线出形外遇于壬成甲夘壬大句股形与甲己丁小句股之比例等【从辰作辰壬线成甲辰壬大句股与甲戊丁小句股为比例亦同】术为以丁己比壬夘若甲己与甲夘也次以丁己自乗方为一率以丁己乗壬夘之长方为次率则其比例仍若甲己三率与甲夘四率也【乗之者并丁己故所乗之丁己与壬夘比例不变也】

以数明之甲己八十甲夘一百九十二为二倍四分比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四十亦二倍四分比例故曰比例等

又移辛防至癸截丙癸如丙夘则乙癸亦如乙辰引丙夘至午使夘午同乙辰【亦同乙癸】引乙辰至未使辰未同丙夘【亦同丙癸】则午丙及未乙并同乙丙又作丙壬乙壬午壬未壬四线成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各三角形皆相等【丙夘壬句股形与未辰壬等则丙壬必等未壬又午夘壬句股形与乙辰壬等则午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬两三角形必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙与两三角形同

底又同用丙壬乙壬两亦不得不等】于是自

癸作癸壬垂线【夘壬辰壬并垂线故癸壬

亦必垂线】成丙癸壬句股形与丙

夘壬形等即成癸丙夘壬四

邉形与丁己丙辛小四邉形

为相似形【夘与癸俱方角而小形之己与辛亦方】

【角则大形之丙角与壬角合之亦两方角也而小形之丙角原为大形丙角之外角合之亦两方角也则小形之丙角与大形之壬角等而小形之丁角亦与大形之丙角等是大小两形之四角俱等而为相似形】则丁己丙句股形与丙夘壬形亦相似而比例等【大小两四邉形各均剖其半以成句股则其相似之比例不变全与全若半与半也】术为以丁己比己丙若丙夘与夘壬也

一　丁己

二　己丙

三　丙卯　即甲丙之较戊乙

四　卯壬

凡三率法中二三相乗一四相乗其积皆等则己丙乗丙卯之积即丁己乗卯壬之积可通用也先定以丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己与甲卯今以三率之理通之为以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己与甲卯

一　丁己自乗方　　　即容员半径自乗

二　己丙乗丙卯长方　即甲乙之较乗甲丙之数

三　甲己　　　　　　即乙丙之较

四　甲卯　　　　　　即半总

复以三率之理转换用之则三较连乗之积【以己丙较乗戊乙较为二率又以甲己较为三率乗之是二三相乗即三较连乗】即容员半径自乗方乗半总之积也【以丁己半径自乗为首率以甲卯半总为四率乗之是一四相乗也凡一四相乗必与二三相乗之积等】

以数明之丁己【三十五】卯壬【八十四】相乗得二千九百四十己丙【七十】丙卯【四十二】相乗亦二千九百四十故可通用

己丙乗丙卯【二千九百四十】又以甲己【八十】乗之得二十三万五千二百丁己自乗【一千二百二十五】又以甲卯【一百九十二】乗之亦二十三万五千二百故可通用

问三较之术可以求角乎曰可其所求角皆先得半角即锐钝通为一术矣